Содержание - msk.edu.uamsk.edu.ua/ivk/Fizika/Uchebniki/Fizika_11kl_Tihomirova_Meh_kolebaniya.pdf · За время, равное периоду Т, тело совершает

Содержание

и зnектромаrнитные

§ 13. Механи11еские коnе6ани• Смотрю, как предо мной колеблются весы,

Как стрелка движется, медлительно склоняясь, От средней линии размерно отклоняясь.

А. Л. Чижевский

В курсе механики вы ознакомились с поступательным и вращательным

движением. В природе и технике также широко распространено колебатель­ное движение.

Колебательное движение совершают: шарик, подвешенный на пружине

(рис. 3 .1); маятник (рис. 3.2); гимнаст, раскачивающийся на кольцах (рис. 3.3); стрелка весов (рис. 3.4); ветка под действием толчка слетевшей с нее птицы; ко­лосья, деревья под влиянием ветра; поплавок на волнах; стрелка компаса и др.

Движения, обладающие повторяемостью во времени, называют колеба­

тельными движениями или колебаниями.

Для колебательных движений (см. рис. 3.1- 3.4) характерно наличие по­ложения устойчивого равновесия (линия 00'), от которого тела отклоняются то в одну, то в другую сторону.

Если колебания повторяются через равные промежутки времени, то такие

колебания называют периодиЧ-ескими.

о О'

Рис. 3 .1

36

==;iF= ._.o 1

1' 1 1 1 1 1 1

1 ' 1 ' 1 1

1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 1

1 '

Рис. 3 .2

о

1 \

' 1 1 1

1 \ 1 1

О'

Рис. 3.3

о

о·

Рис. 3.4 Рис. 3.5

х

Рис . 3.6

Периодом колебаний называют наименьший промежуток времеНJt, по исте-

чении которого состояние колебательной системы повторяется.

За время, равное периоду Т, тело совершает одно полное .колебание.

Единицей периода является секунда (с). Введем еще одну величину, характеризующую .колебания, - частоту.

Частотой колебаний v называют число колебаний, которые происходят за 1 с.

Частота колебаний и период колебаний связаны соотношением:

v = ~ (3.1) Единица частоты:

[v] = 11с = 1 с 1 = 1 Гц.

Единице частоты - секунде в минус первой степени - присвоено специ­

альное наименование - герц 1 (Гц) . Герц равен частоте колебаний, при которой за 1 с совершается одно коле­

бание.

Периодичность движения характерна не только для колебательного дви­

жения, но и для вращательного. Выясним, есть ли у колебательного и враща­тельного движения еще что-то общее. Обратимся к опыту.

На диске установлен стержень, к которому при.креплен шарик (рис. 3.5). Направим пучок света на диск, приведем его во вращение и понаблюдаем за тенью шарика на стене. Можно заметить, что тень совершает колебательное

движение, период которого равен периоду обращения шарика на диске .

Представим результаты опыта схематически на рисунке. Пусть точка С (шарик) движется с постоянной по модулю скоростью по окружности радиу­сом r (рис. 3.6). Проследим за движением проекции этой точки (конца вектора r) на ось О'Х. За начало отсчета примем точку О', являющуюся проекцией точки С,

1 В честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894).

37

когда она занимала положение 1. Координата тени шарика на экране и про­екция радиуса-вектора r на ось О'Х при любом положении шарика, как пока­зывает опыт, совпадают. Если радиус-вектор r повернется на угол <р и шарик займет положение 2, то его тень попадет в точку 2' (см. рис. 3 .6), отойдя от точки О' на расстояние х, которое и является координатой тени шарика:

х = r sin <р. (3.2) Пусть период обращения шарика С, являющийся и периодом колебаний

его тени, равен Т. Это означает, что на угол 2п радиус, соединяющий шарик с

центром окружности, поворачивается за время Т, а на угол <р - за некоторое

время t. Поскольку угловая скорость w обращения шарика постоянна, то мо­жем записать:

откуда

<р = 2; t. Подставив это выражение в формулу (3.2), получим:

. 2п x=rsштt.

(3.3)

(3.4)

Это уравнение выражает закон, по которому координата колеблющейся

точки (тени шарика) изменяется с течением времени. Движения, при которых координата х изменяется по гармоническому за­

кону (за.кону синуса или косинуса), называют гармоническими колебаниями.

Важность рассмотрения гармонических колебаний обусловлена тем, что мно­

гие колебания, встречающиеся в природе и технике, близки к гармоническим.

Координату колеблющейся точки называют ее смещением.

Максимальное смещение тела от положения равновесия называют амп­

литудой колебаний (обозначают буквой А или Хт) .

Из рис. 3.6 видно, что амплитуда колебаний А равна радиусу (А = r) . С учетом этого уравнение гармонических колебаний можно записать так:

1 х = Asin ~t. \ (3.5)

Гармонические колебания - это простые колебания. Любые другие колеба­

ния можно представить ка.к результат сложения гармонических колебаний. По­

этому в дальнейшем мы будем рассматривать только гармонические колебания .

38

проверьте се611

1. Какое движение представляют собой колебания? 2. Какой промежуток времени называют периодом колебаний? 3. Какую физическую величину называют частотой колебаний? Назовите

ее единицу.

4. Какие колебания называют гармоническими? 5. Что называют смещением? 6. Что такое амплитуда колебаний?

• €$ , •• ~ 1:' ;щцg3:t1}8

Связь между колебательным и вращательным движениями широко применяется в технике, - например, она используется при работе поршня и коленчатого вала в двигателе внутреннего сгорания.

§ 14. rрафик копе6атеnьноrо движения. Фаза копе6аний

График зависимости координаты (смещения) колеблющейся точки от вре­

мени - синусоида - представлен на рис. 3. 7, на котором указаны также амплитуда и период колебаний.

Подобный график может быть вычерчен самим колеблющимся телом, на­

пример маятником, у которого роль груза выполняет воронка с насыпанным в

нее песком (рис. 3.8). Если двигать под ней равномерно лист картона, то струйка песка вычертит график зависимости координаты от времени.

В этом опыте мы имеем простейший осциллограф - прибор для записи колебаний. Кривые, которые записывает осциллограф, называют осциллограм­

мами.

Осциллогра.мма - это график зависимости координаты колеблющегося тела от времени.

Песочный след на листе картона представляет собой осциллограмму коле­

баний маятника. Осциллограммой является и график на рис. 3. 7. Введем еще одну необходимую для характеристики колебательного дви­

жения величину - фазу колебаний.

х

Рис. 3.7 Рис. 3 .8

39

Фазой колебаний называют выражение, стоящее под знаком синуса в фор­муле для координаты колеблющейся точки:

<р = 2; t. Единицей фазы является радиан:

[q>] = 1 рад.

Если известна фаза колебаний, то можно определить не только положение ко­леблющейся точки в данный момент времени, но и направление ее движения.

Выражение (3.5) можно записать иначе. Для этого введем еще одну физи­ческую величину - угловую (циклическую) частоту.

Угловой частотой ro колеблющейся точки называют величину, равную числу колебаний, которые происходят за 27t с.

Так как v - число колебаний за 1 с, то (1) = 27tV.

Используя соотношение v =*, запишем ro = 2л.

т

Тогда для фазы колебаний получим выражение

q> = rot.

(3 .6)

(3.7)

(3.8) Предположим, что в начальный момент времени тело начинает колебатель­

ное движение из точки, смещение которой не равно нулю, т. е. тело имеет не­

которую начальную фазу q>0 при t = О. Тогда фаза колебаний в любой момент времени такова:

q> = rot + q>0 •

С учетом этого соотношения уравнение гармонического колебания будет иметь вид

1 х =А sin (rot + <р0). , (3.9)

Если два одинаковых маятника, двигаясь в одну и ту же сторону, одновре­

менно проходят положение равновесия, то принято говорить, что они колеб­

лются в одинаковых фазах. Такой случай изображен на рис . 3.9. Синусоидаль­ные кривые, представляющие собой графическую запись движений обоих ма-

Рис. 3.9 Рис. 3.10

40

ятников, могут быть совмещены, если

амплитуды колебаний одинаковы.

Маятники, пройдя положение рав­новесия, могут двигаться в противопо­

ложные стороны (рис. 3.10). В этом случае они колеблются в проmивопо­

лож ных фазах. Синусоиды, соответ­

ствующие их колебаниям, сдвинуты

друг относительно друга на половину

периода.

Проверьте себя

1. Какой вид имеет график гармонических колебаний? 2. Что такое фаза колебаний? 3. Какова разность фаз колеблющихся тел, если они движутся в одинако­вых фазах? в противоположных фазах?

§ 15. Пружинный маятник Пружинным маятником называется система,

состоящая из груза массой т, прикрепленного к одному концу пружины, другой конец кото­

рой закреплен.

Если груз, прикрепленный к пружине, от­

тянуть и отпустить, то он начнет совершать

колебания . Колебания, происходящие в системе после

того, как она выведена из положения равнове­

сия и предоставлена самой себе, называют сво­

бодными (собственными). Если трение в системе мало, то свободные

колебания можно считать приблизительно гар­моническими. Убедимся в этом на опыте. При­крепим к пружине груз, а к нему - кисточку,

смоченную чернилами. К листу фанеры прико­лем белую бумагу, расположим лист за кисточ­

кой вертикально и будем перемещать этот лист равномерно в горизонтальном направлении

(рис. 3.11). На бумаге кисточка вычертит вол­нистую линию - синусоиду. Следовательно,

груз на пружине совершает гармонические ко­

лебания. Изучим динамику колебаний пружинного

маятника, т. е. выясним, под действием каких сил они происходят. Прикрепим брусок к горизонтальной пружине (рис. 3.12, а). Брусок находится на гладкой горизонтальной поверх­ности стола. Один конец пружины закреплен.

Если вывести брусок из положения равнове­

сия О, сместив его в точку с координатой х1 = -А

(рис. 3.12, б), и отпустить, то он начнет совер­

шать колебания.

Сила тяжести и сила реакции опоры, при­

ложенные к бруску, уравновешивают друг дру­

га; трение будем считать пренебрежимо малым .

Рис. 3 .11

а о

М:Е~"

г х1--А О

Рис. 3 .12

х

" х

" х

41

В этом случае в горизонтальном направлении на брусок действует только сила

упругости F упр• которая пропорциональна смещению бруска и направлена в сто­рону, противоположную смещению, т. е. к положению равновесия. Такие силы

называют возвращающими сила.ми.

Под действием силы упругости брусок движется к положению равновесия ускоренно . Достигнув его, он не останавливается, а по инерции проходит его и,

удаляясь от положения равновесия, растягивает пружину. Возникающая сила

упругости направлена к положению равновесия. Она тормозит движение брус­

ка, и в точке с координатой х2 =А (рис. 3.12, в) брусок на мгновение останав­

ливается, а затем начинает ускоренно двигаться к положению равновесия. Это

положение брусок опять проходит по инерции и оказывается в точке с ко­

ординатой х1 , совершив таким образом одно полное колебание (рис. 3.12, г). Далее процесс повторяется.

Следовательно, нео6ходuмыJ1tи условия.ми возникновения колебаний пружинного .маятника явл.яются действие силы упругости и наличие инертности груза.

Допустим, маятник совершает колебания, при которых смещение изменя­

ется по гармоническому закону:

х = А sin wt. (3.10) Запишем второй закон Ньютона для движения бруска на пружине (массу

пружины будем считать пренебрежимо малой):

F упр = mii, или (F)'Пр)х = тах,

но (F )'Пр)х = - kx (закон Гука). Следовательно, - kx = тах , откуда

kx ах= - т.

м k ~ ожно доказать, что отношение т равно квадрату угловои частоты:

~ = w2• (3.11)

Убедимся в этом, проверив формулу (3.11) по наименованию величин:

[w] ={м ~кгi = (с2~г~ ~кг)! ={;2 )! = ~-Тогда

(3.12)

Проекц11я ускорения колеблющегося тела на ось ОХ прямо пропорциональ­

на модулю смещения, а направление ускорения противоположно направле­

нию смещения.

Так как период колебаний Т =~· то

lт = 2nJi. I (3.13)

42

Проверим зависимость периода колебаний от мас­

сы груза и жесткости пружины на опыте. Подвесим груз

массой т к пружине жесткостью k (рис. 3.13, а) и изме­рим период Т колебаний груза. Затем вместо этого гру­

за подвесим груз массой т1 = 4т (рис. 3.13, 6). Опыт покажет, что период колебаний при этом увеличите.я

в 2 раза (Т1 = 2Т ), т. е . Т -Гт. Прикрепим груз массой т к пружине, жесткость

которой в 4 раза больше, чем в первом случае (рис. 3.13, в). Измерения покажут, что период при этом

уменьшите.я в 2 раза ( 7; = ;). т. е. Т - Л · Объединяя результаты этих опытов, сделаем вывод: Т -J!j., что соответствует формуле (3.13).

Оттягивая груз на пружине на разные (но неболь­

шие) расстояния и отпуска.я его, можно убедиться в

том, что период колебаний груза па пружине прима­

лых а.11тлитудах не зависит от амплитуды.

ЗАДАЧА

Пружина под действием подвешенного к ней груза растянулась на 6,5 см. Если груз еще оттянуть вниз, а затем отпустить, то он начнет колебаться вдоль верти­

кальной линии. Каков период этих колебаний?

т

т

4т

а б в

Рис. 3 .13

о

_J I~ I f mf= 1

х

Рис. 3 .14

Решение. Груз на пружине совершает колебания, период которых

г;;; т = 2rt,Гi1·

В положении равновесия груза F У"Р + тg = О, или, в проекциях на ось ОХ, (Fyup).r + тg" = О (рис . 3.14). Поскольку (Fyup).r = - kx, а g" = g, то тg = kx, откуда

Следовательно,

Проверьте себя

k = тg. х

т = 2тт. я; т = о.5 с.

1. Какие колебания называют свободными? 2. Что представляет собой график свободных колебаний груза на пружине? 3 . Как происходят колебания груза на пружине?

43

4. Чему равен период колебаний груза на пружине? 5. С какой частотой колеблется груз на пружине?

УПРАЖНЕНИЕ 6

1. Определите период и частоту колебаний пружинного маятника, если его масса 100 г, а жесткость пружины 400 Н/м.

2. Период колебаний груза на пружине жесткостью 103 Н/м равен 0,62 с. Какова масса этого груза?

3. К пружине подвесили груз, в результате чего она удлинилась на 1 см. С какой частотой этот груз будет совершать колебания?

4. К пружине подвешивают поочередно два груза. Период колебаний пер­вого груза Т1 = 0,6 с, второго - Т2 = 0,8 с. Чему будет равен период колеба­ний, если к этой пружине подвесить одновременно оба груза?

5. Материальная точка массой 20 г колеблется по закону х = 0 ,04 sin 0,5t (величины выражены в единицах СИ). Какова максимальная сила, действую­щая на нее?

§ 16. Математический ма•тник Математическим маятником называют систему, состоящую из материаль­

ной точки, подвешенной на нерастяжимой пятя, имеющей пренебрежимо малую массу.

Приближенно можно считать математическим маятником маленький тя­желый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

В положении равновесия на тело (материальную точку) действуют сила тяже-

сти тg и сила упругости нити F YDP• которые уравновешивают друг друга (рис. 3.15). Если вывести маятник из положения равновесия, отклонив его на некото­

рый угол (положение А), то эти силы будут направлены под углом друг к другу

и их равнодействующая F не будет равна нулю.

Рис . 3 .15

44

Из рис. 3.15 видно, что равнодействующая направлена к положению равновесия, т. е . она

возвращает маятник к точке О. В этой точке ма­

ятник не останавливается, а по инерции откло­

няется влево.

Движение маятника влево замедляется тем

сильнее, чем дальше он отклоняется от положе­

ния равновесия. В точке В он на мгновение ос­

тановится и затем начнет движение вправо, по

инерции опять пройдет положение равновесия О и вернется в исходную точку А, совершив одно

полное колебание. Далее движение будет повто-

ряться.

Выясним, как равнодействующая сила, возвра­

щающая маятник к положению равновесия, зави­

сит от угла отклонения маятника. Из рис. 3.16 ВИДНО, ЧТО

F= Fупр+ тg.

Проведем ось ОХ через точку А по касательной к траектории шарика (см . рис. 3.16). Перепишем

выражение для равнодействующей F в проекциях на эту ось. Имеем

F" = F yupx + тg".

Здесь F yop :r = О, а тgх = -тg sin а., где а. - угол

отклонения маятника от положения равновесия.

Из треугольника АОС можно найти sin а.: sin а =

= ос· Для малых углов а ос "" l и sin а.= т·

L

Рис. 3.16

Поэтому для проекции равнодействующей силы получим

х F" = -тgт·

тi

(3.14)

Из формулы (3 .14) следует, что проекция F" равнодействующей силы пропорциональна смещению и имеет знак минус, поэтому можно записать:

Fx = - kx, где k = "r · Значит, колебания математического маятника при ма­

лых амплитудах являются гармоническими колебаниями.

По второму закону Ньютона F" = та". тg g

Следовательно, --z-x = та" ' откуда а" = - т х.

Можно доказать, что f = w2• Убедимся в этом, проверив по наименованиям величин: 1 1

[ю] =(-м )2 =(.!.)2 = ! . с2 • м с2 с

27t Так как период колебаний Т =-w• то для малых колебаний математиче-

ского маятника

(3.15)

Проверим формулу (3.15) на опыте. Подвесим к штативу два маятюп<а, длины

нитей которых отличаются в 4 раза. Опыт показывает, что за время, в течение

45

1 1

• у

'

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

\

N

\ \

\ \

\ \

\

Рис. 3 .17

\ \ \

\ .... \

которого длинный маятник совершит одно колебание, ко­

роткий маятник сделает два полных колебания, т. е. его

период колебаний в 2 раза меньше, чем у длинного. Следовательно, Т - Ji.

Из формулы (3.15) также следУет, что период колеба· ний мат.€Аtа.mического ла.ятника не зависит от aJrtnли·

туды колебаний (при небольших амплитудах). Проверим

это. Подвесим к штативу два одинаковых маятника,

отведем их от положения равновесия на небоJIЬшие, но

разные угJIЬ1 и отпустим. Мы заметим, что маятники дви­

жутся синхронно, т. е. их периоды колебаний одинаковы.

Период колебаний математического маятника зави­сит от ускорения свободного падения g. Возьмем в ка­честве груза маятника стальной шарик и расположим

под ним магнит (рис. 3.17). Это равносильно увеличе-нию земного притяжения. Можно обнаружить, что

период колебаний маятника уменьшится. На зависимости периода колебаний от ускорения свободного падения основано использование маятника в прибо­рах, применяемых в геологической разведке. Наличие в каком-либо месте Зем­

ли залежей ископаемых, отличающихся по плотности от окружающих их по­

род, обусловливает изменение значения g в этом месте. Чем больше плотность залегающих пород, тем больше значение g.

Проверьте себя

1. Что такое математический маятник? 2. При каких условиях реальный маятник ведет себя как математический? 3. Какие силы действуют на математический маятник при его колеба­

ниях? 4. При каком условии свободные колебания маятника являются гармони­

ческими? 5. Or каких величин зависит период колебаний математического маятника? 6. Как изменится период колебаний математического маятника, если:

а) уменьшить длину нити в 4 раза? б) груз заменить другим, в 2 раза большим по массе?

УПРАЖНЕНИЕ 7

1. Периоды колебаний двух математических маятников относятся как 3 : 5. Во сколько раз один маятник короче другого?

2. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один из них совершает 10 колебаний, а другой - 15?

3. Амплитуда колебаний математического маятника А = 10 см, а макси­мальная высота его подъема относительно положения равновесия Н = 0,5 см. Каков период колебаний маятника?

46

• ЭТО ИНТЕРЕСНО! Независимость периода колебаний маятника от его амплитуды открыл r Галилей ,

наблюдая за качанием люстры в церкви и используя в качестве прибора для отсче­та времени собственный пульс.

§ 17. Энерrи• rармонических коnе6аний При гармонических колебаниях непрерывно происходят преобразования по­

тенциальной энергии тела в кинетическую и обратно - кинетической в по­тенциальную.

В отсутствие сил трения колебательная система является консервативной,

поэтому для нее выполняется закон сохранения механической энергии:

Е = Е. + ЕР = const.

Рассмотрим более подРОбно, какие преобразования энергии происходят при

колебаниях пружинного маятника за время, равное половине периода.

1 t = о !. Смещение тела от положения равновесия максимально: хт =А (рис. 3.18, а).

Потенциальная энергия максимальна: Ерт = k;, кинетическая энергия Ek = О. kx;

Полная энергия Е = 2'

1 ~ > t > О 1 · Тело приходит в движе­

ние, его скорость постепенно возрас­

тает. Кинетическая энергия увеличи­

вается, потенциальная уменьшается.

Потенциальная энергия преобразует­

ся в кинетическую: Ер ~ Ek. Полная

kx2 mv2 энергия Е =т + 2 .

v= O о

~ 1

i-.-1 1X ml

О'

а

v= O и" о о -~ ~ l--1

1 х", О' О'

б в

Рис. 3 .18

1 t = ~ 1· При прохождении положения равновесия (рис. 3.18, 6) скорость тела mv2

и его кинетическая энергия максимальны Ekrn = Т• потенциальная энергия

mv2

равна нулю Ер= О. Полная энергия Е = 2 ·

1 ~ > t > ~ 1· Тело, пройдя положение равновесия, продолжает движение вправо.

При этом Е. ~ Ер. Полная энергия Е = ~ + ~2

•

47

1t =f 1· Пружина максимально растянута (рис. 3.18, в), скорость тела равна

~ kx';, нулю (v = О). При этом Ерт = 2m, E k = О. Полная энергия Е = 2'

1 Т > t > f 1 · Далее процессы преобразования энергии повторяются. За время, равное периоду колебаний, происходят такие преобразования

энергии пружинного маятника:

Ер ~ Ek ~ Ер ~ Ek ~ ЕР,

т. е. за время, равное периоду колебаний, преобразование энергии из одного

вида в другой происходит дважды.

Полученные выводы об энергии колебаний пружинного маятника справед­

ливы для любых свободных колебаний, в том числе для колебаний математи­

ческого маятника.

ЗАДАЧА

Груз, прикрепленный к пружине, колеблется, будучи надет на гладкий горизонтальный стержень. В некоторой точке отношение кинетической энер­

гии груза к его потенциальной энергии равно 3. На каком расстоянии от поло­жения равновесия находится эта точка, если амплитуда колебаний груза рав­

на 4 см? Решение. Потенциальная и полная энергии груза равны соответственно

kx2. kA.2 ЕР=2' Е = 2 ·

Кинетическая энергия груза в этой точке

kA.2 kx2 k Ek = Е - ЕР =2 -2 = 2(А2

- х2).

Е По условию Е• = 3. Подставив в это соотношение выражения для ЕР и Е.,

р

получим

А2 - х2 = 3,

откуда

48

2 А2 • ±А . +2 х = 4' х = 2' х = - см.

Проверьте себя

1. Какие превращения энергии происходят в течение одного периода коле­

баний пружинного маятника? 2. В каких точках траектории колеблющееся тело обладает только потен­

циальной энергией? только кинетической энергией?

3. Чему равна полная энергия колеблющегося тела в произвольной точке траектории?

УПРАЖНЕНИЕ 8

1. Груз, подвешенный на пружине жесткостью k = 100 Н/м, совершает гар­монические колебания, энергия которых Е = 5 · 10-з Дж. Какова амплитуда колебаний груза?

2. Пружинный маятник совершает гармонические колебания, амплитуда которых 0,05 м. Когда смещение х = 0,02 м, сила упругости F Y•P = 6 · 10 5 Н. Каковы потенциальная и кинетическая энергии, соответствующие данному

смещению, и полная энергия маятника?

§ 18. Вынужденнь1е коnе6ани• Когда бьют по стене, и потолок дрожит.

ПОСЛОВIЩЗ

Если бы колеблющееся на пружине тело находилось под действием только

упругой силы, то его колебания происходили бы с постоянной амплитудой и

энергия сохранялась. Во всякой реальной колебательной системе всегда име­

ется сила трения, действие которой приводит к уменьшению энергии систе­

мы, и колебания постепенно затухают.

На рис. 3.19 изображена установка, с помощью которой можно наблюдать затухающие колебания. На П-образной подставке укреплены две пружины,

соединенные с шаром, находящимся между ними (систему можно считать пру­

жинным маятником). Отведем шар от положения равновесия и отпустим.

Предоставленный самому себе, этот маятник

совершает колебания, амплитуда которых по-

степенно уменьшается. На рис. 3.20 показан график зависимости смещения от времени

для затухающих колебаний. Прикрепим к

шару пластину и повторим опыт. Колебания

прекратятся быстрее, поскольку трение (со­

противление воздуха) в системе возросло.

Чем большая сила трения действует в си­стеме, тем затухание колебаний происходит

быстрее. Так, если маятник погрузить в воду, то, сделав одно-два колебания, он остановит­

ся, а если вместо воды взять более вязкую

жидкость, например глицерин, то колебания

прекратятся еще быстрее.

Большое практическое значение имеют

незатухающие колебания, которые могут

Рис . З.19

х

о~ Рис. З.20

49

Рис. 3 .21

ДJШТЪСЯ неограниченно долго. Один из спо­

собов возбуждения незатухающих колеба­

ний - воздействие на систему внешней пе­

риодической силой. Возникающие при

этом колебания ЯRЛЯЮТСЯ вынужденными.

Выиуждеявыми колебаниями иазьmа­

ют незатухающие колебания системы, ко­

торые вызьmаются действием па нее вне­

ШНШ{ периодически изменяющихся сил.

Для изучения вынужденных колебаний обратимся к опыту, схема которо­

го изображена на рис . 3.21. Шар 1, соединенный с двумя горизонтальными пружинами, укрепляют на П-образвой подставке. Один конец пружины за­

крепляют в штативе, а противоположный - на диске 2, который соединен витью с электродвигателем 3. Если включить электродвигатель, то на диск начнет действовать внешняя периодическая сила, причем частота колебаний

диска равна частоте изменения действующей силы. Понаблюдаем за диском 2 и шаром (маятником) 1: они движутся синхронно, т . е. их периоды и частоты

одинаковы. Изменим частоту вращения электродвигателя. И вновь частота ко­

лебаний маятника равна частоте изменения внешней силы.

Будем постепенно увеличивать скорость вращения электродвигателя, при

этом амплитуда вынужденных колебаний возрастает. Когда частота внешней

силы оказывается близкой к собственной частоте колебаний маятника, амп­

литуда колебаний резко возрастает: возникает резонанс 1•

Явлею1е возрастания а!\mлитуды вынужденных колебаний при пр11ближе­

вии частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной системы

называют резонансом.

А

о

50

Vo v

Рис. 3.22

При дальнейшем увеличении частоты враще­

ния электродвигателя амплитуда вынужденных

колебаний уменьшается, но их частота по-прежне­

му равна частоте действующей силы. Графики зависимости амплитуды А вынужден­

ных колебаний от частоты v вынуждающей силы при различной силе трения в системе приведены на

рис. 3.22. График 1 относится к случаю, когда тре­ние мало, график 2 - к случаю, когда оно велико.

Поэтому можно сказать, что при малом трении в си­

стеме резонанс выражен ярче, чем при большом.

Резонанс можно наблюдать и на таком опыте.

Закрепим нить горизонтально и подвесим на ней

1 От лат. resonans - дающий отзвук.

маятники разной длины (рис. 3.23). Отклоним ма­ятник 1 и отпустим его. Через несколько секунд можно заметить, что маятники 6 и 7 такой же дли­ны начинают колебаться. При этом остальные ма­

ятники останутся практически неподвижными.

С явлением механического резонанса знаком

каждый из вас. Например, мимо оков проехал гру­

зовик, а в шкафу зазвенела посуда. Как это объяс­

нить?

Колебания почвы передались зданию, а с ним

вместе и полу вашей комнаты, пришел в колеба­

ние шкаф и посуда в нем. Частота внешних коле­

баний совпала с собственной частотой колебаний

посуды, поэтому она задребезжала.

Резонанс может быть и вредным, и полезным.

Известны случаи разрушающего действия резо­

нанса. Например, в Петербурге в 1906 г. по мосту шла •В ногу» рота солдат и собственная частота

колебаний моста совпала с частотой строевого

шага. Амплитуда колебаний моста при резонансе

резко возросла, и мост разрушился. Поэтому, ко­

гда воинское подразделение переходит мост, дается

команда идти вольно.

6

3

5 7

2

Рис. 3.23

Рис. 3.24

Здания, мосты и другие сооружения проектируют так, чтобы их собствен­

ные частоты как можно больше отличались от частот колебаний движущихся

машин, работающих экскаваторов и др.

На явлении резонанса основано действие частотомера - прибора, предна­значенного для определения частоты колебаний, возбуждаемых, например,

электродвигателем. Модель частотомера изображена на рис. 3.24. Прибор со­стоит из набора упругих пластинок (язычков) с грузиками на концах, укреп­

ленных на стальной плавке. Колебания электродвигателя передаются планке;

таким образом, на каждый язычок действует периодическая сила. Язычок, по­

павший в резонанс с этой силой, колеблется с большей амплитудой, показы­

вая на шкале прибора свою частоту.

Прислушиваясь к ходу часов, можно отметить повторяющиеся через рав­

ные промежутки времени звуки . Значит, в часах есть колебательная система . Внешних периодических воздействий на колебательную систему в часах нет.

Почему же часы идут? Оказывается, возможны такие колебательные систе­мы, в которых осуществляется пополнение энергии за счет источника энер­

гии, находящегося внутри самой системы. В таких системах могут поддержи­

ваться незатухающие колебания без воздействия внешних периодических сил. Эти колебания называются автоколебаниями, а сами системы - автоколеба·

тельныАtи.

51

Рис. 3.25

Например, в часах с маятником источником энергии

является поднятая гиря (рис. 3.25), обладающая потен­циальной энергией . Гиря приводит во вращение храповое

колесо с косыми зубцами. Скоба АВ качается вместе с ма­

ятником, с которым жестко связана. При каждом кача­

нии выступ А скобы пропускает один зуб шестерни, а вы­

ступ В задерживает очередной зуб. При этом часть энер­

гии гири передаете.я скобе и, следовательно, маятнику.

Гиря медленно опускаете.я, а маятник качаете.я без зату­

хания. Аналогично работает часовой механизм будильни­

ка или наручных часов, только в качестве источника энер­

гии в них вместо поднятой гири используют спиральную

пружину.

Проверьте себя

1. Почему свободные колебания затухают? 2. Какие колебания называют вынужденными? 3. Чему равна частота вынужденных колебаний? 4. При каком условии резонансные свойства колебательной системы про­

являются отчетливо?

5. Приведите примеры резонанса.

• САМОЕ ВАЖНОЕ в rnABE 3

• Свободные (собственные) колебания - колебания системы, совершае­

мые в отсутствие внешних сил.

• Гармонические колебания - движения, при которых координата изме­

няется по закону синуса (или косинуса):

х =А sin (rot + q>o).

• Уравнение, связывающее проекцию ускорения колеблющегося тела и его смещение: ах = - ro2x.

• Период колебаний пружинного маятника:

т = 21tИ-· • Период колебаний математического маятника:

т = 21tЛ· • Максимальные кинетическая и потенциальная энергии колебаний пру­жинного маятника :

kA2 Ekm = Ерт = -2-.

• Затухающие колебания - колебания, возникающие в системе, где есть трение. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается.

• Вынужденные колебания - незатухающие колебания, которые вызыва­ются действием внешних периодических сил. Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы.

• Резонанс - резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных коле­баний.

Ornaвneнaie _

Гл а в а 3. Механические и электромагm1тные колебания § 13. Механические колебания ................................... """. ........ . ..... 36 § 14. График колебательного движения. Фаза колебаний.... . ........ . ..... 39 § 15. Пружинный маятник .. .. . ... . . .. . . .. .... .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. ... .. . . . .. .. . .. . . . 41 § 16. Математический маятник... . ........ . . .... ... . ...... . ... .......... . . . .......... 44 § 1 7. Энергия гармонических колебаний ............ "................. . ... .. .... . 4 7 § 18. Вынужденные колебания .... ........... " .......................... "........... 49

Самое важное в главе 3 ............ .. ... .... " ."" . . " ............ "" ..... .. ... 75