45 Глава 4. Работа и энергия Задача 1. Вагонетку массой 200 кг поднимают по рельсам в гору, наклон которой к горизонту составляет 30°. Какую работу (в кДж) совершила сила тяги на пути 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0,2 м/с 2 ? Ко- эффициент трения 0,2, g = 10 м/с 2 . 3 = 1,7. Так как сила тяги направлена вдоль наклонной плоскости, ее работа на пути s равна A = F т s. Чтобы найти силу тяги, запишем уравне- ние движения в проекциях на оси x и y F т mg sin F тр = ma, N mg cos = 0 и формулу для силы трения скольжения F тр = N. Решив полученную систему, получим F т = ma + mg sin + mg cos = 1380 Н, откуда находим работу силы тяги: A = 69 кДж. Задача 2. Санки массой 18 кг равномерно передвигают по горизонтальному участку дороги с помощью веревки, наклоненной под углом 30° к горизонту. Ко- эффициент трения 0,08. Найдите работу силы натяжения на пути 100 м. g = = 10 м/с 2 . 3 = 1,72. Из второго закона Ньютона в проекциях на оси x и y F н cos F тр = 0, N mg + F н sin = 0 и формулы для силы трения скольжения F тр = N выразим силу натяжения и подставим в формулу для работы A = F н s cos . Получим A mgs cos cos sin = 1376 Н.
26
Embed
Работа и энергия - gubkin.ru › faculty › oil_and_gas...Работа и энергия Задача 1. Вагонетку массой 200 кг поднимают
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
45
Глава 4. Работа и энергия
Задача 1. Вагонетку массой 200 кг поднимают по рельсам в гору, наклон
которой к горизонту составляет 30°. Какую работу (в кДж) совершила сила тяги
на пути 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0,2 м/с2? Ко-
эффициент трения 0,2, g = 10 м/с2. 3 = 1,7.
Так как сила тяги направлена вдоль наклонной плоскости, ее работа на пути s
равна
A = Fтs.
Чтобы найти силу тяги, запишем уравне-
ние движения в проекциях на оси x и y
Fт mg sin Fтр = ma,
N mg cos = 0
и формулу для силы трения скольжения
Fтр = N.
Решив полученную систему, получим
Fт = ma + mg sin + mg cos = 1380 Н,
откуда находим работу силы тяги: A = 69 кДж.
Задача 2. Санки массой 18 кг равномерно передвигают по горизонтальному
участку дороги с помощью веревки, наклоненной под углом 30° к горизонту. Ко-
эффициент трения 0,08. Найдите работу силы натяжения на пути 100 м. g =
= 10 м/с2. 3 = 1,72.
Из второго закона Ньютона в проекциях на оси x и y
Fн cos Fтр = 0,
N mg + Fн sin = 0
и формулы для силы трения скольжения
Fтр = N
выразим силу натяжения и подставим в формулу для
работы
A = Fнs cos.
Получим
Amgs
cos
cos sin= 1376 Н.
46
Задача 3. Ящик массой 10 кг лежит на горизонтальной поверхности на не-
котором расстоянии от вертикальной стены, с которой он соединен пружиной
жесткостью 200 Н/м. Коэффициент трения между ящиком и поверхностью 0,2.
Ящик медленно отодвигают от стены на 20 см, прикладывая к нему горизонталь-
ную силу. Какую работу при этом совершают? В начальном положении пружина
не деформирована. g = 10 м/с2.
Чтобы найти силу тяги, запишем 2-ой за-
кон Ньютона в проекциях на оси x и y
Fт Fтр Fупр = 0,
N mg = 0
(ускорение равно нулю) и формулы для сил
трения и упругости
Fтр = N, Fупр = kx.
Получим, что сила тяги
Fт = mg + kx
линейно зависит от перемещения x. В этом случае работа мо-
жет быть найдена как работа средней силы
2
1 2 8 Äæ.2 2
F F ksA s mgs
где F1, F2 — начальное и конечное значения силы тяги. Отметим, что работа равна
сумме двух членов: работе против силы трения (выделившееся тепло) и энергии
упругой деформации пружины.
Задача 4. Нефть откачивают из скважины глубиной 500 м с помощью насоса,
потребляющего мощность 10 кВт. Каков КПД (в процентах) насоса, если за одну
минуту его работы на поверхность земли подается 96 кг нефти? g = 10 м/с2.
Коэффициент полезного действия равен отношению полезной работы по
подъему нефти к энергии, потребленной насосом из сети за это время
mgh
Pt= 0,8.
Выразив КПД в процентах, получим = 80%.
Задача 5. Грузовой состав движется по ровному участку дороги со скоро-
стью 60 км/ч, электровоз при этом развивает полезную мощность 100 кВт. С
какой скоростью (в км/ч) надо подниматься по участку с уклоном 1 м на 200 м
пути, чтобы развиваемая мощность равнялась 120 кВт? Сила сопротивления
равна 0,01 от силы тяжести состава.
47
В первом случае полезная мощность равна
P1 = Fт1v1 = mgv1,
где = 0,01 (при равномерном движении сила тяги равна силе сопротивления). Во
втором случае проекция 2-го закона Ньютона на направление движения имеет вид
Fт2 mg mg sin = 0,
(sin = 1/200), и для мощности получаем
P2 = Fт2v2 = (mg + mg sin)v2.
Разделив P2 на P1, выразим v2
vP
Pv2
2
11
sin= 48 км/ч.
Задача 6. Автомобиль массой 1 т трогается с места и, двигаясь равноуско-
ренно, проходит путь 50 м за 5 с. Какую мощность (в кВт) развивает автомо-
биль в конце пятой секунды своего движения? Сопротивлением движению авто-
мобиля пренебречь.
Мгновенное значение мощности, развиваемой силой тяги, равно
P = Fтv.
Силу тяги найдем из уравнения движения автомобиля
Fт = ma.
Ускорение определим из уравнения кинематики
sat
2
2,
а скорость в момент времени t = 5 с — из уравнения
sv
t0
2.
Получаем
P ms
t
s
t
ms
t
2 2 42
2
3 80 кВт.
Задача 7. Какую среднюю полезную мощность (в кВт) развивает при разбеге
самолет массой 1 т, если длина разбега равна 300 м, взлетная скорость 30 м/с, а
сила сопротивления движению 300 Н?
Средняя мощность силы тяги равна
PA
t
F s
tF v F
vср
тт ср т
2,
48
где vср — средняя скорость. Чтобы найти силу тяги, запишем 2-ой закон Ньютона
Fт Fср = ma,
а ускорение найдем из уравнения
v2 = 2as.
Получаем
P mv
sF
vср с
2
2 227 кВт.
Задача 8. Тело брошено с некоторой высоты горизонтально со скоростью
10 м/с. Через сколько секунд кинетическая энергия тела возрастет вдвое? g =
= 10 м/с2.
По условию
mv mv202
222
.
Квадрат скорости выражается через горизонтальную и вертикальную проекции
v v v v gtx y2 2 2
02 2 ( ) .
Получаем v gt v02 2
022 ( ) , откуда t = v0/g = 1 с.
Задача 9. Чему равна полезная мощность брандспойта, если площадь его
отверстия 10 см2, а скорость водяной струи 10 м/с?
Полезная работа брандспойта за время t равна кинетической энергии воды,
выброшенной за это время
Amv
пол 2
2.
Массу воды, выброшенной за время t, найдем из уравнения расхода
m = svt,
где — плотность воды. Для полезной мощности получаем
PA
tsvпол
пол 1
23 = 500 Вт.
Задача 10. Однородный стержень длиной 8 см скользит по гладкой горизон-
тальной поверхности параллельно своей длине и наезжает на границу, отделяю-
щую гладкую поверхность от шероховатой, коэффициент трения о которую 0,2.
Линия границы расположена перпендикулярно скорости стержня. Найдите на-
чальную скорость (в см/с) стержня, если он остановился в тот момент, когда
наполовину пересек границу. g = 10 м/с2.
49
В тот момент, когда на шероховатую поверхность заехал отрезок стержня
длиной x, величина силы трения равна Fтр(x) = mg(x/l). Значит, сила трения ли-
нейно зависит от перемещения, и работу можно вычислять по формуле
òð1 òð2ð
0 2
2 2 2 8
F F mg l mglA s
.
Применяя теорему о кинетической энергии
Amv
тр 02
02
,
находим начальную скорость v gl0 2 = 20 см/с.
Задача 11. На сколько изменится потенциальная энергия бруска массой
200 кг, если его перевести из горизонтального положения в вертикальное? Брусок
имеет квадратное сечение со стороной 20 см и длину 1 м. g = 10 м/с2.
Формулу
Eп = mgh
можно применять для расчета потенциальной энергии протяженного тела, но под h
надо понимать высоту, на которой расположен центр тяжести этого тела. Для из-
менения потенциальной энергии бруска получаем
E mgl
mga
2 2
800 Дж,
где l — длина бруска, a — сторона квадрата в сечении бруска.
Задача 12. Две пружины, жесткости которых 3 кН/м и 2 кН/м, соединили
последовательно и растянули за концы на 10 см. Какую при этом совершили ра-
боту?
Работа равна изменению по-
тенциальной энергии пружин. В
случае последовательного соедине-
ния деформация составной пружины равна сумме деформаций: x = x1 + x2, а сила
упругости для двух пружин одинакова: k1x1 = k2x2. Из этих уравнений находим де-
формацию каждой пружины
xk x
k k12
1 2
, xk x
k k21
1 2
и вычисляем потенциальную энергию
Ek x k x k k
k k
xп
1 12
2 22
1 2
1 2
2
2 2 2= 6 Дж.
50
Задача 13. Тонкая пластинка массой 10 кг лежит на горизонтальном столе.
В центре пластинки укреплена легкая пружинка жесткостью 100 Н/м. Какую
работу надо совершить, чтобы на пружине поднять пластинку на высоту 1 м от
поверхности стола? g = 10 м/с2.
В данном случае работу удобно рассчитывать исходя не из ее определения, а
из связи между работой и изменением энергии
A E E mghkx
2 1
2
20
(кинетическая энергия остается равной нулю). Деформацию пружинки найдем из
условия равновесия пластинки
mg kx = 0.
Получаем
A mghk mg
k
2
2
150 Дж.
Задача 14. Груз висит на пружине жесткостью 60 Н/м. Какую надо совер-
шить работу (в мДж), чтобы растянуть пружину еще на 2 см?
Работа по растяжению пружины равна изменению потенциальной энергии,
которая содержит два слагаемых: потенциальную энергию силы тяжести и потен-
циальную энергию упругой деформации:
2 20 0
2 2
kx x x kxA mgx
,
где x0 — начальная деформация, x — дополнительное растяжение, а потенциальная
энергия силы тяжести отсчитывается от конечного положения. После упрощения (с
учетом соотношения mg – kx0 = 0) получим 2
12 мДж.2
kxA
Замечание. Бросается в глаза, что конечное выражение для потенциальной
энергии содержит только один член: энергию упругой деформации, но отсчитан-
ную от положения равновесия (где пружина уже растянута на x0). Дело в том, что в
этом состоянии равнодействующая сил тяжести и упругости равна нулю, а при
отклонении на x становится равной Fр = –kx (сила тяжести не меняется, а сила уп-
ругости изменяется на –kx). Следовательно, обе силы вместе эквивалентны одной
силе упругости, в которой деформация x отсчитывается от положения равновесия.
Это наблюдение оказывается очень удобным при решении задач.
51
Задача 15. Тело брошено под углом к горизонту с высоты 10 м над поверх-
ностью земли со скоростью 20 м/с. Чему будет равна его скорость на высоте
25 м? g = 10 м/с2.
Искомую скорость можно найти из закона сохранения энергии
mghmv
mghmv
002
112
2 2 .
Получаем
v v g h h1 02
1 02 ( ) 10 м/с.
Так как кинетическая энергия зависит только от величины скорости, то угол, под
которым бросили тело, в ответ не вошел.
Задача 16. Какую минимальную горизонтальную скорость надо сообщить
шарику, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости, если он ви-
сит на жестком невесомом стержне длиной 0,4 м? g = 10 м/с2.
Для груза на жестком стержне минимальная энергия груза соответствует слу-
чаю, когда верхняя точка проходится им с почти нулевой скоростью (v2 = 0). При-
нимая потенциальную энергию равной нулю в нижней точке окружности, запишем
закон сохранения энергии
mvmg l1
2
22 ( ) ,
откуда находим скорость в нижней точке: v gl1 4 = 4 м/с.
Задача 17. К нижнему концу недеформированной пружины жесткостью
400 Н/м прикрепили груз массой 250 г и без толчка отпустили. Определите мак-
симальную скорость (в см/с) груза. g = 10 м/с2.
Скорость груза будет максимальной в тот момент, когда равно нулю его уско-
рение, т.е. выполняется уравнение
mg kx = 0.
Принимая потенциальную энергию силы тяжести равной нулю в этой точке, запи-
шем закон сохранения энергии
mgxkx mv
2 2
2 2,
откуда
v gm
k
1 2
25 см/с.
Задача 18. Груз массой 1,6 кг подвешен к потолку на упругом резиновом шнуре