Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

121.04.23

Введение в математическую логику и теорию

алгоритмов

Алексей Львович Алексей Львович СеменовСеменов

План Место математической логики и теории алгоритмов в

современном мире Анализ математической деятельности средствами

математики. Программа Гильберта Базовый инструмент современной математики –

теория множеств Примеры аксиом теории множеств

221.04.23

Математическое описание некоторых видов человеческой коммуникации и деятельности:

Доказательство теорем и определение математических понятий Описание отношений между математическими объектами Получение следствий из экспериментально установленных

утверждений, из гипотез и т. п. Проектирование устройств (механических, электронных и т. д.)

с заданными свойствами и функциями. Создание и выполнение формальных предписаний (описание и

применение алгоритмов и программ) Установление соответствия между описанием требуемого

результата и алгоритмом, предназначенным для достижения этого результата (доказательство правильности)

Математическая логика и теория алгоритмов дают (математические, точные) критерии правильности

3

МЛиТА: Результаты, относящиеся к: Множествам и отношениям, которые можно описать на том или

ином языке Множествам доказуемых формул Множествам истинных формул (имеется фундаментальная

разница с п.2) Множествам математических структур, в которых истинны

формулы из заданного множества Классам функций, которые вычисляются алгоритмами Существованию алгоритма, выясняющего истинность или

доказуемость формул Сложности вычислений Сложности объектов и т. д.

421.04.23

Развитие цивилизации

Обработка материи Получение и использование энергии Переработка информации (XX век)- Становится основной деятельностью- Результаты, понятия, построения МЛиТА –

фундамент

521.04.23

История

621.04.23

вопросы: Что значит, что математическое

утверждение доказано? Что значит определить

математическое отношение? Что значит, что

математическая функция вычислима?

Давид Гильберт (23.01.1862 — 14.02.1943)

Второй международный математический конгресс, Париж, 1900

23 Проблемы Гильберта

I, II, X проблемы относятся к математической логике и теории алгоритмов

Из семи Проблем тысячелетия первая также относится к нашему предмету (ее не было среди проблем Гильберта)

721.04.23

Первые ответы:Конец XIX в.:Готлоб Фреге (8.11.1848 — 26.07.1925)., Давид Гильберт и др.:Математическое доказательство

– текст (цепочка формул), построенный по заданным,математически определяемым правилам

Георг Кантор (3.03.1845 — 6.01.1918): Первичная система понятий математики

- теория множеств

Начало XX в. Эрнст Цермело (27.7.1871 ‒ 21.5.1953)аксиоматическая теория множеств (1908)

В курсе будет дано определение математического доказательства

821.04.23

Организационные замечания http://lpcs.math.msu.su/vml2013/ Н. К. Верещагин, А. Шень, Лекции по

математической логике и теории алгоритмов, изд. МЦНМО (mccme.ru)

И. А. Лавров, Л. Л. Максимова, Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов

Математическая деятельность Консультации Экзамен Просеминар

921.04.23

Задания множеств:

{2, 14, 5.4}

{x| x – действительное число и sin(x)>0}. принадлежность элемента множеству , ∊ пустое множество Ø,

включение множеств (нестрогое, допускающее совпадение) , ⊂объединение ∪, пересечение ∩, разность \,.

Упорядоченная пара < x; y > :

< x; y >=< x′; y′> → ( x = x′ и y = y′) Произведение X X Y – множество всех упорядоченных пар

< u; v >, где u ∊ X и v ∊ Y . n-ая степень Xn множества X. X1 – это X. Отношение между множествами X, Y – любое подмножество их

произведения X X Y. n -местное отношение на множестве X– любое подмножество Xn.

Построение математики. Неформальная теория множеств

1021.04.23

Отношение f между X и Y называется функцией из X в Y если из совпадения первых компонентов f вытекает совпадение вторых. Обозначения f (x)=y , f: x ├→ y

Областью определения функции называется множество первых ее компонентов.

Если область определения совпадает с X, то функция отображает X в Y; f : X → Y. XY - множество всех функций, отображающих Y в X.

биекция между X и Y (из X в Y), изоморфизм X и Y, если: f : X → Y из совпадения вторых компонентов элементов f вытекает

совпадение первых, вторые элементы f образуют все множество Y .

Изоморфные множества - равномощные.

1121.04.23

Множество называется счетным, если оно равномощно натуральному ряду.

Конечные множества можно сравнивать по величине. Вложение – изоморфизм подмножеству.

Как быть с бесконечными? Задача. Доказать, что всякое подмножество натурального

ряда равномощно или его начальному отрезку, или всему натуральному ряду.

Часть может быть изоморфна целому, Одно из первых открытий теории множеств.

Галилео Галилей (15.02. 1564 — 08.01.1642)

Галилей

1221.04.23

Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению,

синьора

Галилео Галилея Линчео, философа и первогоматематика светлейшего великого герцога тосканского

1321.04.23

Сальвиати. …количество всех чисел вместе — квадратов и не квадратов — больше, нежели одних только квадратов; не так ли?

Симпличио. Ничего не могу возразить против этого. Сальвиати. квадратов столько же, сколько существует корней, так как каждый

квадрат имеет свой корень и каждый корень свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень более одного квадрата…

Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что свойства равенства, а также большей и меньшей величины, не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и применимы только к конечным количествам.

Поэтому, когда синьор Симпличио предлагает мне неравные линии и спрашивает меня, как может быть, чтобы в большей из них не содержалось большего количества точек, чем в меньшей, то я отвечаю ему, что их там не больше, не меньше и не одинаковое количество, но бесконечное множество в каждой.

1421.04.23

Теорема Кантора – Бернштейна. Пусть существует биекция между множеством A и подмножеством множества B, а также биекция между множеством B и подмножеством множества A. Тогда множества A и B – равномощны.

Задача. Доказать Теорему Кантора – Бернштейна. Задача. Бывают ли разные бесконечности? (Галилей) Задача. Можно ли сравнить любые множества по

мощности, то есть верно ли, что для любых A и B, или A равномощно подмножеству B, или B равномощно подмножеству A?

1521.04.23

Логика.Логические константы B={0,1}Свойства – функции, принимающие только значения 0 и 1. Всякое свойство задает отношение – множество элементов, на которых ее значение = 1. Любая функция f : X → B называется характеристической (на X) B X Задача. Построить изоморфизм между множеством характеристических функций на X и множеством подмножеств множества X .

1621.04.23

Задача. Доказать, что множество подмножеств любого множества ему не изоморфно.

Идея решения [Диагональ Кантора]. Для счетного случая

Аргумент № функции

0 1 2 3 4 ……..

01 0 0 1 0  

1 1 1 0 1 0  

2 1 0 0 1 1  

3 0 0 0 1 0  

4 0 1 0 1 0  ……………………………………………………………………………Функция, которой нет в таблице – это 1- t(i,i), то есть не t(i,i), нули заменили на единицы, единицы – на нули.

Диагональ несчетности

1821.04.23

Программа Гильберта построения математики и математического исследования математической деятельности

Математика представляется как система аксиом – утверждений, которые мы принимаем за истинные и правил доказательства – получения новых утверждений.

Практика математической деятельности должна убеждать нас в том, что, выбранная система позволяет строить все нужные доказательства. В идеале всякое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть (полнота).

Некоторые математические доказательства являются «особенно надежными и убедительными» (например, арифметические вычисления). Используя только их, можно убедиться в том, что выбранная система не позволяет получить противоречий. (непротиворечивость)

1921.04.23

Полнота – желательна Гильберт: «Это убеждение в разрешимости каждой

математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе; мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления; ибо в математике не существует Ignorabimus!»

Непротиворечивость - обязательна Противоречие – нельзя «локализовать» в обычных системах

рассуждения Могло бы оказаться, что и полноту математики можно также

доказать с помощью простых, понятных и убедительных рассуждений.

Полнота и непротиворечивость

2021.04.23

Программа Гильберта1. Успешно реализована

Аксиоматическая теория множеств является основанием современной математики

Н. Бурбаки – середина XX в. (1930-е, в основном 1950 – 60-е гг.)

2. Провалилась Математика – не полна Непротиворечивость

невозможно установить Курт Гедель (28.04.1906 – 14.01.1978)

1930-е гг.

2121.04.23

Теория множеств. Элементы аксиоматического построения (неформальное введение)

Логические символы и их смысл (семантика) Логические константы: символы И (истина), Л (ложь),

или символы 0, 1. Множество из двух символов 0 и 1 будем обозначать B.

Логические операции: (не, отрицание), (и, конъюнкция), (или, дизъюнкция), → (следует, импликация), ≡ (эквивалентность), применяются к константам 0 (Л) и 1 (И)

Кванторы x (существует x ), y (для любого y)

2221.04.23

Таблица логических операций

Кванторы: многоместные (в том числе – «бесконечноместные») конъюнкция и дизъюнкция

A B A AB AB A→B A≡B

0 0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 1 1

2321.04.23

2421.04.23

Аксиомы теории множеств

Существование множествx y ( y∊x)

[Аксиома пустого множества.]uv sw (w ∊ s ≡ (w = u w = v))

[Аксиома пары]Пример: {Ø} – непустое множествоСуществование объединения множества

∪ {{1,2,4},{4,5},{8,7, {9}}} = {1,2,4,5,8,7,{9}}

2521.04.23

Один из способовПостроение каждого отдельного числа:

0 – это Ø

1 – это {0}

2 – это {0,1}= {0,{0}}

……Операция S (x) = x ∪ {x}Существование множества всех натуральных чисел – аксиомаЗадача. Написать аксиому существования натуральных чисел

Построение натуральных чисел

2621.04.23

Какие еще аксиомы нужны? Существование множества всех

подмножеств данного множества usv(w(w ∊ v →w ∊ u) ≡ v ∊ s) [Аксиома степени]

Что нужно для существования множества действительных чисел?

Что нужно для доказательства свойств («аксиом») действительных чисел?

2721.04.23

[email protected]