Άλγεβρα Α Λυκείου

2Ο ΓΕΛ ΚΟΡΥΔΑΛΛΟΥ ΤΜΉΜΑ: Α1

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α’ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επιμέλεια:Βαβούλης Παναγιώτης

Δημητροκάλλης ΝικόλαοςΚωστελίδη Ελένη-Ελπίδα

Μεταλλινού Άννα Μπέλεση Μαρία

Καθηγητής:Φιλίππου Ιωάννης

ΙΔΙΟΤΉΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ

Ιδιότητα πράξεων Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βαΠροσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ)=(αβ)γΟυδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ∙ 1 = αΑντίθετος/Αντίστροφος αριθμού

α + (-α) = 0 α = 1, α ≠ ∙ 0

Επιμεριστική α (β + γ) = αβ + αγ

Αφαίρεση

α-β = α+ (-β)

Διαίρεση

(β≠0)

1

1:

ΙΔΙΟΤΉΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ 2

1. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ2. (α = β και γ = δ) αγ = βδ3. α = β α + γ = β + γ4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ5. α β = 0 ∙ α = 0 ή β = 06. α β ≠ 0 ∙ α ≠ 0 και β ≠ 0

ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός, ισχύει ότι: αν = α α α… α για ν > ∙ ∙ ∙ 1 και

ν παράγοντες

α1 = α, για ν = 1

Αν α ≠ 0, τότε:α0 = 1 και α-ν =

1

ΙΔΙΟΤΉΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

1. ακ α∙ λ = ακ+λ

2. = ακ-λ (α≠0)

3. ακ β∙ κ = (αβ)κ

4. (β≠0)

5. (ακ)λ = ακλ

ΑΞΙΟΣΉΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΉΤΕΣ

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

(α - β)2 = α2 - 2αβ + β2

α2 - β2 = (α + β) (α - β) ∙(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3

(α - β)3 = α3 - 3α2 β + 3αβ2 - β3

α3 + β3 = (α + β) (α∙ 2 – αβ + β2)

α3 - β3 = (α - β) (α∙ 2 + αβ + β2)

(α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ + 2γα

ΑΞΙΟΣΉΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΉΤΕΣ#2

α2 + β2 = (α + β)2 - 2αβ

(α + β - γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ - 2βγ - 2αγ

αν – βν = (α - β) (α∙ ν-1 + αν-2β + … + αβν-2 + βν-1)

α3 + β3 +γ3 – 3αβγ = (α+β+γ) (α∙ 2+β2+γ2-αβ-βγ-γα)

α3+β3+γ3 –3αβγ = (α+β+γ) [(α-β)∙ 2+(β-γ)2+(γ-α)2]

Αν α + β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ

Αν α = β = γ τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ

α3 + β3 = (α + β)3 - 3αβ (α + β)

21

Διάταξη πραγματικών αριθμών

Ιδιότητες των ανισοτήτων

ΔΙΑΣΤΉΜΑΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Διάστημα Ανισότητα Συμβολισμός

x´ α β x

x´ α β x

x´ α β x

x´ α x

x´ α x

x´ α x

x´ α x

ΟρισμόςΗ απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζετα με

και ορίζεται από τον τύπο α, αν α≥0

-α, αν α<0Συνέπειες και

ΑΠΟΛΥΤΉ ΤΙΜΉ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

ή x = -θ (θ > 0) ή x = -α

α

0αα αα αα 22 αα

θxθx

αxαx

α

ΙΔΙΟΤΉΤΕΣ

1.

2. = (β ≠ 0)

3.

Απόσταση d (α , β) =

βα

β

α Ανισότητες με απόλυτα ή x > ρ

βαβα

βαβα

βα

ρxρρ)ρ,(xρx

ρxρx

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΟρισμόςΗ τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με

και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.

• Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2 = α.

Ιδιότητες

• Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε:

1.

2.

α

α

αα 2

βαβα βα

β

α3. (β ≠ 0 )

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΟρισμόςΗ ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α

συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α.

Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της

εξίσωσης xν = α.

ν α

ν α

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝΙδιότητες• Αν α,β ≥ 0, τότε:1.

2. (β ≠ 0)

3.

4.

5.

6.

ννν βαβα

νν

ν

βα

β

α

νμμ ν αα ν μρν ρμ αα

κνv κ αα νν ν βαβα

• Αν α ≥ 0, τότε: • Αν α ≤ 0 & ν άρτιος,

τότε:

αανν & ααν ν

ααν ν

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Ορισμός• Αν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός, τότε

ορίζουμε

• Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει ότι:

ν μν

μ

αα

νν βαβα

Ή ΕΞΙΣΩΣΉ xν = α

• Η εξίσωση xν = α , με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την:

• Η εξίσωση xν = α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει δυο λύσεις τις: και

• Η εξίσωση xν = α , με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την:

• Η εξίσωση xν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη

ν α

ν α ν α

ν α

Ή ΕΞΙΣΩΣΉ αx2+βx+γ=0, α≠0

• Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Είδος ριζώνΔ = β2 - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0

Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις

Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη

Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ

2α

Δβ-x 1,2

2α

β- x

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ

•

•

Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες x1 , x2 :

x2 – Sx + P = 0

αβxxS 21

α

γxxP 21

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥαx + β > 0

• Αν α > 0 , τότε:

• Αν α < 0 , τότε:

• Αν α = 0 , τότε: , η οποία

αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0

ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0

α

β-x

α

β-x

-β0x

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

Μορφές τριωνύμουΗ παράσταση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού. Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 μετασχηματίζεται ως εξής:Δ > 0 , τότε:

Δ = 0 , τότε:

Δ < 0 ,τότε:

212 xxxxαγβxαx

22

2αβxαγβxαx

2

22

4αΔ

2αβ

xαγβxαx

ΠΡΟΣΉΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0

Δ > 0

-∞ x1 x2 +∞ Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο του α του α του α

Δ = 0

-∞ x1 +∞ Ομόσημο Ομόσημο του α του α

Δ < 0

-∞ +∞ Ομόσημο του α x ℝ