第 Ⅱ 部　協力ゲームの理論

第Ⅱ部　協力ゲームの理論

第 7 章　交渉問題

2008/07/01( 火 )ゲーム理論合宿Ｍ１　北川直樹

2

内容

1. 交渉問題の定式化1. 交渉問題の基準点2. 共同混合戦略と実現可能集合3. 交渉問題の定式化

2. 均等解と功利主義的解1. 均等解2. 功利主義的解（和の最大化による解）

3. ナッシュ解4. 交渉の公準5. ナッシュ解の一意性6. カライ／スモロデンスキー解7. 公平な交渉

3

• 例１　非協力２人ゲーム

　　各プレイヤーが最悪の場合でも期待される利得は　　 マックスミニ値（ 2, 3 ）←交渉の基準点

1 2 3

1 6, 7 4, 8 0, 9

2 8, 5 5, 6 1, 7

3 9, 0 7, 1 2, 3

交渉の基準点

プレイヤー１

プレイヤー２

4

交渉の基準点（ 2, 3 ）を念頭において話し合いを行い、ともに戦略１をとることに合意した場合、利得は（ 6, 7 ）に改善

1 2 3

1 6, 7 4, 8 0, 9

2 8, 5 5, 6 1, 7

3 9, 0 7, 1 2, 3

交渉の基準点

5

共同混合戦略と実現可能集合

• 例２　逢引のジレンマ

野球 芝居野球 3, 1 0, 0

芝居 0, 0 1, 3

非協力ゲームの場合、利得が（ 0,0 ）となる可能性がある。そこで、話し合いをしてジャンケンでどちらに行くか決定する（協力ゲーム）　協力ゲームの利得　　（ 3,1 ） or (1,3)　期待値　　 1/2×3 ＋ 1/2×1=2

彼

彼女

6

• 非協力ゲームの実現可能集合 S(ACBD)

– 混合戦略• プレイヤー１の混合戦略： p(p1,p2)• プレイヤー２の混合戦略： q(q1,q2)

– 利得の期待値

• 協力ゲームの実現可能集合 S(ABC)

– 共同混合戦略• P = (p11, p12, p21, p22)

　 = (( 野球 , 野球 ), ( 野球 , 芝居 ), ( 芝居 , 野球 ), ( 芝居 , 芝居 ))– 利得の期待値

222112112

222112111

3001

1003

pppppx

pppppx

ジャンケンで野球か芝居を決定

P=(1/2, 0, 0, 1/2)S=(2, 2)

2211212

2211211

3001,

1003,

pqqpqqqpx

qppqppqpx

共同混合戦略と実現可能集合

7

交渉問題の定式化

1. プレイヤーの集合2. 交渉の基準点3. 実現可能集合

– 条件１　 Sは n次元ユークリッド空間 Rnの有界閉な凸集合– 条件２　基準点 cを Sに想定可能– 条件３　 Sは、すべての i N∈ について、 xi＞ ciなる点 xを少

なくとも１つ 含む

4. 交渉問題5. 交渉の妥結点6. 交渉解

n

n

xxxxS

cccc

nN

,,,

,,,

,,2,1

21

21

scSForscSNF

ssss

cSorcSN

n

,,,

,,,

,,,

21

8

交渉問題の定式化

7. 交渉の妥結点のみたすべき公準– 公準１　個人合理性

– 公準２　強個人合理性

– 公準３　パレート最適性（共同合理性、効率性）

– 公準４　弱パレート最適性

8. 交渉領域の点でないはをみたすならば、＞がもし

の点でないはをみたすならば、≧がもし

＞＞＞

≧≧≧

SxsxRx

SxsxRx

cscscs

cxcxcx

n

n

nn

nn

)(

)(

,,,

,,,

2211

2211

cxSxT ≧:

9

• ルール– 利得を均等に配分した点を解とする

• デメリット– 均等解がパレート最適とは限らない

s1 c1 sn cn

均等解

10

功利主義的解（和の最大化）

• ルール– 各プレイヤーの利得の和を最大とする点を解とする

• デメリット– 利得の和が常に一定の場合、妥結点を決定不能– 交渉領域の多少の変動で、妥結点が大きく変動– 各プレイヤーが自己の利益を主張している場合は困難

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ナッシュ解

• ルール– 各プレイヤーの利得の積を最大とする点を解とする

– ナッシュ積

– ナッシュ解

cxSxcxcSN

cxcxcscs

cxcxcx

iiNi

nnxcSx

nn

nniiNi

≧,:maxarg,

11,

11

11

max

12

3. 利得測定法からの独立性– プレイヤーの利得を１人ずつ独立に正１次変換をしても、本質的な変化はない

例）２人の場合に、利得の尺度が xから yに

と変換したとき、基準点 dは

となり、尺度 xのときの妥結点が、 r=(r1,r2)=(2,2)ならば、

尺度 yのときには、 s=(s1,s2)=(5,9)となる。

ナッシュ解

3312

3312

2211

2211

cdcd

xyxy

13

２人交渉問題のナッシュ解

• 例３

基準点 c=(c1, c2)

1 2 3

1 8, 4 2, 3 4, 1

2 6, 2 4, 6 4, 2

3minmax

,4minmax

2

1

ijij

ijji

bc

ac

162: 21 xxAB共同合理性

プレイヤー１

プレイヤー２

14

２人交渉問題のナッシュ解

1 2 3

1 4, 4 1, 3 2, 1

2 3, 2 2, 6 2, 2

11 2

1xy 1 2 3

1 8, 4 2, 3 4, 1

2 6, 2 4, 6 4, 2

c=(4, 3) d=(2, 3)

AB : x1+2x2=16AB : y1+x2=8

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変換された利得によるナッシュ解

z1z2=K( 一定 ) である点 z=(z1, z2) は、 z1 軸、 z2 軸を漸近線とする双曲線 ⇒ 妥結点 t = (1.5, 1.5)

　⇒ 妥結点 s = (2×(1.5+2)=7, 1.5+3=4.5)

21maxarg, zzdTNTz

3

2

22

11

xz

yz

２人交渉問題のナッシュ解

d=(2, 3)d=(0, 0)

t=(1.5, 1.5)

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交渉の公準

公準１　個人合理性

公準２　強個人合理性

公準３　パレート最適性

公準４　弱パレート最適性

公準５　利得の測定法からの独立性　この公準をみたすとき基準点を c=0に変換可能なため、 Sを Rnの正の領域の集合とした交渉問題（ S,0）として記述できる。

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交渉の公準

公準６　対称性• ２人交渉問題において、交渉領域 S が原点を通る 45

度線に関して対称で、かつ、ルール F による妥結点における 2 人の利得が等しいとき

n 人交渉問題 (N,S,0) の実現可能集合 S は、以下のように定義する。

π ： 1 から N までの任意の置換（プレイヤー番号の付け替え）

条件１．　プレイヤーの番号を付け替えても交渉領域に不変条件２．　全プレイヤーの受け取る利得が同じ

このとき、交渉解 F は対称性をもつ

SxxS :

SFSFSS ji ,

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交渉の公準

公準７　無名性（匿名性）• プレイヤーの番号を付け替えたとき、交渉領域が前と

同じではないが、妥結点でプレイヤーの受け取る利得が番号の付け方とは独立で、匿名にしても変わらない

n 人交渉問題 (N, S, 0) において任意の置換π に対して、交渉解を F(S) とすると

のとき、ルール F は無名性 SFSF

2 人交渉問題の場合

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交渉の公準

公準８　無関係な代替案からの独立性• 交渉問題 (S, c)が与えられ、妥結点 sが存在するとき、

cと sを含む Sの部分集合 Tを考えて、交渉の場を(T, c)に変えても、以前 sが妥結点で存在する

２つの交渉問題 (S, c)と (T, c)が

TFSF

TSFST

ならばかつで ,,

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公準８　全体と部分との整合性、または縮小ゲーム性• N={1, 2, 3} の 3 人交渉問題 (N, T, 0)

妥結点 t=(t1, t2, t3)

• N´={1, 3} の 2 人交渉問題 (N´, T, 0)

妥結点 s=(s1, s3)

もし、 t1 ＜ s1 ならば、プレイヤー１は３とだけ交渉する

ルールの妥当性

交渉の公準

3311 , tsts

プレイヤー 2 の利得を t2 に固定

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ナッシュ解の一意性

定理１　ナッシュの定理 (1950)• 2 人交渉問題で次の５つの公準をみたす解は、ナッシュ解に限る

– 個人合理性、パレート最適性、利得測定法からの独立性、対称性、無関連な代替案からの独立性

定理２　ロスの定理 (1977)• n 人交渉問題で次の 4 つの公準をみたす解は、ナッシュ解に限る

– 強個人合理性、利得測定法からの独立性、対称性、無関連な代替案からの独立性

• n 人交渉問題で次の３つの公準をみたす解は、ナッシュ解か非合意解 (F(S) = c = 0)

– 利得測定法からの独立性、対称性、無関連な代替案からの独立性

定理３　レンズベルクの定理 (1985)• n 人交渉問題で次の 5 つの公準をみたす解は、ナッシュ解に限る

– 個人合理性、パレート最適性、利得測定法からの独立性、匿名性、全体と部分との整合性

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• 単調性をみたさないナッシュ解

交渉問題が S→T(S T)⊂ に変化（交渉領域の拡大）このとき、ナッシュ解は

交渉領域が拡大したことで、プレイヤー２の利得が減少

交渉領域が拡大しても、各プレイヤーの利得は減少しないという公準が必要

　　カライ／スモロデンスキー解

カライ／スモロデンスキー解

7.0,175.0,75.0 TNSN

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• 最大限度額– 2 人交渉問題において、交渉領域 (S) 内でのプレイヤ

ー i の利得の上限をプレイヤー i の最大限度額 M(S)i

と呼び、最大限度額の組を交渉問題と理想点と呼ぶ

公準１０　個人単調性2 つの 2 人交渉問題 (S) と (T) において

解 F は個人単調という

カライ／スモロデンスキー解

21 , SMSMSM

2,1,

2,1,,

iSFTF

iSMTMST

ii

ii

≧ならばかつ

24

• ルール–基準点と理想点を結ぶ直線と交渉領域のパレート最適な点の集合との交点を解とする

Pa(S)：交渉領域 Sのパレート最適な点の集合L(c, M)：基準点 cと理想点Mとを結ぶ直線

利得は各プレーヤーの最大限度額の比で分配

カライ／スモロデンスキー解

1212

21 ,0,

MMrr

MLSParrrSKS

6,4,8.4,8.4

8,8,

,8,8

21

21

SNSKS

SMSMSM

SMSM

：解：理想点

最大限度額：

25

カライ／スモロデンスキー解

定理４　カライ／スモロデンスキーの定理 (1950)• 2 人交渉問題で次の５つの公準をみたす解は、カラ

イ／スモロデンスキー解に限る– 個人合理性– パレート最適性– 利得測定法からの独立性– 対称性– 個人単調性

カライ／スモロデンスキー解は、ナッシュ解の５つの公準

の中で無関係な代替案からの独立性の公準を個人単調性に置き換えたもの

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公平な交渉（まとめ）

• 4 つの交渉解– 均等解– 功利主義的解– ナッシュ解– カライ／スモロデンスキー

解

• １０の公準– 個人合理性– 強個人合理性– パレート最適性– 弱パレート最適性– 利得の測定法からの独立性– 対称性– 無名性– 無関連な代替案からの独立性– 全体と部分との整合– 個人単調性

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公平な交渉（まとめ）

• 新たな交渉解の定義– ナッシュ解やカライ／スモロデンスキー解とは異なる公準の組か

ら交渉解を定義し、違う交渉のあり方に関する理論を得ることができる

• 状況判断と適切な交渉解の適用– ナッシュ解は、妥結点の近傍での交渉が重要な問題

カライ／スモロデンスキー解は最大貢献度が重要な問題

• 人々の公平観と自身の人間性– 多数の人が熱心に交渉に臨むほど、妥結点は共通の公平観のもと

で成立する。そこには、技術や論理を越えた哲学的、道徳的な感性も大変重要である

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おまけ

• 練習問題–身近な交渉問題に対して、いかなる公準を考慮し、解を提示すれば公平なのか議論せよ

– 例題• エキカマチコンペの賞金 3万円の分配方法• スタバジャンケンのコーヒーサイズの選択方法• 焼肉北京で同じテーブルに座るメンバーの決定方

法