This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Τα εισαγωγικά κεφάλαια των παρακάτω βιβλίων αποτελούν μέρος μόνο τηςπλούσιας διαθέσιμης βιβλιογραφίας που υπάρχει για τα θέματα που θίγονται σταεπόμενα.
J. Mardsen & A. TrombaJ. Mardsen & A. Tromba: ΔιανυσματικόςΔιανυσματικός ΛογισμόςΛογισμός (Vector Calculus)(Vector Calculus), 3rd Edition, Απόδοση στα Ελληνικά Α. Γιαννόπουλος, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης(1992) ISBN: 978‐9607309457.
Susan J. Colley: Susan J. Colley: Vector CalculusVector Calculus, Pearson 4th Edition (2011) ISBN: 978‐0321780652.
Adrian Banner: Adrian Banner: The Calculus LifesaverThe Calculus Lifesaver, Princeton University Press, 1st Edition (2007) ISBN: 978‐0691130880.
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 2
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ
Το σημείο P του επιπέδου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας r και της γωνίας θ: P(r,P(r,θθ))
Εάν η συνάρτηση έχει περισσότερες μεταβλητές {x1, x2, … xi … xn}, τότε η μερικήμερική παράγωγοςπαράγωγος τηςσυνάρτησης αυτής ωςως προςπρος μιαμια μεταβλητήμεταβλητή xxii ορίζεται ως το όριο:
Δηλαδή, ελέγχεται η μεταβολήμεταβολή της συνάρτησης f μόνομόνο ωςως προςπρος τηντην μεταβλητήμεταβλητή xxii , , θεωρώνταςόλες τις άλλες μεταβλητές της σταθερές.
dφΌταν η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα uT αλλάζειαλλάζεικατεύθυνσηκατεύθυνση, , οπότε χρειάζεται ναυπολογισθεί η παράγωγός του ως προςτον χρόνο.
Στο αντίστοιχο κεφάλαιο της ΚινηματικήςΚινηματικής θα αποδειχθεί πως
όπου το μοναδιαίο διάνυσμα uN είναι κάθετο στην εφαπτομενική διεύθυνση τηςτροχιάς και ρρ η ακτίνα καμπυλότητας.
Η έννοια της παραγώγισης ενός βαθμωτού ή διανυσματικού πεδίου στον χώροδιευκολύνεται με την εισαγωγή του τελεστή (ΑνάδελταΑνάδελτα ή NablaNabla), ο οποίος ορίζεταιως:
∇
Διακρίνονται οι τρεις παρακάτω περιπτώσεις, ανάλογα με το εάν το πεδίο (η συνάρτηση) στο οποίο ο τελεστής αυτός επιδρά είναι βαθμωτό ή διανυσματικό:
Η απόκλισηαπόκλιση ((divergence) divergence) ενός διανυσματικού πεδίου είναιβαθμωτόβαθμωτό μέγεθος. Προσομοιώνει την ροήροή υποθετικούρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτονταςπως το διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζειτην ταχύτηταταχύτητα του ρευστού.
Στο παράδειγμα αυτό έχουμε σταθερήσταθερή ((θετικήθετική) ) ροήροή ((εκροήεκροή) ) σε κάθε σημείο του χώρου.
Η απόκλισηαπόκλιση ((divergence) divergence) ενός διανυσματικού πεδίου είναιβαθμωτόβαθμωτό μέγεθος. Προσομοιώνει την ροήροή υποθετικούρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτονταςπως το διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζειτην ταχύτηταταχύτητα του ρευστού.
Στο παράδειγμα αυτό έχουμε μηδενικήμηδενική ροήροή σε κάθε σημείοτου χώρου (το ρευστό μόνο στροβιλίζεται).
Η στροβιλισμόςστροβιλισμός ((curl) curl) ενός διανυσματικού πεδίου είναι διανυσματικόδιανυσματικό μέγεθος. Δείχνειτον στροβιλισμόστροβιλισμό υποθετικού ρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτοντας πωςτο διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζει την ταχύτηταταχύτητα του ρευστού.
Όταν ένα διανυσματικό πεδίο έχει μηδενικόμηδενικό στροβιλισμόστροβιλισμό αποκαλείται αστρόβιλοαστρόβιλο πεδίοπεδίο.
Ένας πρακτικός τρόπος για να βρεθεί ο στροβιλισμός ενός πεδίου σε κάποιο σημείο τουείναι να μελετηθεί η στροφικήστροφική κίνησηκίνηση υποθετικού επίπεδου δίσκουδίσκου φερόμενου στο σημείοαυτό.
Σχηματικό παράδειγμα κίνησης ενός κλαδιού δέντρου στο υδάτινο ρεύμα μιαςλίμνης. Το κλαδί ακολουθεί την πορεία που καθορίζει το διάνυσμα τηςταχύτητας του ρευστού στην επιφάνεια της λίμνης. Εάν ο προσανατολισμός τουκλαδιού δεν αλλάζει (αριστερά), τότε δεν υπάρχει στροβιλισμός στο πεδίο τωνταχυτήτων (curlF=0). Στην αντίθετη περίπτωση ύπαρξης στροβιλισμού (δεξιά), το κλαδί πέραν από την μεταφορική εκτελεί και περιστροφική κίνηση.