1. feladat

Az ábrán egy épülő ház tetőszerkezetét látjuk. A „mester” szerint ez akkor lesz a legstabilabb, ha a „ferde” CD nyeregtetőt annak F felezőpontjában, rá merőlegesen támasztják alá egy gerendával. Milyen hosszú legyen a g gerenda?

1. feladat

2

9 ;4F )3 ;8( DCv

A gerenda egyenesének egyenlete:

2

37

2

273238 yx

0y 16

37x

22

2

9

16

374

g

4

351 m 68,4

2. feladat Egy térképhez rögzített koordináta-rendszerben az A és B falvak koordinátái A(0; 7), B(6; 5). Az országút egyenlete:

63 yx

Hová helyezzék a buszmegállót az országúton, hogy az a két falutól egyenlő távolságra legyen ?

)6 ;3(F

1)- ;3( 2)- ;6( ABv

AB felezőmerőlegesének egyenlete:

3693 yx 33 xy

23

133 xx

8

15x 8

21y

8

21 ,

8

15M

3. feladat Az ABCD négyzet BC oldalának B-hez közelebbi harmadoló pontja H. A CD oldal C-n túli meg-hosszabbításán legyen E pont, melyre CE egyenlő a négyzet oldalának a felével. Igazoljuk, hogy a BE

és AH egyenesek M metszéspontja illeszke-dik a négyzet köré ír-ható körére!

Az AM egyenes egyenlete:

3

xy

)1 ;2

1(BEv

A BE egyenes egyenlete: 12

1 yx

16

1 xx

5

6x

5

2y )

5

2 ;

5

6(M

)5

2 ;

5

6(M

2

1

2

1

2

122

yx

2

1

2

1

5

2

2

1

5

622

?

?

22

10

1

10

7

100

1

100

49

2

1

4. feladat Készítsünk virágot ! Legyen A halmaz a sík azon P(x; y) pontjainak a halmaza, mely pontokra 122 yx A B halmaz a sík azon P(x; y) pontjainak a halmaza, mely pontokra

Szemléltesse egy koordinátarendszerben a B \ A halmaz elemeit !

yxyx 22

0 ,0 1.) yx

yxyx 22

022 yxyx

04

1

2

1

4

1

2

122

yx

2

1

2

1

2

122

yx

2

1 ;

2

1K

2

2r

122 yx yxyx 22

5. feladatHány db olyan pozitív egész k szám van, melyre az

0256422 kykxyx

egyenletű körnek nincs közös pontja az x ten-gellyel, de van közös pontja az y tengellyel ?

0256422 kykxyx

A kör x tengellyel alkotott metszéspontjaira: 0y

02562 kxx

Ha a körnek nincs közös pontja az x tengellyel,

akkor ez utóbbi egyenlet diszkriminánsa negatív:

025642 k 32k

Hasonlóképpen; 02564 az 2 kyy egyenlet

diszkriminánsa nem negatív:

0256416 2 k 8k

328 k

Tehát a feltételeknek 24731 db egész szám

felel meg.

6. feladat Egy háromszög két csúcsa: A(0; 2), B(-2; 0), a harma-

dik csúcsa az

0164822 yxyx

egyenletű körön van. Határozza meg a harmadik csúcs

koordinátáit úgy, hogy a háromszög területe maximális

legyen!

A háromszög területe akkor maximális, ha a hiányzó C csúcsa a legtávolabb van az AB egyenestől. Ezt a pontot az AB-re merőleges, O-n átmenő egyenes metszi ki a körből.

1) ;1(ABv 6 yx

0164)6(8)6( 22 yyyy

222,1 y )22 ;24( C

7. feladat

Egy parabola két pontja: A és B. Ezek

merőleges vetülete a vezéregyenesen:

A* és B*. Igazolja, hogy a fókusz-

ponton átmenő, AB-re merőleges

egyenes felezi az A*B* szakaszt!

p

xxxxAB 2

;21

22

12v

vagy másképpen

p

xxAB 2

;1 12v

Ez a vektor a rá merőleges, F-en átmenő egye-nesnek normál-vektora, tehát az egyenes egyen-lete:

2221212 p

p

xxy

p

xxx

412 xx

2221212 p

p

xxy

p

xxx

412 xx

A vezéregyenes egyenlete:

2

py

Tehát a két egyenes metszéspontjára:

4221212 xxp

p

xxx

242 1212 xxxx

x

Ez pedig éppen azt fejezi ki, hogy az F-en át AB-re állított merőleges felezi az A*B* szakaszt.