01-Pengenalan Vektor - Anny Yuniarti @ Teknik Informatika ITS | …anny.if.its.ac.id/wp-content/uploads/alin2011/01-Pengenalan Vektor.pdf · Kombinasi Linier Vektor 3D (3) •Jawaban:

01-Pengenalan Vektor

Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc

Gasal 2011-2012

Anny2011 1

Agenda

• Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier

• Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian Titik (Dot Products)

• Bagian 3: Matriks

Anny2011 2

VEKTOR DAN KOMBINASI LINIER

Bagian 1

Anny2011 3

Pendahuluan

• Inti dari aljabar linier ada pada dua operasi vektor

• Penjumlahan vektor: v + w

• Perkalian skalar dengan vektor: cv dan dw

• Gabungan dua operasi diatas disebut kombinasi linier: cv + dw

Anny2011 4

Kombinasi Linier

• Berapa nilai kombinasi linier cv + dw jika c = d = 1?

• Bagaimana jika c = 2, d = 1?

Anny2011 5

Vektor (1)

• Vektor kolom:

• Penulisan vektor: miring tebal, komponen vektor: miring tipis

• Penjumlahan vektor:

Anny2011 6

Vektor (1)

• Perkalian vektor dengan skalar:

• Berapa –v + v ?

Anny2011 7

Representasi Vektor (2D)

• Dua angka

• Panah dari (0,0)

• Titik di sebuah bidang

Anny2011 8

Vektor 3-Dimensi

• Memiliki 3 komponen

• Contoh:

• Ganti bidang datar xy dengan ruang 3 dimensi:

Anny2011 9

Tapi ini bukan vektor baris v = [1 1 -1]

Kombinasi Linier Vektor 3D (1)

• Contoh:

• Short Quizzes – What is the picture of all combinations cu ?– What is the picture of all combinations cu + dv ?– What is the picture of all combinations cu + dv + ew ?

Anny2011 10

• Jika u, v, dan w bukan zero vector:– The combinations cu fill a line.– The combinations cu + dv fill a plane.– The combinations cu + dv + ew fill 3D space.


• Contoh Soal: – Kombinasi linier v = (1, 1, 0) dan w = (0, 1, 1)

membentuk sebuah bidang datar.

– Jelaskan bidang datar yang terbentuk tsb.

– Berikan sebuah contoh vektor yang bukan merupakan kombinasi v dan w.

Anny2011 11


• Jawaban:– Kombinasi cv + dw membentuk bidang datar di ruang R3.

– Contoh vektor yang berada pada bidang tersebut adalah (0, 0, 0), (2, 3, 1), (5, 7, 2), dan (π, 2π, π).

– Komponen kedua = komponen pertama + komponen ketiga

– Contoh vektor yang tidak berada pada bidang cv + dw adalah (1, 2, 3)

Anny2011 12

Kombinasi Linier Vektor (1)

• Contoh Soal:– Tentukan dua persamaan untuk dua variabel

yang tidak diketahui c dan d sehingga kombinasi linier cv + dw sama dengan vektor b:

Anny2011 13

Kombinasi Linier Vektor (2)

• Jawaban:– Persamaan vektor:

– Persamaan untuk menentukan nilai c dan d:• 2c – d = 1

• -c + 2d = 0

– Solusi: c = 2/3, d = 1/3.

Anny2011 14

PANJANG VEKTOR DAN PERKALIAN TITIK (DOT PRODUCTS)

Bagian 2

Anny2011 15

Perkalian Titik

• Juga disebut dot product atau inner product

• Perkalian titik vektor v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) adalah nilai v · w :

• Contoh: Nilai perkalian titik vektor v = (4, 2) dan w = (-1, 2) adalah 0.

• Dua vektor saling tegak lurus jika nilai perkalian titiknya = 0.

Anny2011 16

Panjang Vektor

• Panjang vektor v adalah akar kuadrat dari v · v

• Contoh: jika v = (1, 2, 3) maka v · v = 1 + 4 + 9 = 14, sehingga panjang vektor v :

Anny2011 17

Vektor Unit

• Vektor unit u adalah vektor yang panjangnya = 1, sehingga u · u = 1.

• Contoh:

• Semua vektor nonzero v jika dibagi dengan panjangnya ||v|| akan menghasilkan vektor unit.

Anny2011 18

Sudut Antara Dua Vektor

• v · w = 0 v tegak lurus dengan w

• v · w > 0 sudut antara v dan w < 90

• v · w < 0 sudut antara v dan w > 90

• Rumus COS

Anny2011 19


• Contoh Soal: Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3).1. Tunjukkan kebenaran Schwarz Inequality

dan Triangle Inequality2. Hitung berapa nilai cos Θ (Θ = sudut

antara vektor v dan w)3. Tentukan vektor unit u yang searah

dengan v4. Tentukan vektor unit U yang tegak lurus

dengan u

Anny2011 20


• Jawab: Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3).v•w = 12 + 12 = 24. Panjang v dan w: ||v|| = 5, ||w|| = 5.v+w = (7,7), panjangnya: ||v+w|| = 7√2.1. Schwarz Inequality: |v•w| ≤ ||v|| ||w||

24 ≤ 25 Schwarz InequalityTriangle Inequality: ||v+w|| ≤ ||v||+||w||7√2 ≤ 10 Triangle Inequality

2. cos Θ = 24/25.3. u = v/||v|| = (3/5, 4/5).4. Vektor yang tegak lurus dengan v: V = (-4, 3).

Vektor unit yang tegak lurus dengan u: U = V/||V|| = (-4/5, 3/5)

Anny2011 21

Perintah di MATLAB

• Input v dan w dalam satu baris, lalu gunakan tanda ‘ untuk mengubahnya dalam satu kolom. Contoh:v = [2 3 4]’; w = [1 1 1]’; u = 2 * v + 3 * w

• Perkalian titik (dot product) umumnya menggunakan perkalian baris dengan kolom

Anny2011 22

Perintah di MATLAB

• Panjang vektor v norm(v)

• Rumus cos

• PR: Buatlah sebuah file .m yang berisi fungsi cosine(v, w) untuk menghitung cos θ dan sudut θ.

Anny2011 23

MATRIKSBagian 3

Anny2011 24

Kombinasi Vektor Menggunakan Matriks (1)

• Diketahui tiga vektor u, v, w sbb:

• Kombinasi linier dalam ruang 3D: cu + dv+ ew :

Anny2011 25

Kombinasi Vektor Menggunakan Matriks (2)

• Kombinasi linier diatas dapat ditulis ulang menjadi:

Anny2011 26

• Ax = kombinasi linier b dari kolom-kolom pada matriks A.

Persamaan Linier

• Jika sebelumnya dicari hasil kombinasi linier x1u + x2v + x3w, dinotasikan dengan b

• Maka pada persamaan linier yang dicari adalah nilai x1, x2, x3, sedemikian hingga nilai kombinasi liniernya = b

Anny2011 27

Persamaan Linier

• Contoh:

• Persamaan diatas dapat diselesaikan urut dari atas ke bawah dikarenakan matriks A bersifat lower triangular

Anny2011 28

Persamaan Linier

• Bila nilai b = (0, 0, 0), berapa nilai x ?• Jawab: x = (0, 0, 0)

• Bila nilai b = (1, 3, 5), berapa nilai x ?• Jawab: x = (1, 4, 9)

• Matriks A disebut invertible, karena dari b dapat diperoleh nilai x

Anny2011 29

Matriks Invers

• Persamaan diatas dapat dipecahkan dengan:

• Untuk setiap b terdapat satu solusi untuk Ax = b.• Terdapat sebuah matriks S sedemikian hingga x =

Sb.• Dalam aljabar linier, notasi untuk matriks invers

adalah A-1.

Anny2011 30

Persamaan Linier

• Contoh 2:

• Kombinasi linier vektor u, v, dan w* membentuk matriks C :

• Matriks C diatas bukan termasuk triangular. • Solusi persamaan Cx = b tidak ada atau tak

terhingga, misal untuk b = (0, 0, 0):

Anny2011 31

Persamaan Linier

• Misal untuk b = (1, 3, 5):

• Tidak ada solusi untuk pers. linier Cx = b

Anny2011 32

Independen dan Dependen

• Contoh 1: vektor u, v, dan w

• Contoh 2: vektor u, v, dan w*

• Independen vektor w tidak berada di bidang uv

• Dependen vektor w* berada di bidang uv

• Vektor w* adalah kombinasi linier u dan v

Anny2011 33

Independen dan Dependen

• Pada matriks, vektor menjadi kolom.

• Untuk vektor dimensi n sebanyak n, akan membentuk matriks n x n.

• Kolom-kolom matriks yang independen: – Ax = 0 memiliki satu solusi. – A disebut matriks invertible.

• Kolom-kolom matriks yang dependen: – Ax = 0 memiliki banyak solusi. – A disebut matriks singular.

Anny2011 34

Contoh Soal

• Diketahui matriks A: . Tentukan solusi vektor x dari Ax = b untuk sembarang nilai b.

Anny2011 35

111

011

001

Contoh Soal

• Solusi dari atas ke bawah:– x1 = b1

– x2 = b1 + b2

– x3 = b2 + b3

• Ini berarti:

Anny2011 36

Latihan Pertemuan 1

• Chapter 1.1– Problem 5, 6

• Chapter 1.2– Problem 1, 2, 5, 7, 8

• Chapter 1.3– Problem 1, 3, 6

Anny2011 37

01-Pengenalan Vektor - Anny Yuniarti @ Teknik Informatika ITS | …anny.if.its.ac.id/wp-content/uploads/alin2011/01-Pengenalan Vektor.pdf · Kombinasi Linier Vektor 3D (3) •Jawaban:

Documents