02 Rafael Isaacs

Un espacio hiperconexo con muchos subespacios

Rafael IsaacsHomenaje a Carlos Ruiz Salguero

Universidad Industrial de Santander

January 24, 2013

Rafael Isaacs El espacio de los discursos

Palabras, codigos y bicodigos

Definicion

2∗ son las palabras (o cadenas) sobre el alfabeto {0, 1}. Masformalmente 2∗ =

⋃∞k=0 2

k donde 2k son las palabras de k letras y20 = {λ} siendo λ la palabra sin letras.2+ = 2∗ − {λ}

Definicion

2Z es el conjunto de funciones f : Z −→ 2 = {0, 1} 2Z con latopologıa producto (tomando 2 con la topologıa discreta) es unade tantas representaciones del famoso y muy importante espaciode Cantor. Hay muchas formas de dar una base a este espacio.Sea f : A −→ 2 una funcion definida sobre A que es unsubconjunto finito de Z, definimos [f ] como el conjunto de todaslas funciones que amplıan f a Z es decir:

[f ] = {g : Z −→ 2| g ⇃A= f }

El conjunto de todas las [f ] forma una base (de abiertos cerrados)Rafael Isaacs El espacio de los discursos

Palabras, codigos y bicodigos

Definicion

2∗ son las palabras (o cadenas) sobre el alfabeto {0, 1}. Masformalmente 2∗ =

⋃∞k=0 2

k donde 2k son las palabras de k letras y20 = {λ} siendo λ la palabra sin letras.2+ = 2∗ − {λ}

Definicion

2Z es el conjunto de funciones f : Z −→ 2 = {0, 1} 2Z con latopologıa producto (tomando 2 con la topologıa discreta) es unade tantas representaciones del famoso y muy importante espaciode Cantor. Hay muchas formas de dar una base a este espacio.Sea f : A −→ 2 una funcion definida sobre A que es unsubconjunto finito de Z, definimos [f ] como el conjunto de todaslas funciones que amplıan f a Z es decir:

[f ] = {g : Z −→ 2| g ⇃A= f }

El conjunto de todas las [f ] forma una base (de abiertos cerrados)Rafael Isaacs El espacio de los discursos

El espacio de los discursos

Definicion

El espacio de los discursos X es el espacio cociente 2Z/ ∼ dondef ∼ g si y solo si existe k ∈ Z tal que para todo z ∈ Z, se tienef (z) = g(z + k).

Los elementos de X, que llamaremos discursos, se deben ver comosucesiones que se extienden indefinidamente tanto a derecha comoa izquierda, sin interesar donde inician. Cada p ∈ X es un conjuntode funciones f ∈ 2Z cada una de ellas es re-presentante de p; quef ∈ p significa que la clase de equivalencia de f es p.


Un discurso

Ejemplo

f ∼ g cuando f (z) = 1 sisi z es impar g = 1− f y por lo tantorepresentan el mismo elemento de X que notaremos01 = 0101 = 01010.

01

10

••

•

•

01

0

1

0

1••

• •

• •0

1•

•


Otros discursos

Ejemplo

Notense las siguientes igualdades:

00 11 01 =(∏0

i=−∞ 0)1 10 = (

0∏

i=−∞

0) 1

∞∏

i=1

10

(∞∏

i=−∞

10

)=

(∏∞i=−∞ 0101

)

00

∞∏

i=0

01i0 = 0∏∞

i=0 001i


La topologıa de X

Definicion

Dada una palabra w ∈ 2∗ digamos w = x1x2 . . . xn decimos que westa en p ∈ X si para todo f ∈ p existe k tal quef (k) = x1; f (k + 1) = x2; . . . ; f (k + n − 1) = xn. Se notara w ⊳ p.

< w >= {p ∈ X| w ⊳ p}

Proposicion

|X| = 2ℵ0 . Ademas, se cumple:

1 X es compacto.

2 Los conjuntos < w > forman una base de X .

3 X es 1-enumerable y 2-enumerable.

4 X es hiperconexo.

5 Cualquier abierto no vacıo es denso en X.

6 Hay elementos (los angeles) que estan en cualquier abierto.


La topologıa de X

Definicion


< w >= {p ∈ X| w ⊳ p}

Proposicion


1 X es compacto.



4 X es hiperconexo.




La topologıa de X

Definicion


< w >= {p ∈ X| w ⊳ p}

Proposicion


1 X es compacto.



4 X es hiperconexo.




La topologıa de X

Definicion


< w >= {p ∈ X| w ⊳ p}

Proposicion


1 X es compacto.



4 X es hiperconexo.




La topologıa de X

Definicion


< w >= {p ∈ X| w ⊳ p}

Proposicion


1 X es compacto.



4 X es hiperconexo.




La topologıa de X

Definicion


< w >= {p ∈ X| w ⊳ p}

Proposicion


1 X es compacto.



4 X es hiperconexo.




La topologıa de X

Definicion


< w >= {p ∈ X| w ⊳ p}

Proposicion


1 X es compacto.



4 X es hiperconexo.




La topologıa de X

Definicion


< w >= {p ∈ X| w ⊳ p}

Proposicion


1 X es compacto.



4 X es hiperconexo.




Ejemplos de abiertos en X

Ejemplo

Un abierto que no es basico: < 10 > ∪ < 01 >= X−{0, 1}.

Ejemplo

Todo abierto que contiene a 0 contiene a 01 mientras que < 01 >es una abierto que contiene a 01 pero que no contiene 0. Por

tanto la topologıa que hereda{0, 01

}es la de Sierpinski donde los

unicos abiertos son: {0, 01

},{01}, ∅

Ejemplo

Sean p = 0, , q = 01, r = 10 y s =∏

i∈Z(0|i |+11|i |+1); en la

topologıa que hereda {p, q, r , s} los abiertos son exactamente:

∅, {p, q, r , s}, {q, r , s}, {q, s}, {r , s}{s},Rafael Isaacs El espacio de los discursos


Ejemplo


Ejemplo





},{01}, ∅

Ejemplo

Sean p = 0, , q = 01, r = 10 y s =∏

i∈Z(0|i |+11|i |+1); en la




Ejemplo


Ejemplo





},{01}, ∅

Ejemplo

Sean p = 0, , q = 01, r = 10 y s =∏

i∈Z(0|i |+11|i |+1); en la




Ejemplo

El conjunto de los discursos de la forma 10n1 para n ∈ N forma unconjunto infinito de discursos cuya topologıa es la discreta puescada abierto basico < 10n1 > contiene unicamente a un discursode estos.

Ejemplo

U =< 101 > ∪ < 1001 > ∪ < 10001 > ∪ . . . es un abierto que noes union finita de basicos y que no es compacto. El complemento

de U es el conjunto{01i0

}i∈N

∪{0, 1, 10, 01

}aquellos p ∈ X en

cuyas representaciones no se encuentran dos 1’s separados porceros, es decir todos los 1’s van en bloque.



Ejemplo

El conjunto de los discursos de la forma 10n1 para n ∈ N forma unconjunto infinito de discursos cuya topologıa es la discreta puescada abierto basico < 10n1 > contiene unicamente a un discursode estos.

Ejemplo

U =< 101 > ∪ < 1001 > ∪ < 10001 > ∪ . . . es un abierto que noes union finita de basicos y que no es compacto. El complemento

de U es el conjunto{01i0

}i∈N

∪{0, 1, 10, 01

}aquellos p ∈ X en

cuyas representaciones no se encuentran dos 1’s separados porceros, es decir todos los 1’s van en bloque.



Ejemplo

< 1 >= X−{0}

< 01 >= X−{0, 1, 10

}

< 11 > ∪ < 00 >= X−{01}


Dinamicas en X

Definicion

Una 2-dinamica G es una pareja G =< V ,E > donde V es unconjunto cuyos elementos son los denominados vertices y

E ⊆ (V × V × 2)

y sus elementos son denominadas aristas (etiquetadas con 0 o 1).Si a = (v1, v2, x) ∈ E esto significa que a es una arista que va dev1 a v2 y esta etiquetada con x ∈ 2 .La 2-dinamica es finita si el conjunto de vertices es finito.GF la 2-dinamica final sera la 2-dinamica con un unico vertice v0 ydos arcos: (v0, v0, 0) y (v0, v0, 1).


Dinamicas en X

Las 2-dinamicas nos sirven para describir ciertos subconjuntos dediscursos de X. Cada camino define una palabra en 2∗. De igualforma al considerar caminos infinitos, que no empiezan niterminan, les podemos asociar discursos de X.

Ejemplo

El siguiente grafo representa a{10110, 10, 0

}.

0

1

1 1

0

0•

• • •

•


Morfismos

Definicion

Si G = (V ,E ) y G ′ = (V ′,E ′) son 2-dinamicas diremos queΓ : V −→ V ′ es un morfismo si se cumple para todo vi , v2 ∈ V :

(v1, v2, x) ∈ E ⇒ (Γ(v1), Γ(v2), x) ∈ E ′

.Si Γ es ademas biyeccion y Γ−1 tambien es morfismo, entonces Γes un isomorfismo y G y G ′ son isomorfos.


Ejemplos de Morfismos

Ejemplo

Sea w ∈ 2∗ una palabra de n letras, digamos w = x1 . . . xn,entonces definimos la 2 dinamica Gw = (V ,R) dondeV = {0, . . . , n} y R = {(i − 1, i , xi )}i = 1, . . . n. Ası las palabrasde 2∗ corresponden a las 2- dinamicas cuyos grafos asociados sonlineales. Gw no es conexa.

Definicion

Si f ∈ 2Z definimos Gf = (Z,Ef ) dondeEf = {(n, n + 1, f (n))}n∈Z.

Proposicion

Sean f , g ∈ 2Z entonces Gf es isomorfo a Gg , si y solo si, f ∼ g.Es mas, cualquier morfismo entre Gf y Gg es un isomorfismo.



Ejemplo


Definicion


Proposicion




Ejemplo


Definicion


Proposicion



Regiones

Definicion

Dada una 2-dinamica G y un discurso en p ∈ X decimos quep ∈ L(G ) si existe un morfismo Γ : Gp −→ G.

Ejemplo

L(Gp) = {p} para todo p ∈ X.

Definicion

Una region de X es cualquier conjunto de la forma L(G ) donde Ges una 2-dinamica finita.


Regiones

Definicion


Ejemplo


Definicion



Regiones

Definicion


Ejemplo


Definicion



Ejemplo de Region

Ejemplo

Se ha visto que A ={01i0

}i∈N

∪{0, 1, 10, 01

}es cerrado. Pues

bien, este conjunto es L(G ) cuando G es la 2-dinamica de la figuray por tanto A es una region de X.

• • •0

1

0 0 0


G [∗]

Definicion

Dada una 2-dinamica G = (E ,V ) se define recursivamente Li ,j(G )para cualesquier vi , vj ∈ V : Siendo vi , vj , vk ∈ V

i) λ ∈ Li ,i

ii) Si (vi , vj , x) ∈ R entonces x ∈ Li ,j

iii) Si w ∈ Li ,j y (vj , vk , x) ∈ R entonces wx ∈ Li ,k

Tambien se define: G [∗] =⋃

vi ,vj∈VLi ,j(G )

Proposicion

Sea G es una 2-dinamica, w ∈ 2∗ y p ∈ X se tiene:

i) w ⊳ p si y solo si existe un morfismo Γ : Gw −→ Gp

ii) w ∈ G [∗] si y solo si existe un morfismo Γ : Gw −→ G


G [∗]

Definicion


i) λ ∈ Li ,i




vi ,vj∈VLi ,j(G )

Proposicion





G [∗]

Definicion


i) λ ∈ Li ,i




vi ,vj∈VLi ,j(G )

Proposicion





G [∗]

Definicion


i) λ ∈ Li ,i




vi ,vj∈VLi ,j(G )

Proposicion





G [∗]

Definicion


i) λ ∈ Li ,i




vi ,vj∈VLi ,j(G )

Proposicion





G [∗]

Definicion


i) λ ∈ Li ,i




vi ,vj∈VLi ,j(G )

Proposicion





G [∗]

Definicion


i) λ ∈ Li ,i




vi ,vj∈VLi ,j(G )

Proposicion





w ∈ 2+ ⇐⇒ (w ⊳ p ⇒ w ∈ G [∗])

Proposicion

Sea G una 2-dinamica finita. Un discurso p ∈ X esta en L(G ) sisipara todo w ∈ 2+ se tiene que w ⊳ p implica w ∈ G [∗].


w ∈ 2+ ⇐⇒ (w ⊳ p ⇒ w ∈ G [∗])

Proof.

Sea p ∈ X tal que {w ∈ 2+ | w ⊳ p} ⊆ G [∗] y sea {xi}i∈Z ∈ p.Construimos un arbol ası:

T

w1 = x0x1x0 x1vi vj

wn+1 = x−nwnxn+1

vivj

v ′

kv′

l v ′

k v ′

l. . .wn+1


w ∈ 2+ ⇐⇒ (w ⊳ p ⇒ w ∈ G [∗])

Proof.


T

w1 = x0x1x0 x1vi vj

wn = x−n+1 . . . xn

wn+1 = x−nwnxn+1

vivj

v ′

kv′

l v ′

k v ′

l. . .wn+1


w ∈ 2+ ⇐⇒ (w ⊳ p ⇒ w ∈ G [∗])

Proof.


T

w1 = x0x1x0 x1vi vj

wn = x−n+1 . . . xn

wn+1 = x−nwnxn+1

vivj

v ′

kv′

l

vk vl. . .wn

v ′

k v ′

l. . .wn+1


w ∈ 2+ ⇐⇒ (w ⊳ p ⇒ w ∈ G [∗])

Proof.


T

w1 = x0x1x0 x1vi vj

wn = x−n+1 . . . xn

wn+1 = x−nwnxn+1

vivj

vkvl

v ′

kv′

l

vk vl. . .wn

v ′

k v ′

l. . .wn+1

Ası el arbol construido T es infinito de ramificacion finita y por elLema de Konig tiene caminos infinitos, por nuestra construccionestos caminos son necesariamente “aceptaciones” de p en L(G ).


Las regiones son cerradas

Corolario

Las regiones de X son conjuntos cerrados.

Proof.

Si p /∈ L(G ) existe w ⊳ p tal que w /∈ G [∗] entonces p ∈< w > y< w > ∩L(G ) = ∅

Pregunta

¿Son todos los cerrados regiones?



Corolario


Proof.


Pregunta




Corolario


Proof.


Pregunta



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