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연립미분방정식
응용: coupled oscillator, electric circuit
′′⋮′
⋯ ⋯ ⋮
⋮
⋮⋯
⋮
⋮
⇒
1. 소거해법
Ex1) ′ ′
답: 첫 번째 식에서 ′ → 이므로 이를 두 번째 식
에 대입하면 ′ → ′ 가 된다.
∴
위에서 을 이용하였다. 따라서 위 연립방정식의 해는
Page 2
Ex 2) ′ ′
첫 번째 식에서
′이고 이를 두 번째 식에 대입하면
∴
″′
′
정리하면 ″′ → ∴ ±
cos sin
′ cossin
Ex 3) ′
← ′
′
′ →
′ →
식 (1) × +식 (2) ⇒
따라서 해는
이를 식 (1)에 대입하면
∴
Page 3
Ex 4) 비제차(Non-homogeneous) 미분방정식
′ →
′ →
식 (2)에서
이를 식 (1)에 대입하면
← 이므로
∴ →
Homogeneous 해는
Particular 해는
←
←
← ∴
따라서
이를 식 (2)에 대입하면
Page 4
Ex 5) 비제차(Non-homogeneous) 미분방정식
함수: 변수:
식 (2) ×
≡
이를 식 (1)과 더하면
→ → ∴ ±
cos sinParticular 해는
⋯
∴ cos sin
식 (2)에서
Page 5
cossin
∴ sin cos cos sin
2. 대각화법
(1) 1계 연립미분방정식의 일반적인 해법
′′⋮′
⋯ ⋯ ⋮
⋮
⋮⋯
⋮
⋮
Matrix 형태로 표현하면
′ ← : 상수계수의 matrix, : 변수 의 함수
개의 서로 연결된(coupled) 1계 선형미분방정식을 푸는 방법
→ 상수계수의 matrix 를 대각화(diagonalized)하여 서로 연결
되지 않은(decoupled) 미분방정식으로 만든다.
대각화를 위하여 변수변환을 한다.
(변수변환) ← :변환 matrix로서 이에 따라
Page 6
′ ′으로 변환된다. ← : 상수계수의 matrix
′ ⇒ ′ ′ (← )
∴ ′
′′⋮′
⋯
⋯
⋮
⋮
⋮⋯
⋮
⋮
위와 같이 대각화된다. 이에 따라 서로 연결된(coupled) 함수들
에 대한 연립미분방정식들이 서로 연결되지 않은 함수들의 연립
방정식들로 변하였다.
′ ′ ⋮
′
Page 7
번째 미분방정식의 경우 그 해는
이므로 위 연립미분방정식의 해는
← (matrix 형태)
(2) 연립 1차 제차(homogeneous) 미분방정식의 해법
연립미분방정식: ′
(변수변환)
′ ⇒ ′ ′
∴ ′
′′⋮′
⋯
⋯
⋮
⋮
⋮⋯
⋮
Page 8
′ → ′ → ⋮
′ →
′′⋮′
⋮
⋯
⋮
⋯ ⋯ ⋮
⋮
⋮⋯
⋮
⋯
여기서 ≡
⋮
Page 9
Matrix 의 eigenvalue()와 eigenfunction()을 구하는 방법
를 ′ 에 적용하면 이므로
∴ 에서 을 이용하면
위 관계식이 Trivial 해를 가지지 않기 위한(≠) 조건;
det
위 식을 이용하여 (eigenvalue of matrix )를 결정하고 이에
대응하는 (eigenvectors of matrix )를 구한다.
에서 각 에 대응하는 를 결정할 수 있다. 이는
⋮
Page 10
을 의미한다. 결과적으로 일반해는
⋯
다중근의 경우 (Homogeneous)
(a) 이 2중근인 경우 ← 1개의 eigenvector (1개의 미지 상
수)
나머지 하나의 해는
≡
⋮
≡
⋮
미분방정식 ′ 에 대입하면
′ 이므로
∴
→
Page 11
모든 에 대해 위 식이 만족되어야 하므로
(b) 3중근인 경우
두 번째 해:
세 번째 해:
미분방정식 ′ 에 대입하여 정리하면
Page 12
역행렬 (Inverse matrix) ← 을 확인할 때
필요
⋯ ⋯ ⋮
⋮
⋮⋯
⋯ ⋯ ⋮
⋮
⋮⋯
←부호
→
→
Page 13
Ex1) Matrix 형태로 고치기
′ ′
′′
′
← ′ ′′
Ex2) Matrix 형태로 고치기 (초기조건이 있는 경우)
′ ′
′′
′
초기조건
→
Page 14
Ex3) 대각화법
′
det
∴
인 경우 에서
에서 →
∴
←
인 경우 에서
에서 →
∴ ←
따라서 일반해는
⋯
이므로
Page 15
초기조건을 적용하면
←
∴ 에서
따라서
또는
대각화의 확인
←
따라서
: 대각화됨을 확인할 수 있음
Page 16
Ex4) 대각화법
′
det
∴
인 경우 에서
에서 →
∴
←
인 경우 에서
에서 →
∴
←
따라서 일반해는
Page 17
⋯
이므로
초기조건을 적용하면
←
∴ 에서
따라서
또는
Ex5) 대각화법 (복소수 eigenvalue의 경우)
′
det
∴ ±
Page 18
인 경우 에서
에서
→
∴
←
Matrix 식의 아래 line에서 얻는 를 이용하
여 구하는 eigenvector는 에서 얻는 것과 동일한
형태이다.
인 경우 계산할 필요가 없이
가 되는
데(복소수이므로), 이를 확인해 보면
에서
→
∴
←
여기서도 matrix식의 아래 line에서 얻는
Page 19
에서 구한 eigenvector는 에서 얻는 것과 동일한 형
태이다.
인 경우의 해는
이고 cos sin
을 이용하면
cos sin
cos cos sin sin
sin cos
을 얻는다. 인 경우의 해도 위와 동일한 형태를 가
진다. 위 식에서 와 는 두 개의 독립적인 해이고, 허수를 나타
내는 도 하나의 상수로 생각할 수 있으므로 일반해의 형태는
로 표현할 수 있다. 따라서 일반해는
cos cos sin sin
sin cos
이다. 위의 해에 초기조건을 적용하면
Page 20
←
∴ →
또는
cos sin
cos sin
Ex6) 대각화법(Non-homogeneous의 예)
′
′
det
→
∴
Particular 해(비제차 항이 이므로)는 의 형태
Page 21
→ ′
′ 에 대입하면
→
∴
에서
→
에서
→
∴
Page 22
Ex7) 대각화법(Non-homogeneous의 예) 전기회로에 적용
스윗치가 닫히는 순간(t=0) 전류와 전하가 0이라고 할 때 t 시간
후의 전류 와 를 구하라.
회로 1:
→′
회로 2: →
회로 2의 식을 미분하면
′ ′ →′′
회로 1의 식을 정리하면 ′ (1)
이를 위 식에 대입하여 정리하면
′ (2)
위의 두식을 matrix 형태로 표현하면
Page 23
′
Homogeneous 해는
det
∴
인 경우 에서
에서 →
∴
←
인 경우 에서
에서 →
∴
←
Page 24
따라서 Homogeneous 해는
⋯
이므로
Particular 해는 가 상수이므로
→ ′
′ 에서
∴ 에서
따라서
Page 25
초기조건
을 적용하면
←
∴ →
또는
의 극한값은 3A (안정상태에서 인덕터는 도선과 동일)
의 극한값은 0 (축전기에 충전이 완료되면 전류는 0)
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Ex8) Tank1: 순수한 물 100
Tank 2: 순수한 물 100 +150kg의 비료
액체는 분당 2의 일정한 속도로 두 tank를 순환하면서 비료가
골고루 섞인다. 시간 t에서 tank1과 tank2에 녹아있는 비료의 량
을 각각 라고 두면
′유입량유출량
′유입량유출량
′
초기조건: tank1에는 비료가 없고
tank2에는 비료가 150kg
Page 27
det
∴
인 경우 에서
에서
∴ ←
인 경우 에서
에서 →
∴
←
Page 28
따라서 Homogeneous 해는
⋯
이므로
초기조건을 이용하면
←
∴ →
∴
Page 29
Ex9) Coupled oscillator
∴
인 경우
← cos cos
Page 30
: symmetric mode
: antisymmetric
Symmetric mode:
Antisymmetric mode:
Page 31
Eigenvector:
인 경우 인 경우
∴ cos
cos
Ex)
← ″
det 에서
인 경우 에서
에서
∴ ←
인 경우 에서
에서 →
Page 32
∴
←
: 변환 matrix가 에 의해 가 로 변환
″ ″ →∴ ″ → ″ ∴ ″
←
″″
″ → cos sin ← ″ → cos sin ←
------------------------------------------------
이 2중근인 경우 ← 1개의 eigenvector (1개의 미지 상수)
나머지 하나의 해는
≡
⋮
≡
⋮
Page 33
미분방정식 ′ 에 대입하면
′ 이므로
∴
→
모든 에 대해 위 식이 만족되어야 하므로
------------------------------------------------
Ex10) 대각화법 (2중근의 경우)
′
det
∴ (2중근)
인 경우 에서
Page 34
에서 →
∴
←
다른 하나의 해는
→
위 연립방정식은 동일하므로 는 무한한 set가 가능, 간략하
게 하기 위해
로 두면 .
이므로
∴
Page 35
(b) 변수변환법 (variation of parameters)
미분방정식 ′ 해의 기본집합(fundamental set of
solution)이 ⋯인 경우
⋯
로 표현된다. 이는 와 같이 표현할 수 있다. 여기서
⋯ ⋯ ⋮
⋮
⋮⋯
,
⋮
이다. 변수변환법에서는 를 변수로 치환한다. 즉, 대신에
를 정의하여 이를 미분방정식에 대입하여 만족하는 matrix를 구
한다.
⋮
→
여기서 는 비제차 미분방정식 ′ 의 특수해이
다. ′ ′ ′이므로 이를 위 미분방정식에 대입하면
′ ′
Page 36
′ 이고 ′ ′이므로 ′ 이다. 이를
위 식에 대입하면
∴ ′
를 얻는다. 따라서 ′ →
이므로
이고
Ex1) 변수변환법 (Non-homogeneous 미분방정식)
′
제차 미분방정식의 해는
det
∴
인 경우 에서
Page 37
에서 →
∴
←
인 경우 에서
에서 →
∴
←
따라서 homogeneous 해는
∴
←
∵
→
Page 38
Ex2) 변수변환법 (Non-homogeneous 미분방정식)
′
제차 미분방정식의 해는
det
∴
인 경우 에서
에서 →
Page 39
∴ ←
인 경우 에서
에서 →
∴
←
따라서 homogeneous 해는
∴
←
∵
→
Page 40
3. 고계미분방정식을 1계 연립미분방정식으로 변환
′ ″ ⋯
′ ′⋮ ′ ′
Page 41
Ex1) ″′ ′
2계이므로 2개의 변수를 도입: ′
′ ′ , ′ ″
∴ ′′
→ ′
′ → 이므로 경계조건은
Ex2) ″
′ ′ ′ ′ ″
∴ ′′
det
∴
Page 42
인 경우 에서
에서 →
∴ ←
인 경우 에서
에서 →
∴
←
∴
Page 43
Ex2) ″sin ′ 초기조건 ′ ″
→ ′ ′ ′→ ′ ″ ″→ ′ ″′ ″′→ ′ ″sin′
sin
초기조건
→
′ → ″ → ″′ →
′′′′
sin
초기조건