Фреге и брадобрей

Мог ли Фреге не переживать из-за «брадобрея»?

Горбатов В.В.

Содержание

Логицизм Фреге: характерные особенности

Основной Закон VПарадокс Рассела и реакция Фреге на

негоОслабление Основного Закона VНеиспользованные возможности

Готлоб Фреге

Вера в объективность и абсолютность логических законов

Идея универсальной нестратифицированной предметной области

Проект создания искусственного языка мышления

BS: свести арифметику к логике

«Я вижу великую заслугу Канта в том, что он понял: предложения геометрии являются синтетическими суждениями; но я не могу вместе с ним признать того же для арифметики»

«Подсчитывать можно все – не только то, что в пространстве расположено одно за другим, не только то, что следует одно за другим во времени»

«Теорема Фреге»

Чисто логические законы + (контекстуальное) определение численности = дедуктивное обоснование арифметики Пеано

Принцип Юма

#Ф = #Ψ ФΨ

Кардинальные числа как свойства понятий

«Основные законы арифметики» (1893-1903)

Принципиальное нововведение – «пробеги значений»

Письмо Расселу (28 июля 1902): «Я сам долго не обращал внимания на пробеги значений и, следовательно, классы, но я не вижу другой возможности поставить арифметику на логический фундамент»

Пробеги значений

Б.В. Бирюков: «У Фреге все предметы универсума суть пробеги значений или по крайней мере могут быть истолкованы как таковые; во всяком случае то, что он называет логическими предметами – это обязательно пробеги значений, включая истинностные значения»

Основной Закон V

(ОЗ V) (έФ(ε) = άΨ(α)) = x(Ф(x)=Ψ(x))

Основной Закон V

«То, что (…) всеобщность равенства значений двух функций можно рассматривать как некоторое равенство, а именно, как равенство двух пробегов значений, - это, как мне кажется, не требует доказательства: на это надо смотреть как на логический закон» (FB, 1892)

Тезис экстенсиональности

«То, что означают два понятийных слова, тогда и только тогда есть одно и то же, когда объемы соответствующих понятий совпадают. (…) Тем самым (…) взгляды сторонников объемной точки зрения в логике получают серьезную поддержку»

Тезис экстенсиональности

«Сторонники «логики содержания» не понимают, что логике нет дела до того, как одни мысли вытекают из других, сели не учитываются истинностные значения (…), что логические законы – это прежде всего в области значений, которые лишь опосредованно относятся к смыслу» (ASB, 1892)

Надо принять решение

«Разногласия (…) могут возникнуть только относительно моего Основного Закона (V), который логиками, по-видимому, специально еще не формулировался, хотя он и подразумевается, когда, например, речь заходит об объемах понятий. Я считаю данный закон чисто логическим. Во всяком случае, здесь я обозначил то место, где надлежит принять соответствующее решение» (Предисловие к Grundgesetze I, 1893)

Складывается ощущение, что для Фреге «ОЗV – логический закон» – своеобразное заклинание, как будто он сам себя пытается в этом убедить, но не находит аргументов

На самом деле, из той трактовки тождества, которая изложена им в SB, вытекает, что ОЗV скорее синтетическое, нежели аналитическое утверждение

Парадокс Рассела

Письмо 16 июня 1902: «Вы утверждаете, что функция может быть неопределенным элементом. Я тоже раньше так думал, но сейчас этот взгляд вызывает у меня сомнения из-за следующего противоречия. Пусть w есть предикат «быть предикатом, который не приложим к самому себе». Приложим ли предикат w к самом себе?

Парадокс Рассела

N(έФ(ε)) =df Ф(έФ(ε))

N(έN(ε)) N(έN(ε))

Парадокс Рассела

Является ли нормальным множество всех нормальных множеств? Свойство быть нормальным классом имеет

объем, т.е. такой класс существует Он является предметом, так что

относительно него можно ставить вопрос о каких-то свойствах

Он однотипен со всеми другими предметами универсума, т.е. относительно него можно ставить любые вопросы о его свойствах, в т.ч. о свойстве «быть нормальным классом»

Послесловие к Grundgesetze II, 1903

«Вряд ли есть что-нибудь более нежелательное для автора научного произведения, чем обнаружение по завершении его работы, что одна из основ воздвигнутого им здания оказалась пошатнувшейся. В такое положение я попал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этого тома уже близилось к концу.»

Послесловие к Grundgesetze II, 1903

«Могу ли я всегда говорить об объеме понятия, о классе? А если не могу, то как можно отличить эти исключительные случаи?»

«Здесь речь идет не специально о моем способе обоснования арифметики, но вообще о возможности ее логического обоснования»

Ослабление ОЗ V

Разделим ОЗ V на две импликативные формулы:

(Va) x(Ф(x)=Ψ(x)) έФ(ε) = άΨ(α)

(Vb) έФ(ε) = άΨ(α) x(Ф(x)=Ψ(x))

Что если ослабить (Vb)? Лесневский, Куайн: это не устраняет

антиномии

Письмо Расселу (28 июля 1902)

«Я сам долго не обращал внимания на пробеги значений и, следовательно, классы, но я не вижу другой возможности поставить арифметику на логический фундамент. Но вопрос в том, как нам даны логические объекты? И я не вижу другого ответа, кроме этого: мы воспринимаем их как объемы понятий, или более общо, как пробеги значений функций. Я всегда понимал, что с этим связаны трудности, и открытое вами противоречие добавило проблем, но какой же другой здесь существует выход?

Рассел: теория типов

1908 «Математическая логика как основанная на теории типов»

Распространение фрегевской иерархии функций на предметный универсум, введя аналогичную иерархию предметов

(В сущности, идея Шредера) «Ни одно множество не может содержать

элементы, которые определяются в терминах самого этого множества»

Выход Фреге: обращение к геометрической наглядности

Поскольку ни чувственный, ни логический источник познания в отдельности «не позволяет получить чисел, следует, по-видимому, обратиться к источнику геометрическому»

Из него «вытекает бесконечное в подлинном и наиболее точном смысле этого слова»

Попытка геометрического определения комплексных чисел

Неиспользованные возможности

Поиск других, синтетических оснований математики Отказ от логицизма?

Более изощренная теория тождества Отказ от истинностных значений?

Интенсионализация семантики Возврат к психологизму?

Отказ от единой предметной области Возврат к Шредеру?

Признание ограниченности выразительных возможностей логического формализма Отказ от проекта искусственного языка «чистого

мышления»?

Загадка

Почему Фреге счет возможным на склоне лет для обоснования математики обратиться к синтетическим априори геометрии, а не к синтетическим априори языка?

Не потому ли, что находился в плену парадигмы «язык как универсальный посредник», которая не позволяла ему легитимно рассуждать о языковых априори?