1. 통계역학이란bh.knu.ac.kr/~ilrhee/lecture/modernphys/4-statistics.pdf · 2012. 3. 4. · 3.Bose-Einstein분포-Bose-Einstein 0분포는스핀양자수가 이거나정수인입자

통계역학이란1. ?

물리계를 구성하는 입자의 수가 아주 많을 때 입자 개개의 운동을-

기술하는 것은 불가능하다.

입자들의 집단이 거시적으로 보이는 가장 근사한 행동을 구한다- .

통계역학은 계의 거시적인 특성을 통계적인 방법을 이용하여-

구하여 이를 통해 계의 미시적인 특성을 유추하는 분야이다.

에너지- 와 입자의 수 이 고정되어 있는 물리계

각 입자가 가질 수 있는 에너지준위는- ⋯

에너지- 가 되도록 각 입자가 에너지준위에 분포하는 방법

입자사이의 상호작용의 특성이나 입자의 물리적 특성에 맞는-

가장 근사한 분포를 찾는 것이 통계역학이 추구하는 목표이다.

입자들의 떨어진 거리가 충분히 멀 경우 즉 밀도가 희박한 경우- ,

입자를 구별할 수 있는 경우- (distinguishable identical particles)

-Maxwell-Boltzmann 분포 고전 통계분포,

기체 분자들이 이 통계분포를 따르는 대표적인 예-

입자를 구별할 수 없는 경우- (undistinguishable identical particles)

-양자통계 분포 양자 통계분포는 두 가지로 구별,

입자의- 스핀양자수가 이거나 정수인 경우0 (Boson)

의 배수가 되는 경우-1/2 (Fermion)

입자 광자 들에 관련된 통계분포를-Boson ( ) Bose-Einstein 분포

입자 전자 들에 대한 통계분포를-Fermion ( ) Fermi-Dirac 분포

입자의 경우 공간 파동함수는 대칭적이므로 두 입자에 대한-Boson

파동함수는

두 입자가 같은 에너지 상태 즉- , 인 경우

한 에너지 상태에 존재할 수 있는 의 수에는 제한이 없다- Boson .

의 경우 공간 파동함수는 반대칭적인이므로 두 입자에-Fermion

대한 파동함수는

두 입자가 같은 에너지 상태 즉- , 인 경우 파동함수는 영(0)

은 같은 상태에 두 이 존재할 수 없다-Fermion Fermion .

배타율을 따른다-Pauli .

2. Maxwell-Boltzmann 분포

분간할 수 있는 입자들에 대한 가장 가능한- (most probable) 분포

-개의 분자들로 구성된 물리계

분자들이 가질 수 있는 에너지준위는- ⋯ ⋯로 제한

에너지준위- 에 존재하는 분자들의 수를 라고 하자.

에너지준위가 축퇴- (degenerate) 되어 있다고 하자.

축퇴란 한 에너지준위에 동일한 에너지를 가지는-

여러 준위(sublevel)가 존재한다는 것을 의미한다.

두 분자가 다른 운동량 벡터적으로 크기는 같으나- (

방향이 다른 경우 을 가지지만 에너지는 동일할 수가 있다) .

다른 운동량을 가지는 에너지준위들은 각각 구별이 된다- .

축퇴도- 인 준위 에 개의 입자가 분포할 수 있는 방법의 수

-준위 안에는 개의 에너지준위들이 존재하므로 개의 입자를1

생각하면 이 입자가 분포할 수 있는 방법은 가지이다.

개의 입자의 경우 입자들은 구별이 가능하므로-2 의 분포방법

-입자가 준위에 분포할 수 있는 방법의 수는 가 된다.

- ⋯의 입자들이 축퇴도가 ⋯인 에너지준위

⋯에 분포할 수 있는 방법의 수는

⋯

이 됨을 알 수 있다.

각 에너지준위에 분포된 입자들은 구별이 가능하기 때문에-

입자들 사이의 교환에 의해 다른 분포방법들이 만들어진다.

총- 개의 입자들을 늘어놓는 방법 순열 의 수는( ) 이 된다.

동일한 에너지준위 안에 있는 분자들의 순열은 의미가 없으므로-

순열의 수는⋯

가 된다.

-개의 분자가 에너지준위에 분포할 수 있는 방법의 수 는

⋯

⋯

가장 가능한 분포방법은 방법의 수가 가장 큰 경우이다- .

방법의 수- 가 최대가 되는 분포방법을 찾으면 된다.

변분- 을 구하여 으로 둘 경우의 분포방법을 찾으면 된다0 .

의 공식-Stirling (≫인 경우 인) 을 이용하면

- 을 이용가장 가능한 분포가 되기 위해서 작은 변화- 에 대해

이 만족되어야 한다.

-

를 이용

한 에너지준위에 입자의 수를 감소시키면 다른 준위에 동일한-

수의 입자를 증가시켜야 하므로 이 만족된다.

위 식이 가능한 분포를 주기 위해서는 분자의 수가 변하지 않는-

조건과 총 에너지가 변하지 않는 조건을 만족하여야 한다.

- , 변분을 구해보면, , 임의의 변분- 에 대해 위 조건들을 만족시키기 위해서는 이들에

미결정 상수를 곱하여 위 식에 더해주면 된다 변분법(Lagrange ).

- 는 와 무관한 량이다.

모든- 에 대해 식이 만족하려면 괄호안의 량이 영이 되어야 한다.

따라서- →∴

가장 가능한 분포에서 에너지- 를 가지는 분자의 수 의 표현

-Maxwell-Boltzmann 분포라고 부른다.

분포함수 는-Maxwell-Boltzmann (distribution function)

≡

-로 대체

- 가 연관된 물리량을 이상기체의 경우를 적용함으로써 결정

분자들의 수가 많을 경우 연속적 에너지준위로 고려-

연속적인 에너지를 고려할 경우 에너지 간격- 과 사이에 존

재하는 분자의 수인 은

(1)

-의 운동량 공간에서의 표현운동량 방향 이 다르더라도 에너지가 같은 경우가 있기 때문- ( )

운동량의 크기가- 인 구(sphere)

입자의 운동량의 크기가 이 구의 표면에 존재할 경우 운동량- ( 의 방향에관계없이 동일한 에너지를 가진다) .

두께- 인 구각의 체적 는 에 대응

-와 사이의 운동량을 가지는 에너지준위의 수 는 에

비례하게 된다.

- , 는 비례상수

-

이므로

식 에 대입하고- 1 ≡로 두면

분자의 총수가- 이면

∞

을 만족하여야 한다.

이에 따라-

⇐

∞

분자 수가- 인 물리계의 총에너지 는

∞

-

∞

를 이용

이상기체의 상태방정식과 비교하면-

이상기체에서-

이고 이므로

속도 근방의 안에 있는 분자의 수는

평균제곱근- (rms) 속도 ⟨⟩ ,평균속도- ,

∞

,

가장 가능- (most probable) 속도 (

를 이용),

3. Bose-Einstein 분포

분포는 스핀양자수가 이거나 정수인 입자-Bose-Einstein 0

입자들은 분포와 달리 분간할 수 없다- Maxwell-Boltzmann .

에너지준위- 의 축퇴도를 라고 하자.

에너지준위에- 개의 입자가 분포하는 경우

입자들은 분간이 안 되므로- 개의 입자들을 에너지준위 에

분포시키는 방법의 수는 개의 입자들을 의 칸과 함께

늘어놓는 방법의 수와 동일하다.

- 개의 물체를 늘어놓는 방법의 수와 동일하다.

-사이의 순열과 사이의 순열은 의미가 없다.

이에 따라 순열의 수는-

- ⋯의 입자들이 축퇴도가 ⋯인

에너지준위 ⋯에 분포할 수 있는 방법의 총수는

≅

- ≫을 이용

양변에- 을 취하면 공식에서-Stirling 이므로

- 에서

- ,

등을 이용

입자의 수가 변하지 않는 조건과 총 에너지가 변하지 않는 조건-

동일한 과정을 적용하면-

가장 가능한 분포에서 에너지- 를 가지는 분자의 수 의 표현

- 분포함수는Bose-Einstein

- 를 이용

광자- : 일반적으로,

∞

의 조건에서 결정

-Bose-Einstein 분포를 흑체복사 광자 에 적용( )

에너지- 과 사이를 가지는 광자의 수는

-를 결정하여야 한다.

광자가- 방향으로 길이가 각각 인 상자에 갇혀있는 경우

광자가 벽을 투과할 수 없다는 경계조건에서-

- ⋯ 값만을 가질 수 있는 양자수이다.

-

를 이용하면

- 방향에서도 동일하게

를 얻는다.

- 와 같이 공간에서의 벡터

같은 파장 같은 에너지 을 가지는 광자의 수는- ( ) 공간에서

벡터의 크기, 가 같은 점들의 수와 동일

반경- 이고 두께가 인 구 껍질의 체적은

- 는 양 이므로 이 조건을 만족하는 구 껍질의 체적은(+)

- ×

×

를 곱한 것은 광자의 두 개의 분극방향 평행 및 수직 를 고려-2 ( )

양자수-

를 이용하여 진동수의 표현으로 바꾸면

-을 이용

각 에너지준위에 분포하는 광자의 수 광자의 에너지는- ( 는)

흑체복사에 적용하면 흑체복사의 에너지 분포는-

위 식은 흑체복사의 실험을 잘 설명해 준다- .

4. Fermi-Dirac 분포

분포는 구별할 수 없는 입자들에 대한 분포-Fermi-Dirac

스핀양자수가 의 배수인 에 관련- 1/2 Fermion

입자들은 배타율을 만족해야 한다- Pauli .

배타율을 만족하기 위해 한 에너지준위에 하나의 입자만 존재-Pauli

입자가 축퇴도- 인 에너지준위 에 분포하는 경우

-를 입자가 준위를 채우는 확률이라고 하면 준위를 채우는

입자의 수는

-개의 준위는 채워지나 개의 준위는 채워지지 않는다.

순열은- 이나 안에서의 순열과 안의 순열이 의미가

없으므로 순열의 수는

축퇴도가- ⋯인 에너지준위 ⋯에 분포할 수 있는

방법의 총수는

-를 취한 후 의 공식을 적용하면Stirling

- 에서

입자의 수가 변하지 않는다는 조건- ( 과)

총 에너지가 변하지 않는 조건( 을 만족하여야 한다) .

동일한 과정을 적용하면-

입자가- 준위를 채우는 확률은

와 같이 주어진다.

-를 채우는 입자의 수는 이므로

-Fermi-Dirac 분포함수는

에너지-Fermi 는 입자가 존재하는 최대의 에너지준위

-

로 정의 이에 따라,

이므로

-에서 이면 이고 이면

- 보다 낮은 준위는 모두 차 있고 보다 높은 준위는 비어 있다.

-인 경우 보다 높은 준위도 차여진다.

에너지가- 와 사이에 존재하는 입자의 수는Fermion

(1)

-는 의 경우와 동일하게 구할 수 있다Bose-Einstein .

-

전자의 경우를 생각해 보면 전자의 두 스핀상태는 광자에서의- ,

두 분극상태에 대응된다.

경계조건에서-

를 만족

파장은-de Brogile

이므로

-를 이용,

이므로 식 은(1)

금속에서의 자유전자들은 금속 내부에서 자유롭게 움직일 수 있다- .

자유전자들은 정지한 원자들에 의해 전기적으로 차단- (shielded)

전자 서로 간의 상호작용은 작은 편이다- .

금속 안의 자유전자들을 이상기체로 간주할 수 있다- .

전자기체들은 이기 때문에 분포를 따른다- Fermion Fermi-Dirac .

에너지가 열에너지보다 훨씬 적을 경우 즉-Fermi , ≪인 경우

분포와 동일하게 된다-Maxwell-Boltzmann .

금속의 경우- 는 상온의 열에너지 보다 훨씬 크다(0.026eV) .

구리와 철의 경우 에너지는 각각 와 이다- Fermi 7.06eV 11.2eV .

전도전자의 에너지가- 보다 아주 작은 경우, ≪ 이면

-보다 낮은 에너지준위는 전도전자로 채워져 있는 상태이다.

전도전자의 에너지가- ≫ 이면

에너지- 가 커짐에 따라 분포함수는 지수적으로 감소한다.

-보다 큰 에너지준위는 전도전자로 채워질 확률이 급격히 준다.

에너지가- 일 때 에너지준위가 전도전자로 채워질 확률은 1/2

-가 채워진 상태 에서 채워지지 않은 상태 로 전이하는1( ) 0( )

영역은 의 근방임을 알 수 있다.

-T=0K ( 인 경우 이고 에는 에서)

에너지를 구해보도록 하자Fermi .

-개의 전자가 에너지준위가 인 상태에서부터 시작하여0 인

상태까지를 차례로 채워나간다.

-Fermi 에너지는

Fermi, Dirac, Heisenberg

5. 통계열역학

단위체적당- (m3) 1022개의 분자나 원자들로 구성된 거시계

거시계의 열역학적 특성은 엔트로피 내부에너지 비열 등이 결정- , ,

이들 사이의 관계를 설명하는 것이 열역학 법칙들이다- .

거시계를 이루는 것은 분자나 원자들이고 이러한 입자들의- ,

파동함수 에너지준위 등의 물리적 특성은 양자역학을 통해 설명,

거시계의 물리적 특성이 그 구성원인 분자나 원자의 특성에 관련-

-1022개의 분자나 원자들의 물리적 특성을 거시계의 물리적 특성에

연관시키는 것은 쉬운 일이 아니다.

통계열역학은 분자나 원자들의 특성에서부터 그것들에 의해-

구성된 거시계의 특성을 구하는 것이다.

통계열역학에서는 거시계에 맞는 모델을 설정하여 문제를 해결-

구성 분자나 원자사이에 상호작용을 무시할 수 있는 경우에는-

이상기체로 가정하여 문제를 해결

입자들 사이의 상호작용이 있는 경우 이상기체의 모델을 변형시켜-

새로운 모델을 만들어야 한다.

방정식을 만족하는 입자들의 에너지준위-Schrődinger ⋯

에너지준위의 크기는- ≤ ≤ ≤⋯이라고 한다.

등호는 에너지가 동일한 경우 즉 축퇴된 경우를 고려한 것- ,

계가 준위- 에 존재할 확률은 Boltzmann 인자(factor)에 비례

-∼,

비례상수는-

의 조건에서 구한다.

위 조건은 입자가 어떤 에너지상태에서든 발견되어야 함을 표현-

비례상수를- 라고 두면

에서

계가 에너지준위- 에서 발견될 확률은

-

을 분배함수(partition function)라고 부른다.

이는 입자가 가능한 에너지준위에 어떻게 분배되는지를 나타낸다- .

분배함수에는 입자들의 에너지준위 입자들의 운동 상태 와- ( )

열역학적 특성인 온도( 를 모두 포함하고 있다) .

분배함수는 미시계인 입자들의 특성을 거시계의 열역학적 특성에-

연관시켜 줄 수 있는 량이다.

-평균에너지

⟨⟩

-

을 이용

-를 를 대치하면 ⟨⟩

비열-

⟨⟩

-엔트로피:

부분적분을 이용- , 에서의 엔트로피는 완전히 정렬된 상태0( )

- ⟨⟩

자유에너지가-Helmholtz ⟨⟩로 정의되므로 압력-

화학에너지,

-고전적인 이상기체

단원자 기체 입자의 크기는 무시 외부 장 자기장 중력 을 무시- , , ( , ) ,

에너지준위는 상자 안에 갇힌 입자로 근사 에너지준위는 준위사이,

간격이 열에너지보다 작으므로 연속적인 에너지준위로 가정 등

상자 속에 갇힌 입자의 에너지준위는-

- 는 양자수 양의 정수,

분배함수는-

라 두면

∞

∞

∞

-

∞

∞

∞

를 이용

이상기체 상태 방정식- ()

내부에너지는- ⟨⟩

기체 원자 한 개당 에너지는-

임도 알 수 있다.

스핀양자수가 인- 1/2 개의 자기원자(magnetic atom)들의 집단

원자의 자기모멘트는- ≡로 주어진다.

- 는 인자Lande g- , 마그네톤Bohr , 방향의 스핀양자수

외부자기장 내에서 에너지준위는- ∙ ±

- ± 과 ≈를 이용

위 식에서 에너지준위는 자기모멘트가 자기장에 평행한 경우- + ,反

에너지는 자기모멘트가 자기장에 평행한 경우-

분배함수-

에너지-

⟨⟩

자화도-

-↑↓ ±을 이용