04__Persamaan Kontinuitas (Pendekatan Volume Control)

5/24/2018 04__Persamaan Kontinuitas (Pendekatan Volume Control)

1/22

Misal, penerapan hukum konservasi massa

pada finite control volume di dalam

medan aliran 3-dimensional, 3-directional

dan unsteady.

4.2 Pendekatan Volume Kontrol

Finite Control Volume Formulation

: the integral continuity equation


2/22

CV

x

y

z

control surface area

(Acv)

stream lines

volume (Vcv)


3/22

Pernyataan matematis dari hukum konservasi

massa pada volume control adalah sebagai

berikut;

Rate of mass

flow into

control volume

Rate of mass

flow out of

control volume

Rate of change

of mass stored

in cv

_ =

atau,

cvoutin m

dt

dmm

laju perubahan massa dalam kontrol volume

laju perubahan massa keluar volume kontrol

laju perubahan massa masuk volume kontrol

...................(i)


4/22

Laju perubahan massa dalam volume kontrol

cvV

cv dvm dimanadv = elemen diferensialdalam volume

kontrol

= massa jenis fluidadi pusat dv

...................(ii)

sehingga,

cvV

cv dvdt

dm

dt

d


5/22

Acv

dA

Laju aliran keluar volume kontrol

n

V

VcvdA)permukaan(normalarah

dalamsatuanvektorn

oo

900


6/22

dA

Selang waktu t,

fluida pada dA bergerak keluar volume kontrol menuju dA

dA

d(V)

n

V

Vt

dimana, d(V) = (Vt)cosdA adalah volume fluida yang

telah dialirkan keluar volume kontrol melaui dA menuju

dA dalam selang waktu t.


7/22

d(m)out= (Vt)cosdA

Vdmd out

sehingga,

Jika persamaan dibagi dengan t dan

mengambil limit t0 maka diperoleh,

VcosdAmd

t

mdlimit

out

out

0t

outA

out VcosdAm ..............(iii)


8/22

outA

out dAnVm

oo 900 dimana,

Dalam notasi vektor,

Laju aliran massa masuk volume kontrol

dA

n

V

'

AcvVcv

o'o 900

oo 80190

Misal; aliran massa

masuk volume kontrol

melewati area dA

pada waktu t


9/22

Selang waktu t, fluida pada dA bergerak

masuk volume kontrol menuju ke dA,

dAdA d(V)

n

V

Vt

'

dimana, d(V) = (Vt)cosdA = -(Vt)cosdA adalah

volume semua fluida yang telah dialirkan masuk volume

kontrol melaui dA menuju dA dalam selang waktu t.


10/22

sehingga,

d(m)in= -(Vt)cosdA

Vdmdin

Jika persamaan dibagi dengan t danmengambil limit t0 maka diperoleh,

VcosdAmdt

mdlimit in

in

0t

inA

in VcosdAm ..............(iv)


11/22

inA

in dAnVm

dimana,

Dalam notasi vektor,

oo 08190

Dengan mensubstitusikan (ii),(iii),dan(iv)

ke dalam persamaan (i)maka diperoleh

Persamaan integral untuk konservasimassa (Persamaan Kontinuitas) pada

volume kontrol.


12/22

cvoutin mdt

dmm

cvin out VA A

dVdtdVcosdAVcosdA

atau,

0VcosdAVcosdAdVdtd

out incv A AV ..............(v)

)081(90

oo )90(0

oo

dapat dituliskan;

cvAVcosdA


13/22

sehingga,

0VcosdAdVdtd

cvcv AV

atau,

0dAnVdVdt

d

cvcv AV

..............(vi)


14/22

Contoh soal 3:

Dari contoh soal 1, pada laluan konvergen(aliran steady incompressible, 2-dimensi)

diketahui bahwa,

x1

Y

Y

o

2

o Y

y

1

x

1uu

atau,

2

2

o

2

o

x1

Y

y1

x1uu

dan,

2

2o

o

3

o x1Y

uyyuv


15/22

Buktikan:

Dengan persamaan diferensial untuk

kontinuitas

j

n

0yv

xu

Buktikan juga dengan persamaan integral untuk

kontinuitas akan berlaku.

x

y

uu

Control volume

i

n


16/22

Karena aliran steady

Jawab:

Persamaan integral untuk kontinuitas;

0dAnVdVdt

d

cvcv AV

0dVdt

d

cvV

sehingga,

0dAnV

cvA


17/22

Karena incompressible= konstan

sehingga,

atau,

dimana,

0dAnVdAnV

cvcv AA

0dAnV

cvA

inoutcv AAA

dAnVdAnVdAnV

jviuV

inletuntuki

-

outletuntukin lihat gambar!


18/22

sehingga,

inoutcv AAA

dAi

j

vi

udAi

j

vi

udAnV

inout AA

udAudA

pada outlet, dimana x =

2

Y

x1

YY oo

2

2

o

2

o

x1

Y

y1

x1uu

2o

2

o Y

4y

12uu


19/22

outout A

2

o

2

o

A

dA

Y

4y-12uudA

dimana,

dA = d(wy)= wdy

kedalaman gambar(konstan)


20/22

sehingga,

Y

Y

2

o

2

o

A

dyY

4y-1w2uudA

out

/2Y

/2Y

2

o

2

o

o

o

dyY4y-1w2u

/2Y

/2Y

2

o

3

o

o

o

Y

y

3

4

-yw2u

wYu

3

4udA oo

Aout


21/22

pada inlet, dimana x = 0

oo Yx

1

YY

2

2

o

2

o

x1

Y

y1

x1uu

2o

2

o Y

y1uu

Y

Y

2

o

2

o

A

dAYy-1uudA

in

o

o

Y

Y

2

o

2

o dyY

y

-1wu

o

o

Y

Y

2

o

3

o

Y

y

3

1-ywu

wYu

3

4udA oo

Ain


22/22

Dengan demikian,

inoutcv AAA

udAudAdAnV

wYu3

4

wYu3

4oooo

0dAnV

cvA

Jadi terbukti bahwa untuk aliran steady

incompressible 2-dimensi,

0dAnVdV

dt

d

cvcv AV

04__Persamaan Kontinuitas (Pendekatan Volume Control)

Documents