Загальна схема дослідження функції та побудова графіка

Загальна схема дослідження функції та побудова графіка.

Загальна схема Знаходимо область визначення функції. Знаходимо точки перетину графіка з

координатними осями. З’ясовуємо парність (непарність), періодичність

функції. Знаходимо похідну та стаціонарні точки. Знаходимо проміжки зростання, спадання,

точки екстремума та екстремальні значення функції.

З’ясовуємо поведінку функції на кінцях області визначення. Шукаємо похилі асимптоти.

Знаходимо другу похідну, точки перегину і досліджуємо на опуклість, угнутість.

На підставі проведеного дослідження будуємо графік функції.

Слід мати на увазі, що не завжди треба чітко виконувати вказаний план.

Наприклад, не завжди ми зможемо знайти точки перетину графіка за віссю ОХ (тобто нулі функції), навіть, якщо вони і існують.

Інколи додатково знаходять координати деяких точок.

Дослідіть функцію f(x)=x3-3x2 і побудуйте її графік.

1. D(f)=R

2. Знайдемо абсциси

точок перетину графіка з

віссю ОХ: х3-3х2=0;

х2(х-3)=0; х=0, х=3.

Знайдемо ординату точки

перетину графіка з віссю ОУ: у=03-3∙02=0.

3. Оскільки f(-x)=(-x)3-3(-x)2

= -x3-3x2, то функція не є

парною, не є непарною.

Функція неперіодична.

Дослідіть функцію f(x)=x3-3x2 і побудуйте її графік.

4. Знайдемо похідну

f/(x)=3x2-6x=3x(x-2). D(f/)=R.

Знайдемо стаціонарні

точки: f/(x)=0; 3x(x-2)=0; x=0, x=2. f(0)=0,f(2)=-4.

5.Стаціонарні точки

розбивають координатну

пряму на три проміжки.

Функція зростає на: (-∞;0) і

(2;+∞). Спадає - на (0;2).

6. Будуємо графік функції:

f(x)=x3-3x2