Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007 Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007 1 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Zufallsereignisse, Ereignisraum und Ereignismenge • Zufallsexperiment: nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführter, unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbarer Vorgang mit mindestens 2 möglichen (bekannten) Ergebnissen. Es ist nicht bekannt bzw. ungewiss, welches Ergebnis eintreten wird, d.h. es kann nicht exakt vorausgesagt werden. (Bsp.: Werfen eines Würfels oder einer Münze) • Elementarereignisse = einzelne, nicht mehr zerlegbare und sich gegenseitig aus- schließende Ergebnisse eines Zufallsexperiments. (Z.B. Zahl der Augen beim Würfel)
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1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
1.1 Zufallsereignisse, Ereignisraum und Ereignismenge
• Zufallsexperiment: nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführter, unter gleichen
Bedingungen beliebig oft wiederholbarer Vorgang mit mindestens 2 möglichen
(bekannten) Ergebnissen. Es ist nicht bekannt bzw. ungewiss, welches Ergebnis
eintreten wird, d.h. es kann nicht exakt vorausgesagt werden.
(Bsp.: Werfen eines Würfels oder einer Münze)
• Elementarereignisse = einzelne, nicht mehr zerlegbare und sich gegenseitig aus-
schließende Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
(Z.B. Zahl der Augen beim Würfel)
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• Ereignisraum: Die Menge Ω aller n Elementarereignisse nωωω ,...,, 21 eines Zu-
fallsexperiments stellt den Ereignisraum (Stichprobenraum) dieses Zu-
fallsexperiments dar: nωωω ,...,, 21=Ω
Voraussetzung: endlich viele oder höchstens abzählbar unendlich viele nω
⇔ stetiges Kontinuum
• Zusammengesetztes Ereignis:
Ein zufälliges Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω . Das Ereignis A ist eingetreten,
wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments ein Element der Teilmenge A ist.
• Ereignismenge: Alle Ereignisse eines Zufallsexperiments mit Ereignisraum Ω
bilden die dazugehörige Ereignismenge )(ΩE .
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1. sicheres Ereignis: Ω⊂Ω
2. unmögliches Ereignis: Ω∅⊂
Tritt das Ereignis A immer ein, wird es mit Ω=A bezeichnet; tritt es niemals ein wird
es mit ∅=A bezeichnet.
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1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfungen
• Wenigstens eines der beiden Ereignisse A oder B (oder beide) treten ein: BA ∪
(Vereinigung).
• Gemeinsam auftretende Ereignisse: sowohl A als auch B müssen eintreten:
BA ∩ (Durchschnitt)
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• Komplementärereignis: Das Komplementärereignis A tritt genau dann ein, wenn
A nicht eintritt (Negation): A\: Ω=A , d.h. A und A sind komplementär zuein-
ander
Es gilt: ∅=∩ AA und Ω=∪ AA
AA = , ∅=Ω und Ω=∅
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• Differenz B\A : Das Ereignis A ohne das Ereignis B :
• Disjunkte Ereignisse: Falls A und B niemals gleichzeitig eintreten können,
∅=∩ BA , dann gelten die Ereignisse als disjunkt (unvereinbar), d.h. sie schließen
sich gegenseitig aus.
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• Implikation: Das Ereignis A enthält das Ereignis B : AB⊂ ( B impliziert A )
Da das Ergebnis eines Zufallsexperiments ist nicht vorhersagbar, aber man kann mög-