Преобразование выражения Asin x + Bcos x к виду Csin (x+t)

Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t)

Работа ученицы 10А класса Бражкиной Виктории

На практике, при изучении колебаний,

довольно часто встречаются выражения вида Asinx + Bcosx.

Рассмотрим для примера выражение

√3sinx + cosx

Если переписать это выражение в виде

2(√3/2sinx + ½cosx) и вспомнить, что √3/2 = cos∏/6, а sin1/2 = ∏/6,

то можно представить выражение иным образом:2(√3/2sinx + ½ cosx) = 2(cos ∏/6 sinx + sin ∏/6

cosx) =

2sin(x+t).Стоит заметить, что C = 2; t = ∏/6 .

В самом деле Аⁿ+Вⁿ=Сⁿ, при n=2Рассмотрим выражение Asinx + Bcosx; Пусть для определенности А и В – положительные

числа(А/С)ⁿ + (В/С)ⁿ = 1, при n=2,То есть точка с координатами (А/С) и (В/С) лежит наЧисловой (единичной) окружности.Но тогда (А/С) есть косинус, а (В/С) - синус некоторогоАргумента t, т. е. (А/С) = cost, (В/С) = sintУчитывая всё это, поработаем с выражением:Asinx + Bcosx;Asinx + Bcosx = C((А/С)sinx + (В/С)cosx) == C(costsinx + sintcosx) = Сsin(x+t)

Итак, получаем выражение:Asinx + Bcosx = Сsin(x+t)Аналогично можно выражение Asinx + Bcosx, А>0,

В>0,Преобразовать к виду Сsin(x+t).Обычно аргумент t называют вспомогательным илиДополнительным аргументом.Вот 1 из примеров его нахождения:Пример 1.Преобразовать выражение 5sinx - 12cosx.Решение: А = 5; В = -12, По теореме Пифагора С = 13.Итак: 5sinx - 12cosx = 13(5/13sinx – 12/13cosx).

Введём вспомогательный аргумент t, Удовлетворяющий соотношениям:cost = 5/13, sint = 12/13, например t = arcsin12/13.Тогда 5/13sinx – 12/13cosx = sinxcost – cosxsint =

sin(x-t).Итак, 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), где t =

arcsin12/13.Пример 2.Найти наибольшее и наименьшее значение

функцииy = 5sinx - 12cosx.Решение: опираясь на пример 1 имеем данные:y = 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), отсюда узнаём чтоу € [-13 ; 13] (поскольку синус принимает значения от -1 до 1)

Также следует обратить внимание на то, Что с равным успехом можно считать,Что (А/С) = sint, и (В/С) = cost.Тогда:

Asinx + Bcosx = С((А/С)sinx + (В/С)cosx) =

= С(sinxsint + cosxcost) = Ccos(x-t).Итак, Аsinx + Вcosx = Ccos(x-t)