Обратные тригонометрические функции

«Функция, как правило, определяется для тех значений аргумента, какие для данной задачи представляют реальноезначение» Хинчин А.Я.

sint = 0,5 sint = 0,3

При каких значениях t верно равенство?

,

t=?

Обратные тригонометрические функции

у=arcsinxграфик

у=arccosxграфик

у=arctgxграфик

у=arcctgxграфик

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная.

Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.

График функции симметричен относительно начала координат.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

Функция у = sinx

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.

Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.

График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

Функция у = cosx

0

2

2Определение

arcsin t = a

11)3sin)2

22)1

tt

arcsin(-x) = - arcsinx Содержание

0

2

2Определение

arccos t = a

Содержание

11)3cos)20)1

tta

а

arccos(-x) = - arccosx

Определение

arctg t = a

ttgа

а

)222

)1

Содержание

0

2

2

Определение

arcctg t = a

Содержание

tctgаа

)20)1

0

2

2

у = arcsinx

Содержание

х

1)Область определения: отрезок [-1; 1];

2)Область значений: отрезок

;

3)Функция у = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x;

4)Функция у = arcsin x монотонно возрастающая;

у=arccos x

Содержание

1

-1

0

1)Область определения: отрезок [-1; 1];

2)Область значений: отрезок

3)Функция у = arcсos x четная: arcscos (-x) =

4)Функция у = arcсosx монотонно убывающая;

у=arctgx

Содержание

1)Область определения: R – множество действительных чисел

2)Область значений:

3)Функция у = arcsin x нечетная: arctg (-x) = - arctg x;

4)Функция у = arctg x монотонно возрастающая;

у=arcctgx

Содержание

1)Область определения: R -

2)Область значений:

4)Функция у = arcсtgx монотонно убывающая;

3)Функция у = arcctgх ни четная ни нечетная

Работаем устно

)22arccos()

23arcsin(

31arccos

22arcsin

)21arccos(

21arccos0arccos1arccos

)21arcsin(

21arcsin0arcsin1arcsin

Содержание

arcsin(-x) = - arcsinx arccos(-x) = - arccosx

Работаем устно

Имеет ли смысл выражение?

1003arccos2arcsin arctgМожет ли arcsint и arccost принимать

значение равное

?,73,10,,

95,5

Содержание

Работаем устно

Найдите значения выражений:

)15()2

5arcsin(sin

))87(()

3arccos(cos

arctgtg

arcctgctg

)2

3cos(arcsin

)135sin(arcsin

Содержание

Работаем устно

)33(31

)33(31

arcctgarcctgarcctg

arctgarctgarctg

Содержание

arctg(-x) = - arctgx arcctg(-x) = - arcctgx

xarcctgxctgxarctgxtg

xxxx

)()(

,)sin(arcsin,)cos(arccos

.)(,)(

1;1,)arcsin(sin1;1,)arccos(cos

xctgxarcctgxtgxarctg

xxxxxx

Свойства аркфункций

• Решите уравнение

Ответ.1.

12

xy

1) Строим график2) Строим график

xy arcsin

в той же системе координат.

3) Находим абсциссы точек пересечения графиков (значения берутся приближенно).4)Записываем ответ.

12

arcsin xx

Графический методрешения уравнений

Функционально-графическийметод решения уравнений

Пример: решите равнение

3) Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня.

4) Подбором находим, что x=0.Ответ. 0.

xx 2

arccos

Решение.

,,2

2 Dнавозрастаетxxg

Содержание

1) у =arccosx убывает на области определения

Спасибо за урок!

Успехов в дальнейшем изучении тригонометрии!

Содержание