第二章导数与微分

高等数学（ XJD）

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求导法则求导法则

基本公式基本公式导数导数

x

yx

0

lim

微分微分

xydy

关

系 dx

dy

dx

dy微商导数可微可导

求导方法求导方法

高阶导数高阶导数

微分法则微分法则

导数与微分关系图导数与微分关系图导数与微分关系图导数与微分关系图


第二章导数与微分

1. 导数定义

2. 基本求导公式

3. 求导法则

4. 求导方法

5. 高阶导数

6. 微分定义

7. 7. 基本微分公式基本微分公式8. 微分法则

9. 典型例题


1. 1. 导数定义导数定义

x

yxfxy

dx

xdf

dx

df

dx

dyx

xxxxxx Δ

Δlim)()(

)(0Δ

00000

的导数：在 0)( xxxfy

左导数：x

xfxxf

xx

xfxfxf

xxx

)()(lim

)()(lim)( 00

00

0

00

0

右导数：x

xfxxf

xx

xfxfxf

xxx

)()(lim

)()(lim)( 00

00

0

00

0

x

xfxxf

xx

xfxfxf

xxx Δ

)()Δ(lim

)()(lim)( 00

0Δ0

0

0

导数：

)(xf 在 0x 可导 )( 0xf 和 )( 0xf 都存在且相等


（常数和基本初等函数的导数公式）

2

2

2

1

1)(arctan

1

1)(arcsin

ln

1)(log

ln)(

sec)(sec

sec)(tan

cos)(sin

0)(

xx

xx

axx

aaa

xtgxx

xx

xx

C

a

xx

2

2

2

1

11

)cot(

1

1)(arccos

1)(ln

)(

csc)(csc

csc)(cot

sin)(cos

)(

xx

xx

xx

ee

xctgxx

xx

xx

xx

xx

arc

2. 2. 基本求导公式基本求导公式


(1) vuvu )( , (2) uccu )( (c是常数 )

(3) vuvuuv )( , (4) )0()(2

vv

vuvu

v

u

(1) 函数的和、差、积、商的求导法则

(3) 反函数的求导法则

)(

1)(,)()(

xxfyxxfy

则的反函数是设

3. 3. 求导法则求导法则

(2) 复合函数的求导法则

).()()( xufxydx

du

du

dy

dx

dy 或

）（ )]([)( xfufy


(1) 隐函数求导法用复合函数求导法则直接对方程两边求导

)(

)(

ty

tx

;)()(tt

dtdxdtdy

dxdy

)(

)()()()(32

2

t

tttt

dx

yd

(3) 参变量函数的求导法

(2) 对数求导法

先在方程两边取对数 , 然后利用隐函数求导法求出导数适用范围 : 的情形数多个函数相乘和幂指函 )()( xvxu

4. 4. 求导方法求导方法


])([)()(2

2

2

2

2

2

xfxfyxfdx

d

dx

fd

dx

yd二阶导数

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数

5. 5. 高阶导数高阶导数

xt

xftf

x

xfxxfxtx

)()(lim

)()(lim

0

])([)()(3

3

3

3

xfxfyxfdx

d

dx

yd三阶导数

])([)()( )1()()( xfxfyxfdx

d

dx

ydn nnn

n

n

n

n

阶导数


定义

.

),(,

)(,

)(),(

)()()(

,

,)(

0

0 0

00

00

00

xAdy

xdfdyx

xxfyxAx

xfyxA

xoxAxfxxfy

xxxxfy

xx

xx

即或记作的微分于自变量增量

相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立

如果在这区间内及在某区间内有定义设函数

.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ( 微分的实质 )

6. 6. 微分定义微分定义


xdxxxdxdxxxd

xdxxdxdxxd

xdxxdxdxxd

dxxxdCd

cotcsc)(csctansec)(sec

csc)(cotsec)(tan

sin)(coscos)(sin

)(0)(

22

1

dxx

xddxx

xd

dxx

xddxx

xd

dxx

xddxax

xd

dxeedadxaad

a

xxxx

22

22

11

)cot(1

1)(arctan

1

1)(arccos

1

1)(arcsin

1)(ln

ln1

)(log

)(ln)(

arc

7. 7. 基本微分公式基本微分公式


.)(,)()( dxxfdyxxfxxf 这时处可导在可微在

导数与微分关系

8. 8. 微分法则微分法则

函数和、差、积、商的微分法则

2)(

)()(

v

udvvdu

v

ududvvduuvd

CduCuddvduvud

微分形式的不变性

的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论 )(, xfyx dxxfdy )(

）（ )(xfy

dx

dydxdyxf

dx

dy的商与微分微分微商导数 )(


例 1

).0(

),100()2)(1()(

f

xxxxxf

求设

解0

)0()(lim)0(

0

x

fxff

x

)100()2)(1(lim0

xxxx

!100

9. 9. 典型例题典型例题


.

,11

11ln

41

1arctan21

2

22

yx

xxy

求

设

解 ,1 2xu 设 ,11

ln41

arctan21

uu

uy则

)1

11

1(

41

)1(21

2

uuuyu 41

1u

,2

142 xx

)1( 2 xux ,1 2x

x

.1)2(

123 xxx

yx

例 2


.,45

202

tdx

dy

ttty

ttx求设

解分析 : ,,0 不存在时当 tt

,,,0 不存在时当dtdy

dtdx

t 不能用公式求导 .

tt

ttt

xy

tx

2

4)(5limlim

2

00 )sgn(2)]sgn(45[

lim0 t

ttt

.0.00 tdx

dy故

例 3


.,

)0,0()(

2

2

dxyd

yxxyxfy yx

求所确定

由方程设函数

解两边取对数 ,ln1

ln1

xy

yx

,lnln xxyy 即

,1ln)ln1( xyy ,ln1

1lny

xy

2)ln1(

1)1(ln)1(ln

1

y

yy

xyx

y

3

22

)1(ln)1(ln)1(ln

yxy

xxyy

例4


).(,)2()( xfxxxxf 求设

解先去掉绝对值 ,

2),2(

20),2(

0),2(

)(2

2

2

xxx

xxx

xxx

xf

,0时当 x ,0)0()0( ff ;0)0( f

,20 时当 x

;43)( 2 xxxf ,02 时或当 xx

;43)( 2 xxxf

例 5

,2时当 x ),2(44)2( ff .2)( 处不可导在 xxf

,20,43

,0,0

0,2,43

)(2

2

xxx

x

xxxx

xf

或

所以

所以


.,)(sin cos yxxy x 求设

解 )(ln yyy )sinlncos(ln xxxy

)sin

cossinlnsin

1()(sin

2cos

xx

xxx

xx x

例6

.,114 )(

2

2ny

xx

y 求设

解1

344114

2

2

2

2

xx

xx

y )1

11

1(

23

4

xx

,)1(

!)1()

11

( 1)(

n

nn

xn

x ,

)1(!)1(

)1

1( 1

)(

n

nn

xn

x

].)1(

1)1(

1[!)1(

23

11)(

nn

nn

xxny

例7


一、选择题： 1、函数 )(xf 在点 0x的导数 )( 0xf 定义为（）

（A）x

xfxxf

)()( 00 ；

（B）x

xfxxfxx

)()(lim 00

0

；

（C）x

xfxfxx

)()(lim 0

0

；

（D）0

0)()(lim

0 xx

xfxfxx

；

2、若函数 )(xfy 在点 0x处的导数 0)( 0 xf ，则曲线 )(xfy 在点( )(, 00 xfx )处的法线（）（A）与x轴相平行；（B）与x轴垂直；（C）与y轴相垂直；（D）与x轴即不平行也不垂直：

测验题


3 、若函数 )( xf 在点 0x 不连续，则 )( xf 在 0x ( ) （ A ）必不可导；（ B ）必定可导；（ C ）不一定可导；（ D ）必无定义 . 4 、如果 )( xf = （），那么 0)( xf .

( A ) xx arccos2arcsin ；( B ) xx 22 tansec ；( C ) )1(cossin 22 xx ；( D ) xarctan arc xcot .

5 、如果

0),1(

0,)(

2 xxb

xexf

ax

处处可导，那末（）

（ A ） 1 ba ；（ B ） 1,2 ba ；（ C ） 0,1 ba ；（ D ） 1,0 ba .


6、已知函数 )(xf 具有任意阶导数，且 2)()( xfxf ,则当n为大于2的正整数时， )(xf 的n阶导数 )()( xf n 是（）（A） 1)](![ nxfn ；（B） 1)]([ nxfn ；（C） nxf 2)]([ ；（D） nxfn 2)](![ .7、若函数 )(txx , )(tyy 对t可导且 0)( tx ,又

)(txx 的反函数存在且可导，则dx

dy=（）

（A）)(

)(

tx

ty；（B）

)(

)(

tx

ty

；

（C）)(

)(

tx

ty；（D）

)(

)(

tx

ty

.


8、若函数 )(xf 为可微函数，则dy（）（A）与 x 无关；（B）为 x 的线性函数；（C）当 0x 时为 x 的高阶无穷小；（D）与 x 为等价无穷小.

9、设函数 )(xfy 在点 0x处可导，当自变量x由 0x 增加到 xx 0 时，记 y 为 )(xf 的增量，dy为 )(xf 的

微分，x

dyyx

0

lim 等于（）

（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.


10、设函数 )(xfy 在点0x处可导，且 0)(0xf ，

则 x

dyyx

0lim 等于（）.

（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .

二、求下列函数的导数： 1、 2lnsinxxy ； 2、xaycosh （0a）； 3、 xxy sec2)1( ； 4、 )]310ln[cos(2xy ；

5、设y为x的函数是由方程x

yyx arctanln 22 确

定的；

6、设 yyx 2， 2

32 )( xxu ，求du

dy.


三、证明 tex t sin ， tey t cos 满足方程

)(2)(2

22 y

dx

dyx

dx

ydyx .

四、已知

0,

0,cos)(

)(xa

xx

xxgxf 其中 )( xg 有二阶连

续导数，且 1)0( g ， 1、确定 a 的值，使 )( xf 在 0x 点连续； 2、求 )( xf 五、设 ,ln xxy 求 )1()( nf .六、计算 3 02.9 的近似值 .

七、一人走过一桥之速率为 4公里/小时，同时一船在此人底下以 8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问 3分钟后人与船相离之速率为多少？


一、 1 、 D ； 2 、 B ； 3 、 A ； 4 、 D ； 5 、 D ；6 、 A ； 7 、 C ； 8 、 B ； 9 、 B ； 1 0 、 A ；

二、 1 、x

xxx

sin2lncos 2 ；

2 、 xxaa coshsinhln ；

3 、 xx

xxxx x sec]

1

2)1ln([tan)1(

22sec2

；

4 、 )310tan(6 2xx ；

5 、yx

yx

；

6 、xxxy 2)12)(12(3

1.

测验题答案


四、1、 )0(ga ；

2、

0),1)0((

2

1

0,]cos)([]sin)([

)(2

xg

xx

xxgxxgx

xf .

五、 )!2()1()1( 2)( nf nn .六、2.09.

七、 16.86

20 (公里/小时).

第二章 导数与微分

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