概率统计（ ZYH ） 节目录 2.1 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量的概率分布 2.3 连续型随机变量的概率分布 第二章 随机变量及其分布.

概率统计（ ZYH ）

节目录

2.1 随机变量与分布函数

2.2 离散型随机变量的概率分布

2.3 连续型随机变量的概率分布

第二章 随机变量及其分布

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★ 引入了数 532 于是我们不用数数，也知道：

★ 引入了变量概念 , 可建立数与数之间的函数关系 ,

从而可用代数、分析的方法解决更复杂的问题 .

的概念及其运算 , 知道了：

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为了统一的研究同类试验 , 有必要将试验的结果数量化 , 引入随机变量

3 ={ 东西 , 东南 , 东北 , 西南 , 西北 ,

南北 }

★ 在同时选择两个方向突围的试验 E3 中：

★ 在观察骰子出现点数的试验 E4 中：4 ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

★ 在甲乙丙三同学竞选正副班长的试验中： ={ 6 种可能性 }

以达到事半功倍的效果

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二、分布函数

一、随机变量

2.1 随机变量与分布函数

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在随机试验 E 中，为了将 E 的结果数量化，我们总可以把样本空间 Ω 中所有样本点 ω 都用一个实值变量（或向量）来表示，记作

一、随机变量

则 X 便是随机变化的量，称为随机变量（或向量）

),(XX

3 ={ 东西 , 东南 , 东北 , 西南 , 西北 ,

南北 } X ： 1 2 3 4 5 6引进变

量

如在 E3 中：

则 X 便是取值规律相同的随机变量 .

在 E4 中：令 X = “ 试验中骰子出现的点数”

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随机变量（或随机向量）的取值规律通常称为随机变量（或随机向量）的概率分布，或简称 分布 随机变量（即一维随机变量）通常用 X,Y,Z 或ξ,η,ζ 等来表示 , 随机向量（也叫多维随机变量）通常用 (X,Y ), (X,Y,Z) 或 (X1,X2,···,Xn) 等来表示 . 本章我们只研究一维随机变量 , 下章讨论多维随机变量 . 引入随机变量后，就可用随机变量描述事件 .

例如在 E3 中 , X 取值 1, 写成 {X ＝ 1}, 就表示“选择东西两方向突围”；而 {X≤5} 则表示“不同时取南北两个方向突围” . 一般地 , {X S∈ } 表示一个事件 .

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　　随机变量随着试验的结果不同而取不同的值 ,

由于试验的各个结果的出现具有一定的概率 , 因此随机变量的取值也有一定的概率规律 .

(2) 随机变量的取值具有一定的概率规律

　　随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 , 普通函数是定义在实数轴上的 , 而随机变量是定义在样本空间上的 ( 样本空间的元素不一定是实数 ).

(1) 随机变量与普通的函数不同两点说明

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二、分布函数 在引入随机变量的概念后，任一事件都可用随机变量 X 表示为 {X∈S} ．而在实际问题中， S

往往是由若干个诸如 (a, b] 的区间和点 X ＝ b 构成的，同时由于

}{lim}{}{

}{}{}{

0aXPbXPbXP

aXPbXPbXaP

ba

所以 , 只要我们把形如 {X≤x} 上的概率分布讨论清楚了 , 随机变量 X 的概率分布情况也就掌握了 .

为此 , 我们引入以下定义

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设 X 是一个随机变量 , x 是任意实数 , 则称 }{)( xXPxF

为 X 的分布函数 , 记作 X ～ F(x).

如果将 X 看作数轴上随机点的坐标 , 则分布函数 F(x) 的值就表示 X 落在区间 (-, x] 的概率 .

定义 1

有了分布函数的概念 , X 落在任一区间 (a,b]

及任一点 X ＝ b 的概率可由分布函数 F(x) 表示为

xxX

)()(}{),()(}{ bFbFbXPaFbFbXaP

知道了 X 的分布函数 , 它的分布规律就被全面掌握

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分布函数 F(x) 具有下列性质：定理 1

1 （有界性） 对任意的实数 x 都有 0≤F(x)≤1 ， F(-) ＝ 0 ， F(+) ＝ 1

2 （单调性） F(x) 是 x 的单调不减函数，即 当 a ＜ b 时， F(a)≤F(b)3 （右连续性） F(x) 是右连续函数，即对任意 实数 x 都有 F(x ＋ ) ＝ F(x)

对分布函数 F(x), 有性质 :

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1}{)(0 xXPxF证0}{}{lim)(lim)(

XPxXPxFF

xx

1}{}{lim)(lim)(

XPxXPxFFxx

ba 由)(}{}{)( bFbXPaXPaF

}{ aX 得}{ bX (2)

)(}{}{lim)(lim)( xFxXPtXPtFxFxtxt

(3)

(1)

反过来 , 若一个函数具有上述性质，则它定是某个随机变量 X 的分布函数 . 也就是说，性质 (1)-(3)

是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充要条件

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设 X 的所有可能取值为

解

例 1

并设 X 取所有可能值的概率均为 1/n, 求 X 的分布函数 .

)(,,, 2121 nn xxxxxx

,1

,

,0

n

k

}{)( xXPxF

由分布函数的定义易知

(k ＝ 1,2,···,n － 1)

n

kk

xx

xxx

xx

1

1

　 F(x)1

O x1 x2 x3 … xn-1 xn x

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向半径为 R 的圆盘形靶射击，设弹着点落在以靶心 O 为圆心，以 r (r≤R) 为半径的圆盘内的概率与圆盘的面积成正比，并设每枪都能中靶．现以 X 表示弹着点与圆心 O 的距离，求随机变量 X

的分布函数 .

例 2

R

O

xr

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}{)( xXPxF

,时当 Rx

故

Rx

RxR

x

x

xF

,1

0,

0,0

)( 2

2

2

2

R

x

}{)( xXPxF 1

,1}{ RXP由 2/1 Rk 得

F(x)

1

O R x

R

O

xr,0 时当 Rx 2}{)( xkxXPxF

0}{)( xXPxF,0时当 x解