第三章 圓

第三章 圓

‧3-1 圓方程式

‧3-2 圓與直線的關係

總目錄

3-1 　圓方程式‧何謂圓‧圓的標準式‧圓的一般式‧圓的判別式‧圓的參數式

目　錄

何謂圓

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在平面上，與一定點等距的所有點所形成的圖形稱為圓。定點稱為圓心，圓心至圓上任意一點的距離稱為半徑，「圓」指的是曲線部分的圖形，故圓心並不在圓上。

圓的標準式

圓心為 ( h,k ) ，半徑為 r 的圓方程式為 ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2

此式稱為圓的標準式。

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圓的一般式凡是圓必可表為二元二次方程式　　 x2 + y2 + dx + ey + f = 0

的形式，此式稱為圓的一般式。(1) 圓心：

(2) 半徑：

( , )2 2d e

2 214

2d e f

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圓的判別式

設方程式： x2 + y2 + dx + ey + f = 0 ，

(1) 當 d2 ＋ e2 － 4f ＞ 0 ，方程式表圓。

(2) 當 d2 ＋ e2 － 4f ＝ 0 ，方程式表一點。

(3) 當 d2 ＋ e2 － 4f ＜ 0 ，方程式沒有圖形。

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圓的參數式 (一 )

cos

sin

x r

y r

， 0 2 ， 為參數

圓 x2 + y2 = r2 的參數式為

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圓的參數式 (二 )

cos

sin

x h r

y k r

，

圓 ( x – h )2 + ( y – k )2 = r 的參數式為

0 2 ， 為參數

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3-2 　圓與直線的關係

‧圓與直線的關係

‧圓與切線的關係

‧圓外一點到圓的切線段長

目　錄

圓與直線的關係 ( 一 )在平面上，一條直線與一個圓的位置關係有三種，如圖所示：

L 與圓 C 相離

L為圓 C 切線

L為圓 C 割線

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圓與直線的關係 ( 二 )

設圓 C 的半徑 r ，圓心 A ，圓心 A 到直線 L 的距離為 d(A,L) ，則 d(A,L) 與圓半徑 r 的大小關係有下列三種：(1) 直線 L 與圓 C 交相異兩點 d(A,L)

< r

(2) 直線 L 與圓 C 相交一點 d(A,L) = r

(3) 直線 L 與圓 C 沒有交點 d(A,L) > r

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圓與切線的關係直線與圓只有一個交點時，此直線稱為圓的切線，交點稱為切點。圓與切線有以下關係：(1) 經過圓內一點，沒有切線。(2) 經過圓上一點，只有一條切線。(3) 經過圓外一點，定有兩條切線。(4) 切線與過切點的半徑互相垂直。

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圓外一點到圓的切線段長從圓外一點 P(x0 ， y0) 到圓的切線段長

(1) 若圓為標準式 (x – h)2 + (y – k)2 = r2

則切線段長 =

(2) 若圓為一般式 x2 + y2 + dx + ey + f = 0

則切線段長 =2 2

0 0 0 0x y dx ey f

2 2 20 0( ) ( )x h y k r

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