This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
สบเซต และเพาเวอรเซต A เปนสบเซตของ B เมอสมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย A B A ไมเปนสบเซตของ B เมอมสมาชกอยางนอย 1 ตว ของ A ไมเปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย A B ตวอยางเชน ถา 1,2A สบเซตของ A ม 4 สบเซต คอ , 1 , 2 , 1,2 ขอสงเกต 1. ถา n A เปนจ านวนสมาชกของ A แลวจ านวนสบเซตของ
2n A
A 2. เซตวางเปนสบเซตของทกเซต 3. เซตทกเซตเปนสบเซตของตวมนเอง เพาเวอรเซต : เพาเวอรเซตของ A คอเซตทมสมาชกเปนสบเซตทงหมดของ A เขยนแทนดวย P ( A ) ตวอยางเชน 1,2A , 1 , 2 , 1, 2P A ขอสงเกต จ านวนสมาชกของ P A เทากบ
2n A หรอ
2n A
n P A การด าเนนการของเซต หมายถง การกระท าทจะเกดเซตใหม หรอ การสรางเซตใหมจากเซตทก าหนดให
1. ยเนยน : A B x x Aor B 2. อนเตอรเซกชน : A B x x A x B และ 3. คอมพลเมนต : A x x x A และ 4. ผลตาง : A B x x A x B และ
B A x x B x A และ
A B
A B
www.tutorferry.com T. 0998230343
4
ทฤษฎของเซต 1. กฎการสลบท 1.1 A B B A 1.2 A B B A 2. กฎการเปลยนกลม 2.1 A B C A B C 2.2 A B C A B C 3. กฎการแจกแจง 3.1 A B C A B A C 3.2 A B C A B A C 4. กฎเดอมอรแกน
4.1 A B A B
4.2 A B A B 5. สมบตของผลตาง
A
A
A B
A B
www.tutorferry.com T. 0998230343
5
5.1 U A A 5.2 /A B A A B A B 6. สมบตของเพาเวอรเซต 6.1 A B เมอ P A P B 6.2 P A P B P A B 6.3 P(A) P B = P(A B) จ ำนวนสมำชกของเซตจ ำกด
1. n A n A n U 2. n A B n A n B n A B 3. n A B n A n A B 4. n A B C n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)
www.tutorferry.com T. 0998230343
6
จ ำนวนจรง (เปอรเซนตจ านวนขอสอบ 6.75%)
สมบตของจ ำนวนจรง ถา a , b และ c R 1. สมบตการเทากน 1.1 สมบตการสะทอน
a a 1.2 สมบตการสมมาตร ถา a b แลว b a 1.3 สมบตการถายทอด ถา a b และ b c แลว a c 1.4 สมบตการบวกดวยจ านวนทเทากน ถา a b แลว a c b c 1.5 สมบตการคณดวยจ านวนทเทากน ถา a b แลว ac bc
จ ำนวนจรง
จ ำนวนตรรกยะ
จ ำนวนเตม จ ำนวนตรรกยะทไมใชจ ำนวนเตม
ศนย จ ำนวนเตมลบ
จ ำนวนเตมบวกหรอจ ำนวนนบ
จ ำนวนอตรรกยะ
www.tutorferry.com T. 0998230343
7
2. สมบตการบวกและการคณ
สมบต กำรบวก กำรคณ 2.1 ปด a b R ab R 2.2 การสลบท a b b a ab ba 2.3 การเปลยนหม ( ) ( )a b c a b c ( ) ( )ab c a bc 2.4 การมเอกลกษณ มจ านวนจรง 0 เปนเอกลกษณ
การบวกซง 0 0a a a มจ านวนจรง 1 เปนเอกลกษณ การคณ ซง 1 1a a a
2.5 การมอนเวอรส มจ านวนจรง a เปนอนเวอรส การบวกของ a
( ) 0 ( )a a a a
มจ านวนจรง 1a หรอ 1
a เปน
อนเวอรสการคณของ a เมอ
0a 1 11a a a a 2.6 การแจกแจง ( )a b c ab ac
กำรน ำสมบตของจ ำนวนจรงไปแกสมกำร 1. การแยกตวประกอบ 1.1 สมการก าลง 2 ตวแปรเดยว ทอยในรป 2 0x bx c ท าไดโดยหา d และ e ท de c และ d e b ท าให 2 ( )( ) 0x bx c x d x e จะไดค าตอบของสมการคอ d และ e
1.2 สมการก าลง 2 ตวแปรเดยว ทอยในรป 2 0ax bx c หา , ,d e f และ g ท de c , fg a และ dg ef b ท าให 2 ( )( ) 0ax bx c fx d gx e
จะไดค าตอบของสมการคอ d
f และ e
g
2. การท าเปนก าลง 2 สมบรณ โดยใชแนวคดดงน 2 2 22 ( )x ax a x a 2 2 22 ( )x ax a x a 2 2 ( )( )x a x a x a
ทฤษฎตวประกอบ : x c เปนตวประกอบของ ( )p x เมอ ( ) 0p c
สมบตกำรไมเทำกน สมบตไตรวภาค : ถา a และ b R แลว a b , a b และ a b จะเปนจรงเพยงอยางใด อยาง หนง สมบตการไมเทากน , ,a b c R 1. สมบตการถายทอด ถา a b และ b c แลว a c 2. สมบตการบวกดวยจ านวนเทากน ถา a b แลว a c b c 3. สมบตการคณดวยจ านวนเทากนทไมเปนศนย 3.1 ถา a b และ 0c แลว ac bc 3.2 ถา a b และ 0c แลว ac bc ชวงและกำรแกอสมกำร ชวง เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง และ a b 1. ชวงเปด ( , )a b หมายถง a x b 2. ชวงปด ,a b หมายถง a x b 3. ชวงครงเปดหรอชวงครงปด ,a b หมายถง a x b
www.tutorferry.com T. 0998230343
9
4. ชวงครงเปด หรอ ชวงครงปด ,a b หมายถง a x b 5. ชวง ( , )a หมายถง x a 6. ชวง ,a หมายถง x a 7. ชวง ,a หมายถง x a 8. ชวง ,a หมายถง x a 9. ชวง , หมายถง x R การแกอสมการ มขนตอนดงน 1. จดอสมการใหอยในรป พหนาม หรอเศษสวนพหนาม ถาก าลงมากกวา 1 ใหแยกตวประกอบจนมก าลง เปน 1 และสมประสทธตวแปรเปนบวก ดงน 1.1 รปพหนาม 1 2 ... 0nx a x a x a
1.2 รปเศษสวนพหนาม
1 2
1 2
...0
...
n
n
x a x a x a
x b x b x b
ขอสงเกต เครองหมายอสมการอาจเปน , , , 2. กรณเศษสวนพหนาม 1.2 ใหหมายเหตไววา 1x b , 2b , ... , nb
1x b 5. เมออสมการอยในรปพหนาม 1.1 ถาเครองหมายอสมการเปน หรอ ใหหมายเหตไววา
1x a , 2a , ... , na แตตองไมตรงกบ 1b , 2b , ... , nb ทเปนตวสวน 6. เขยนเสนจ านวนระบต าแหนงของ 1a , 1b , 2a , 2b , ... , na , nb โดยเรยงจากนอยไปหามาก เฉพาะพจนทก าลงเปนเลขค 7. ใสเครองหมาย , - สลบกนไป โดยเรมจากชองขวาสดใหเปน + เสมอ
8. ถาเครองหมายอสมการเปน หรอ ใหเลอกชวง + ถาเครองหมายอสมการเปน หรอ ใหเลอกชวง - 9. น าค าตอบทไดจากขอ 8 มายเนยนกน และน าไปยเนยนกบขอ 5 โดยตดค าตอบทยกเวนในขอ 2 ออกไปดวย คาสมบรณ : คาสมบรณของ x หมายถงระยะจากจด 0 ถง x บนเสนจ านวน เขยนแทนดวย x สมบตของคาสมบรณ x , y R 1. x ถา 0x x 0 ถา 0x x ถา 0x จะเหนวา x มไดคาเดยว ซงมากกวาหรอเทากบ 0 x 0 1.1 x x ถา x 0 1.2 x x ถา x 0 2. x x 3. xy x y
4. x
y x
y ; 0y
- +
- - +
- +
www.tutorferry.com T. 0998230343
11
5. x y y x 6. x y y x 7. 2
x 2x 8. x y x + y 9. x y x - y ถา 0a 10. ถา x a แลว x a หรอ x a 11. ถา x a แลว a x a 12. ถา x a แลว a x a 13. ถา x a แลว x a หรอ x a 14. ถา x a แลว x a หรอ x a
ถา 0a
15. ถา x a แลว เซตค าตอบ 16. ถา x a แลว เซตค าตอบ 17. ถา x a แลว เซตค าตอบ 18. ถา x a แลว x R 19. ถา x a แลว x R
www.tutorferry.com T. 0998230343
12
ทฤษฎจ ำนวน
กำรหำรลงตว 1. ให a และ b เปนจ านวนเตม โดยท b 0 b หาร a ลงตว กตอเมอ มจ านวนเตม c ทท าให a = bc เรยก b วาเปน ตวหารของ a และเรยก a วาเปน พหคณของ b b a แทน b หาร a ลงตว b † a แทน b หาร a ไมลงตว 2. ให a , b และ c เปนจ านวนเตม โดยท a 0 และ b 0 ถา a b และ b c แลว a c 3. ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวก ซง a b แลว a b 4. ถา a , b และ c เปนจ านวนเตม โดยท a b และ a c แลว a (bx + cy) เมอ x และ y เปนจ านวนเตมใด ๆ 5. จ านวนเตมบวก p เปนจ านวนเฉพาะ กตอเมอ p 1 และถาจ านวนเตม x หาร p ลงตว แลว x เปนสมาชกของ 1, 1, ,p p ขนตอนวธกำรหำร 1. ถา a และ b เปนจ านวนเตม โดยท b 0 แลวจะมจ านวนเตม q และ r ชดเดยว ซง a bq r โดย 0 r b เรยก q วา ผลหาร และ r วา เศษเหลอ 2. จ านวนเตม a เปนจ านวนค กตอเมอ สามารถเขยน a = 2k เมอ k เปนจ านวนเตม จ านวนเตม a เปนจ านวนค กตอเมอ สามารถเขยน a = 2k + 1 เมอ k เปนจ านวนเตม 3. ให b เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 จ านวนเตมบวก n ใด ๆ สามารถเขยนในรปการกระจาย ฐาน b ไดเปน 1
1 1 0...k k
k kn a b a b a b a
เมอ k เปนจ านวนเตม และ 0 1 1, ,..., ,k ka a a a เปนจ านวนเตมทไมเปนลบและนอยกวา b และ 0ka ตวหำรรวมมำก 1. ให a และ b เปนจ านวนเตม โดยท a และ b ไมเปนศนยพรอมกน จ านวนเตมบวก d ทมคา มากทสด ซง d a และ d b เรยกวาเปน ตวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ a และ b ใชสญลกษณ ( a , b ) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b
www.tutorferry.com T. 0998230343
13
2. ก าหนดให a และ b เปนจ านวนเตมบวก โดยท b < a โดยใชขนตอนวธการหารไปเรอย ๆ
จะไดวา
1 1 1
1 2 2 2 1
1 2 3 3 3 2
2 1 1
1 1
;0
;0
;0
;0
0
k k k k k k
k k k
a bq r r b
b rq r r r
r r q r r r
r r q r r r
r r q
ดงนน kr ซงเปนเศษตวสดทายทไมใชศนยจะเปน ห.ร.ม. ของ a และ b 3. ผลจากขนตอนวธของยคลด ท าใหไดวา ถา d = ( a , b ) แลว จะมจ านวนเตม x และ y ทท าให d = ax + by 4. ให 1 2, ,..., na a a เปนจ านวนเตมบวกทไมเปนศนยพรอมกน จ านวนเตมบวก D ทมคามากทสด ซง 1 2, ,..., nD a D a D a เรยกวาเปน ตวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 1 2, ,..., na a a ใชสญลกษณ 1 2, ,..., na a a แทน ห.ร.ม. ของ 1 2, ,..., na a a 5. 1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a 6. จ านวนเตม a และ b เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ กตอเมอ ( a , b ) = 1 7. a และ b เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ กตอเมอ มจ านวนเตม x และ y ทท าให ax + by = 1 8. ก าหนดจ านวนเตม a , b และจ านวนเฉพาะ p ถา p ab จะได p a หรอ p b ตวคณรวมนอย 1. ให a , b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย จ านวนเตมบวก c ทมคานอยทสด ซง a c และ b c เรยกวา ตวคณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ a และ b ใชสญลกษณ [ a , b ] แทน ค.ร.น. ของ a และ b 2. ให 1 2, ,..., na a a เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย จ านวนเตมบวก C ทมคานอยทสด ซง 1 2, ,..., na C a C a C เรยกวา ตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) ของ 1 2, ,..., na a a ใชสญลกษณ 1 2, ,..., na a a แทน ค.ร.น. ของ 1 2, ,..., na a a 3. 1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a
4. ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวก แลว ab = ( a , b )[ a , b ]
www.tutorferry.com T. 0998230343
14
ฟงกชน (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 7.5%)
คอนดบ (Ordered pairs) : คอนดบ (a , b) ม a เปนสมาชกตวหนา และ b เปนสมาชกตวหลง เมอสลบต าแหนงจะไดคอนดบใหมตางจากเดม ยกเวนกรณท a = b นนคอ
(a , b) = (c , d) กตอเมอ a = c และ b = d ผลคณคำรทเซยน (Cartesian product) : ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบ (a , b) ทงหมด โดยท a A และ b B เขยนแทนดวย A B A B a,b a A b B และ ขอสรปเกยวกบผลคณคำรทเซยน 1. A B C (A B) A C 2. A B C A B A C 3. A B C A B A C 4. A B C A C B C 5. A B C A C B C 6. A B C A C B C 7. A B B A A B A B 8. A B B A A B A B 9. A B C D A C B D 10. A B C D A C B D 11. ถา A B และ C D แลว A C B D 12. ถา A,B แลว A B B A กตอเมอ A B 13. A B กตอเมอ A หรอ B 14. ถา A B A C และ A แลว B C 15. ถา A, B เปนเซตจ ากด แลว n(A B) n(A) n(B) 16. ถา A เปนเซตอนนต และ B แลว A B เปนเซตอนนต ควำมสมพนธ (Relations) : r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r A B ขอสงเกต
1. r เปนความสมพนธใน A เมอ r A A 2. ถา (a ,b) r หมายถง a มความสมพนธ r กบ b เขยนแทนดวย a r b
/
www.tutorferry.com T. 0998230343
15
3. ถา (a , c) r หมายถง a ไมมความสมพนธ r กบ c เขยนแทนดวย a r c กราฟของความสมพนธ : ก าหนดให R เปนเซตของจ านวนจรง r เปนสบเซตของ R R กราฟของความสมพนธ r คอ เซตของจดในระนาบ โดยทแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธ r กราฟของความสมพนธอาจเปน จด เสน หรอ อาณาบรเวณ ถามเสนทบ แสดงวาทกจดบนเสนทบรวมอยในกราฟ แตถามเสนประ แสดงวาทกจดในแนวเสนประไมรวมอยในกราฟ โดเมน และ เรนจ ของความสมพนธ ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr
rD a A b B (a,b) rม ซง เรนจของ r คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr rR b B a A (a,b) r ม ซง ขอสงเกต rD A และ rR B
อนเวอรสของความสมพนธ : อนเวอรสของความสมพนธ r เขยนแทนดวย 1r โดยท 1r y, x x, y r
ขอสงเกต ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B จะไดวา 1. 1r จะเปนความสมพนธจาก B ไป A 2. 1 rr
1.7 ฟงกชนตรรกยะอน ๆ เชน 1.7.1 ฟงกชนก าลงสาม 3f x x
1.7.2 ฟงกชนสวนกลบ 1
f xx
; 0x
1.8 ฟงกชนอตรรกยะ เชน
1.8.1 ฟงกชนรากท 2 f x x ; 0x 1.8.2 ฟงกชนรากท 3 3f x x
1.9 ฟงกชนคาสมบรณ ( absolute value function) ตวอยำง เชน f x x a b
มกราฟเปนเสนตรง 2 เสน คอ f x x a b เมอ x a
และ f x a x b เมอ x a มเสนสมมาตร คอ เสนตรง x a และเสนสมมาตรผานจด ,a b
1.10 ฟงกชนขนบนได ( Step function) ตวอยำง เชน
3; 2
2; 2 1
1;1 3
2; 3
x
xf x
x
x
f x x x หมายถง จ านวนเตมทมากทสดทนอยกวาหรอเทากบ x 2. ฟงกชนอดศย (transcendental function) คอ ฟงกชนทไมใชฟงกชนพชคณต ไดแก 2.1 ฟงกชนเอกซโพเนนเซยล (exponential function) หรอฟงกชนเลขชก าลง xf x a ; 0a และ 1a fD R และ fR R
- กราฟเปนเสนโคง ผานจด 0,1 เพราะ 0 1a
www.tutorferry.com T. 0998230343
19
- ถา 1a เมอ x มคาเพมขน y จะมคาเพมขน (ฟงกชนเพม) - ถา 0 1 a เมอ x เพม y ลด (ฟงกชนลด) - 1 2
x xa a เมอ
1 2x x - ถา 0b และ 1b แลว x xa b และ a b เมอ 0x - 0xa เมอ 0a
2.2 ฟงกชนลอการทม เชน logaf x x ; 0a และ 1a
fD R และ fR R
2.3 ฟงกชนตรโกณมต เชน sinf x x
fD R และ 1,1fR
ฟงกชนอน ๆ ทนาสนใจ 1. ฟงกชนทเปนคาบ ( periodic function ) เชน f ( x + k ) = f ( x ) 2. ฟงกชนคและฟงกชนค ( even function and odd function ) f ( -x ) = f ( x ) ; even function f ( -x ) = -f ( x ) ; odd function 3. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด ถา 2 1x x แลว 2 1f x f x ; ฟงกชนเพม ถา 2 1x x แลว 2 1f x f x ; ฟงกชนลด
ลกษณะของฟงกชน แบงออกเปน 3 แบบ คอ
1. ฟงกชนหนงตอหนง (one-to-one function) คอ ฟงกชนทไมมสมาชกตวหลงของสองคอนดบใด ๆ เหมอนกน แตสมาชกตวหนาตางกน f เปนฟงกชนหนงตอหนง กตอเมอ ถา 1,x y f และ 2 ,x y f แลว 1 2x x การพจารณาวาฟงกชนใดเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม อาจพจารณาจากกราฟของฟงกชน โดยลากเสน ขนานแกน X ถาไมมเสนใดตดกราฟมากกวา 1 จด ฟงกชนนนเปนฟงกชนหนงตอหนง แตถามเสนใดตด มากกวา 1 จด ฟงกชนนนไมเปนฟงกชนหนงตอหนง ( many-to-one function )
www.tutorferry.com T. 0998230343
20
2. ฟงกชนจาก A ( function from A ) f เปนฟงกชนจาก A ไป B หมายถง ฟงกชน f มโดเมนเทากบเซต A และมเรนจเปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย :f A B โดยท fD A และ fR B 3. ฟงกชนทวถง ( onto function ) f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B หมายถง ฟงกชน f มโดเมนเทากบเซต A และมเรนจเทากบเซต B เขยนแทนดวย :
ontof A B โดยท fD A และ fR B
หมายเหต f เปนฟงกชนจาก A ไปไมทวถง B หมายถง ฟงกชน f มโดเมนเทากบเซต A และมเรนจ ไมเทากบเซต B เขยนแทนดวย :
ontof A B โดยท fD A และ fR B ( onto หมายถง ไมทวถง )
ขอสงเกต ถาก าหนดให f เปนฟงกชนจาก A ไป B เขยนแทนดวย :f A B สามารถจ าแนกลกษณะของฟงกชนได 4 ลกษณะ ดงน 1. f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย 1 1:
ontof A B
2. f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปไมทวถง B เขยนแทนดวย 1 1:onto
f A B 3. f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย 1: many
ontof A B
4. f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปไมทวถง B เขยนแทนดวย 1: many
ontof A B
ฟงกชนคอมโพสท ( composite function ) ให f และ g เปนฟงกชน โดยท f gR D ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g ซงเขยนแทนดวย สญลกษณ gof ส าหรบทก ๆ คาของ x ซงอยในโดเมนของ f และ f ( x ) อยในโดเมนของ g ( gof ) ( x ) = g ( f ( x ) )
gof fD D และ gof gR R ถา 1 1:
ontof A B และ 1 1:
ontog B C แลว 1 1:
ontogof A C
www.tutorferry.com T. 0998230343
21
ฟงกชนอนเวอรส ( Inverse function ) ให f เปนฟงกชน 1f จะเปนฟงกชน กตอเมอ f เปนฟงกชนหนงตอหนง และเรยกฟงกชน 1f วา ฟงกชนอนเวอรส โดยท 1f y, x x, y f
ขอสงเกต ถา 1 1:onto
f A B จะไดวา 1. 1 11 :
ontof B A
2. 1 ffD R และ 1 ff
R D 3. กราฟของ f และ 1f มเสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร
4. f กตอเมอ 1f 5. 1fof x x ; ฟงกชนเอกลกษณ 6. 1f of x x ; ฟงกชนเอกลกษณ
พชคณตของฟงกชน ( Algebra of function ) คอ การสรางฟงกชนใหม โดยน าฟงกชนเดม อยางนอย 2 ฟงกชนมา บวก ลบ คณ หาร ให f และ g เปนฟงกชนทม fD และ gD เปนโดเมนของ f และ g ตามล าดบ f g f gf g x, y y f x g x ;D D D
ij mxnA a และ c เปนคาคงตว ผลคณของ c และ A คอ เมทรกซ
ij mxnb
เมอ bij = caij ส าหรบทก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n เขยนแทนดวย cA ขอสงเกต 1. A B A 1 B A B เมอ A และ B มมตเดยวกน 2. ให ij ijmxn mxn
A a ,B b และ ,B เปนคาคงตว จะไดวา ij mxnA B c เมอ
ij ij ijc a b ส าหรบทก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n 3. เมทรกซทมมต m x n และสามารถทกต าแหนงเปนศนยเรยกวา เมทรกซศนย แทนดวย 0mxn หรอ 0 สมบตทเกยวของกบกำรบวกเมทรกซและกำรคณเมทรกซดวยคำคงตว ก าหนดให A,B,C,O มมต mxn และ c,d เปนคาคงตว 1. A B มมต mxn 2. สมบตการสลบท A B B A 3. สมบตการเปลยนหม A B C A B C 4. การมเอกลกษณการบวก A O A O A เมอ O เปนเอกลกษณการบวก 5. การมตวผกผนการบวก A A O A A เมอ A เปนตวผกผนการบวกของ A 6. c A B cA cB 7. c d A cA dA 8. cd A c dA 9. 1A A 10. 0A 0
www.tutorferry.com T. 0998230343
24
กำรคณเมทรกซดวยเมทรกซ ถา
ij mxnA a และ
nxrijbB แลว A คณ B คอ เมทรกซ mxrijc เมอ
ij i1 1j i2 2 j in njc a b a b ... a b ส าหรบทก i 1,2,...,m และ j 1,2,..., r
11a 12a
1na 11b
12b 1rb
21a 22a 2na
21b 22b
2rb =
m1a m2a mna n1b n2b nrb
n
1k k1
k 1
a b
n
1k k2
k 1
a ,b
n
1k kr
k 1
a b
n
2k k1
k 1
a b
n
2k k2
k 1
a b
n
2k kr
k 1
a b
n
mk k1
k 1
a b
n
mk k2
k 1
a b
n
mk kr
k 1
a b
เมอ n
ik kj ij ij i2 2 j in nj
k 1
a b a b a b ... a b
ขอสงเกต 1. AB จะหาคาไดเมอ A มจ านวนหลกเทากบจ านวนแถวของ B เทานน 2. AB BA ( AB อาจจะเทากบ BA หรอไมเทากนกได ) 3. ถา A เปน nxn เมทรกซ
'A A 2A AA 3 2A AA
www.tutorferry.com T. 0998230343
25
k k 1A AA เมอ k I และ k 1 เมทรกซเอกลกษณ ส าหรบจ านวนเตมบวก n ใด ๆ จะให
nxnjkn iI มสมาชกดงน l เมอ j k 0 เมอ j k
เรยก In วาเปนเมทรกซเอกลกษณ มต nxn อาจเขยนเปน I
ขอสงเกต 1. n nAI A I A
2. ถา AB A BA แลว B อาจจะเทากบ In หรอไมเทากบ In กได เมทรกซสลบเปลยน
ให ij mxnA a ถา
nxmijbB มสมบตวา bij = aji ทก 1,2,...,i n และ 1,2,...,j m แลว
เรยก B วาเปน เมทรกซสลบเปลยนของ A แทนดวย At
ขอสงเกต ถา A เปน mxn เมทรกซแลว At จะเปน nxm เมทรกซทมแถวท i เหมอนหลกท i ของ A ทก
1,2,...,i n สมบตทเกยวของกบกำรคณเมทรกซและเมทรกซสลบเปลยน ถา , ,ij ij ijmxn nxp pxq
A a B b C c แลว
1. A BC AB C 2. 0 0mxn mxnA 3. 0 0nxp mxpA 4. mI A A 5. nAI A 6. cA B A cB c AB เมอ c คอคาคงตว 7. A B D AB AD เมอ D เปน nxp เมทรกซ 8. A E B AB EB เมอ E เปน mxn เมทรกซ 9.
t t tA F A F เมอ F เปน mxn เมทรกซ 10.
t t tAB B A
11. t
tA A
www.tutorferry.com T. 0998230343
26
12. t tcA cA เมอ c เปนคาคงตว
ขอสงเกต 1.
2 2 22A B A AB B 2. 2 2A B A B A B ทง 2 กรณจะเทากน เมอ AB BA ตวผกผนกำรคณของเมทรกซ ( อนเวอรสกำรคณ ) ให A เปน n xn เมทรกซ ถา B เปน n x n เมทรกซทมสมบต วา nAB BA I แลวจะเรยก B วาเปน ตวผกผนการคณของ A และเขยนแทน B ดวย A-1
ขอสงเกต 1. nI เปนเอกลกษณการคณในเซตของเมทรกซทมมต n x n 2. ในระบบจ านวนจรง เซต 0R สมาชกทกตวมตวผกผน การคณ แตในเมทรกซ อาจมเมทรกซทไมเทากบ onxn และไมมตวผกผนการคณ 3. a b ถา A และ 0ad bc c d
1 1 d bA
c aad bc
กำรหำตวผกผนกำรคณของเมทรกซ เมอ A เปน 2 x 2 เมทรกซ เราหา 1A ไดจากการสรางเมทรกซทมสมาชกของเมทรกซไดจากการแกระบบสมการเชงเสน 4 ตวแปรและประกอบดวย 4 สมการ ดงนนถา A เปน n x n เมทรกซ การหา 1A ตองแกระบบสมการเชงเสน 2n ตวแปร จ านวน 2n ตวแปร จ านวน 2n สมการซงจะไมสะดวกในทางปฏบต ดเทอรมแนนต ให 11xaA เรยก a วาเปนดเทอรมแนนตของ A ซง a จะเปนทงสมาชกและ ดเทอรมแนนตของ A ไมเนอรและตวประกอบรวมเกยว ให ij nxn
A a เมอ 2n ไมเนอรของ ija คอ ดเทอรมแนนตของเมทรกซทไดจากการตดแถวท i
และ หลกท j ของ A ออก เขยนแทนดวย ijM A
www.tutorferry.com T. 0998230343
27
ตวอยำงเชน ถา 11 12
21 22
a aA
a a
จะไดวา
11 22M A a 12 21M A a 21 12M A a 22 11M A a ตวประกอบรวมเกยว ให ij nxn
A a เมอ 2n ตวประกอบรวมเกยวของ ija คอ ผลคณของ 1i j
และ ijM A
เขยนแทนดวย Cij(A) 1
i j
ij ijC A M A
ตวอยำงเชน ถา 11 12
21 22
a aA
a a
จะไดวา
1 1 2
11 11 22 221 1C A M A a a
1 2 3
12 12 21 211 1C A M A a a
2 1 3
21 21 12 121 1C A M A a a
2 2 4
22 22 11 111 1C A M A a a
กำรหำดเทอรมแนนต ของ n x n เมอ n 2
ให ij nxnA a เมอ 2n ดเทอรมแนนตของ A คอ 11 11 12 12 1 1... n na c A a c A a c A
เขยนแทนดวย det A 11 11 12 12 1 1det ... n nA a c A a c A a c A 11a 12a 1na หรอ det A 21a 22a 2na
1na 2na nna
ตวอยำงเชน ถา 1211
21 22
a aA
a a
จะไดวา
11 11 12 12det A a C A a C A 11 22 12 12a a a a 11 22 12 21a a a a
www.tutorferry.com T. 0998230343
28
กำรหำดเทอรมแนนตของ n x n เมทรกซ เมอ n = 3 ถา
3 3ij xA a จะไดวา
11a 12a 13a det A 21a 22a 23a 31a 32a 33a 11 11 12 12 13 13a C A a C A a C A 11 11 12 12 13 13a M A a M A a M A
22 23 21 23 21 22
11 12 13
31 3232 33 31 33
a a a a a aa a a
a aa a a a
11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13 21 32 31 32a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a a a a a a a a a a ขอสงเกต เมอ
3 3ij xA a การหา det A ท าไดโดยน าหลกท 1 และ 2 ของ A มาเขยนตอจากหลกท 3 ดงน
a31a22a13 32 23 11a a a 33 21 12a a a 11a 12a 13a 11a 12a 21a 22a 23a 21a 22a 31a 32a 33a 31a 32a 11 22 33a a a 12 23 31a a a 13 21 32a a a ให h ผลบวกของผลคณในแนวเฉยงจากซายบนลงมาขวาลาง 11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a และ k ผลบวกของผลคณในแนวเฉยงจากซายลางขนไปขวาบน 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a
det A h k
www.tutorferry.com T. 0998230343
29
สมบตของดเทอรมแนนต ก าหนดให
ij nxnA a เมอ 2n
1. 12 12det ...ij ij in inA a C A a C A a C A ทก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวท i) 2. 2 2det ...ij ij j j nj njA a C A a C A a C A ทก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวท j) 3. ถา A มสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอหลกใดหลกหนงเปนศนยทกตวแลว det 0A ( เปนผลของสมบตขอ 1 และ 2 ) 4. ถา B ไดจากการสลบแถว 2 แถวหรอสลบหลก 2 หลกของ A แลว det detB A 5. ถา A ม 2 แถวเหมอนกนหรอหลก 2 หลกเหมอนกนแลว det 0A (เปนผลของสมบตขอ 4 ) 6. det dettA A 7. ถา B เกดจากการคณสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอหลกใดหลกหนงของ A ดวยคาคงตว c แลว det detB c A 8. ถา B ไดจาก A โดยสมาชกแถวท j ของ B ไดมาจากการคณแถวท i ของ A ดวยคาคงตว c และน าไป
บวกกบแถวท j ของ A เมอ i j แลว det detB A (สมบตขอนยงคงเปนจรงเมอเปลยนจากแถวเปนหลก ) 9. det detncA c A เมอ c เปนคาคงตว ( เปนผลของสมบตขอ 7 ) 10. det det detAB A B เมอ B เปน n x n เมทรกซ 11. det 1nI 12. ถา ij nxn
A a โดยท 0ija เมอ i j แลว 11 22det ... nnA a a a
13. ถา ij nxnB B โดยท 0ijb เมอ i j แลว 11 22det ... nnB b b b
14. ถา det 0A แลว
1 1det
detA
A
เมทรกซเอกฐำนและเมทรกซไมเอกฐำน ให A เปน n x n เมทรกซ A เปนเมทรกซเอกฐาน เมอ det 0A A เปนเมทรกซไมเอกฐาน เมอ det 0A เมทรกซผกพน
ให A เปน n x n เมทรกซ เมอ 2n เมทรกซผกพนของ A คอ t
ijC A แทนดวย adj A
t
ijadj A C A
www.tutorferry.com T. 0998230343
30
สรปไดวำ 1. A det nadj A adj A A A I 2. A มตวผกผนการคณกตอเมอ A เปนเมทรกซไมเอกฐานและ det 0A จะไดวา
1 1
detA adj A
A
3. ถา det 0A และมมต nxn จะไดวา
1
det detn
adj A A
กำรใชเมทรกซแกระบบสมกำรเชงเสน ก าหนดระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และ n ตวแปร 11 1 12 2 1 1n na x a x a x b
22 221 1 2 2n na x a x a x b
1 1 2 2m m mn n ma x a x a x b สมการเมทรกซทสมพนธกบระบบสมการน คอ
11a 12a 1na x1 1b
21a 22a 2na x2 = 2b
1ma 2ma mna xn mb
A X B จะไดวา AX B ถา m = n และ det 0A แลวเราสามารถหาค าตอบของระบบไดจาก 1X A B
www.tutorferry.com T. 0998230343
31
กฎของครำเมอร เมอก าหนดระบบสมการเชงเสนทม n สมการ และ n ตวแปรโดย AX = B เปนสมการเมทรกซทสมพนธกบระบบของสมการน 11a 12a 1na x1 1b ให A = 21a 22a 2na , X x2 , B = 2b
1na 2na nna xn nb ถา det 0A แลว ค าตอบของระบบสมการน คอ
1 2
1 2
det det det, ,...,
det det det
n
n
A A AX X X
A A A เ มอ iA คอ เมทรกซทไดจากการแทนหลกท i ของ A
ดวยหลกของ B ทก 1,2,...,i n เมทรกซแตงเตม ก าหนดระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และ n ตวแปร 11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b 21 1 22 2 2 2... n na x a x a x b
1 1 2 2 ...m m mn n ma x a x a x b เมทรกซแตงเตม ของระบบสมการน คอ 11a 12a 1na 1b 21a 22a 2na 2b
1ma 2ma mna mb กำรด ำเนนกำรตำมแถว ให A เปน m x n เมทรกซ เรยกการด าเนนการตอไปนวาเปนการด าเนนงานตามแถวกบ เมทรกซ A 1. สลบทแถว i และ j ของ A เขยนบนแทนดวย ijR 2. คณแถวท i ดวยคาคงตว 0c เขยนแทนดวย icR
www.tutorferry.com T. 0998230343
32
3. เปลยนแถวท i ของ A โดยน าคาคงตว c คณแถวท j j i แลวน าไปบวกกบแถวท i เขยนแทน ดวย
i jR cR รปแบบขนบนไดแบบแถว ให A เปน m x n เมทรกซ เรากลาววา A มรปแบบขนบนไดแบบแถว เมอ A มสมบตตอไปน 1. ถา A มแถวทมสมาชกบางตวไมเทากบ 0 แลวสมาชกตวแรก ( จากซายไปขวา )ทไมใช 0 ตองเปน 1 เรยก 1 ตวนวาเปน 1 ตวน าในแถว 2. ถา A มแถวทมสมาชกทกตวในแถวเทากบ 0 แถวเหลานตองรวมกนอยต ากวาแถวทมสมาชกบางตวไมเทากบ 0 3. ถา ija เปน 1 ตวน าในแถวท i และ 1i k
a
เปน 1 ตวน าในแถวท i + 1 แลว j k ขอสงเกต 1. ถาเมทรกซ B ไดจากเมทรกซ A ในการด าเนนการตามแถวแลวจะกลาววา B สมมลแบบแถวกบ A แทนดวย
BA 2. A สมมล แบบแถวกบเมทรกซทมรปแบบขนบนไดแบบแถว 3. เมอก าหนดระบบสมการเชงเสนมาให มขนตอนหาค าตอบ ดงน 11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b
221 1 22 2 2... n na x a x a x b
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
3.1 สรางเมทรกซแตงเตม 11a 12a 1na 1b
21a 22a 2na 2b
1na 2na ann nb 3.2 ด าเนนการตามแถวเพอใหไดรปแบบขนบนไดแบบแถว 1 o o 1c o 1 0 2c
o o 1 nc
www.tutorferry.com T. 0998230343
33
3.3 เมทรกซทได จาก 3.2 จะเปนเมทรกซแตงเตมของระบบสมการทมค าตอบชดเดยวกบระบบสมการทก าหนด จะไดวา 1 2 1 2, ,..., , ,..,n nx x x c c c 4. การด าเนนการตามแถว บอกไดวา ระบบสมการทก าหนดมค าตอบเดยว มความค าตอบเปนอนนต หรอไมมค าตอบ 4.1 มค าตอบเดยว ชน 1 0 0 0 1c 0 1 0 0 2c 0 0 1 0 3c 0 0 0 1 4c 1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,x x x x c c c c 4.2 มค าตอบเปนอนนต เชน 1 1 0 0 1c 0 0 1 0 2c 0 0 0 1 3c เซตค าตอบ คอ 1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3, , , ,x x x x lX X c x c X c อาจเขยนเปน 1 2 2 3 1 2 1, , ,x x c c lX X c หรอ 1 1 2 3 1,3 , ,c c c c lc R 4.3 ไมมค าตอบ เชน 1 1a 2a 3a 1c 0 0 1 b 2c 0 0 0 0 3c ถาแถวใดมสมาชกเปน 0 หมดทงแถว ระบบสมการนจะไมมค าตอบ กำรหำตวผกผนโดยกำรด ำเนนกำรตำมแถว ก าหนดให A เปน n x n เมทรกซ โดยท det 0A 11a 12a 1na A = 21a 22a 2na
www.tutorferry.com T. 0998230343
34
1na an2 ann
1. เขยน nA I (เฉพาะสมาชก) 11a 12a 1na 1 0 0 nA I = 21a 22a 2na 0 1 0
1na an2 nna 0 0 1 2. ด าเนนการตามแถว จนได nI B 1 0 0 11b 12b 1nb nI B 0 1 0 12b 22b 2nb
0 0 1 1nb 2nb nnb จะไดวา B เปนตวผกผนการคณของ A 1B A
www.tutorferry.com T. 0998230343
35
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และฟงกชนลอกำรทม (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 5.5%) เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนเตม ถา a R และ n I แลว 1. ...na a a a a a
na เรยกวา เลขยกก าลง a เรยกวา ฐาน n เรยกวา เลขชก าลง
2. 0 1a เมอ 0a
3. 1n
na
a
เมอ 0a
4. 1 n
na
a เมอ 0a
รำกท n ของจ ำนวนจรง รากท 2 : ถา ,a b R แลว b เปนรากท 2 ของ a เมอ 2b a คาหลกของรากท 2 ของ a แทนดวย a เรยกวา กรณฑ ท 2 ของ a 1. ถา 0a รากท 2 ของ a คอ a และ a 2. ถา 0a รากท 2 ของ a คอ 0 3. ถา 0a ไมมรากท 2 ของ a ทเปนจ านวนจรง สมบตของกรณฑท 2 ถา , 0a b 1. a b ab
2. a a
bb เมอ 0b
รากท n ของจ านวนจรง : ให n I และ 1n ถา ,a b R แลว b เปนรากท n ของ a เมอ nb a คาหลกของรากท n ของ a แทนดวย n a เรยกวา กรณฑท n ของ a เมอ n คอดชนของกรณฑ ขอสงเกต 1. ถา 2n จะเขยน แทน 2
2. 0 0n 3. 1 1n
4. n
n a a เมอ n a R
5. ถา 0a แลว 0n a
n ตว
www.tutorferry.com T. 0998230343
36
6. ถา 0a และ 6.1 n เปนจ านวนค แลว 0n a 6.2 n เปนจ านวนค แลว n a ไมใชจ านวนจรง a เมอ 0a 7. n na a เมอ 0a และ n เปนจ านวนค a เมอ 0a และ n เปนจ านวนค สมบตของรากท n ถา n a , n b R 1. n n na b ab
การหาผลคณและผลหารของกรณฑ ถาดชนของกรณฑตางกน ตองท าใหเทากนกอน แลวใชสมบตของราก ท n ถา b , d > 0 จะไดวา
n mmnm n(a b)(c d) (ac) b d
nm
mnmn
a b a b
c dc d ; 0c
เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ 1. ถา ,a R n I และ 1, nn a R
1
nna a 2. ถา a R , m และ n I โดย m
n เปนเศษสวนอยางต า และ 0n , n a R โดยเมอ 0m
แลว 0a
1
mm
mnn na a a
1m
nm mn na a a
www.tutorferry.com T. 0998230343
37
สมบตของเลขยกก ำลง ถา ,m n เปนจ านวนตรรกยะ และ , , , m n n mna a b a R 1. m n m na xa a
2. m
m n
n
aa
a
0a
3. n
m mna a 4.
nn na xb ab
5. nn
n
a a
b b
0b
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ ฟงกชน ( ){ }, ; 0, 1xf x y RxR y a a a+= Î = > ¹
1. fD R= , fR R+= ( )0xa > 2. กราฟผานจด ( )0,1 เพราะ 0 1a = 3. ถา a > 1 เปนฟงกชนเพม และถา 0 < a < 1 เปนฟงกชนลด 4. กราฟไมตดแกน X แตเขาใกลแกน X หรอมแกน X เปนเสนก ากบแนวนอน 5. เปนฟงกชน 1 – 1 จาก R ไปทวถง R+ 1 1:
ontof R R- +¾ ¾®
6. โดยสมบตของฟงกชน 1 – 1 จะไดวา x ya a= กตอเมอ x = y
7. ถา 0b > , 1b ¹ , a b¹ และ x xa b= แลว 0x = 8. ถา 0x > , 0y > และ m , n Î +I
m
nx = y กตอเมอ x = n
my ฟงกชนลอกำรทม ฟงกชนลอการทม คอ ฟงกชน ( ){ }, log ; 0, 1af x y R xR y x a a+= Î = > ¹ 1. เปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล 2. fD R+= , fR R= 3. กราฟของ xy a= และ logay x= มเสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร 4. yx a= สามารถเขยนในรป logay x= 5. กราฟผานจด ( )1,0 เพราะ log 1 0a = 6. ถา a > 1 เปนฟงกชนเพม และถา 0 < a < 1 เปนฟงกชนลด 7. กราฟไมตดแกน Y แตเขาใกลแกน Y หรอมแกน Y เปนเสนก ากบแนวตง
www.tutorferry.com T. 0998230343
38
8. เปนฟงกชน 1 – 1 จาก R+ ไปทวถง R 1 1:
ontof R R-+ ¾ ¾®
9. โดยสมบตของฟงกชน 1 – 1 จะไดวา log loga ax y= กตอเมอ x = y 10. จาก logay x= กตอเมอ ya x= \ loga x
a x= และ log y
ay a=
สมบตของลอกำรทม เมอ , ,a M N R+Î ท 1a ¹ และ k RÎ 1. log log loga a aMN M N= +
2. log log loga a a
MM N
N= -
3. log logk
a aM k M= 4. log 1a a = 5. log 1 0a =
6. 1log logk aa
M Mk
=
7. 1log
logb
a
ab
=
8. loglog
log
cb
c
aa
b=
กำรหำคำลอกำรทม 1. ลอการทมสามญ หมายถง ลอการทมฐาน 10 เชน 10log 2 จะเขยนแทนดวย log 2 2. ถา 0 10nN N x= , 01 10N และ n I จะไดวา 0log logN n N= + N คอ แอนตลอการทมของ log N 3. ลอการทมธรรมชาต หรอลอการทมแบบเนเปยร หมายถง ลอการทมฐาน e ( 2.718)e » เชน log 2e จะเขยนแทนดวย ln 2
logln 2.3026log
log
xx x
e= » ; log 0.4343e »
www.tutorferry.com T. 0998230343
39
จ ำนวนเชงซอน (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 4.5%)
จ ำนวนเชงซอน จ ำนวนจนตภำพ ( imaginary number )
ถา a R จะไดวา a ai เมอ 1i และ 2 1i ขอสงเกต ถา n I หรอศนย จะไดวา 1. 4 0 1ni i 2. 4 1 1ni i i 3. 4 2 2 1ni i 4. 4 3 3ni i i
จ ำนวนจรง
จ ำนวนตรรกยะ
จ ำนวนเตม จ ำนวนตรรกยะทไมใชจ ำนวนเตม
ศนย จ ำนวนเตมลบ
จ ำนวนเตมบวกหรอจ ำนวนนบ
จ ำนวนอตรรกยะ
จ ำนวนเชงซอน
จ ำนวนจนตาำ
www.tutorferry.com T. 0998230343
40
จ ำนวนเชงซอน ( complex number ) จ านวนเชงซอน คอ คอนดบ ( a , b ) เมอ ,a b R ถา z เปนจ านวนเชงซอน จะไดวา z = ( a , b ) = a + bi a คอ สวนจรง ( real part ) ของ z แทนดวย Re ( z ) b คอ สวนจนตภาพ ( imaginary part ) ของ z แทนดวย Im ( z ) เซตของจ านวนเชงซอน แทนดวย C ขอสงเกต 1. จ านวนจรง คอ จ านวนเชงซอนทมสวนจนตภาพเปน ศนย 2. จ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปนศนย แตสวนจนตภาพไมเปนศนย เรยกวา จ านวนจนตภาพแท 3. ทงจ านวนจรงและจ านวนจนตภาพเปนสบเซตของจ านวนเชงซอน สมบตของจ ำนวนเชงซอน ก าหนดให , , , ,a b c d k R 1. สมบตการเทากน a + bi = c + di กตอเมอ a = c และ b = d 2. การบวกจ านวนเชงซอน ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i 3. การคณจ านวนเชงซอน 3.1 การคณจ านวนเชงซอนดวยจ านวนจรง k( a + bi ) = ka + kbi 3.2 การคณจ านวนเชงซอนดวยจ านวนจนตภาพ i i( a + bi ) = -b + ai 3.3 การคณจ านวนเชงซอนดวยจ านวนเชงซอน ( a + bi )( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc )i 4. สมบตการบวกและการคณจ านวนเชงซอน ถา z1 , z2 , z3 เปนจ านวนเชงซอน จะไดวา 4.1 สมบตการสลบท z1 + z2 = z2 + z1 และ z1z2 = z2z1 4.2 สมบตการเปลยนหม z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3 z1( z2z3 ) = ( z1z2 )z3 4.3 สมบตการแจกแจง z1( z2 + z3 ) = z1z2 + z1z3
www.tutorferry.com T. 0998230343
41
5. เอกลกษณการบวก ( a , b ) + ( 0 , 0 ) = ( a , b ) = ( 0 , 0 ) + ( a , b ) นนคอ ( 0 , 0 ) เปนเอกลกษณการบวกในระบบจ านวนเชงซอน 6. ตวผกผนการบวก ( อนเวอรสการบวก ) ถา z = ( a , b ) = a + bi ตวผกผนการบวกของ z คอ -z = -a - bi 7. การลบจ านวนเชงซอน z1 - z2 = z1 + ( -z2 ) การลบจ านวนเชงซอน คอ การบวกดวยตวผกผนการบวกของจ านวนเชงซอน 8. เอกลกษณการคณ ( a , b )( 1 , 0 ) = ( a , b ) = ( 1 , 0 )( a , b ) นนคอ ( 1 , 0 ) เปนเอกลกษณการคณในระบบจ านวนเชงซอน 9. ตวผกผนการคณ ( อนเวอรสการคณ ) ถา z = ( a , b ) = a + bi โดยท z ( 0 , 0 )
ตวผกผนการคณของ z คอ 12 2
a biz
a b
10. การหารจ านวนเชงซอน
1 11 2 1 2
2
zz z z z
z
การหารจ านวนเชงซอน คอ การคณดวยตวผกผนการคณของจ านวนเชงซอน สงยคของจ ำนวนเชงซอน ( conjugate ) ถา z = a + bi สงยคของ z แทนดวย z
z a bi a bi ขอสงเกต 2 2zz a b สมบตของสงยค
1. 1
Re( ) ( )2
z z z , 1
Im( ) ( )2
z z zi
2. z z
3. 1 1
( )z z เมอ (0,0)z
4. 1 2 1 2z z z z
www.tutorferry.com T. 0998230343
42
5. 1 2 1 2z z z z 6. 1 2 1 2z z z z
7. 1 1
2 2
z zz z
เมอ 2 (0,0)z
การน าสงยคมาใชในการหารจ านวนเชงซอน ถา z1 = a + bi และ z2 = c + di โดยท 2 (0,0)z
1
2
12 2
2
z a bi a bi c diz c di c di c diz ac bd bc ad iz c d
รำกท 2 ของจ ำนวนเชงซอน
ถา z = a + bi และ 2 2c a b แลวรากท 2 ของ z คอ
2 2
c a c ai
เมอ 0b
2 2
c a c ai
เมอ b < 0
ขอสงเกต 1. ถา z = ( 0 , 0 ) รากท 2 ของ z จะมเพยงจ านวนเดยว คอ ( 0 , 0 ) 2. ถา z ( 0 , 0 ) รากท 2 ของ z จะม 2 จ านวนทแตกตางกน 3. ถา z = ( a , 0 )
รากท 2 ของ z = , 0
, 0
a a
a i a
4. ถา z = ( 0 , b )
รากท 2 ของ z =
, 02 2
, 02 2
b bi b
b bi b
www.tutorferry.com T. 0998230343
43
กรำฟของจ ำนวนเชงซอน จ านวนเชงซอนอยในรปของคอนดบ ( a , b ) โดย a เปนสวนจรง และ b เปนสวน- จนตภาพ ซงแทนไดดวยจดบนระนาบในระบบแกนมมฉาก โดยแกนนอนเรยกวา แกนจรง แกนตงเรยกวา แกนจนตภาพ และระนาบทเกดจากแกนทง 2 เรยกวา ระนาบเชงซอน ให แกน X แทนแกนจรง และแกน Y แทนแกนจนตภาพ จ านวนเชงซอน 1 + 2i แทนไดดวยจด ( 1 , 2 ) หรอแทนดวยเวกเตอรทมจด ( 0 , 0 ) เปนจดเรมตน และจด ( 1 , 2 ) เปนจดสนสด
คำสมบรณ ( absolute value หรอ modulus ) ของจ ำนวนเชงซอน
ถา z = a + bi คาสมบรณของจ านวนเชงซอน z คอจ านวนจรง 2 2a b เขยนแทนดวย z หรอ a bi
2 2z a bi a b ขอสงเกต a bi คอระยะทางจากจดก าเนด ( 0 , 0 ) ถงจด ( a , b ) ในระนาบเชงซอน สมบตของคาสมบรณ 1. 22z zz z 2. z z z
3. 1 1z z เมอ z ( 0 , 0 )
4. 1 2 1 2z z z z
5. 11
2 2
zzz z เมอ z ( 0 , 0 )
-1
-1
0
Y
X
1 2 3 4
2
3
. ( 1 , 2 )
( 1 , 2 )
www.tutorferry.com T. 0998230343
44
6. 1 2 1 2z z z z
7. 1 2 1 2z z z z
8. 2 2 2 21 2 1 2 1 22 2z z z z z z
9. 21 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z
10. 21 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z
ขอสงเกต 1. 1 2z z คอระยะทางระหวางจด z1 และ z2 ในระนาบเชงซอน 2. ถา z1 และ z2 เปนจ านวนเชงซอน r เปนจ านวนจรงบวก 2.1 1 1 2z C z z r คอเซตของจดทงหมดในระนาบเชงซอนทมระยะหางจาก z1 เทากบ r
ซงกคอเซตของจดทงหมดทอยบนเสนรอบวงของวงกลมทม z2 เปนจดศนยกลาง และมรศม r จ ำนวนเชงซอนในรปเชงขว ถา z = x + yi เราสามารถเขยนในรปเชงขวไดดงน z = r ( cos + isin ) การคณและการหารจ านวนเชงซอนในรปเชงขว ก าหนดให z = r ( cos + isin ) , z1 = r1 ( cos 1 + isin 1 ) , z2 = r2 ( cos 2 + isin 2 ) 1. sincos irz
2. sincos11
irz
3. 21212121 sincos irrzz
4. 2121
2
1
2
1 sincos ir
r
z
z
ทฤษฎบทของเดอมวร ถา z = r ( cos + isin ) และ In จะไดวา ninrz nn sincos รำกท n ของจ ำนวนเชงซอน ถา z = r ( cos + isin ) แลวรากท n ของ z แทนดวย zk
n
ki
n
krz n
k
2sin
2cos
เมอ k = 0 , 1 , 2 , … , n-1
www.tutorferry.com T. 0998230343
45
เรขำคณตวเครำะห (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 3%)
เรขำคณต ระยะทางระหวางจดสองจด 1. ถา 1 1,0P x และ 2 2 ,0P x อยบนแกน X หรอถา 1 1,P x y และ 2 2 ,P x y ขนานแกน X 1 2 1 2PP x x 2. ถา 1 10,P y และ 2 20,P y อยบนแกน Y หรอถา 1 1,P x y และ 2 2,P x y ขนานแกน Y 1 2 1 2PP y y 3. ถา 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y เปนจดในระนาบแลว
2 2
1 2 1 2 1 2PP x x y y จดกงกลางระหวางจดสองจด ถา ,P x y เปนจดกงกลางระหวางจด 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y แลว
1 2
2
x xx
1 2
2
y yy
จดแบงระหวางจดสองจด ให 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y เปนจดในระนาบแลว ถา ,P x y เปนจดบนเสนตรง 1 2PP โดยท 1 2 1 2: :PP PP r r แลว
2 1 1 2
1 2
r x r xx
r r
2 1 1 2
1 2
r y r yy
r r
จดรวมมวล หรอจดตดกนของเสนมธยฐาน ให 1 1,A x y , 2 2,B x y และ 3 3,C x y เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC ถา ,P x y เปน จดรวมมวลของรปสามเหลยม ABC แลว
1 2 3
3
x x xx
1 2 3
3
y y yy
เสนมธยฐาน คอ เสนทลากจากจดยอดไปแบงครงฐาน
www.tutorferry.com T. 0998230343
46
พนทของรปสามเหลยมใด ๆ ให 1 1,A x y , 2 2,B x y และ 3 3,C x y เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC
พนทของรปสามเหลยม ABC = 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1
2x y x y x y x y x y x y
พนทของรปสเหลยมใด ๆ ให 1 1,A x y , 2 2,B x y , 3 3,C x y และ 4 4,D x y เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD
เสนตรง ความชนของเสนตรง ให L เปนเสนตรงทผานจด 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y โดยท 1 2x x m เปนความชนของเสนตรง L
1 2
1 2
y ym
x x
m > 0 เสนตรงท ามมแหลมกบแกน X m < 0 เสนตรงท ามมปานกบแกน X m = 0 เสนตรงขนานกบแกน X m หาคาไมได เสนตรงขนานกบแกน Y ถา เปนมมทเสนตรงท ากบแกน X แลว tanm เสนขนานและเสนตงฉาก ใหเสนตรง 1L และ 2L มความชน 1m และ 2m ตามล าดบ 1. 1 2//L L กตอเมอ 1 2m m 2. 1 2L L กตอเมอ 1 2 1m m มมระหวางเสนตรง ใหเสนตรง 1L และ 2L มความชน 1m และ 2m ตามล าดบ ถา เปนมมระหวางเสนตรง 1L และ 2L โดยท 0 90 แลว
1 2
1 2
tan1
m m
m m
www.tutorferry.com T. 0998230343
47
สมการเสนตรง 1. เสนตรงขนานแกน X y = b ความชน = 0 ตดแกน Y ทจด ( 0 , b ) 2. เสนตรงขนานแกน Y x = a ไมมความชน ตดแกน X ทจด ( a , 0 ) 3. เสนตรงทไมขนานแกน X และไมขนานแกน Y 3.1 มความชนเทากบ m และผานจด 1 1x , y 1 1y y m x x ความสมพนธ คอ 1 1x, y RxR y y m x x
3.2 ผานจด 1 1x , y และ 2 2x , y
1 1 2
1 1 2
y y y y
x x x x
สมการเสนตรงในรปมาตรฐาน y mx c ความชน = m
ระยะตดแกน X = c
m , ระยะตดแกน Y = c
จดตดแกน X คอ c,0
m
, จดตดแกน Y คอ 0,c
สมการเสนตรงในรปทวไป Ax By C 0
ความชน = A
B
ระยะตดแกน X = C
A , ระยะตดแกน Y = C
B
จดตดแกน X คอ C,0
A
, จดตดแกน Y คอ C0,
B
www.tutorferry.com T. 0998230343
48
สมการเสนตรงในรประยะตดแกน
x y1
a b
ความชน = b
a
ระยะตดแกน X = a , ระยะตดแกน Y = b จดตดแกน X คอ a,0 , จดตดแกน Y คอ 0, b ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด ระยะหางระหวางเสนตรง Ax By C 0 กบจด 1 1x , y คอ
1 1
2 2
Ax By Cd
A B
ระยะหางระหวางเสนตรง Ax By C 0 กบจดก าเนด คอ
2 2
Cd
A B
ระยะหางระหวางเสนตรงกบเสนตรง ระยะหางระหวางเสนตรง 1Ax By C 0 และ 2Ax By C 0 คอ
จดศนยกลาง 0,0 0,0 จดยอด ( จดปลายแกนเอก ) a,0 0, a จดปลายแกนโท 0, b b,0 แกนเอก อยบนแกน X ยาว 2a อยบนแกน Y ยาว 2a แกนโท อยบนแกน Y ยาว 2b อยบนแกน X ยาว 2b โฟกส c,0 0, c ระยะระหวางโฟกส 2c 2c 2. วงรทมจดศนยกลางอยท h, k
สมการรปแบบมาตรฐาน 2 2
2 2
x h y k1
a b
2 2
2 2
x h y k1
b a
จดศนยกลาง h, k h, k จดยอด ( จดปลายแกนเอก ) h a,k h, k a จดปลายแกนโท h, k b h b, k แกนเอก ขนานแกน X ยาว 2a ขนานแกน Y ยาว 2a แกนโท ขนานแกน Y ยาว 2b ขนานแกน X ยาว 2b โฟกส h c, k h, k c ระยะระหวางโฟกส 2c 2c ขอสงเกต
1. ความเยองศนยกลาง ce
a ; 0 e 1
2. 2 2 2a b c ; a b 0 และ a c 0 3. เลตสเรกตม คอ สวนของเสนตรงทมจดปลายบนวงร ผานโฟกส และตงฉากกบแกนเอกของวงร
เลตสเรกตม = 22b
a
www.tutorferry.com T. 0998230343
51
4. ผลบวกของระยะทางจากจดใด ๆ บนวงรไปยงโฟกส เทากบ 2a พาราโบลา คอ เซตของจดทงหมดในระนาบซงหางจากจด F ทตรงอยกบทจดหนง และเสนตรง L ทตรงอยกบทเสนหนง เปนระยะทางเทากน จดทตรงอยกบทนเรยกวา โฟกส และเสนตรงทตรงอยกบ ทนเรยกวา เสนบงคบหรอไดเรกตรกซของพาราโบลา 1. พาราโบลาทมจดยอดอยทจดก าเนด สมการรปแบบมาตรฐาน 2x 4py 2y 4px แกนสมมาตร อยบนแกน Y อยบนแกน X จดยอด 0,0 0,0 โฟกส 0, p p,0 ไดเรกตรกซ y p x p เลตสเรกตม 4p 4p ลกษณะกราฟ p > 0 กราฟหงาย p > 0 กราฟเปดขวา p < 0 กราฟคว า p > 0 กราฟเปดซาย 2. พาราโบลาทมจดยอดอยทจด h, k สมการรปแบบมาตรฐาน
2x h 4p y k
2y k 4p x h
แกนสมมาตร ขนานแกน Y ขนานแกน X จดยอด h, k h, k โฟกส h, k p h p, k ไดเรกตรกซ y k p x h p เลตสเรกตม 4p 4p ลกษณะกราฟ p > 0 กราฟหงาย p > 0 กราฟเปดขวา p < 0 กราฟคว า p > 0 กราฟเปดซาย ขอสงเกต
จดศนยกลาง 0,0 0,0 จดยอด a,0 0, a แกนตามขวาง อยบนแกน X ยาว 2a อยบนแกน Y ยาว 2a แกนสงยค อยบนแกน Y ยาว 2b อยบนแกน X ยาว 2b
เสนก ากบ ( asymptote ) by x
a a
y xb
โฟกส c,0 0, c ระยะระหวางโฟกส 2c 2c 2. ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางอยท h, k
สมการรปแบบมาตรฐาน 2 2
2 2
x h y k1
a b
2 2
2 2
y k x h1
a b
จดศนยกลาง h, k h, k จดยอด h a, k h, k a แกนตามขวาง ขนานแกน X ยาว 2a ขนานแกน Y ยาว 2a แกนสงยค ขนานแกน Y ยาว 2b ขนานแกน X ยาว 2b
เสนก ากบ ( asymptote ) b
y k x ha
a
y k x hb
โฟกส h c, k h, k c ระยะระหวางโฟกส 2c 2c ขอสงเกต
1. ความเยองศนยกลาง ce
a ; e 1
2. 2 2 2c a b ; c a 0 และ c b 0 3. ผลตางของระยะทางจากจดใด ๆ บนไฮเพอรโบลาไปยงโฟกส เทากบ 2a
www.tutorferry.com T. 0998230343
53
4. ไฮเพอรโบลาทมเสนก ากบตงฉากกน เรยกวา ไฮเพอรโบลามมฉาก ( a = b ) 5. รปสเหลยมมมฉากศนยกลาง ชวยในการเขยนกราฟ 6. เสนโคงแตละเสน เรยกวา กง ภาคตดกรวยลดรป รปทวไป คอ 2 2Ax Cy Dx Ey F 0 โดยท A และ C ไมเปน 0 พรอมกน และเปน ภาคตดกรวย
1. ถา A = C เปนรปวงกลม 2. ถา A และ C มเครองหมายเหมอนกน และ A C เปนรปวงร 3. ถา A หรอ C เปน 0 เปนรปพาราโบลา 4. ถา A และ C มเครองหมายตางกน เปนรปไฮเพอรโบลา 5. ถาไมเปนตามเงอนไขขอ 1 – 4 จะเปนภาคตดกรวยลดรป 5.1
2 2x h y k 0 ; จด 1 จด
5.2 2 2 2x h y k r , r 0 ; วงกลมจนตภาพ
5.3 2 2
2 2
x h y k0
a b
; จด 1 จด
5.4 2 2
2 2
x h y k1
a b
; วงรจนตภาพ
5.5 2 2
2 2
x h y k0
a b
; เสนตรง 2 เสนตดกน
www.tutorferry.com T. 0998230343
54
ฟงกชนตรโกณมต (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 8.75%)
ฟงกชนไซน และโคไซน
( )
( )
f x
g y
เรยกฟงกชน f และ g วา ฟงกชนโคไซน ( cosine ) และ ฟงกชนไซน ( sine ) โดยเขยนแทนดวย
ถา b = d = 0 เวกเตอรขนานกนและขนานแกน X ขนาดของเวกเตอรใน 2,3 มต ถา 1 2PP เปน เวกเตอรใน 2 มต โดย P1 และ P2 มพกดเปน 1 1,x y แล 2 2,x y ตามล าดบ
1 2PP = 2 1
2 1
x x
y y
1 2PP =
2 2
2 1 2 1x x y y
ถา 1 2PP เปน เวกเตอรใน 3 มต โดย P1 และ P2 มพกดเปน 1 1 1, ,x y z แล 2 2 3, ,x y z ตามล าดบ
1 2PP = 2 1
2 1
2 1
x x
y y
z z
1 2PP =
2 2 2
2 1 2 1 2 1x x y y z z
หมายเหต 1. ถา 1 2PP = a
b
แลว 1 2PP = 2 2a b
2. ถา 1 2PP = a
b
c
แลว 1 2PP = 2 2 2a b c
www.tutorferry.com T. 0998230343
64
เวกเตอร 1 หนวยใน 2 , 3 มต
1. ถา 0a
b
จะไดวา
2 2
1 a
ba b
เปนเวกเตอร 1 หนวย และมทศเดยวกบ a
b
2. ถา 0
a
b
c
จะไดวา 2 2 2
1
a b c
a
b
c
เปนเวกเตอร 1 หนวย และมทศเดยวกบ a
b
c
ขอสงเกต
1. ถา 1 2PP 0 จะไดวา 1 2
1 2
PP
PP เปนเวกเตอร 1 หนวย และมทศเดยวกบ 1 2PP
2. 1
0
เปนเวกเตอร 1 หนวย มทศตามแกน X ไปทางขวา แทนดวย i
1
0
เปนเวกเตอร 1 หนวย มทศตามแกน Y ไปทางบน แทนดวย j
ถาเปนเวกเตอรใน 3 มต
1
0
0
i
,0
1
0
j
และ 0
0
1
= k
3. เขยนเวกเตอร ในรปของเวกเตอร 1 หนวย ,i j และ k
ถา U = a
b
= ai b j
และ ถา V = a
b
c
= ai b j ck
** 2 2ai b j a b
** 2 2 2ai b j ck a b c
โคไซน แสดงทศทำง
1. ถา a = 1
2
3
a
a
a
และ a 0 จะไดวา โคไซนแสดงทศทางของ a เทยบกบแกน X, Y และ Z คอ
1 2,a a
a a และ 3a
a ตามล าดบ
2. ถา 0U และ V O 2.1 U และ V จะมทศทางเดยวกน เมอมโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน 2.2 U และ V จะมทศทางตรงขามกน เมอมโคไซนแตละแกนเปนจ านวนตรงขามกน
www.tutorferry.com T. 0998230343
65
ผลคณเชงสเกลาร 1. ถา 1 1u x i y j= + และ 2 2v x i y j= + แลว 1 2 1 2u v x x y y× = + 1.1 u v v u× = × 1.2 ( )u v w u v u w× + = × + ×
1.3 ( ) ( ) ( )a u v au v u av× = × = ×
1.4 0 0u× =
1.5 2
u u u× =
1.6 1i i j j k k× = × = × = 1.7 0i j j k k i× = × = × = 2. ถา q เปนมมระหวาง u และ v ซง 0 180q£ £ แลว cosu v u v q× =
3. 2
U V± = 2 2
2U V U V+ ± = 2 2
2 cosU V U V q+ ±
4. 2 2 2
U V U V เมอ U ตงฉากกบ V หรอ = 900
5. U V± £ U V+
5.1 U V U V+ = + เมอ 00q =
5.2 U V U V- = + เมอ 0180q =
6. ถา U , V 0 และ U ตงฉากกบ V แลว U V = 0 ขอสงเกต จาก U V = cosU V
และ 00 1800 จะไดวา U V > 0 เมอ 00 < 900 U V = 0 เมอ = 900 U V < 0 เมอ 900< 1800 และ U V มคามากทสดเมอ = 00 U V มคานอยทสดเมอ = 1800
www.tutorferry.com T. 0998230343
66
ผลคณเชงเวกเตอร
จะหาผลคณเชงเวกเตอรไดใน 3 มต เทานน ถา U = 1 1 1x i y j z k และ V = 2 2 2x i y j z k ผลคณเชงเวกเตอรของ U และ V เขยนแทนดวย U V U V = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2y z z y i z x x z j x y y x k
= 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z x z x yi j k
y z x z x y
= 1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
สมบตทส าคญของผลคณเชงเวกเตอร
ก าหนดให ,U V และ W เปนเวกเตอรใด ๆ และ a R 1. 0U U 2. U V V U
3. U V W U W V W
4. U V W U V U W
5. a U V aU V U aV
6. i j k 7. j k i 8. k i j 9. U V W W U V V W U U V W
10. U V W U W V V U V W V U
11. ถา ,U V และ W อยบนระนาบเดยวกน แลว 0U V W
12. ถา ,U V และ W มเวกเตอรทเทากน 2 เวกเตอร แลว 0U V W
มมระหวางเวกเตอร
ถา เปนมมระหวาง U และ V ซง 0 1800 และ , 0U V แลว sinU V U V
www.tutorferry.com T. 0998230343
67
ขอสงเกต ถา U , 0V และไมขนานกน แลว U V ตงฉากกบ U และ V (กฎมอขวา)
การใชเวกเตอร หาพนทของรปสเหลยมดานขนาน
เปนมมระหวาง U กบ V สวนสง (h) ของสเหลยมดานขนาน เทากบ V sin เมอ V
มขนาน V
ฐานของสเหลยมดานขนาน เทากบ U
เมอ U มขนาน U
พนทของสเหลยมดานขนาน = sinU V = U V
การใชเวกเตอรหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน
ทรงสเหลยมดานขนาน ซงม U , V และ W เปนดานทง 3 เปนมมระหวาง U และ V W h เปนมมสงตรงทรงสเหลยมดานขนาน ซงเปนเสนทลากจากจดสนสดของ U มาตงฉากกบระนาบของ V และ W h = cosU
ควำมสมพนธเวยนเกด หมายถง การก าหนดพจนเรมตนจ านวนหนง พรอมกบสตรการหาพจนถดไปจากพจน กอนหนา ตวอยางเชน 1 1a , 2 1a และ 1 2n n na a a เมอ 3n ล ำดบเลขคณต นยาม ล าดบเลขคณต คอ ล าดบทผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงตว และเรยกคาคงตวนวา ผลตางรวม เขยนแทนดวย d an = a1 + (n-1)d เปนพจนทวไปของล าดบเลขคณต ขอสงเกต ถา d = 0 จะได an = a1 นนคอทกพจนของล าดบมคาเทากน เรยกวา ล าดบคงตว เทคนคกำรสมมำตรส ำหรบกำรสมมตคำ ส ำหรบล ำดบเลขคณต
1. จ านวนพจนเปนเลขค ใหก าหนดพจนกลางเปน a ซงจะไดรปทวไปของล าดบ คอ … , a – 2d , a – d , a , a + d , a + 2d , … เชน ม 1 พจน a ม 3 พจน a – d , a , a + d ม 5 พจน a – 2d , a –d , a , a + d , a + 2d
www.tutorferry.com T. 0998230343
69
2. จ านวนพจนเปนเลขค ใหก าหนดพจนกลางเปน a – d และ a + d ซงจะไดรปทวไปของล าดบ คอ … , a – 5d , a – 3d , a – d , a + d , a + 3d , a + 5d , … เชน ม 2 พจน a – d , a + d ม 4 พจน a – 3d , a –d , a + d , a + 3d ม 6 พจน a – 5d , a – 3d , a –d , a + d , a + 3d , a + 5d
ล ำดบเรขำคณต คอ ล าดบทอตราสวนของพจนท 1n ตอพจนท n มคาคงตว และเรยกคาคงตวนวา อตรำสวนรวม เขยนแทนดวย r 1
1
n
na a r เปนพจนทวไปของล าดบเรขาคณต ขอสงเกต ถา 1r จะได 1na a นนคอทกพจนของล าดบมคาเทากน เรยกวา ล าดบคงตว พจนแตละพจนของล าดบเรขาคณตจะไมเทากบ 0 เพราะจะหาคาอตราสวนรวมไมได ดงนน คา 0r ดงนนล าดบ 0,0,0,0,...,0,... เปนล าดบคงตว และเปนล าดบเลขคณตทมผลตางสวนรวมเปนศนย ( d = 0 ) แตไมเปนล าดบเรขาคณต
เทคนคกำรสมมำตรส ำหรบกำรสมมตคำ ส ำหรบล ำดบเรขำคณต
1. จ านวนพจนเปนเลขค ใหก าหนดพจนกลางเปน a ซงจะไดรปทวไปของล าดบ คอ
2
2..., , , , , ,...
a aa ar ar
r r
เชน ม 1 พจน a
ม 3 พจน , ,a
a arr
ม 5 พจน 2
2, , , ,
a aa ar ar
r r
2. จ านวนพจนเปนเลขค ใหก าหนดพจนกลางเปน ar และ ar ซงจะไดรปทวไปคอ
3 5
5 3..., , , , , , ,...
a a aar ar ar
r r r
เชน ม 2 พจน ,a
arr
ม 4 พจน 3
3, , ,
a aar ar
r r
ม 6 พจน 3 5
5 3, , , , ,
a a aar ar ar
r r r
www.tutorferry.com T. 0998230343
70
อนกรม คอ ผลบวกของพจนทกพจนของล าดบ
1. เมอก าหนด 1 2 3, , ,..., na a a a เปนล าดบจ ากด ดงนน 1 2 3 ... na a a a เรยกวา อนกรมจ ำกด
เขยนแทนดวย 1
n
i
i
a
หรอ nS
ดงนน 1 2 3
1
...n
i n n
i
a a a a a S
2. เมอก าหนด 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เปนล าดบอนนต ดงนน 1 2 3 ... ...na a a a เรยกวา อนกรมอนนต
อนกรมเลขคณต เมอก าหนด 1 1 1 1, , 2 ,..., ( 1)a a d a d a n d เปนล าดบเลขคณต ดงนน 1 1 1 1( ) ( 2 ) ... [ ( 1) ]a a d a d a n d เปนอนกรมเลขคณต เขยนแทนดวย
nS
12 ( 1)2
n
nS a n d
หรอ 1( )2
n n
nS a a
อนกรมเรขำคณต เมอก าหนด 2 1
1 1 1 1, , ,..., na a r a r a r เปนล าดบเรขาคณต ดงนน 2 1
1 1 1 1... na a r a r a r เปนอนกรมเรขำคณต เขยนแทนดวย nS
3. ให 1 1 1 1( ) ( 2 ) ... [ ( 1) ] ...a a d a d a n d เปนอนกรมเลขคณตอนนต 3.1 เปนอนกรมลเขา กตอเมอ 1 0a และ 0d 3.2 เปนอนกรมลออก กตอเมอ 1 0a หรอ 0d 4. ให 2 1
1 1 1 1... ...na a r a r a r เปนอนกรมเรขาคณตอนนต
4.1 เปนอนกรมลเขา กตอเมอ 1r และผลบวกของอนกรม = 1
1
a
r
4.2 เปนอนกรมลออก กตอเมอ 1r
www.tutorferry.com T. 0998230343
74
แคลคลส (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 9%)
ลมตของฟงกชน ส าหรบฟงกชน f ใด ๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง ถาคาของ f ( x ) เขาใกล จ านวนจรง L เมอ x มคาเขาใกล a จะเรยก L วาเปน ลมตของ f ท a
x alimf x L
แตถาไมมจ านวนจรง L จะไดวา x alimf x
หาคาไมได ( ไมมลมตท a )
ขอสงเกต 1. ถา f x เขาใกล 1L เมอ x เขาใกล a ทางดานซาย แลว 1
x alim f x L
( ลมตซาย )
2. ถา f x เขาใกล 2L เมอ x เขาใกล a ทางดานขวา แลว 2x alim f x L
( ลมตขวา )
3. ถา 1 2L L L แลว x alimf x L
( มลมต )
4. ถา 1 2L L แลว x alimf x
หาคาไมได ( ไมมลมตท a )
5. x alimf x L
กตอเมอ x a x alim f x L lim f x
ทฤษฎบทเกยวกบลมต เมอ a , c , L และ M R ถา f และ g เปนฟงกชน ทมโดเมน และเรนจ เปนสบเซตของ R โดยท
x alimf x L
และ x alimg x M
แลว
1. x alimc c
2. x alim x a
3. n n
x alim x a
4. x alimcf x cL
5. x alim f x g x L M
6. x alim f x g x LM
7.
x a
f x Llim
g x M
เมอ M 0
8. n n
x alim f x L
เมอ nL R
9. nn
x alim f x L
เมอ n L R
10. x alimp x p a
เมอ p x เปนฟงกชนพหนาม
11.
x a
p x p alim
q x q a เมอ p x และ q x เปนฟงกชนพหนาม โดยท q a 0
www.tutorferry.com T. 0998230343
75
ความตอเนองของฟงกชน ให f เปนฟงกชนซงนยามบนชวงเปด a, b และ c a, b f เปนฟงกชนตอเนองท x c กตอเมอ 1. f c หาคาได 2.
x climf x
หาคาได
3. x climf x f c
ถาฟงกชน f ขาดสมบตขอใดขอหนงแลว f เปนฟงกชนไมตอเนองท x c ทฤษฎบทเกยวกบความตอเนอง ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองท x a แลว 1. f g เปนฟงกชนตอเนองท x a 2. f g เปนฟงกชนตอเนองท x a 3. fg เปนฟงกชนตอเนองท x a
4. f
g เปนฟงกชนตอเนองท x a เมอ g a 0
5. p x เปนฟงกชนตอเนองท x a เมอ p x เปนฟงกชนพหนาม
6.
p x
q x เปนฟงกชนตอเนองท x a เมอ p x , q x เปนฟงกชนพหนาม และ q a 0
ความตอเนองบนชวง
1. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง a, b กตอเมอ f ตอเนองททก ๆ จดในชวง a, b 2. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง a, b กตอเมอ
2.1 f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง a, b 2.2
x alim f x f a
2.3 x blim f x f b
3. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง a, b กตอเมอ 3.1 f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง a, b 3.2
x blim f x f b
4. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง a, b กตอเมอ 4.1 f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง a, b 4.2
x alim f x f a
www.tutorferry.com T. 0998230343
76
ควำมชนของเสนโคง ถา y f x เปนสมการของเสนโคง เสนสมผสเสนโคงทจด P x, y ใด ๆ จะเปนเสนตรงทผาน จด P และมความชนดงน
ความชน = h 0
f x h f xlim
h
; ถาลมตหาคาได
อนพนธของฟงกชน
ถา y f x เปนฟงกชนท fD , fR R และ h 0
f x h f xlim
h
หาคาได แลว เรยกคา
ลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย f x
h 0
f x h f xf x lim
h
ขอสงเกต
1. f x อาจแทนดวย y หรอ d
f xdx
หรอ dy
dx
2. ส าหรบ a ใด ๆ ทอยใน fD จะไดวา อนพนธของ f ท x = a คอ f a
h 0
f a h f af a lim
h
3. อนพนธของ f ท a หรอ f a คอ ความชนของเสนโคงทจด a, f a อตรำกำรเปลยนแปลง ถา y f x เปนฟงกชน และ fa D แลว อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x
เมอคาของ x เปลยนจาก a เปน a + h คอ y
x
f a h f ay
x h
ขอสงเกต
1. y
x คอ ความชนระหวางจด a, f a และ a h, f a h
2. อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = a คอ dy
dx
h 0
f a h f adylim
dx h
3. อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = a คอ อนพนธของฟงกชน f ท x = a หรอ ความชนของเสนโคงทจด x = a นนเอง 4. อตราการเปลยนแปลงเปนบวก เมอคา x เพม คา y เพม และเปนลบ เมอคา x เพม คา y ลด
www.tutorferry.com T. 0998230343
77
กำรหำอนพนธของฟงกชนพชคณต ถา c เปนคาคงตว , nn n 1 n 1nn, x , x , x , x R , f และ g หาอนพนธไดท x แลว
1. d
c 0dx
2. dx1
dx
3. n n 1dx nx
dx
4. n
n n 1
d 1x
dx n x
5. d
f x g x f g x f x g xdx
6. d
f x g x f g x f x g xdx
7. d
c f x c f x c f xdx
8. d
f x g x f g x f x g x g x f xdx
9.
2
f x g x f x f x g xd fx
dx g x g g x
10.
2
f xd 1 1x
dx f x f f x
11. n n 1d
f x n f x f xdx
12.
n
n 1n
f xdf x
dx n f x
ขอสงเกต
1. 1 2 n 1 2 nf f ... f x f x f x ... f x
2. 1 2 n 1 2 nf f ... f x f x f x ... f x
3. f g h x f x g x h x
4. f g h x f g x h x g h x f x h f x g x
5. 1 2 n 1 2 n 1 n 2 3 n 1f f ... f x f f ... f x f x f f ... f x f x
n 1 n 2 n 1... f f ... f x f x
www.tutorferry.com T. 0998230343
78
อนพนธของฟงกชนประกอบ ( ฟงกชนคอมโพสท ) ถา f หาอนพนธไดท x และ g หาอนพนธไดท f ( x ) แลว gof หาอนพนธไดท x และ
gof x g f x f x ขอสงเกต ถาให u f x และ y gof x แลว y g f x g u
อนพนธอนดบสง ให f เปนฟงกชนทหาอนพนธได และ f x เปนอนพนธของ f ท x ซงหาอนพนธได จะเรยก อนพนธของอนพนธของ f ท x หรออนพนธของ f ท x วาเปนอนพนธอนดบท 2 ของ f ท x เขยนแทนดวย f x
จาก d
f x f xdx
d
f x f xdx
ขอสงเกต
1. f x อาจเขยนเปน y หรอ 2
2
df x
dx หรอ
2
2
d y
dx
2. d
f x f xdx
เรยกวา อนพนธอนดบท 3
4 df x f x
dx เรยกวา อนพนธอนดบท 4
n n 1d
f x f xdx
เรยกวา อนพนธอนดบท n
www.tutorferry.com T. 0998230343
79
กำรประยกตของอนพนธ ฟงกชนเพม และฟงกชนลด ก าหนด f เปนฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R และ
fA D ส าหรบสมาชก 1x ,
2x ใด ๆ ใน A 1. ถา
1 2x x และ 1 2f x f x แลว f เปนฟงกชนเพม 2. ถา
1 2x x และ 1 2f x f x แลว f เปนฟงกชนลด ขอสงเกต ให f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง
fA D ส าหรบทก x ในชวง A 1. ถา f x 0 แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง A 2. ถา f x 0 แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง A
คาสงสดสมพทธ และคาต าสดสมพทธ ฟงกชน f มชวง fa,b D ซง c a, b ส าหรบทก x ใน a, b
1. ถา f c f x แลว f c เปนคาสงสดสมพทธ และ c, f c เปนจดสงสดสมพทธ 2. ถา f c f x แลว f c เปนคาต าสดสมพทธ และ c, f c เปนจดต าสดสมพทธ
ขอสงเกต
1. ให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง a, b ซง c a, b และ f c หาคาได ถา f c เปน คาสงสดหรอต าสดสมพทธ แลว f c 0 2. คา c ทท าให f c 0 หรอหาคาไมได เรยกวา คาวกฤต 3. ให c เปนคาวกฤตของ f เมอ x มคาเพมขนรอบ ๆ c
3.1 ถา f x เปลยนจากบวกเปนลบ แลว f c เปนคาสงสดสมพทธ 3.2 ถา f x เปลยนจากลบเปนบวก แลว f c เปนคาต าสดสมพทธ
4. ให c เปนคาวกฤตของ f ซง f x 0 4.1 ถา f c 0 แลว f c เปนคาต าสดสมพทธ 4.2 ถา f c 0 แลว f c เปนคาสงสดสมพทธ 4.3 ถา f c 0 หรอหาคาไมได ใหกลบไปท าตามขอ 3
ขนตอนการหาคาสงสดและต าสดสมพทธ
1. หา f x 2. ให f x 0 แลวหาคา x ( คาวกฤต ) ใหคาวกฤต เทากบ c 3. พจารณาคาของ f x รอบ ๆ คาวกฤต
www.tutorferry.com T. 0998230343
80
3.1 ถา x c แลว f x 0 และถา x c แลว f x 0 จะไดวา f c เปนคาสงสดสมพทธ ( f x เปลยนจากบวกเปนลบ ) 3.2 ถา x c แลว f x 0 และถา x c แลว f x 0 จะไดวา f c เปนคาต าสดสมพทธ ( f x เปลยนจากลบเปนบวก ) 3.3 ถา f x ไมเปลยนเครองหมายท x c หรอ x c จะไดวา ไมมคาสงสดหรอต าสด สมพทธ
วธท 2 1. หา f x 2. ให f x 0 แลวหาคา x ( คาวกฤต ) ใหคาวกฤต เทากบ c 3. หา f x แลวแทนคา x ดวย c เพอหาคา f c
3.1 ถา f c 0 แลว f c เปนคาสงสดสมพทธ 3.2 ถา f c 0 แลว f c เปนคาต าสดสมพทธ 3.3 ถา f c 0 หรอหาคาไมได สรปไมได ใหไปพจารณาวธแรก
คาสงสดสมบรณ และคาต าสดสมบรณ ส าหรบทก x ใน
fD 1. ถา f c f x และ f มคาสงสดสมบรณท x c 2. ถา f c f x และ f มคาต าสดสมบรณท x c
ขอสงเกต คาสงสดหรอต าสดสมพทธ อาจไมใชคาสงสดหรอต าสดสมบรณ ขนตอนการหาคาสงสดและต าสดสมบรณ ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [ a , b ] 1. หาคาวกฤตทงหมดในชวงปด [ a , b ] ; หาคา c 2. หาคาของฟงกชน ณ คาวกฤตทไดจากขอ 1 ; หาคา f ( c ) 3. หาคา f ( a ) และ f ( b ) 4. เปรยบเทยบคาของ f ( a ) , f ( b ) และ f ( c ) 4.1 คาทมากทสด เปนคาสงสดสมบรณ 4.2 คาทนอยทสด เปนคาต าสดสมบรณ
www.tutorferry.com T. 0998230343
81
โจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาต าสด มหลกเกณฑทว ๆ ไปในการแกโจทยปญหาดงนคอ 1. ท าความเขาใจกบปญหาอยางละเอยดใหทราบแนนอนวาตองการหาคาสงสดหรอคาต าสดของอะไร ใหก าหนดสงนนเปน y หรอตวแปรอนตามความเหมาะสม และควรวาดรปประกอบ 2. สมมตให y เปนตวแปรทมการเปลยนแปลงในปญหา โดยทคา y จะมคามากหรอนอยขนอยกบ คา x 3. เขยน y ในรปตวแปร x
4. หาคา dy
dx
5. ให dy0
dx แลวแกสมการหาคา x ( ซงกคอคา c )
6. น าคาวกฤต ( c ) มาตรวจสอบวาท าให y มคาสงสดหรอต าสดหรอไม ปฏยำนพนธ การหาปฏยานพนธ เปนกระบวนการตรงขามกบการหาอนพนธ ฟงกชน F เปนปฏยานพนธหนงของ f ถา F x f x ส าหรบทกคาของ x ทอยใน
fD ขอสงเกต 1. ถา F เปนปฏยานพนธหนงของ f แลว ฟงกชน G ทนยามโดย G ( x ) = F ( x ) + c เมอ c เปนคาคงตว จะเปนปฏยานพนธของ f ดวย 2. ปฏยานพนธของฟงกชนเดยวกนจะแตกตางกนเพยงคาคงตวเทานน ปรพนธไมจ ำกดเขต รปทวไปของปฏยานพนธของฟงกชน f เขยนแทนดวย f x dx อานวา ปรพนธไมจ ากดเขตของ ฟงกชน f เทยบกบตวแปร x ดงนน ถา F x f x แลว f x dx F x c เมอ c เปนคาคงตว ขอสงเกต
1. ปรพนธไมจ ากดเขตของ f กคอ ปฏยานพนธของ f นนเอง 2. กระบวนการหา f x dx เรยกวา การหาปรพนธ 3. เครองหมาย เรยกวา ปรพนธ 4. f ( x ) เรยกวา ปรพทธ 5. dx เปนสญลกษณบอกวาการหาปรพนธนเทยบกบตวแปร x
www.tutorferry.com T. 0998230343
82
สตรในการหาปรพนธไมจ ากดเขต k และ c เปนคาคงตว 1. kdx kx c
2. n 1
n xx dx c
n 1
เมอ n 1
3. kf x dx k f x dx 4. f x g x dx f x dx g x dx
5. ถา dy
f xdx
แลว y f x dx
ปรพนธจ ำกดเขต ก าหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [ a , b ] ถา F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f แลว
b
b
a
a
f x dx F b F a F x
พนททปดลอมดวยเสนโคง เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [ a , b ] และ A เปนพนททปดลอมดวยกราฟ f จาก x = a ถง x = b 1. ถา f x 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [ a , b ] และ A เปนพนทเหนอแกน X แลว
b
a
A f x dx
2. ถา f x 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [ a , b ] และ A เปนพนทใตแกน X แลว
b
a
A f x dx
www.tutorferry.com T. 0998230343
83
ก ำหนดกำรเชงเสน (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 0.5%)
กรำฟของอสมกำรเชงเสน สามารถเขยนไดโดยใชเสนประ เสนทบ หรออาณาบรเวณ อสมการเชงเสน มรปแบบดงน คอ 1. Ax By C 0 2. Ax By C 0 3. Ax By C 0 4. Ax By C 0 5. Ax By C 0 วธการเขยนกราฟอสมการเชงเสน 1. เปลยนเครองหมายของอสมการใหอยในรปสมการ Ax By C 0 2. หาจดตดแกน X โดยให y = 0 แลวแกสมการหาคา x จะไดจดตดแกน X คอจด ( x , 0 ) 3. หาจดตดแกน Y โดยให x = 0 แลวแกสมการหาคา y จะไดจดตดแกน Y คอจด ( 0 , y ) 4. ลากเสนตรงใหผานจดตดแกน X และ แกน Y 5. ก าหนดอาณาบรเวณโดยพจารณาจากจดทดสอบ จดทดสอบ ใชในการทดสอบวา บรเวณใดเปนบรเวณทสอดคลองกบอสมการ โดยทวไปนยมใช จด ( 0 , 0 ) เปนจดทดสอบ ขอสงเกต สมการเสนตรงในรปทวไป Ax By C 0 จะมจดตดแกน X และ แกน Y คอ
จด CP ,0
A
และ CQ 0,
B
ตามล าดบ
กรำฟของระบบอสมกำรเชงเสน ระบบอสมการเชงเสน ประกอบดวย อสมการเชงเสนมากกวา 1 อสมการ ค าตอบของระบบอสมการ เชงเสน คอ คอนดบ ( x , y ) ทสอดคลองกบอสมการทงหมดของระบบอสมการ แทนไดดวยบรเวณ ทซอนทบกนของกราฟของอสมการทงหมด ขอสงเกต เพอใหกราฟมรายละเอยดทจะเปนประโยชนมากขน ควรหาและระบจดตดแกน X , แกน Y และจดตดกนของกราฟอสมการ
ถาม n ประพจน พจารณาคาความจรง n2 กรณ รปแบบของประพจนทสมมลกน หมายถง รปแบบของประพจน 2 รปแบบ ทมคาความจรงตรงกนกรณ ตอกรณ แทนดวย 1. p q q p 2. p q q p 3. p q q p 4. p q r p q r 5. p q r p q r 6. p q r p q r 7. p q r p q p r 8. p q r p q p r 9. p q p q q p 10. p q p q q p 11. p q p q 12. p q p q 13. p q p q 14. p p สจนรนดร หมายถง รปแบบของประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ การตรวจสอบความเปนสจนรนดร ท าไดโดย 1. พจารณาคาความจรงของรปแบบของประพจน โดยสรางตารางคาความจรง 2. ถาเปนรปแบบของประพจนทเชอมดวย ถา...แลว... ใชวธการหาขอขดแยง ดงน คอ 2.1 สมมตใหรปแบบของประพจนเปนเทจ โดยให เหตเปนจรง และผลเปนเทจ 2.2 หาคาความจรงของประพจนยอย 2.2.1 ถามขอขดแยงกบทสมมตไว แสดงวา รปแบบของประพจนนนเปนสจนรนดร 2.2.2 ถาไมมขอขดแยงกบทสมมตไว แสดงวา รปแบบของประพจนนนไมเปนสจนรนดร
www.tutorferry.com T. 0998230343
88
กำรอำงเหตผล คอ การอางวา เมอมขอความ 1 2 nP ,P ,...,P ชดหนง แลวสามารถสรปขอความ C ขอความหนงได ขอความ 1 2 nP ,P ,...,P เรยกวา เหตหรอสงทก าหนดให ขอความ C เรยกวา ผลหรอขอสรป เขยนเปนรปแบบไดดงน คอ 1 2 nP P ... P C ถารปแบบ 1 2 nP P ... P C เปนสจนรนดร แสดงวา การอางเหตผลน สมเหตสมผล ถารปแบบ 1 2 nP P ... P C ไมเปนสจนรนดร แสดงวา การอางเหตผลน ไมสมเหตสมผล การตรวจสอบความสมเหตสมผล ใชวธเดยวกบการตรวจสอบ สจนรนดร ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลา หรอประโยคปฏเสธทมตวแปร และเมอแทนคาของตวแปรดวยสมาชก ในเอกภพสมพทธแลวไดประพจน สญลกษณแทนประโยคเปดใด ๆ ทม x เปนตวแปร เขยนแทนดวย P x หรอ xP การเชอมประโยคเปดดวยตวเชอม , , , หรอ การเตม ท าไดเชนเดยวกบการเชอมประพจน ตวบงปรมำณ ม 2 แบบ คอ 1. ส าหรบ ... ทกตว แทนดวย เชน x หมายถง ส าหรบ x ทกตว 2. ส าหรบ ... บางตว แทนดวย เชน x หมายถง ส าหรบ x บางตว ขอความทมตวบงปรมาณ ประกอบดวย ตวบงปรมาณ และประโยคเปด เชน 2x x 2x 3 0 ขอสงเกต การเขยนสญลกษณแทนประโยคเปดทมตวบงปรมาณ เราจะตองเขยนเอกภพสมพทธก ากบ ไวเสมอ แตจะละไว เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง หรอในกรณการศกษาเกยวกบเซต คำควำมจรงของประโยคทมตวบงปรมำณตวเดยว จะพจารณาจาก 1. ตวบงปรมาณ 2. ประโยคเปด 3. เอกภพสมพทธ ให P x แทนประโยคเปดทมตวแปร x 1. ประโยค x P x มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละ ตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนจรงทงหมด
www.tutorferry.com T. 0998230343
89
2. ประโยค x P x มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกอยาง นอย 1 ตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจ 3. ประโยค x P x มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกอยาง นอย 1 ตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนจรง 4. ประโยค x P x มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละ ตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจทงหมด สมมลของประโยคทมตวบงปรมำณ รปแบบของประพจนทสมมลกน น ามาใชกบประโยคเปดทสมมล กนได เชน
รปแบบของประพจนทสมมลกน ประโยคเปดทสมมลกน
p q q p P x Q x Q x P x
p q p q P x Q x P x Q x p q p q P x Q x P x Q x
p q p q P x Q x P x Q x
ถาเตมตวบงปรมาณชนดเดยวกนไวขางหนา จะไดประพจนทสมมลกนดวย เชน 1. x P x Q x x Q x P x 2. x P x Q x x P x Q x 3. x P x Q x x P x Q x
4. x P x Q x x P x Q x
เนองจากประโยคทมตวบงปรมาณเปนประพจน ดงนน สามารถเทยบรปแบบทสมมลกบรปแบบของ ประพจนทสมมลกนได เชน 1. x P x x Q x x Q x x P x 2. x P x x Q x x P x x Q x 3. x P x x Q x x P x x Q x
4. x P x x Q x x P x x Q x
นเสธของประโยคทมตวบงปรมำณ จาก p นเสธของ คอ p ดงนน นเสธของประโยคเปด หรอประโยคทมตวบงปรมาณ คอ 1. นเสธของ P x คอ P x
www.tutorferry.com T. 0998230343
90
2. นเสธของ x P x คอ x P x 3. นเสธของ x P x คอ x P x 4. นเสธของ x P x Q x คอ x P x Q x 5. นเสธของ x P x x Q x คอ x P x x Q x
ส าหรบนเสธของประโยคเปด หรอประโยคทมตวบงปรมาณ โดยเปรยบเทยบกบนเสธของประพจน เชน 1. จาก p q p q จะไดวา 1.1 นเสธของ p q คอ p q 1.2 นเสธของ P x Q x คอ P x Q x 1.3 นเสธของ x P x x Q x คอ x P x x Q x 2. จาก p q p q จะไดวา 2.1 นเสธของ p q คอ p q 2.2 นเสธของ P x Q x คอ P x Q x 2.3 นเสธของ x P x x Q x คอ x P x x Q x ขอสงเกต ประโยคเปดทเปนนเสธกน ถาเตมตวบงปรมาณชนดเดยวกนไวขางหนา ผลจะไมได ประพจนทเปนนเสธกน เชน นเสธของ P x คอ P x แต x P x กบ x P x ไมเปนนเสธกน รปแบบประพจนทสมมลกน และเปนนเสธกน 1. x P x x P x 2. x P x x P x ขอสงเกต 1. นเสธของ x P x สมมลกบ x P x 2. นเสธของ x P x สมมลกบ x P x
www.tutorferry.com T. 0998230343
91
คำควำมจรงของประโยคทมตวบงปรมำณ 2 ตว ประโยคทมตวบงปรมาณ 2 ตว ม 8 รปแบบ คอ 1. x y P x, y 5. y x P x, y 2. x y P x, y 6. y x P x, y 3. x y P x, y 7. y x P x, y 4. x y P x, y 8. y x P x, y การพจารณาคาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณ 2 ตว 1. x y P x, y
1.1 มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวใน เอกภพสมพทธ แลวท าให P a,b เปนจรงเสมอ 1.2 มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b บางตวใน เอกภพสมพทธ แลวท าให P a,b เปนเทจ 2. x y P x, y 2.1 มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b บางตวใน เอกภพสมพทธ แลวท าให P a,b เปนจรง 2.2 มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวใน เอกภพสมพทธ แลวท าให P a,b เปนเทจ 3. x y P x, y 3.1 มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลว ท าใหประโยค y P a, y เปนจรง 3.2 มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวในเอกภพสมพทธ แลว ท าใหประโยค y P a, y เปนเทจ 4. x y P x, y 4.1 มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวในเอกภพสมพทธ แลว ท าใหประโยค y P a, y เปนจรง 4.2 มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลว ท าใหประโยค y P a, y เปนเทจ ขอสงเกต ส าหรบคาความจรงของรปแบบ 5 – 8 หาไดในท านองเดยวกนกบรปแบบ 1 - 4
การท างานวธท k มวธท า kn วธ และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลว จ านวนวธท างานนเทากบ 1 2 ... kn n n วธ หลกการคณ ถาการท างานอยางหนงประกอบดวยการท างาน k ขนตอน คอ ขนตอนท 1 ถง ขนตอนท k โดยท การท างานขนตอนท 1 มวธท า 1n วธ การท างานขนตอนท 2 มวธท า 2n วธ
การท างานขนตอนท k มวธท า kn วธ และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลว จ านวนวธท างานนเทากบ 1 2... kn n n วธ
กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ
www.tutorferry.com T. 0998230343
93
ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n คอ ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n เขยนแทนดวย n! n! = 1 x 2 x 3 x … x ( n – 1 ) x n หรอ n! = n x ( n – 1 ) x … x 3 x 2 x 1 n! = n x ( n – 1 )! 0! = 1 1! = 1
1. จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด เทากบ ,n nP วธ , !n nP n 2. จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด โดยจดเรยงคราวละ r สง 1 r n เทากบ ,n rP วธ
r nx y x x y x y y ขอสงเกต 1. 0 1, ,..., ,...,n n n n
r n เรยกวา สมประสทธทวนาม
2. 0 1 ... 2n n n n
n 3. 0 1n n
n
4. 1
1
n n n
r r r
เมอ 0 r n 5. ใหพจนท r + 1 ของการกระจาย
nx y แทนดวย 1rT จะไดวา
1
n n r r
r rT x y
6. สมประสทธของ c dx y จากการกระจาย n
ax by เทากบ !
! !
c dna b
c d
การทดลองสม คอ การทดลองหรอการกระท าใด ๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไม สามารถบอกไดอยางถกตองแนนอนวาในแตละครงททดลอง ผลทเกดขนจะเปนอะไรในบรรดาผลลพธ ทอาจเปนไปไดเหลาน ปรภมตวอยาง หรอแซมเปลสเปซ คอ เซตของผลลพธทงหมดทเปนไปไดจากการทดลองสม แตละ สมาชกของปรภมตวอยางหรอผลการทดลอง เรยกวา จดตวอยาง ( sample point or outcome ) เหตการณ คอ สบเซตของปรภมตวอยาง ขอสงเกต ให S เปนปรภมตวอยาง และให A และ B เปนเหตการณ 2 เหตการณ 1. ... ...A B x x A or x B 2. ... ...A B x x A and x B 3. ... ...A x x S but x A 4. ... ...A B x x A but x B 5. ถา A B แลว จะเรยกเหตการณ A และ B วา เหตการณทไมเกดรวมกน
ทฤษฎบททวนาม
ความนาจะเปน
www.tutorferry.com T. 0998230343
96
ความนาจะเปนของเหตการณ ถา S แทนปรภมตวอยางของการทดลองสมอยางหนง ซงแตละจดตวอยางของการทดลองมโอกาส เกดขนเทา ๆ กน และ E แทนเหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E) ซง
n EP E
n S
เมอ n E แทนจ านวนสมาชกในเหตการณ E n S แทนจ านวนสมาชกในปรภมตวอยาง S สมบตของความนาจะเปน 1. ความนาจะเปนของเหตการณ E ใด ๆ จะมคาตงแต 0 ถง 1 เสมอ 0 1P E 0P E หมายความวา เหตการณ E ไมมโอกาสเกดขนเลย 1P E หมายความวา เหตการณ E จะเกดขนอยางแนนอน 2. ความนาจะเปนของปรภมตวอยาง S มคาเทากบ 1 นนคอ 1P S 3. ความนาจะเปนของเหตการณทเปนเซตวาง มคาเทากบ 0 นนคอ 0P กฎของความนาจะเปน ให S เปนปรภมตวอยาง ซงเปนเซตจ ากด และ A , B , C เปนเหตการณใด ๆ 1. P A B P A P B P A B 2. 1P A P A 3. P A B P A P A B 4. ถา A B แลว P A B P A P B 5. P A B P A B P B A P A B 6. P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C
ขอสงเกต ในกรณทมการแจกแจงความถของขอมลเปนอนตรภาคชน จะไดวา ix เปนจดกงกลางของชนท i k เปนจ านวนอนตรภาคชน การหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทมการแจกแจงความถเปนอนตรภาคชนโดยใชคากงกลางสมมต
1 1
1
k k
i i i i
i i
k
i
i
f d f d
x a id a i a in
f
เมอ ii
x ad
i
id คอ คากงกลางสมมตของชนท i a คอ คากงกลางชนทมความถสงสด i คอ ความกวางของอนตรภาคชน
d คอ คาเฉลยสมมต
www.tutorferry.com T. 0998230343
99
คาเฉลยเลขคณตรวม ใชในการวเคราะหขอมลของตวแปรเดยวกนจากตวอยางหลาย ๆ ชดทสมมาจาก ประชากรเดยวกน และหาคาเฉลยเลขคณตของตวอยางแตละชดไวแลว ถา 1 2, ,..., kx x x เปนคาเฉลยเลขคณตของ ขอมลชดท 1 , 2 , ... , k 2, ,...,i kn n n เปนจ านวนคาจากการสงเกตของ ขอมลชดท 1 , 2 , ... , k
1 1 2 2 1 1
1 2
1
...
...
k k
i i i i
k k i i
k
ki
i
n x n xn x n x n x
xn n n n
n
สมบตทส าคญของคาเฉลยเลขคณต
1. 1
n
i
i
x nx
2. 1
0n
i
i
x x
3. 2
1
n
i
i
x a
มคานอยทสดเมอ a x
4. min maxx x x 5. ถา i iy ax b แลว y ax b ขอสงเกต x และ n จะใชแทนคาเฉลยเลขคณตและจ านวนตวอยางซงเปนตวแทนของประชากร สวน และ N จะใชแทนคาเฉลยเลขคณตและจ านวนของประชากร มธยฐำน คอ คาทมต าแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด โดยเรยงล าดบขอมลจากคานอยทสดไปหาคา มากทสด เหมาะทจะน ามาใชในกรณทมขอมลคาใดคาหนงหรอหลาย ๆ คา ซงสงหรอต ากวาคาอน ๆ มาก แทนดวย Me ขนตอนการหามธยฐานของขอมลทไมไดแจกแจงความถ 1. เรยงขอมลจากนอยไปหามาก 2. หาต าแหนงของมธยฐาน
หรอ R ขอบบนของอนตรภาคชนสงสด - ขอบลางของอนตรภาคชนต าสด 2. สวนเบยงเบนควอรไทล
3 1Q -QQ.D.=
2
3. สวนเบยงเบนเฉลย
1. .
n
i
i
x x
M Dn
ขอมลทยงไมไดแจกแจงความถ
หรอ 1
1
. .
k
i i
i
k
i
i
f x x
M D
f
ขอมลทแจกแจงความถแลว
4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน
2 2
21 1
n n
i i
i i
x x x
s xn n
ขอมลทยงไมไดแจกแจงความถ
2 2
21 1
1 1
k k
i i i i
i i
k k
i i
i i
f x x f x
s x
f f
ขอมลทแจกแจงความถแลว
5. ความแปรปรวน แทนดวย 2s
22
22 1 1
n n
i i
i i
x x x
s xn n
ขอมลทยงไมไดแจกแจงความถ
22
22 1 1
1 1
k k
i i i i
i i
k k
i i
i i
f x x f x
s x
f f
ขอมลทแจกแจงความถแลว
www.tutorferry.com T. 0998230343
107
ขอสงเกต
1. 0s
2.
2 2
1 1
n n
i i
i i
x a x x
n n
เมอ a x
3. ความแปรปรวนของขอมลทงหมด แทนดวย 2s ถา 2 2 2
1 2, ,..., ks s s เปนความแปรปรวนของขอมลชดท 1 , 2 , ... , k 1 2, ,..., kx x x เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 , 2 , ... , k 2, ,...,i kn n n เปนจ านวนคาจากการสงเกตในขอมลชดท 1 , 2 , ... , k 3.1 ขอมลแตละชดมคา x เทากน
Me , x , Mo ลกษณะส าคญ คอ มคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม อยทจดเดยวกน โดยอยทจดยอดของ เสนโคงของความถ 2. เสนโคงเบขวา หรอเบลาดทางบวก Mo Me x ลกษณะส าคญ คอ เสนโคงทมความชนนอยอยทางดานขวา คาเฉลยเลขคณตมคามากทสด มธยฐาน อยระหวางคาเฉลยเลขคณตและฐานนยม โดยทฐานนยมจะอยทจดยอดของเสนโคงของความถ 3. เสนโคงเบซาย หรอเบลาดทางลบ x Me Mo ลกษณะส าคญ คอ เสนโคงทมความชนนอยอยทางดานซาย ฐานนยมมคามากทสด และอยทจดยอด ของเสนโคงของความถ มธยฐานอยระหวางคาเฉลยเลขคณตและฐานนยม
ของขอมลในลกษณะน เรยกวา การแจกแจงปกต ลกษณะของเสนโคงปกต จะขนอยกบคาเฉลยเลขคณต ( x ) และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ( s ) ถามเสนโคงปกต 2 รปน ามา เปรยบเทยบกน จะไดวา
1. x และ S เทากน เสนโคงปกตจะซอนทบกน 1 2,x x 2. x เทากน แต S ตางกน เสนโคงปกตจะมแกนสมมาตรเดยวกน เสนโคงทม S มากกวา
จะเตยกวา 1 2,x x 3. x ตางกน แต S เทากน ลกษณะของเสนโคงปกตจะเหมอนกน แตตงอยบนต าแหนงท
ตางกน เสนโคงปกตทม x มากกวา จะอยดานขวา 4. x และ S ตางกน
S2
S1
1 2x x
1 2s s S2
S1
www.tutorferry.com T. 0998230343
111
สมบตของเสนโคงปกต 1. x = Me = Mo และอยตรงจดยอดของเสนโคง 2. เสนโคงมเสนตงฉากกบแกนนอนทลากผาน x เปนแกนสมมาตร 3. เสนโคงจะเขาใกลแกนนอน เมอหางจาก x ออกไป แตจะไมตดแกนนอน 4. พนทใตเสนโคง เทากบ 1 5. พนทอยเหนอคาใดคาหนงของ x เทากบ 0