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U N I D A D I I
PRUEBA DE HIPOTESIS
Las secciones anteriores han mostrado cmo puede estimarse un
parmetro apartir de los datos contenidos en una muestra. Puede
encontrarse ya sea unslo nmero (estimador puntual) o un intervalo
de valores posibles (intervalo deconfianza). Sin embargo, muchos
problemas de ingeniera, ciencia, yadministracin, requieren que se
tome una decisin entre aceptar o rechazaruna proposicin sobre algn
parmetro. Esta proposicin recibe el nombre dehiptesis. Este es uno
de los aspectos ms tiles de la inferencia estadstica,puesto que
muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas
oexperimentos en el mundo de la ingeniera, pueden formularse como
problemasde prueba de hiptesis.
Una hiptesis estadstica es una proposicin o supuesto sobre los
parmetrosde una o ms poblaciones.
Suponga que se tiene inters en la rapidez de combustin de un
agentepropulsor slido utilizado en los sistemas de salida de
emergencia para latripulacin de aeronaves. El inters se centra
sobre la rapidez de combustinpromedio. De manera especfica, el
inters recae en decir si la rapidez decombustin promedio es o no 50
cm/s. Esto puede expresarse de manera formalcomo
Ho; m = 50 cm/sH1; m 50 cm/s
La proposicin Ho; m = 50 cm/s, se conoce como hiptesis nula ,
mientras quela proposicin H1; m 50 cm/s, recibe el nombre de
hiptesis alternativa.Puesto que la hiptesis alternativa especifica
valores de m que pueden sermayores o menores que 50 cm/s, tambin se
conoce como hiptesisalternativa bilateral. En algunas situaciones,
lo que se desea es formular unahiptesis alternativa unilateral,
como en
Ho; m = 50 cm/s Ho; m = 50 cm/s
H1; m < 50 cm/s H1; m > 50 cm/s
Es importante recordar que las hiptesis siempre son
proposiciones sobre lapoblacin o distribucin bajo estudio, no
proposiciones sobre la muestra. Por logeneral, el valor del
parmetro de la poblacin especificado en la hiptesis nulase
determina en una de tres maneras diferentes:
1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del
conocimiento delproceso, entonces el objetivo de la prueba de
hiptesis usualmente esdeterminar si ha cambiado el valor del
parmetro.
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2. Puede obtenerse a partir de alguna teora o modelo que se
relaciona con elproceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de
la prueba de hiptesis esverificar la teora o modelo.
3. Cuando el valor del parmetro proviene de consideraciones
externas, talescomo las especificaciones de diseo o ingeniera, o de
obligacionescontractuales. En esta situacin, el objetivo usual de
la prueba de hiptesises probar el cumplimiento de las
especificaciones.
Un procedimiento que conduce a una decisin sobre una hiptesis en
particularrecibe el nombre de prueba de hiptesis . Los
procedimientos de prueba dehiptesis dependen del empleo de la
informacin contenida en la muestraaleatoria de la poblacin de
inters. Si esta informacin es consistente con lahiptesis, se
concluye que sta es verdadera; sin embargo si esta informacines
inconsistente con la hiptesis, se concluye que esta es falsa. Debe
hacersehincapi en que la verdad o falsedad de una hiptesis en
particular nunca puedeconocerse con certidumbre, a menos que pueda
examinarse a toda la poblacin.Usualmente esto es imposible en
muchas situaciones prcticas. Por tanto, esnecesario desarrollar un
procedimiento de prueba de hiptesis teniendo encuenta la
probabilidad de llegar a una conclusin equivocada.
La hiptesis nula, representada por Ho, es la afirmacin sobre una
o mscaractersticas de poblaciones que al inicio se supone cierta
(es decir, lacreencia a priori).
La hiptesis alternativa, representada por H1, es la afirmacin
contradictoria aHo, y sta es la hiptesis del investigador.
La hiptesis nula se rechaza en favor de la hiptesis alternativa,
slo si laevidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra
no contradicedecididamente a Ho, se contina creyendo en la validez
de la hiptesis nula.Entonces, las dos conclusiones posibles de un
anlisis por prueba de hiptesisson rechazar Ho o no rechazar Ho.
Prueba de una Hiptesis Estadstica
Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema de
la rapidez decombustin del agente propulsor presentado con
anterioridad. La hiptesis nulaes que la rapidez promedio de
combustin es 50 cm/s, mientras que la hiptesisalternativa es que
sta no es igual a 50 cm/s. Esto es, se desea probar:
Ho; m = 50 cm/sH1; m 50 cm/s
Supngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10
especmenes, yque se observa cual es la rapidez de combustin
promedio muestral. La media
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muestral es un estimador de la media verdadera de la poblacin.
Un valor de lamedia muestral x que este prximo al valor hipottico m
= 50 cm/s es unaevidencia de que el verdadero valor de la media m
es realmente 50 cm/s; estoes, tal evidencia apoya la hiptesis nula
Ho. Por otra parte, una media muestralmuy diferente de 50 cm/s
constituye una evidencia que apoya la hiptesisalternativa H1. Por
tanto, en este caso, la media muestral es el estadstico
deprueba.
La media muestral puede tomar muchos valores diferentes.
Supngase que si48.5 x 51.5, entonces no se rechaza la hiptesis nula
Ho; m = 50 cm/s, y que six 51.5, entonces se acepta la hiptesis
alternativa H1; m 50 cm/s.Los valores de x que son menores que 48.5
o mayores que 51.5 constituyen laregin crtica de la prueba,
mientras que todos los valores que estn en elintervalo 48.5 x 51.5
forman la regin de aceptacin. Las fronteras entre lasregiones
crtica y de aceptacin reciben el nombre de valores crticos.
Lacostumbre es establecer conclusiones con respecto a la hiptesis
nula Ho. Portanto, se rechaza Ho en favor de H1 si el estadstico de
prueba cae en la regincrtica, de lo contrario, no se rechaza
Ho.
Este procedimiento de decisin puede conducir a una de dos
conclusioneserrneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero
de la rapidez promediode combustin del agente propulsor sea igual a
50 cm/s. Sin embargo, paratodos los especmenes bajo prueba, bien
puede observarse un valor delestadstico de prueba x que cae en la
regin crtica. En este caso, la hiptesisnula Ho ser rechazada en
favor de la alternativa H1cuando, de hecho, Ho enrealidad es
verdadera. Este tipo de conclusin equivocada se conoce comoerror
tipo I.
El error tipo I se define como el rechazo de la hiptesis nula Ho
cuando sta esverdadera. Tambin es conocido como a nivel de
significancia.
Si tuviramos un nivel de confianza del 95% entonces el nivel de
significanciasera del 5%. Anlogamente si se tiene un nivel de
confianza del 90% entoncesel nivel de significancia sera del
10%.
Ahora supngase que la verdadera rapidez promedio de combustin es
diferentede 50 cm/s, aunque la media muestral x caiga dentro de la
regin de aceptacin.En este caso se acepta Ho cuando sta es falsa.
Este tipo de conclusin recibeel nombre de error tipo II.
El error tipo II error b se define como la aceptacin de la
hiptesis nulacuando sta es falsa.
Por tanto, al probar cualquier hiptesis estadstica, existen
cuatro situacionesdiferentes que determinan si la decisin final es
correcta o errnea.
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Decisin Ho es verdadera Ho es falsaAceptar Ho No hay error Error
tipo II b
Rechazar Ho Error tipo I a No hay error
1. Los errores tipo I y tipo II estn relacionados. Una
disminucin en laprobabilidad de uno por lo general tiene como
resultado un aumento en laprobabilidad del otro.
2. El tamao de la regin crtica, y por tanto la probabilidad de
cometer un errortipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o
los valores crticos.
3. Un aumento en el tamao muestral n reducir a y b de forma
simultnea.4. Si la hiptesis nula es falsa, b es un mximo cuando el
valor real del
parmetro se aproxima al hipottico. Entre ms grande sea la
distancia entreel valor real y el valor hipottico, ser menor b.
PASOS PARA ESTABLECER UN ENSAYO DE HIPOTESISINDEPENDIENTEMENTE
DE LA DISTRIBUCION QUE SE ESTE TRATANDO
1. Interpretar correctamente hacia que distribucin muestral se
ajustan los datosdel enunciado.
2. Interpretar correctamente los datos del enunciado
diferenciando losparmetros de los estadsticos. As mismo se debe
determinar en este puntoinformacin implcita como el tipo de
muestreo y si la poblacin es finita oinfinita.
3. Establecer simultneamente el ensayo de hiptesis y el
planteamiento grficodel problema. El ensayo de hiptesis est en
funcin de parmetros ya quese quiere evaluar el universo de donde
proviene la muestra. En este punto sedetermina el tipo de ensayo
(unilateral o bilateral).
4. Establecer la regla de decisin. Esta se puede establecer en
funcin del valorcrtico, el cual se obtiene dependiendo del valor de
a (Error tipo I o nivel designificancia) o en funcin del estadstico
lmite de la distribucin muestral.Cada una de las hiptesis deber ser
argumentada correctamente paratomar la decisin, la cual estar en
funcin de la hiptesis nula o Ho.
5. Calcular el estadstico real, y situarlo para tomar la
decisin.
6. Justificar la toma de decisin y concluir.
Tipos de EnsayoSe pueden presentar tres tipos de ensayo de
hiptesis que son: Unilateral Derecho Unilateral Izquierdo
Bilateral
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Dependiendo de la evaluacin que se quiera hacer se seleccionar
el tipo deensayo.
Unilateral Derecho. El investigador desea comprobar la hiptesis
de unaumento en el parmetro, en este caso el nivel de significancia
se carga todohacia el lado derecho, para definir las regiones de
aceptacin y de rechazo.
Ensayo de hiptesis:
Ho; Parmetro xH1; Parmetro > x
Parmetro = x Unilateral Izquierdo: El investigador desea
comprobar la hiptesis de una
disminucin en el parmetro, en este caso el nivel de
significancia se cargatodo hacia el lado izquierdo, para definir
las regiones de aceptacin y derechazo.Ensayo de hiptesis:
Ho; Parmetro xH1; Parmetro < x
Parmetro = x
Bilateral: El investigador desea comprobar la hiptesis de un
cambio en elparmetro. El nivel de significancia se divide en dos y
existen dos regionesde rechazo.Ensayo de hiptesis:
Ho; Parmetro = xH1; Parmetro x
Parmetro = xPara realizar los ejemplos y ejercicios de ensayo de
hiptesis se recomiendaseguir los pasos mencionados anteriormente.
Los ejemplos siguientes sesolucionarn por los pasos recomendados,
tenindose una variedad deproblemas en donde se incluirn a todas las
distribuciones muestrales que sehan visto hasta aqu.
Ejemplos:
a
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
a
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
Ho
a/2
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1 H1
Regin deRechazo
a/2
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1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados
Unidos el aopasado muestra una vida promedio de 71.8 aos. Suponga
una desviacinestndar poblacional de 8.9 aos, esto parece indicar
que la vida media hoyen da es mayor que 70 aos? Utilice un nivel de
significancia de 0.05.
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de medias con
desviacin estndar
conocida.2. Datos:
m=70 aoss = 8.9 aosx = 71.8 aosn = 100a = 0.05
3. Ensayo de hiptesisHo; m = 70 aos.H1; m > 70 aos.
4. Regla de decisin:Si zR 1.645 no se rechaza Ho.Si zR> 1.645
se rechaza Ho.
5. Clculos:
02.2
1009.8
708.71=
-=
-=
n
xZ RR s
m
6. Justificacin y decisin.Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se
concluye con un nivel de significanciadel 0.05 que la vida media
hoy en da es mayor que 70 aos.
Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la
decisin en base alestadstico real, en este caso la media de la
muestra. De la formula de ladistribucin muestral de medias se
despeja la media de la muestra:
n
xZ LL s
m-= 46.71
100)9.8)(645.1(
70 =+=+=n
Zx lL
sm
ZL = 1.645m = 70
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
46.71=Lxm = 70
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
-
58
Regla de decisin:Si Rx 71.46 No se rechaza HoSi Rx > 71.46 Se
rechaza Ho
Como la media de la muestral es de 71.8 aos y es mayor al valor
de la mediamuestral lmite de 71.46 por lo tanto se rechaza Ho y se
llega a la mismaconclusin.
2. Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que
sedistribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800
horas yuna desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra aleatoria
de 30 focostiene una duracin promedio de 788 horas, muestran los
datos suficienteevidencia para decir que la duracin media ha
cambiado? Utilice un nivel designificancia del 0.04.
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de medias con
desviacin estndar
conocida.
2. Datos:m=800 horass = 40 horasx = 788 horasn = 30a = 0.04
3. Ensayo de hiptesisHo; m = 800 horasH1; m 800 horas
4. Regla de Decisin:Si 2.052 ZR 2.052 No se rechaza HoSi ZR <
-2.052 si ZR > 2.052 Se rechaza Ho
5. Clculos:
643.1
3040
800788-=
-=
-=
n
xZ RR s
m
6. Justificacin y decisin:
ZL= -2.052 m = 800
Ho
a/2 = 0.02
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.02
ZL= 2.052
-
59
Como 2.052 -1.643 2.052 por lo tanto, no se rechaza Ho y se
concluyecon un nivel de significancia del 0.04 que la duracin media
de los focos noha cambiado.
Solucin por el otro mtodo:
===30
)40)(052.2(800
nZ
x lLs
m 785.02 y 814.98
Regla de decisin:Si 785.02 Rx 814.98 No se rechaza HoSi Rx <
785.02 Rx > 814.98 se rechaza Ho
Como la Rx = 788 horas, entonces no se rechaza Ho y se concluye
que laduracin media de los focos no ha cambiado.
3. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maz pesan,
en pomedio5.23 onzas con una desviacin estndar de 0.24 onzas.
Pruebe la hiptesisde que m = 5.5 onzas contra al hiptesis
alternativa, m < 5.5 onzas en el nivelde significamcia de
0.05.
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de medias con
desviacin estndar
desconocida, pero como el tamao de muestra es mayor a 30 se
puedetomar la desviacin muestral como un estimador puntual para la
poblacional.
2. Datos:m= 5.5 onzass= 0.24 onzasx = 5.23 onzasn = 64a =
0.05
3. Ensayo de hiptesisHo; m = 5.5 onzasH1; m < 5.5 onzas
ZL= -1.645
02.785=Lx m = 800
Ho
a/2 = 0.02
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.02
98.814=Lx
m = 5.5
Ho
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1
-
60
4. Regla de decisin:Si ZR -1.645 No se rechaza HoSi ZR <
-1.645 Se rechaza Ho
5. Clculos:
9
6424.0
5.523.5-=
-=
-=
n
xZ RR s
m
6. Justificacin y decisin:Como 9 < -1.645 por lo tanto se
rechaza Ho y se concluye con un nivel designificancia del 0.05 que
las bolsas de palomitas pesan en promedio menosde 5.5 onzas.
Solucin por el otro mtodo:
45.564
)24.0)(645.1(5.5 =-=-=
nZ
x lLs
m
Regla de decisin:Si Rx 5.45 No se Rechaza HoSi Rx < 5.45 Se
rechaza Ho
Como la Rx = 5.23 y este valor es menor que 5.45 pot lo tanto se
rechaza Ho.
4. Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70%
de todas lascasas que se construyen hoy en da en la ciudad de
Richmond. Estara deacuerdo con esta afirmacin si una investigacin
de casas nuevas en estaciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas
bombas de calor? Utilice unnivel de significancia de 0.10.
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de
proporciones.2. Datos:
P= 0.70p = 8/15 = 0.5333n = 15a = 0.10
45.5=Lx m = 5.5
Ho
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1
-
61
3. Ensayo de hiptesisHo; P = 0.70H1; P 0.70
4. Regla de Decisin:Si 1.645 ZR 1.645 No se rechaza HoSi ZR <
-1.645 si ZR > 1.645 Se rechaza Ho
5. Clculos:
41.1
15)30.0)(70.0(
70.0533.0-=
-=
-=
nPq
PpZR
6. Justificacin y decisin:Como 1.645 -1.41 1.645 No se rechaza
Ho y se concluye con un nivel designificancia de 0.10 que la
afirmacin del constructor es cierta.
Solucin por el otro mtodo:
15)30.0)(70.0(
645.170.0 ==n
PqzPp LL = 0.505 y 0.894
Regla de decisin:Si 0.505 pR 0.894 No se rechaza HoSi pR <
0.505 si ZR > 0.894 Se rechaza Ho
Como el valor del estadstico real es de 0.533 por lo tanto no se
rechaza Ho y sellega a la misma conclusin.
5. Un fabricante de semiconductores produce controladores que se
emplean enaplicaciones de motores automovilsticos. El cliente
requiere que la fraccinde controladores defectuosos en uno de los
pasos de manufactura crticos nosea mayor que 0.05, y que el
fabricante demuestre esta caracterstica delproceso de fabricacin
con este nivel de calidad, utilizando a = 0.05. El
ZL= -1.645 P = 0.70
Ho
a/2 = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1 H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.05
ZL= 1.645
pL= 0.505 P = 0.70
Ho
a/2 = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.05
pL= 0.894
-
62
fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de
200dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. El
fabricantepuede demostrar al cliente la calidad del proceso?
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de
proporciones.
2. Datos:P= 0.05p = 4/200 = 0.02n = 200a = 0.05
3. Ensayo de hiptesisHo; P = 0.05H1; P < 0.05
4. Regla de decisin:Si ZR -1.645 No se rechaza HoSi ZR <
-1.645 Se rechaza Ho
5. Clculos:
946.1
200)95.0)(05.0(
05.002.0-=
-=
-=
nPq
PpZR
6. Justificacin y decisin:Puesto que 1.946
-
63
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de
medias con desviacin
estndar conocida.
2. Datos:s1=s2= 8
min112min121
2
1
==
xx
n1=n2= 10a = 0.05
3. Ensayo de hiptesisHo; m1-m2 = 0H1; m1-m2 > 0 Se desea
rechazar Ho si el nuevo ingrediente disminuye eltiempo promedio de
secado, por eso se pone la diferencia mayor a cero osea positiva
para poder probar que m2 es menor que m1.
4. Regla de decisin:Si zR 1.645 no se rechaza Ho.Si zR> 1.645
se rechaza Ho.
5. Clculos:
52.2
108
108
0)112121()()(22
2
22
1
21
2121 =
+
--=
+
---=
nn
xxZR
ss
mm
6. Justificacin y decisin:Puesto que 2.52>1.645, se rechaza
Ho, y se concluye con un nivel designificancia de 0.05 que la
adicin del nuevo ingrediente a la pintura sidisminuye de manera
significativa el tiempo promedio de secado.
ZL = 1.645m 1-m2=070
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
-
64
Solucin por el otro mtodo:
88.5108
108
645.10)()(22
2
21
1
21
2121 =++=++-=- nnzxx L
ssmm
Regla de decisin:Si Rxx )( 21 - 5.88 No se rechaza HoSi Rxx )(
21 - > 5.88 Se rechaza Ho
Puesto que Rxx )( 21 - = 121-112 = 9 y este nmero es mayor a
5.88 por lo tantose rechaza Ho.
7. Se utilizan dos mquinas para llenar botellas de plstico con
un volumen netode 16.0 onzas. Las distribuciones de los volmenes de
llenado puedensuponerse normales, con desviaciones estndar s1=
0.020 y s2 = 0.025onzas. Un miembro del grupo de ingeniera de
calidad sospecha que elvolumen neto de llenado de ambas mquinas es
el mismo, sin importar siste es o no de 16 onzas. De cada mquina se
toma una muestra aleatoriade 10 botellas. Se encuentra el ingeniero
en lo correcto? Utilice a = 0.05
MAQUINA 1 MAQUINA 216.03 16.01 16.02 16.0316.04 15.96 15.97
16.0416.05 15.98 15.96 16.0216.05 16.02 16.01 16.0116.02 15.99
15.99 16.00
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de
medias con desviacin
estndar conocida.
2. Datos:s1= 0.020s2= 0.025
015.161 =x Este dato se obtuvo calculando la media de los datos
en lamquina 1.
88.521 =- xxm 1-m2=0
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
-
65
005.162 =x Este dato se obtuvo calculando la media de los datos
en lamquina 2.n1=n2 = 10a = 0.05
3. Ensayo de hiptesisHo; m1-m2 = 0H1; m1-m2 0 Si se cae en Ho se
podr probar que el volumen de llenado es elmismo en las dos
mquinas.
4. Regla de Decisin:Si 1.96 ZR 1.96 No se rechaza HoSi ZR <
-1.96 si ZR > 1.96 Se rechaza Ho
5. Clculos:
987.0
10025.0
10020.0
0)005.16015.16()()(22
2
22
1
21
2121 =
+
--=
+
---=
nn
xxZR
ss
mm
6. Justificacin y decisin:Como 1.96 0.987 1.96 entonces no se
rechaza Ho y se concluye con un nivelde significancia de 0.05 que
las dos mquinas tienen en promedio la mismacantidad de llenado.
Solucin por el otro mtodo:
=+=+-=-10025.0
10020.0
96.10)()(22
2
21
1
21
2121 nnzxx L
ssmm -0.019 y 0.019
ZL= -1.96 m1-m2 = 0
Ho
a/2 = 0.025
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1 H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.025
ZL= 1.96
019.0)( 21 -=- xx m1-m2 = 0
Ho
a/2 = 0.025
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1 H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.025
019.0)( 21 =- xx
-
66
Regla de decisin:Si 0-019 Rxx )( 21 - 0.019 No se rechaza HoSi
Rxx )( 21 - < -0.019 Rxx )( 21 - > 0.019 Se rechaza Ho
Como Rxx )( 21 - = 16.015 16.005 = 0.01, entonces cae en la
regin deaceptacin y no se rechaza Ho.
8. Existen dos tipos de plstico apropiados para su uso por un
fabricante decomponentes electrnicos. La tensin de ruptura de ese
plstico es unparmetro importante . Se sabe que s1=s2= 1.0 psi. De
una muestra aleatoriade tamao 10 y 12 para cada plstico
respectivamente, se tiene una mediade 162.5 para el plstico 1 y de
155 para el plstico 2. La compaa noadoptar el plstico 1 a menos que
la tensin de ruptura de ste exceda a ladel plstico 2 al menos por
10 psi. Con base a la informacin contenida en lamuestra, la compaa
deber utilizar el plstico 1? Utilice a = 0.05 parallegar a una
decisin.
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de
medias con desviacin
estndar conocida.
2. Datos:s1=s2= 1.0 psi
psixpsix
1555.162
2
1
==
n1= 10n2= 12a = 0.05
3. Ensayo de hiptesis
Ho; m1-m2 = 10H1; m1-m2 > 10 Se desea rechazar Ho si la media
del plstico 1 supera a lamedia del plstico 2 en por lo menos 10
psi.
ZL = 1.645m 1-m2=10
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
-
67
4. Regla de decisin:Si zR 1.645 no se rechaza Ho.Si zR> 1.645
se rechaza Ho.
5. Clculos:
83.5
121
101
10)1555.162()()(22
2
22
1
21
2121 -=
+
--=
+
---=
nn
xxZR
ss
mm
6. Justificacin y decisin:No existe evidencia suficiente para
apoyar el uso del plstico 1 ya que5.83 1.645, por lo tanto no se
rechaza Ho.
Solucin por el otro mtodo:
70.10121
101
645.110)()(22
2
21
1
21
2121 =++=++-=- nnzxx L
ssmm
Regla de decisin:Si Rxx )( 21 - 10.70 No se rechaza HoSi Rxx )(
21 - > 10.70 Se rechaza Ho
Puesto que Rxx )( 21 - = 162.5-155 = 7.5 y este nmero es no es
mayor a 10.7 porlo tanto no se rechaza Ho.
9. Se evalan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para
su posible usoen una operacin de pulido en la fabricacin de lentes
intraoculares utilizadosen el ojo humano despus de una ciruga de
cataratas. Se pulen 300 lentescon la primera solucin y, de stos,
253 no presentaron defectos inducidospor el pulido. Despus se pulen
otros 300 lentes con la segunda solucin, delos cuales 196 resultan
satisfactorios. Existe alguna razn para creer quelas dos soluciones
para pulir son diferentes? Utilice a = 0.01
70.1021 =- xxm 1-m2=10
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
-
68
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de
proporciones.
2. Datos:p1= 253/300= 0.8433p2 = 196/300= 0.6533n1=n2 = 300
3. Ensayo de hiptesis:Ho; P1-P2 = 0H1; P1-P2 0
4. Regla de Decisin:Si 2.575 ZR 2.575 No se rechaza HoSi ZR <
-2.575 si ZR > 2.575 Se rechaza Ho
5. Clculos:
2
22
1
11
2121 )()(
nqP
nqP
PPppZR
+
---=
En esta frmula se puede observar que en el denominador se tienen
a lasproporciones poblacionales o sea los parmetros, los cuales no
se conocen,por lo que en el ensayo de hiptesis la frmula para poder
calcular la ZRcambia, estimando a el parmetro comn P de la
siguiente forma:
21
21
nnxx
P++
= bien 21
2211
nnpnpn
P++
=
Entonces la frmula de ZR quedara de la siguiente manera:
+
---=
21
2121
11
)()(
nnPq
PPppZR
ZL= -2.575 P1-P2 = 0
Ho
a/2 = 0.005
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1 H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.005
ZL= 2.575
-
69
Se calcular el valor de P:
7483.0300300196253
21
21 =++
=++
=nnxx
P
36.5
3001
3001
)2517.0)(7483.0(
0)6533.08433.0(
11
)()(
21
2121 =
+
--=
+
---=
nnPq
PPppZR
6. Justificacin y decisin:Puesto que 5.36>2.575, se rechaza
la hiptesis nula y se concluye con unnivel de significancia de 0.01
que los dos fluidos para pulir son diferentes.
10. Se tomar el voto entre los residentes de una ciudad y el
condadocircundante para determinar si se debe construir una planta
qumicapropuesta. El lugar de construccin est dentro de los lmites
de la ciudad ypor esta razn muchos votantes del condado consideran
que la propuestapasar debido a la gran proporcin de votantes que
favorecen laconstruccin. Para determinar si hay una diferencia
significativa en laproporcin de votantes de la ciudad y votantes
del condado que favorecen lapropuesta, se realiza una encuesta. Si
120 de 200 votantes de la ciudadfavorecen la propuesta y 240 de 500
residentes del condado tambin lohacen, estara de acuerdo en que la
proporcin de votantes de la ciudadque favorecen la propuesta es ms
alto que la proporcin de votantes delcondado? Utilice un nivel de
significancia de 0.025.
Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de
proporciones.
2. Datos:p1= 120/200= 0.60p2 = 240/500= 0.48n1 = 200n2 = 500
3. Ensayo de hiptesis:Ho; P1-P2 = 0H1; P1-P2 > 0
ZL = 1.96P1-P2=0
a = 0.025
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
-
70
4. Regla de decisin:Si zR 1.96 no se rechaza Ho.Si zR> 1.96
se rechaza Ho.
5. Clculos:Se calcular el valor de P:
51.0500200240120
21
21 =++
=++
=nnxx
P 51.0500200240120
21
21 =++
=++
=nnxx
P
9.2
5001
2001
)49.0)(51.0(
0)48.060.0(
11
)()(
21
2121 =
+
--=
+
---=
nnPq
PPppZR
6. Justificacin y decisin:Puesto que 2.9>1.96, se rechaza la
hiptesis nula y se concluye con un nivelde significancia de 0.025
que la proporcin de votantes de la ciudad a favorde la propuesta es
ms alta que la proporcin de votantes del condado.
Uso de valores P para la toma de decisiones
Al probar hiptesis en las que la estadstica de prueba es
discreta, la regincrtica se puede elegir de forma arbitraria y
determinar su tamao. Si a esdemasiado grande, se puede reducir al
hacer un ajuste en el valor crtico. Puedeser necesario aumentar el
tamao de la muestra para compensar la disminucinque ocurre de
manera automtica en la potencia de la prueba (probabilidad
derechazar Ho dado que una alternativa especfica es verdadera).
Por generaciones enteras de anlisis estadstico, se ha hecho
costumbre elegirun nivel de significancia de 0.05 0.01 y
seleccionar la regin crtica enconsecuencia. Entonces, por supuesto,
el rechazo o no rechazo estricto de Hodepender de esa regin crtica.
En la estadstica aplicada los usuarios hanadoptado de forma extensa
la aproximacin del valor P. La aproximacin sedisea para dar al
usuario una alternativa a la simple conclusin de rechazo ono
rechazo.
La aproximacin del valor P como ayuda en la toma de decisiones
es bastantenatural pues casi todos los paquetes de computadora que
proporcionan elclculo de prueba de hiptesis entregan valores de P
junto con valores de laestadstica de la prueba apropiada.
Un valor P es el nivel (de significancia) ms bajo en el que el
valorobservado de la estadstica de prueba es significativo.
-
71
El valor P es el nivel de significancia ms pequeo que conduce al
rechazode la hiptesis nula Ho.
El valor P es el mnimo nivel de significancia en el cual Ho sera
rechazadacuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado
con un conjuntodado de informacin. Una vez que el valor de P se
haya determinado, laconclusin en cualquier nivel a particular
resulta de comparar el valor P cona:
1. Valor P a rechazar Ho al nivel a.2. Valor P > a No
rechazar Ho al nivel a.
Ensayo Unilateral Derecho:
Ensayo Unilateral Izquierdo:
Ensayo Bilateral:
Z= 0
Valor P
ZR calculada
Z= 0
Valor P
ZR calculada
ZR, -ZR calculadas
Valor P = Suma de las dos reas
-
72
Ejemplos:1. Calcular el valor de P para el primer ejemplo de
ensayo de hiptesis en
donde se quera probar que la edad media de los habitantes de
EstadosUnidos es superior a 70 aos.
Solucin:
1. Ensayo de hiptesisHo; m = 70 aos.H1; m > 70 aos.
2. Regla de decisin:Si P 0.05 se rechaza Ho.Si P > 0.05 No se
rechaza Ho.
3. Clculos:
02.2
1009.8
708.71=
-=
-=
n
xZ RR s
m
Esta es el valor de Z que se utilizar para calcular el valor de
P, como es unensayo unilateral derecho se calcular el rea a la
derecha de este valor.
4. Justificacin y decisin:Como el valor de P es 0.217 y es menor
al valor del nivel de significancia de0.05 por lo tanto se rechaza
H0, y se concluye que la edad media de loshabitantes es mayor a 70
aos.
2. Calcular el valor de P para el ejemplo 7 de esta seccin en
donde se tienedos mquinas y se quiere ver si tienen la misma
cantidad promedio dellenado en las botellas de plstico.
Solucin:1. Ensayo de hiptesis
Ho; m1-m2 = 0
ZL = 1.645m = 70
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
Z= 0
Valor P = 0.0217
ZR = 2.02
-
73
H1; m1-m2 0 Si se cae en Ho se podr probar que el volumen de
llenado es elmismo en las dos mquinas.
2. Regla de Decisin:Si P 0.05 Se rechaza HoSi P > 0.05 No se
rechaza Ho
3. Clculos:
987.0
10025.0
10020.0
0)005.16015.16()()(22
2
22
1
21
2121 =
+
--=
+
---=
nn
xxZR
ss
mm
Como este es un ensayo bilateral se proceder a calcular el valor
de P medianteel valor de la ZR, positiva y negativa y luego se
sumarn las reas.
Como el valor de P es mayor al de a, se no se rechaza H0, y se
concluye que lasmaquinas tienen el mismo llenado promedio.
3. Se afirma que un automvil se maneja en promedio ms de
20,000kilmetros por ao. Para probar esta afirmacin, se pide a una
muestra de100 propietarios de automviles que lleven un registro de
los kilmetros queviajen. Est de acuerdo con esta afirmacin si la
muestra aleatoria tiene unpromedio de 23,500 kilmetros y una
desviacin estndar de 3900kilmetros? Utilice un valor P para su
conclusin.
Solucin:En este ejercicio no nos manejan ningn valor de a, por
lo que se proceder aplantear el ensayo y luego calcular z para
poder conocer el valor de P y llegar auna conclusin.
ZL= -1.96 m1-m2 = 0
Ho
a/2 = 0.025
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.025
ZL= 1.96
ZR = -0.987 ZR = 0.987
Valor P = 0.1618 + 0.1618 = 0.3236
-
74
1. Ensayo de hiptesisHo; m = 20,000 kilmetros.H1; m > 20,000
kilmetros.
2. Clculos:
97.8
1003900
2000023500=
-=
-=
n
xZ RR s
m
3. Decisin.Se observa que este valor de Z es muy grande, ni
siquiera se encuentra en latabla, entonces quiere decir que el rea
a la derecha de ese valor es cero yeste sera el valor de P, por lo
que no apoya a la hiptesis nula y seconcluye que los automviles se
manejan en promedio ms de 20,000kilmetros por ao.
4. Se estudia la fraccin de circuitos integrados defectuosos
producidos en unproceso de fotolitografa. Para ello se somete a
prueba una muestra de 300circuitos, en la que 13 son defectuosos.
Utilice los datos para probarHo: P=0.05 contra H1: P 0.05. Utilice
un valor de P para su conclusin.
Solucin:1. Ensayo de hiptesis
Ho; P = 0.05H1; P 0.05
2. Clculos:
53.0
300)95.0)(05.0(
05.0043.0-=
-=
-=
nPq
PpZR
3. Decisin:Este valor de P de 0.596 es muy grande por lo que se
concluye que lafraccin defectuosa de circuitos integrados es de
0.05, o sea no se rechazaHo.
ZR = -0.53 ZR = 0.53
Valor P = 0.298 + 0.298 = 0.596
-
75
ERROR TIPO II b
Al evaluar un procedimiento de prueba de hiptesis, tambin es
importanteexaminar la probabilidad del error tipo II, el cual se
denota por b. Esto es,
b = P(error tipo II) = P(aceptar Ho/ Ho es falsa)
Para calcular b se debe tener una hiptesis alternativa
especfica; esto es, debetenerse un valor particular del parmetro.
Por ejemplo, supngase que esimportante rechazar la hiptesis nula
Ho: m = 50 cada vez que la rapidezpromedio de combustin m es mayor
que 52 cm/s o menor que 48 cm/s. Paraello, puede calcularse la
probabilidad b de un error tipo II para los valores m = 52y m = 48,
y utilizar este resultado para averiguar algo con respecto a la
forma enque se desempear la prueba. De manera especfica, cmo
trabajar elprocedimiento de prueba si se desea detectar, esto es,
rechazar Ho, para unvalor medio de m = 52 m = 48? Dada la simetra,
slo es necesario evaluar unode los dos casos, esto es, encontrar la
probabilidad de aceptar la hiptesis nulaHo: m = 50 cuando el valor
verdadero es m = 52.
Para hacer este clculo se tendr un tamao de muestra de 10 y una
desviacinestndar de la poblacin de 2.5 cm/s. Adems se evaluar el
error tipo II con unnivel de significancia de 0.06.
Ho: m = 50H1: m 50
Como ya sabemos se trata de un ensayo bilateral por lo que se
tendr quecalcular el valor del estadstico Lx de la siguiente
manera:
===10
)5.2)(88.1(50
nZ
x lLs
m 48.51 y 51.48
Para facilitar los clculos se redondearn estos nmeros a 48.5 y
51.5
Para poder comprender mejor el clculo del error tipo II se
delimitar el rea dela regin de aceptacin con dos lneas ya que es
bilateral y se evaluar laprobabilidad de caer en esa rea cuando la
media tiene un valor de 52 y de 48.
5.48=Lx m = 50
Ho
a/2 = 0.03
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.03
5.51=Lx
-
76
43.4
105.2
525.48-=
-=z
63.0
105.2
525.51-=
-=z
63.0
105.2
485.48=
-=z
43.4
105.2
485.51=
-=z
Como se puede observar en cada calculo del valor b se tuvieron
que evaluar losdos valores de z. En el primer calculo de b se tiene
un valor de z=-4.43, estoquiere decir que no existe rea del lado
izquierdo del 48.5, por lo que b slo serel rea que corresponda a la
z=-0.63. Lo mismo pasa con el segundo clculo deb. Como las medias
de 52 y 48 son equidistantes del 50 por este motivo losvalores del
error tipo II son los mismos.En caso que no estn equidistantes se
tienen que calcular por separado ycalcular los valores
correspondientes de z porque en ocasiones se tiene un reaque no est
dentro de la regin de aceptacin, la cual no se tiene que tomar
encuenta para evaluar al error tipo II.A continuacin se proceder a
generar algunas curvas caractersticas deoperacin para evaluar al
error tipo II, entre ms se aleja el valor verdadero de lamedia de
la media de la hiptesis nula, menor es la probabilidad del error
tipo IIpara un tamao de muestra y nivel de significancia dadas. A
medida que eltamao de la muestra aumenta la probabilidad de cometer
el error tipo IIdisminuye. Esto se observar en los ejercicios
siguientes.
Ejemplos:
1. Generar una curva caracterstica de operacin para el ejercicio
nmero 1 dela seccin de ensayo de hiptesis con las siguientes medias
supuestas:m = 70.5, 71, 71.5, 72, 72.5, 73, 73.5, y 74.
5.48=Lx m = 50
Ho
a/2 = 0.03
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1 H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.03
5.51=Lx
m = 52
b = 0.2643
m = 48
b = 0.2643
-
77
2. Datos:m=70 aoss = 8.9 aosx = 71.8 aosn = 100a = 0.05
3. Ensayo de hiptesisHo; m = 70 aos.H1; m > 70 aos.
Se calcular el estadstico lmite:
46.71100
)9.8)(645.1(70 =+=+=
nZ
x lLs
m
08.1
1009.8
5.7046.71=
-=z
517.0
1009.8
7146.71=
-=z
m = 71
46.71=Lxm = 70
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
ZL = 1.645m = 70
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
m = 70.5
b= 0.8599
b= 0.6974
-
78
044.0
1009.8
5.7146.71-=
-=z
606.0
1009.8
7246.71-=
-=z
168.1
1009.8
5.7246.71-=
-=z
73.1
1009.8
7346.71-=
-=z
29.2
1009.8
5.7346.71-=
-=z
85.2
1009.8
7446.71-=
-=z
m = 74
m = 73
m = 72.5
m = 72
m = 71.5
b= 0.4824
b= 0.2722
b= 0.1214
b= 0.0418
m = 73.5
b= 0.011
b= 0.0021
-
79
En la mayora de los libros de estadstica existen las curvas
caractersticas deoperacin para diferentes tamaos de muestra y stas
se proporcionan tantopara a = 0.05 como para a = 0.01 (son las ms
comunes). Para poder utilizar lascurvas se define un parmetro
llamado d, que estandariza para cualquier valorde m y s:
sd
s
mm ||=
-=
od
Si se quisiera consultar en un libro, cul es la probabilidad de
cometer el errortipo II b cuando la media verdadera es de 72?; se
tendra que calcular el valorde d y buscar en las curvas la que
pertenezca a un tamao de muestra de 100con un a = 0.05.
9.8|2|
9.8
7072=
-=d = 0.2247
Este valor se encuentra en el eje de las x. Si se transforma la
curvacaracterstica de operacin con el valor de d quedara de la
siguiente manera:
CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION
0.950.8599
0.6974
0.4824
0.2722
0.12140.0418 0.011 0.00210
0.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
70 70.5 71 71.5 72 72.5 73 73.5 74 74.5
Valor de la media
Pro
bab
ilid
ad e
rro
r ti
po
II
-
80
Se coment anteriormente que si el tamao de la muestra aumenta
los dos tiposde errores a y b disminuyen. Para probar esto y
especficamente en lo que serefiere al error tipo II se realizar el
ejercicio anterior suponiendo que en lugar detener 100 personas, el
tamao de la muestra aumenta a 150 personas.
Se calcular el estadstico lmite:
2.71150
)9.8)(645.1(70 =+=+=
nZ
x lLs
m
963.0
1509.8
5.702.71=
-=z
CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION
0.950.8599
0.6974
0.4824
0.2722
0.12140.04180.011 0.00210
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
d
Pro
babi
lidad
err
or ti
po II
2.71=Lxm = 70
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
m = 70.5
b= 0.8322
-
81
275.0
1509.8
712.71=
-=z
412.0
1509.8
5.712.71-=
-=z
10.1
1509.8
722.71-=
-=z
79.1
1509.8
5.722.71-=
-=z
47.2
1509.8
732.71-=
-=z
16.3
1509.8
5.732.71-=
-=z
m = 72
m = 71.5
m = 71
b= 0.6083
m = 73
m = 72.5
b= 0.3407
b= 0.1356
b= 0.0367
b= 0.0067
m = 73.5
b= 0.0007
-
82
3. Generar una curva caracterstica de operacin (CCO) para el
ejercicio 5 deensayo de hiptesis. Suponer los siguientes valores de
P; 0.04, 0.03, 0.025,0.02 y 0.01. Enseguida se proporciona la
informacin necesaria para realizarla CCO:
Datos:P= 0.05p = 4/200 = 0.02n = 200a = 0.05
Ensayo de hiptesisHo; P = 0.05H1; P < 0.05
Solucin:Se proceder a calcular el estadstico lmite pL:
0246.0200
)95.0)(05.0(645.105.0 =-=-=
nPq
zPpL
CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
70 70.5 71 71.5 72 72.5 73 73.5 74 74.5
Valor de la media
Pro
bab
ilid
ad e
rro
r ti
po
II
n=100
n=150
a = 0.05
P = 0.05
HoRegin derechazo
Regin de aceptacin
H1
ZL= -1.645
-
83
11.1
200)96.0)(04.0(
04.00246.0-=
-=z
447.0
200)97.0)(03.0(
03.00246.0-=
-=z
036.0
200)975.0)(025.0(
025.00246.0-=
-=z
464.0
200)98.0)(02.0(
02.00246.0=
-=z
075.2
200)99.0)(01.0(
01.00246.0=
-=z
P = 0.02
P = 0.025
P = 0.03
P = 0.04
a = 0.05
P = 0.05
HoRegin derechazo
Regin de aceptacin
H1
pL= 0.0246
b=0.8665
b=0.6725
b=0.5143
b=0.3213
P = 0.01
b=0.0189
-
84
En una distribucin muestral de proporciones, para graficar la
CCO, se necesitacalcular el valor de np, que es el que ir en el eje
de las x para estandarizar lacurva.
4. Genere un CCO para el ejercicio nmero 6 de la seccin
anterior. Supongalas siguientes diferencias de medias: m1-m2 =2, 4,
6, 7, 9, 12 y 14.Datos:s1=s2= 8
min112min121
2
1
==
xx
n1=n2= 10a = 0.05
Ensayo de hiptesisHo; m1-m2 = 0H1; m1-m2 > 0
88.5108
108
645.10)()(22
2
21
1
21
2121 =++=++-=- nnzxx L
ssmm
CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION
0.950.8665
0.6725
0.5143
0.3213
0.018900.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
1 3 5 7 9
np
Pro
bab
ilid
ad e
rro
r ti
po
II
ZL = 1.645m 1-m2=0
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
-
85
086.1
108
108
288.522
=
+
-=z
526.0
108
108
488.522
=
+
-=z
033.0
108
108
688.522
-=
+
-=z
313.0
108
108
788.522
-=
+
-=z
873.0
108
108
988.522
-=
+
-=z
m 1-m2=7
m 1-m2=6
m 1-m2=4
m 1-m2=2
88.5)( 21 =- Lxxm 1-m2=0
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
b= 0.8612
b= 0.70
b= 0.4868
b= 0.3768
m 1-m2=9
b= 0.1913
-
86
714.1
108
108
1288.522
-=
+
-=z
274.2
108
108
1488.522
-=
+
-=z
Para graficar la curva se utilizar el valor de d, el cual para
una distribucinmuestral de diferencia de medias tiene la siguiente
frmula:
22
21
22
21
21
ss
d
ss
mm
+=
+
-=d
En los libros de estadstica lo que se acostumbra en algunos de
los ejercicios espreguntar slo un punto de la CCO, por lo que a
continuacin se resolvern dosproblemas tipo.
5. Se require que la tensin de ruptura de un hilo utilizado en
la fabricacin dematerial de tapicera se al menos de 100 psi. La
experiencia ha indicado quela desviacin estndar de la tensin de
ruptura es de 2 psi. Se prueba una
m 1-m2=14
m 1-m2=12
b= 0.0432
b= 0.011
CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION
0.950.8612
0.7
0.48680.3768
0.1913
0.0432 0.01100.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
d
Pro
bab
ilid
ad e
rro
r ti
po
II
-
87
muestra aleatoria de nueve especmenes, y la tensin de ruptura
promedioobservada en ella es de 98 psi. Cual es la probabilidad de
aceptar lahiptesis nula con un a = 0.05 si la tensin promedio de
ruptura verdadera dela fibra es 104 psi?
Solucin:Ensayo de hiptesis:Ho; m = 100H1; m > 100
Se calcula el estadstico lmite:
09.1019
)2)(645.1(100 =+=+=
nZ
x lLs
m
32.6
102
100104=
-=z
6. Del ejercicio nmero 7 de la seccin anterior encontrar el
error tipo II bsuponiendo que la diferencia verdadera entre las
medias de las mquinas esfe 0.03
Datos:s1= 0.020s2= 0.025
015.161 =x005.162 =x
n1=n2 = 10a = 0.05
09.101=Lxm = 100
a = 0.05
Regin derechazo
Regin de aceptacin
HoH1
m = 104
b= 0
-
88
Solucin:Ensayo de hiptesisHo; m1-m2 = 0H1; m1-m2 0
=+=+-=-10025.0
10020.0
96.10)()(22
2
21
1
21
2121 nnzxx L
ssmm -0.019 y 0.019
83.4
10025.0
10020.0
03.0019.022
-=
+
--=z
086.1
10025.0
10020.0
03.0019.022
-=
+
-=z
Por ser bilateral se calcularon dos valores de z, y como se
puede observar dellado izquierdo de 0.019 ya no se encuentra rea,
por lo que el error tipo II sloser el rea a la izquierda del valor
de la diferencia del estadstico lmite 0.019.
Problemas propuestos1. En un estudio para estimar la proporcin
de residentes de cierta ciudad y sus
suburbios que estn a favor de la construccin de una planta de
energanuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes urbanos estn a
favor de laconstruccin mientras que slo 59 de 125 residentes
suburbanos lafavorecen. Hay una diferencia significativa entre la
proporcin de residentesurbanos y suburbanos que favorecen la
construccin de la planta nuclear?Use un valor de P para su
conclusin.
2. Una compaa petrolera afirma que un quinto de las casas en
cierta ciudadse calientan con petrleo. Tenemos razn en dudar de
esta afirmacin si,en una muestra aleatoria de 1000 casas en esta
ciudad, se encuentra que136 se calientan con petrleo? Utilice un
nivel de significancia de 0.01.
019.0)( 21 -=- xx m1-m2 = 0
Ho
a/2 = 0.025
Regin derechazo
Regin de aceptacin
H1 H1
Regin deRechazo
a/2 = 0.025
019.0)( 21 =- xx
m 1-m2=0.03
b= 0.1387
-
89
3. Se sabe que la duracin, en horas, de un foco de 75 watts
tiene unadistribucin aproximadamente normal, con una desviacin
estndar de 25horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la
cual resulta tener unaduracin promedio de 1014 horas.a) Existe
evidencia que apoye la afirmacin de que la duracin promedio
del foco es mayor que 1000 horas? Utilice un a = 0.05.b) Cual es
el valor P para la prueba?c) Cul es el valor de b para la prueba
del inciso a) si la verdadera
duracin promedio del foco es de 1050 horas?
4. Se estudia la tasa de combustin de dos propelentes slidos
utilizados en lossistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se
sabe que la tasa decombustin de los dos propelentes tiene
aproximadamente la mismadesviacin estndar de 3 cm/s. Se prueban dos
muestras aleatorias de 20especmenes cada una, obtenindose medias de
18 y 24 cm/srespectivamente.a) Pruebe la hiptesis de que los dos
combustibles slidos tienen la misma
rapidez promedio de combustin. Utilice un a = 0.05.b) Cul es el
valor de P de la prueba?c) Cul es el valor de b para la prueba del
inciso a) si la verdadera
diferencia en la rapidez promedio de combustin es 2.5 cm/s?
5. Un artculo publicado en Fortune afirma que casi la mitad de
todos losingenieros continan sus estudios acadmicos despus de
obtener lalicenciatura. Un artculo publicado en Engineering
Horizons indica que 117 de484 recin graduados planean continuar sus
estudios.a) Los datos publicados en Engineering Horizons son
consistentes con los
publicados en Fortune?b) Encuentre el valor de P de la
prueba.
6. En un invierno con epidemia de gripe, una compaa farmacutica
bienconocida estudi 2000 bebes para determinar si la nueva medicina
de lacompaa era efectiva despus de dos das. Entre 120 bebes que
tenangripe y se les administr la medicina, 29 se curaron dentro de
dos das. Entre280 bebs que tenan gripe pero que no recibieron la
medicina, 56 se curarondentro de dos das. Hay alguna indicacin
significativa que apoye laafirmacin de la compaa de la efectividad
de la medicina? Calcule el valorP.
7. Se lanza 20 veces una moneda, con un resultado de cinco
caras. Esta essuficiente evidencia para rechazar la hiptesis de que
la moneda estabalanceada a favor de la alternativa de que las caras
ocurren menos de 50%de las veces.? Realice la prueba con un nivel
de significancia de 0.03 y citeun valor P.
-
90
8. Se supone que los neumticos para automvil de cierto tipo
recincomprados deben llenarse a una presin de 30 lb/pulg2. Se
representa con mel verdadero promedio de presin. Encuentre el valor
P asociado con cadavalor del estadstico z dado para probar Ho; m =
30 contra H1; m 30.a) 2.10 b) 1.75 c) 0.55 d) 1.41 e) 5.3
9. Se realiz un experimento para comparar la resistencia a la
fractura del acerocon nquel maragizado, con el acero de pureza
comercial del mismo tipo.Para 32 especmenes, la resistencia
promedio muestral fue de 65.6 para elacero de alta pureza, mientras
que se obtuvo una media muestral de 59.8 en38 especmenes del acero
comercial. Debido que el acero de alta pureza esms costoso, su uso
para cierta aplicacin puede justificarse slo si suresistencia a la
fractura excede la del acero de pureza comercial en ms de5. Suponga
que ambas distribuciones de resistencias son normales.a) Si se
supone que s1 = 1.2 y s2 = 1.1, pruebe las hiptesis pertinentes
usando a = 0.001.b) Calcule b para la prueba del inciso anterior
cuando m1-m2 = 6.
10. Se cree que la portada y la naturaleza de la primera
pregunta de encuestaspor correo influyen en la tasa de respuesta.
Un artculo prob esta teora alexperimentar con diferentes diseos de
portadas. Una portada sencilla, y laotra utiliz la figura de un
paracaidista. Los investigadores especularon que latasa de
devolucin sera menor para la portada sencilla.
Portada Nmero de envos Nmero de devolucionesSencilla 207
104Paracaidista 213 109
Esta informacin apoya la hiptesis de los investigadores? Haga
laprueba con un nivel de significancia de 0.10, calculando primero
un valorP.
Respuesta a los Problemas propuestos1. z= 2.40; s, P=0.012.
P