Обращение Мёбиуса на ч.у.м.

Дискретные структурывесна 2014

Александр Дайняк

www.dainiak.com

Частично упорядоченные множества

Частично упорядоченное множество — это пара𝑆, ≼

где • 𝑆 — произвольное множество (носитель),• ≼ — отношение частичного порядка.Отношение ≼ должно быть• антисимметричным:

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 𝑎 ≼ 𝑏 ∧ 𝑏 ≼ 𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑏• рефлексивным:

∀𝑎 ∈ 𝑆 𝑎 ≼ 𝑎• транзитивным:

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 𝑎 ≼ 𝑏 ∧ 𝑏 ≼ 𝑐 ⇒ 𝑎 ≼ 𝑐

Частично упорядоченные множества

Примеры ч. у. м.:

• Множества ℕ, ℤ,ℚ,ℝ относительно обычного сравнения чисел.

• Множество ℕ относительно делимости.

• Множество слов в конечном алфавите относительно лексикографического сравнения.

• Булеан (семейство всех подмножеств конечного множества) с отношением вложенности.

Цепи и антицепи

Цепь в ч. у. м. — это последовательность элементов 𝑎1, …, где 𝑎𝑖 ≼ 𝑎𝑖+1для каждого 𝑖.

Антицепь в ч. у. м. — это подмножество попарно несравнимых элементов.

Элемент 𝑎 непосредственно предшествует элементу 𝑏, если 𝑎 ≼ 𝑏 и не существует 𝑐, такого, что 𝑎 ≺ 𝑐 ≺ 𝑏.

Элемент максимальный, если в ч. у. м. нет элементов, больших него.

Элемент наибольший, если он максимальный и сравнимый с любым элементом ч. у. м.

Цепи и антицепи

Так схематично выглядят цепи и антицепи:

Каждая цепь и антицепь имеют не больше одного общего элемента.

Обращение Мёбиуса на ч. у. м.

Будем рассматривать только те ч. у. м., в которых ∀𝑏 есть лишь конечное число элементов 𝑎 таких, что 𝑎 ≼ 𝑏.

Функция Мёбиуса на ч. у. м. определяется только на парах сравнимых элементов:

𝜇 𝑎, 𝑏 =

1, если 𝑎 = 𝑏

−

𝑐: 𝑎≼𝑐≺𝑏

𝜇 𝑎, 𝑐 , если 𝑎 ≺ 𝑏

Обращение Мёбиуса на ч. у. м.

𝜇 𝑎, 𝑏 =

1, если 𝑎 = 𝑏

−

𝑐: 𝑎≼𝑐≺𝑏

𝜇 𝑎, 𝑐 , если 𝑎 ≺ 𝑏

Теорема (Об обращении Мёбиуса на ч. у. м.).Пусть для каждого 𝑥 функция 𝑓 выражается через 𝑔 по формуле 𝑓 𝑥 = 𝑦≼𝑥 𝑔 𝑦 .

Тогда справедлива формула

𝑔 𝑥 =

𝑦≼𝑥

𝑓 𝑦 ⋅ 𝜇 𝑦, 𝑥

Лемма о функции Мёбиуса

Лемма.При любых 𝑧, 𝑥 таких, что 𝑧 ≼ 𝑥, выполнено

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝜇 𝑦, 𝑥 = 1, если 𝑧 = 𝑥0, если 𝑧 ≺ 𝑥

Доказательство:

Если 𝑧 = 𝑥, то

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝜇 𝑧, 𝑥 = 𝜇 𝑥, 𝑥 = 1

Лемма о функции Мёбиуса

Лемма. При любых 𝑧, 𝑥 таких, что 𝑧 ≼ 𝑥, выполнено

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝜇 𝑦, 𝑥 = 1, если 𝑧 = 𝑥0, если 𝑧 ≺ 𝑥

Доказательство:

Пусть теперь 𝑧 ≺ 𝑥. Поведём индукцию по макс. # элементов в цепях вида 𝑧 ≼ ⋯ ≼ 𝑥.Обозначим его через 𝜏 𝑧, 𝑥 .

Если 𝜏 𝑧, 𝑥 = 2, т. е. 𝑧 непосредственно предшествует 𝑥, то

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝜇 𝑦, 𝑥 = 𝜇 𝑧, 𝑥 + 𝜇 𝑥, 𝑥 = −𝜇 𝑧, 𝑧 + 𝜇 𝑥, 𝑥 = 0

Далее будем считать, что 𝜏 𝑧, 𝑥 ≥ 3.

Продолжение доказательства леммы о функции Мёбиуса

Пусть 𝜏 𝑧, 𝑥 ≥ 3. Тогда

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝜇 𝑦, 𝑥 = 𝜇 𝑥, 𝑥 +

𝑦: 𝑧≼𝑦≺𝑥

−

𝑢: 𝑦≼𝑢≺𝑥

𝜇 𝑦, 𝑢 =

= 1 −

𝑦,𝑢: 𝑧≼𝑦≼𝑢≺𝑥

𝜇 𝑦, 𝑢 = 1 −

𝑢: 𝑧≼𝑢≺𝑥

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑢

𝜇 𝑦, 𝑢 =

= 1 − 𝜇 𝑧, 𝑧 −

𝑢: 𝑧≺𝑢≺𝑥

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑢

𝜇 𝑦, 𝑢

=0 по предп. инд.

= 0

Доказательство формулы обращения Мёбиуса

𝑦: 𝑦≼𝑥

𝑓 𝑦 ⋅ 𝜇 𝑦, 𝑥 =

𝑦: 𝑦≼𝑥

𝑧: 𝑧≼𝑦

𝑔 𝑧 𝜇 𝑦, 𝑥 =

𝑦: 𝑦≼𝑥

𝑧: 𝑧≼𝑦

𝑔 𝑧 𝜇 𝑦, 𝑥 =

=

𝑦,𝑧: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝑔 𝑧 𝜇 𝑦, 𝑥 =

𝑧: 𝑧≼𝑥

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝑔 𝑧 𝜇 𝑦, 𝑥 =

=

𝑧: 𝑧≼𝑥

𝑔 𝑧

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝜇 𝑦, 𝑥 = 𝑔 𝑥 +

𝑧: 𝑧≺𝑥

𝑔 𝑧

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝜇 𝑦, 𝑥 =

= 𝑔 𝑥 +

𝑧: 𝑧≺𝑥

𝑔 𝑧

𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥

𝜇 𝑦, 𝑥

=0

= 𝑔 𝑥

Вывод арифметической теоремы из общей теоремы об обращении«Теоретико-числовая» функция Мёбиуса:

𝜇 𝑛 =

1, если 𝑛 = 1

0, если ∃𝑝 т. что 𝑝2|𝑛

−1 𝑠, если 𝑛 = 𝑝1 ⋅ … ⋅ 𝑝𝑠

«Теоретико-числовая» теорема об обращении:Если для каждого 𝑛

𝑓 𝑛 =

𝑘|𝑛

𝑔 𝑘 ,

то для каждого 𝑚

𝑔 𝑚 =

𝑙|𝑚

𝑓 𝑙 ⋅ 𝜇 𝑚 𝑙

Вывод арифметической теоремы из общей теоремы об обращении

Рассмотрим ч. у. м. натуральных чисел, с отношением делимости в качестве частичного порядка.

Докажем индукцией по 𝑥 𝑦 соотношение 𝜇 𝑦, 𝑥 = 𝜇 𝑥 𝑦 .

• 𝜇 𝑥, 𝑥 = 1 = 𝜇 𝑥 𝑥

• Пусть 𝑦|𝑥 и 𝑦 < 𝑥. Тогда 𝑥 = 𝑦 ⋅ 𝑝1𝛼1 …𝑝𝑘

𝛼𝑘 для некоторых простых 𝑝𝑖и положительных 𝛼𝑖.Выполним индуктивный переход…

Вывод арифметической теоремы из общей теоремы об обращении

• 𝑥 = 𝑦 ⋅ 𝑝1𝛼1 …𝑝𝑘

𝛼𝑘 для некоторых простых 𝑝𝑖 и положительных 𝛼𝑖.

𝜇 𝑦, 𝑥 = −

𝑧: 𝑦∣𝑧 и 𝑧∣𝑥 и 𝑧<𝑥

𝜇 𝑦, 𝑧 = −

𝑧: 𝑦∣𝑧 и 𝑧∣𝑥 и 𝑧<𝑥

𝜇 𝑧 𝑦 =

= −

𝛽1≤𝛼1,…,𝛽𝑘≤𝛼𝑘

𝛽1,…,𝛽𝑘 ≠ 𝛼1,…,𝛼𝑘

𝜇 𝑝1𝛽1 …𝑝𝑘

𝛽𝑘 =

= −

𝛽1,…,𝛽𝑘∈ 0,1 𝑘

𝛽1,…,𝛽𝑘 ≠ 𝛼1,…,𝛼𝑘

𝜇 𝑝1𝛽1 …𝑝𝑘

𝛽𝑘

Вывод арифметической теоремы из общей теоремы об обращении• 𝑥 = 𝑦 ⋅ 𝑝1

𝛼1 …𝑝𝑘𝛼𝑘 для некоторых простых 𝑝𝑖 и положительных 𝛼𝑖. Имеем

𝜇 𝑦, 𝑥 = −

𝛽1,…,𝛽𝑘∈ 0,1 𝑘

𝛽1,…,𝛽𝑘 ≠ 𝛼1,…,𝛼𝑘

𝜇 𝑝1𝛽1 …𝑝𝑘

𝛽𝑘

• Если 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑘 = 1, то

𝜇 𝑦, 𝑥 = −

𝑖=0

𝑘−1𝑘

𝑖⋅ −1 𝑖 = −1 𝑘 = 𝜇 𝑥 𝑦

• Если же некоторое 𝛼𝑖 > 1, то

𝜇 𝑦, 𝑥 = −

𝑖=0

𝑘𝑘

𝑖⋅ −1 𝑖 = 0 = 𝜇 𝑥 𝑦

Функция Мёбиуса на булеане

• Вычислим функцию Мёбиуса для ч. у. м. 2 1,…,𝑛 , ⊆ .

• Докажем индукцией по 𝐵 , что ∀𝐴, 𝐵 таких, что 𝐴 ⊆ 𝐵,

выполнено 𝜇 𝐴, 𝐵 = −1 𝐵 − 𝐴 = −1 𝐵∖𝐴 .

• База очевидна.

• Индуктивный переход:

𝜇 𝐴, 𝐵 = −

𝐶: 𝐴⊆𝐶⊂𝐵

𝜇 𝐴, 𝐶 = −

𝐶: 𝐴⊆𝐶⊂𝐵

−1 𝐶 − 𝐴 =

= −

𝑘=0

𝐵 − 𝐴 −1𝐵 − 𝐴

𝑘−1 𝑘 = −1 𝐵 − 𝐴

Формула включения-исключенияследует из формулы обращения

𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 = 𝐴1 +⋯+ 𝐴𝑛 − 𝐴1 ∩ 𝐴2 − 𝐴1 ∩ 𝐴3 −

⋯− 𝐴𝑛−1 ∩ 𝐴𝑛 + 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 +⋯+ −1 𝑘 ⋅ 𝐴𝑖1 ∩⋯∩ 𝐴𝑖𝑘 +

⋯+ −1 𝑛 ⋅ 𝐴1 ∩⋯∩ 𝐴𝑛

𝐴1 𝐴2

𝐴𝑛 …

Упражнение. Вывести формулу в.-и., используя обращение Мёбиуса на булеане.