Задание 6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА З а д а ч а 1. Решите систему уравнений (\у — х | =2 (х + у), IUI + \у\ = 4. (1) (2) Р е ш е н и е . Левая часть уравнения (1) неотрица тельна. Поэтому х + у ^ 0, т. е. у ^ —х. Если | у — х | — 0, т. е. у — х, то х — 0. Если у>х у то уравнение (1) принимает вид у — — х = 2{х + у)- Отсюда у = — Зх. Если усх, то из уравнения (1) получаем х — у = = 2(х + у) и у= — *:3. Таким образом, график f(x) уравнения (1) является объединением лучей О А и ОВ (рис. 1). Так как то осями симметрии графика уравнения (2) являются оси абсцисс и ординат. Строим сначала ту часть гра фика ф(лг) уравнения (2), которая принадлежит первой координатной четверти: Получаем отрезок CD. Для построения всего графика f(x) достаточно отобразить отрезок CD относительно осей координат. Теперь ясно, что решениями данной системы урав нений являются пары чисел ( — 1 ; 3), (3, —1). З а д а ч а 2. Решите систему уравнений Р е ш е н и е . Исследуем сначала уравнение (1): Если х^О и у ^ 0, то 2х = 2у у т. е. в этом случае графиком уравнения (1) является биссектриса ОА пер вого координатного угла (рис. 2). Если х <С 0 и у^ 0, то 0 = 2у, т. е. в этом случае графиком уравнения (1) будет луч ОС. Пусть х^О и у ^ 0. Тогда уравнение (1) прини мает вид 0=0. Это означает, что все точки третьего координатного угла являются решениями уравне ния (1). 1*1 + \у\ — I — *1 + I у I —I — *1 + I ~ У I —- = \х | + | — у\, х + у == 4, х ^ 0, у ^ 0. { \х\ +х = \у \ +у у \х — 1 I = х + \у \ . 69
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 9—11 КЛАССЫ КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Задание 6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА http://matematika.advandcash.biz/?p=210
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Задание 6. Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я И Н Е Р А В Е Н С Т В А
З а д а ч а 1. Решите систему уравнений
( \ у — х | =2 ( х + у ) , IUI + \ у \ = 4.
(1)(2)
Р е ш е н и е . Левая часть уравнения (1) неотрицательна. Поэтому х + у ^ 0, т. е. у ^ —х .
Если | у — х | — 0, т. е. у — х , то х — 0.Если у > х у то уравнение (1) принимает вид у —
— х = 2 { х + у ) - Отсюда у = — З х .Если у с х , т о из уравнения (1) получаем х — у =
= 2( х + у ) и у = — *:3.Таким образом, график f ( x ) уравнения (1) является
объединением лучей О А и О В (рис. 1).Так как
то осями симметрии графика уравнения (2) являются оси абсцисс и ординат. Строим сначала ту часть графика ф(лг) уравнения (2), которая принадлежит первой координатной четверти:
Получаем отрезок C D . Для построения всего графика f ( x ) достаточно отобразить отрезок C D относительно осей координат.
Теперь ясно, что решениями данной системы уравнений являются пары чисел ( — 1 ; 3), (3, —1).
З а д а ч а 2. Решите систему уравнений
Р е ш е н и е . Исследуем сначала уравнение (1):Если х ^ О и у ^ 0, то 2 х = 2 у у т. е. в этом случае
Если х <С 0 и у ^ 0, то 0 = 2у , т. е. в этом случае графиком уравнения (1) будет луч ОС.
Пусть х^О и у ^ 0. Тогда уравнение (1) принимает вид 0=0. Это означает, что все точки третьего координатного угла являются решениями уравнения (1).
1*1 + \ у \ — I — *1 + I у I —I — *1 + I ~ У I —-= \ х | + | — у \ ,
х + у = = 4, х ^ 0, у ^ 0.
{\ х \ + х = \ у \ + у у \ х — 1 I = х + \ у \ .
69
Пусть, наконец, х > 0, */<0. Тогда уравнение (1) преобразуется к виду 2х = 0, т. е. х — 0.
Таким образом, решениями уравнения (1) являются все точки третьего координатного угла (включая его стороны) и точки биссектрисы О А первого координатного угла. Исследуем уравнение (2):
Если 1, то х — 1 = х -f- I г/1, т. е. в этом случае решений уравнение (2) не имеет.
Пусть х < 1 . Получаем 1— х — х - \ - \ у \ или х = = 0,5(1 - \ у \ ) .
Итак, графиком уравнения (2) является объединение лучей D F и D E .
Находим координаты точки Р, в которой пересекаются лучи О А и D F . Отрезок О Р — биссектриса угла D O F треугольника D O F . Поэтому D P : P F =
-V3 ’ 3 )Таким образом, решением данной системы уравне
ний (1) и (2) является каждая точка луча Е Н и точка
З а д а ч а 3. Решите неравенствоа5 - 1,3а2 -2,8а -3,1 >0. (о
Р е ш е н и е . Исследуем на экстремум и монотон-ность непрерывную функцию
Теперь ясно, что уравнение (3) имеет только два корня т и п . Уточняем значение корней при помощи микрокалькулятора:
т « —0,65; п « 1,05.
Поскольку (— 0,65)5 < 0 и — 2,8 • (— 0,65) — 3,1 <0, то 0. Так как 1,055 < 3,1, то f ( n ) < . 0.
Преобразуем функцию /(а) следующим образом: /(а) = а(а4 — 2,8) — 1,3а2 — 3,1.
Если а^ — 2, то а4 — 2,8 > 0, а поэтому ясно, что существует такое значение а, при котором /(а)</(т). А это означает, что непрерывная функция /(а) на интервале ( — о о , т ) отрицательна и монотонно возрастает от — оо до f ( m ) .
Очевидно, /(2) > 0, т. е. /(2) > f ( n ) . Следовательно, непрерывная функция /(а) на промежутке ( п ; +оо) монотонно возрастает, и ее график пересекает ось абсцисс в единственной точке а0(1,05 < ао < 2). Поэтому решениями данного неравенства (1) являются все а ^ а0.
Определим ао с точностью до 0,001.Для упрощения вычислений на микрокалькуляторе
Графики функций /(х) и ф(х) показаны на рисунке 3. После исследования функций f ( x ) и ф(х) убеж
даемся, что уравнение (1) не имеет действительных корней.
З а д а ч а 5. Решите уравнение
Р е ш е н и е . Функция f ( x ) = §- + -ySy + “—2
-f ' 4,5 -\ —г-| определена, если х <С 0, 0<X — о X — 4 X — О
< л< 1, 1 < х < 2 , 2<х<.3, 3 < х < 4 , 4 < х < 5 , л >> 5. На каждом из этих интервалов она непрерывна.
Очевидно, f ( x ) > 0, если х ;> 5, и /(х)<С 0, если х < 0.
Чтобы получить первые представления о поведении функции f ( x ) на каждом из промежутков (0; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5), составляем таблицу 1 значений этой функции при помощи микрокалькулятора.
72
Из таблицы 1 видно, что уравнение (1) имеет по крайней мере пять действительных корней. Может ли уравнение (1) иметь больше корней? Нет. Потому что после приведения к общему знаменателю левой части этого уравнения в его числителе получается многочлен пятой степени.
На таблице 2 показано уточнение одного из корней уравнения (1).
Итак, Х \ Ж 0,42925; 1,2 <*2 <1,3; 2,4<х3<2,5; 3,8 < х4 < 3,9; 4,6 < х5 < 4,7:
Задание 7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ
З а д а ч а 1. Решите неравенство 2 | л: + 11 > х + 4. Р е ш е н и е . Строим графики функций f ( x ) = 2|х +
+ 1| и ф(х) = л:+4. Аккуратно выполненный чертеж позволяет найти точное значение координат точек А и В , в которых пересекаются графики этих функций. После этого остается только записать ответ: ( — о о ;
— 2) и (2; + оо).З а д а ч а 2. Назовите множество решений нера
венства
\ 5 — х \ < \ х — 2| + \ 7 — 2 х \ . (1)
Р е ш е н и е . Преобразуем данное неравенство к виду:
U — 2| + |7 — 2 х \ — |5 — х \ >0.
Построим график функции
f ( x ) = I* — 2 | + |7-2*| - |5 —*| (рис. 1).
Для упрощения построения надо напомнить следующее:
1) Выражения \ х — 2|, | 7 — 2 х [ , |5 — х \ обращаются в нуль соответственно в точках 2; 3,5; 5.
2) Графиком каждой из функций у — \ х — 2|, у =— 17 — 2х|, у = \ 5 — х \ является объединение двух лучей.
3) Поэтому графиком функции f ( x ) является ломаная.
4) Для построения этой ломаной находим координаты ее вершин В , С, D : f ( 2) = 0; /(3,5) = 0; /(5) = 6.
Затем находим значение функции f ( x ) в какой-либо точке, лежащей левее точки х = 2, и в точке, лежащей правее точки х = 5 . Например, /(0) = 4 и /(6) = 8.
Осталось только прочитать график функции f ( x ) и записать о т в е т : ( — оо; 2), (3,5; + оо).
З а д а ч а 3. Решите неравенство \ х \ > \ 3 — 2 х \ —— х — 1.
Р е ш е н и е . Преобразуем данное неравенство к виду:
UI — |3 — 2 х \ + х+ 1 >0
и строим график функции f ( x ) = \ х \ — |3 — 2 х \ + л: + 1 (рис. 2).
74
У* В Е
1 ~ о \ с Я 7
Рис. 1 ^ *3,5 5 6 X Рис. 2
Выражения \ х \ и |3 — 2х| обращаются в нуль соответственно в точках 0 и 1,5. Графиком функции f ( x ) является ломаная. Для ее построения вычисляем:/(0) = —2; /(1,5) = 4; /(-1)= -4; /(2) = 4 (точка -1лежит левее точки 0, а точка 2 расположена правее точки 1,5)/
Прямая D E , очевидно, параллельна оси абсцисс. Поэтому график функции /(х), т. е. ломаная A B D E пересекает ось абсцисс только в одной точке С . Из подобия прямоугольных треугольников О С В и F C D следует О С = 0,5. Получаем о т в е т : (0,5; + оо).
З а д а ч а 4. Решите неравенство
Р е ш е н и е . Строим графики функций /(*)= U + + 2 | | , ср(х) = \ х — 11 — 3, \f>(x) = 7:ф(х)(рис. 3). Графики этих функций легко строятся без применения производной, так как они монотонные на соответствующих промежутках.
Прямые х = — 2 и х = 4 являются вертикальными асимптотами графика функции г|)(х).
Для определения абсцисс точек В и С решаем соответственно уравнения
Получаем £(5; 7) и C( — ~\[l — 2 ' ^ J l ) . С помощью рисунка 3 получаем о т в е т : [ — V 7 — 2; —2), (4; 5].
З а д а ч а 5. Решите неравенство х — 2 ^ л [ х .
7 > U + 2I. (1)U— 1| —3
75
Р е ш е н и е . Строим графики функций /(х) = х — 2и ц ( х ) = л / х (рис. 4). После этого становится понятным,
что уравнение х — 2 = л [ х имеет только один положительный корень Х о > 2, а решением данного неравенства является промежуток [0; хо], так как данное неравенство определено только для неотрицательных чисел.
Решив уравнение х — 2 = л [ х путем возведения его обеих положительных частей в квадрат, получаем х0 = 4.
Здесь надо заметить следующее:Во-первых, уравнение (х— 2)2 = х не равносильно
уравнению х — 2=^~\[х. Первое из них имеет корни 1 и 4, а второе — только 4. Из рисунка ясно, почему число 1 является посторонним корнем для уравнениях — 2 =л[х (точка А \ есть пересечение графиков функц и й / ( х ) = х — 2 И ф|(х) = — ~\[х).
Во-вторых, предварительно построенные графики функций /(х) и ф(х) снимают вопрос о посторонних корнях соответствующих уравнений и неравенств.
З а д а ч а 6. Назовите множество решений неравенства
"\^7 + х ^> 5 — х. (1)
Р е ш е н и е . Строим графики непрерывных монотонных функций:
f ( x ) = ^ 7 + х и ф(х) — 5 — х.
Функция /(х) определена на промежутке [ — 7; + оо), непрерывна и монотонно возрастает. Она изменяется от 0 до + оо. Функция ф(х) определена для всех действительных чисел, она монотонно убывает от + оо до
76
— оо. Поэтому уравнение \ l - \ - x = 5 — х имеет единственное решение лго- Легко заметить, что Х о = 2. С помощью графика находим о т в е т : (2; + оо).
З а д а ч а 7. Решите неравенство ~ y j x — 1 +-f- ~ \ J х + 14 ^ 3.
Р е ш е н и е . Левая часть неравенства определенана промежутке [1; +оо). Функция f l ( x ) = J\Jx — 1 непрерывная и монотонная (на указанном промежуткевозрастает от 0 до -f-oo). Функция /г(*) = л/х 14 непрерывная и монотонная (на промежутке [1; + оо)возрастает от ~\f\5 ' j x o + оо), поэтому непрерывная функция f ( x ) = f ] ( x ) + f - 2( x ) на полуинтервале [1; + оо)возрастает от "^15 до + оо*. Так как то существует единственная точка х 0 такая, что f ( x о) — 3. Очевидно, Х о — 2 . О т в е т , х ^ 2 .
З а д а ч а 8. Решите неравенство
.2 .Vf-.+ l— < 1. (1)1 — 2 “\/3 — х
Р е ш е н и е . Выражение 2 ~ у х \ определено наполуинтервале [ — 1 ; +оо). Выражение 1 — 2 ~ \ / з — х определено и отлично от нуля на промежутках ( — о о ; 2,75) и (2,75; 3], поэтому неравенство (1) определено на промежутках [ — 1 ; 2,75) и (2,75; 3].
Строим графики функций: f ( x ) = 2л]х + 1 и ф(х) == 1 — 2л] 3 — х на промежутках ( — 1 ; 2,75) и (2,75; 3].
Так как на полуинтервале [ — 1 ; 2,75) функция f ( x )f ix) ^ Анеотрицательна, то ^ О на этом промежутке и
полуинтервал [— 1; 2,75) является решением неравенства ( 1 ) .
Функции f ( x ) и ф(х) на полуинтервале (2,75; 3] положительные и возрастающие: "У 15 С f ( x ) ^ 4; 0 <
f ( х )< ф(х) ^ 1. Поэтому на промежутке (2,75; 3] >
> 1 > 1 .
О т в е т . [ — 1; 2,75).З а д а ч а 9. Решите уравнение
log3*=i+i^r- 0)
13
Р е ш е н и е . Строим графики функций f ( x ) = log3*, <р(х) =
= 1 + 2 Г ^ Т (Рис- 5)-На полуинтервале (— оо; 0]
функция f ( x ) не определена, поэтому на этом промежутке нет решений уравнения (1).
На интервале (0; 0,5) функция ф(х) положительна, а функция f ( x ) отрицательна, поэтому и здесь нет решений уравнения ( 1 ) .
В точке лг = 0,5 функция ф(х) не определена.На полуинтервале (0,5; 1] функция /(*)> — 2, а
функция ф(лг)< —2.На интервале (1; 2) функция f i x ) положительна,
а функция ф(х) отрицательна.В точке х = 2 функция ф(л:) = 0, а функция f ( x )
положительна.На полуинтервале (2; 3] функция .ф(лг) < 0,4, а функ
ция f ( x ) > 0,4.Наконец, на промежутке (3; + оо) функция ф(х) < 1,
а функция f ( x ) > > 1.Таким образом, уравнение (1) не имеет решений.
Задание 8. И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я И Н Е Р А В Е Н С Т В А
З а д а ч а 1. Решите уравнение ~\2х + 5 = 8 —— у * — г
П е р в о е р е ш е н и е . Преобразуем уравнение к виду:
•д/2* + 5+ л]х — 1 = 8.
Функция f ( x ) = -\j2x + 5 +Ул; — 1 определена длях ^ \ , непрерывная и возрастающая. Очевидно,
f ( \ ) = -\[7 <,8. Поэтому существует единственный корень Х \ .
Находим значение функции f { x ) при некоторыхзначениях х: /(2) = 4, /(5) » 6, /(17) = -\[\9 + 4 > 8. После чего ясно, что 5 < * i < 17. Нетрудно заметить, что /(10) = 8.
78
В т о р о е р е ш е н и е . Возводим обе части уравнения в квадрат. Получаем:
2* + 5 = (8 — У* — I)2 или
1 бУ* — 1 = 58 — х.
Возводим в квадрат обе части последнего уравнения После приведения подобных членов получаем:
х2 - 372* + 3620 = 0.
Корни этого уравнения: х\ = 10, *2 = 362.Каждое новое уравнение было следствием преды
дущего. Поэтому в процессе решения уравнения (1) могли появиться посторонние корни. Следовательно, полученные корни нуждаются в проверке:
/(Ю) = 8, /(362) = 46.
Отсюда ясно, что уравнение (1) имеет единственный корень * = 10.
З а д а ч а 2. Решите уравнение________
~\] Зх —1 = 3 —{- л] х — 1. (1)П е р в о е р е ш е н и е . После возведения обеих ча
стей уравнения (1) в квадрат получаем:
3* 1 = 9 6 У* — \ -J- (* — 1)или
6 -у/х — 1 = 2 х - 7 . (2)
Уравнение (2) после возведения его обеих частей в квадрат преобразуется к виду: 4*2 — 64* + 85 = 0.
Проверка (при помощи микрокалькулятора) показывает, что только число *i является его решением.
В т о р о е р е ш е н и е. Найдем наибольшее значениефункции /(*) = 3 +У* — 1 — Уз* + 1 при помощи производной:
1 2/'(*)=
5Решив уравнение /'(*) = 0, получим *— у. Очевидно,
/ 5 \ 5f l — 1 и /(1)= 1, НО у > *2. Поэтому только число
*1 является решением уравнения ( 1 ) .
79
Т р е т ь е р е ш е н и е . После двукратного возведения обеих частей уравнения (1) в квадрат и приведения подобных членов получаем уравнение 4х 2 — 64* + + 85 = 0. Его корни *i и х2.
Проверка найденных корней их подстановкой в уравнение (1) без помощи микрокалькулятора сопряжена с большими трудностями. Поэтому можно применить такой способ проверки:
Область определения уравнения ( 1 ) : * ^ 1. В этом промежутке первое возведение в квадрат обеих частей уравнения (1) является равносильным преобразованием. Второе возведение в квадрат применялось к
уравнению 6л[х — 1 = 2х — 7, которому могут удовлетворять только значения х, которые являются решениями неравенства * ^ 3,5. Устанавливаем, что неравенство 0,5(16 + Зд/Тэ^) ^ 3,5 истинно, а неравен
ство 0,5(16 — зУ19)> 3,5 Л О Ж Н О . Поэтому *2 является посторонним корнем уравнения ( 1 ) .
З а д а ч а 3. Решите уравнение
^[х — 9 = ( х — З)3 + 6. (1)Р е ш е н и е . Стандартные приемы решения этого
уравнения приводят к громоздким преобразованиям выражений с переменными.
В таких случаях нужно сначала получить гипотезу о числе решений уравнения. Для этого составим при помощи микрокалькулятора таблицы непрерывных функций
Строим графики функ- у ций f ( x ) и ф(х) (рис. 1).
Что дает внимательное изучение таблиц и графиков функций /(х) и ф(х)?
Во-первых, становится ясным, что решением данного уравнения является _ число 1.
Во-вторых, на отрезке [1,5; 9] функция /(х) непо
ложительная, а функция ф(х) положительная. Поэтому на этом промежутке решений уравнение (1) не имеет.
В-третьих, на интервале (9; + оо) функции /(х) и ф(х) положительны.
Графики этих функций подсказывают, что на интер-вале (9; + оо) целесообразно заменить выражение~\Jх'—- 9 на д/х — 3. Очевидно, л/х — 3 >> д/х — 9 на (9; +оо). Правую же часть уравнения (1) уменьшим, вычтя из него 6.
Итак, попытаемся доказать, что на интервале (9; + оо) верно неравенство
.-у/х — 3 < ( х — З)3. (2)
После возведения обеих частей неравенства (2) в куб получаем:
(х-3)[(х-3)8- 1]>0. (3)
На промежутке (9; + оо) неравенство (3) верно. Значит, на этом промежутке верно неравенство (1) и, следовательно, неравенство ф(х) ;>/(х).
Таким образом, показано, что на промежутке [1,5; + оо) уравнение (1) решений не имеет.
На промежутке (1; 3] функция /(х) вогнутая, а функция ф(х) — выпуклая. Поэтому на этом промежутке график функции f ( x ) лежит под хордой А С , а график функции ф(х) лежит над хордой А В (рис. 1). Отсюда ясно, что и на полуинтервале (1; 3] уравнение (1) решений не имеет.
На интервале (—оо; 1) график функции f ( x ) находится над прямой А В , а график функции ф(х) лежит под прямой А В . Поэтому и на промежутке (—оо; 1) уравнение (1) решений не имеет.
81
Таким образом, только число 1 является действительным корнем уравнения ( 1 ) .
З а д а ч а 4. Решите неравенство
~{jx2 + 2х + 10 + х4 ^ 62 — 32х. (1)
Р е ш е н и е . Так как г2 + 2х + 10 = (х + 1 )2 + 9 > 0 при любом значении л:, то данное неравенство определено при любом действительном значении х. Исследуем некоторые свойства непрерывной функции
f (х) = ~\J{x -f- 1 )2 -f- 9 -j- х 4 -j- 32х— 62. (2)
Если х ^ О , то непрерывная функция f ( x ) — возрастающая. Поэтому уравнение f ( x ) = 0 имеет не больше одного неотрицательного корня х \ . Но /(0) < 0 и /(2) > 0, поэтому 0 < х \ < 2.
Неравенство д/(х + I)2 + 9 > 0 верно при любом значении х . Поэтому уравнение f ( x ) = 0 не имеет корней для тех значений х , которые являются решениями неравенства х 4 + 3 2 х — 62 ^ 0.
Получаем х 4 + 3 2 х — 62 = х ( х 3 + 32) — 62. Если х < — 4, то х3 + 32 < — 32 и х ( х 3 + 3 2 ) > 128. Поэтому при х < — 4 верно неравенство х + 3 2 х — 62 > 0. Теперь ясно, что отрицательные корни уравнения /(jc) = 0 могут принадлежать только интервалу ( — 4; 0).
При помощи программируемого микрокалькулятора составляем таблицу значений функции f ( x ) :
X — 4 -3,5 -3 — 2/5 -2 — 1,5 -1 -0,5 0
f i x ) 68 -22 -75 — 101 -108 -103 -91 -76 -60
На основании этой таблицы можно предположить, что на отрезке [ — 3,5; 0] уравнение f ( x ) = 0 не имеет корней. Но как это доказать?
Очевидно,д/э<7(х+ 1)2 + 9<л/(-3,5+ 1)2 + 9.
Отсюда
1,73<-ЭД* + 1)2 + 9< 1,98. (3)Выясним, как изменяется функция ф(х) = х4 +
Из условий (3) и (4) ясно, что на всем отрезке [ — 3,5; 0] функция /(лс)<0.
На отрезке [ — 4; —3,5] непрерывные функции
у = ~\](х + 1)2+ 9 и ф(дс) убывающие. И так как /(— 4) « 68 > 0, а /(— 3,5)« — 22 < 0, то на интервале ( — 4 ; —3,5) существует единственный корень Х 2 уравнения f ( x ) = 0.
Для уточнения значений корней х \ и Х 2 составим при помощи микрокалькулятора таблицу значений функции f ( x ) :
Приближенные значения х \ и х2 получены на микрокалькуляторе.
Вычисляем на микрокалькуляторе: f ( x \ ) z z 7 y 3 7/(*2)« 2,86; /(0)^6,166 </(*,); /(100)« 2,93 </(л) /(100) > /(*2). /(200)« 2,952 > /(*2); /(1000) « 2,983/(100000)^9,2. /(20000)^6,65.
Строим график непрерывной функции /(*) (рис. 2) и график функции у = 7 . Эти два графика пересекаются в точках А , В и С (их абсциссы обозначены соответственно а, b , с ) . Отсюда ясно, что неравенство (1) верно, если а ^ х ^ Ь и х ^ с . Ясно также, что 0 < а <; х и х \ < Ь < 100 и 20000 < с < 100000.
Рис. 284
Более точное значение а , b и с найдем при помощи микрокалькулятора. Процесс последовательного уточнения значений а, b и с виден из таблицы:
относительно х [ т — параметр).Р е ш е н и е . Решаем неравенство (1) относительно
параметра т :_ 2 ( х 4-1) / «Л
т < ~ — т г
Если х = 1 , то неравенство (1) ложно.
Для построения графика функции т ( х ) = — 2 { X 1)
составляем при помощи микрокалькулятора таблицу ее значений. График подсказывает, что наибольшее значение функции т ( х ) равно 0,25. Для подтверждения этой гипотезы достаточно доказать справедливость неравенства
-2-^«0,25.
85
С помощью графика функции т ( х ) получаем о т в е т :
если m ^ 0,25, то неравенство (1) решений не имеет;
если 0 < т < 0,25, то х \ ^ х ^ Х 2 ( х \ и Х 2 — корни уравнения, соответствующего неравенству ( 1 ) ) ;
если т — 0, то х < — 1; если т < 0, то х < x i , х > Х 2.З а д а ч а 2. Найдите все значения а, при которых
уравнение2 lg(jr + 3) = Ig(a*) (1)
имеет единственный корень.П е р в о е р е ш е н и е . Очевидно, х > — 3, а х > 0,
х ^ О . Из уравнения (1) получаем:
( х + З)2 — а х , а — = (л[х + , если х > 0.
Очевидно,
Отсюда ясно, что для положительных л; наименьшее значение функции
равно 12. Если — 3 < х <0, то функция (2) убывающая от нуля до — оо.
О т в е т . а = 1 2 и л и а < 0 .В т о р о е р е ш е н и е . Строим график функции
у = (х-\-3)2 при х > — 3 . Теперь ясно, что при всех а С 0 прямая у = а х пересекает график функции у = { х -+ З)2 только в одной точке. Если а > 0, то прямая у = а х имеет единственную общую точку с кривой у = { х + З)2 при х > — 3 только тогда, когда у — а х является касательной к этой кривой. Отсюда получаем а = 12.
З а д а ч а 3. Найдите те вещественные значения параметра а, при которых неравенство
х 2 — [ a *-f- 1)х -f- а 1 0 (1)
верно при всех значениях х , удовлетворяющих условию \ х \ < 1.
86
П е р в о е р е ш е н и е . Решаем неравенство (1) относительно параметра:
х 2 — а х — х + а + 1 > О, х 2 — х + 1 > а х — а,а ( х — 1) С х 2 — х + 1. (2)
Так как \ х \ < 1, т. е. - 1 1, то х - 1 <0 и изнеравенства (2) получаем (для х — 1 Ф 0!):
Строим график функции а ( х ) = х + —~~f на — 1
< JC < 1 .
Для этого вычисляем:
Корнем этого уравнения, принадлежащим полуинтервалу [— 1; 1], является только 0. Вычисляем: а(0) = — 1; а(— 1) = — 1,5; а(1) = — оо.
С помощью графика получаем о т в е т : — 1 < С а <С + оо.
В т о р о е р е ш е н и е . График функции а ( х ) можно построить при помощи микрокалькулятора (и без помощи производной!). При помощи микрокалькулятора легко обнаруживаем, что нужное нам наибольшее значение функция а ( х ) достигает в точке х = 0. После этого остается доказать, что
относительно х ( а — параметр) и выполните исследование свойств их решений.
Р е ш е н и е . Очевидно, х Ф 0. Решаем сначала уравнение (1) и неравенства (2) и (3) относительно параметра а :
«'(*) =1 - -(Г=тг=0-
А это уже совсем простое дело. З а д а ч а 4. Решите уравнение
х ~ { + а х = 1 и неравенства x ~ l + а х > 1
x ~ l + а х < 1
(1)(2)(3)
(4)87
Из неравенства (2) получаем:
c l > х - $ если х>>0; (5)
а С х - 2 если х < 0 . (6)
Из неравенства (3) получаем:
1~’ если (7)
(8)
( 1 - 1 ) . Э т а
а > если х < 0 .
Исследуем функцию а =-^-т X
функция является квадратичной относительно х ~ \ Поэтому ясно, что она принимает наибольшее значение в точке х-1=0,5, т. е. при х = 2 .
Обозначим X ] и х2 — корни уравнения ( 1 ) , причем Х \ < *2.
Построим график функции а = х ~ х — х ~ 2 . С помощью его можно ответить на следующие вопросы:
1. Почему график функции а = х ~ 1 — х ~ 2 пересекает ось абсцисс только в одной точке?
2. Почему график этой функции не пересекает ось ординат?
3. При каких значениях параметра а уравнение (1) не имеет решений?
О т в е т , а > 0,25.4. При каких значениях параметра а уравнение (1)
имеет только одно решение?О т в е т . При а = 0.5. При каких значениях параметра а уравнение (1)
имеет наибольшее число корней?О т в е т . 0 < а < 0,25; а < 0.6. При каком значении а положительный корень
уравнения (1) будет наименьшим?О т в е т , а — 0,25.7. Как изменяются корни уравнения ( 1 ) , если
а < 0 и неограниченно уменьшается?О т в е т . Оба корня уравнения (1) стремятся к нулю.8. Сравните \ х \ \ и х2, если а < 0.Решив уравнение (1) относительно х у получаем:
Отсюда ясно, что \ х \ \ > х ^ .9. Существует ли такое значение параметра а, при
КОТОРОМ Х \ + Х 2 = О?О т в е т . Не существует.10. Существует ли такое значение параметра а, при
КОТОРОМ Х \ > 2 И Х 2 > 2?О т в е т . Не существует.11. Существует ли такое значение параметра а, при
котором Х \ -\-Х2= 1000?О т в е т . Не существует.12. Как изменяется отношение х\ :х2, если а > 0 и а
стремится к нулю?О т в е т . Стремится к нулю.13. При каких значениях параметра а решением
неравенства (2) являются промежутки (0; х \ ) и[ Х 2 , + сю)?
О т в е т . 0 < а < 0,25.14. Какое из неравенств верно: (2) или (3), если
а С 0, x < x i и 0 < х < х 2 ?О т в е т . Неравенство (2).15. Точки какого промежутка являются решениями
неравенства (3), если а < 0?О т в е т . х ' \ < х < 0, х > Х 2.16. Существует ли такое значение параметра а, при
котором решением неравенства (3) является промежуток (xi; хг)?
О т в е т . 0 < а < 0,25.З а д а ч а 5. Рассмотрим ряд свойств уравнений и
неравенств, содержащих переменную под знаком моду- , ля. Проведем исследование квадратного уравнения и
неравенств ( а — параметр):
Р е ш е н и е . Сначала построим график уравнения ( 1 ) :
если х ^ а , тоа \ ( х ) = а = — х 2 — 2 х — 2; (4)
если х < а, то
х2 + 4х — 2 | х — а | + 2 — а = 0, х2 + 4х — 2 | х — а | + 2 — а > 0, х2 + 4х — 2 | х — а | + 2 — а < 0.
а2(х) = а = у (х2 + 6х + 2). (5)
89
Графики функций а \ ( х ) и а 2{ х ) показаны на рисунке 1.
Числа а = — 3 — д/7 и (3 = — 3 + д/7 — действительные корни уравне
ния J- (.х 2 + 6х + 2) = 0.О
Если х ^ а, то из неравенства (2) находим, что а > — х2 — 2х — 2.
Если х < а, то из неравенства (2) следует,
что а < у(*2 + 6х + 2).Если х ^ а, то из неравенства (3) следует, что
а < — х2 — 2х — 2.Если х < а , то из неравенства (3) получаем, что
а ~Ь 6х -|- 2).С помощью графика уравнения (1) можно дать отве
ты на следующие вопросы:1. Назовите, при каких значениях параметра а урав
нение (1) имеет: одно, два, три или четыре решения.2. Существует ли такое значение параметра а, при
котором уравнение (1) не имеет решений?О т в е т . Не существует.3. Назовите наименьшее значение параметра, при
котором уравнение (1) имеет три корня.~ 7О т в е т , а = ——.4. Назовите наибольшее значение параметра а , при
котором уравнение (1) имеет три корня.О т в е т , а — — 2.5. Существует ли такое значение параметра а, при
котором один из корней уравнения (1) равен —1,5?О т в е т . Не существует.6. Существует ли такое значение параметра а, при
котором наибольший положительный корень уравнения (1) больше абсолютной величины наибольшего отрицательного корня?
О т в е т . Такого значения параметра а не существует, потому что оси симметрии парабол a i ( x ) = — х —
— 2х — 2 и аг(х) = у(х2 + 6х + 2) сдвинуты от начала координат влево.
90
7. При каких значениях параметра а сумма всех корней уравнения (1) отрицательна?
О т в е т . При всех действительных значениях параметра а .
Для удобства в дальнейших рассуждениях обозначим: х \ , Х 2, х з , х 4 — корни уравнения (1), причем Х \ < *2 < Х з < Х 4 .
8. Уравнение (1) имеет корни х \ и х 4 . Назовите промежутки, точки которых являются решениями неравенства (2).
О т в е т . x < x i , х > х 4 .9. Уравнение (1) имеет четыре корня: x \ t Х 2, Х з , х 4 .
Назовите промежутки, точки которых являются решениями неравенства (3).
О т в е т . x i < x < x 2 , х 3 < х < — 2, — 1 С х С х 4 .10. Назовите промежуток, на котором верно нера
венство (3), если один из корней уравнения (1) равен 1.
О т в е т. х\ < х <с — 2, — 1 < х < 1.11. Назовите промежуток, на котором верно нера
венство (2), если один из корней уравнения (1) равен нулю.
О т в е т , х <Lx\t х> — 1.12. Существуют ли такие значения параметра а,
при которых неравенство (2) верно для всех действительных значений х?
О т в е т . Такие значения а существуют. Например,
13. Существуют ли такие значения а, при которых неравенство (3) верно при всех отрицательных значениях х?
О т в е т . Не существуют.14. Существует ли такое значение а, при котором
х 4 — хз = 2000(^2 — *0?
разность х2 — х\ стремится к нулю, а разность х4 — х3 стремится к 3. Поэтому существует такое значение а, при котором верно равенство х4 — *з — 2000(^2 — Х \ ) .
15. Существует ли такое значение а, при котором х 4 — х 3 = 200(х3 — х2)?
О т в е т . Такое значение а существует.16. Чему равна сумма корней уравнения ( 1 ) , если
О т в е т . Если а стремится
а = -2?
91
О т в е т . О + ( — 2) -f- ( — 4) = — 6.17. К чему стремится сумма корней уравнения ( 1 ) ,
7 оесли а стремится к — — ?
О т в е т . ( — 3 ) + ( — 3 ) + ( — 2 ) — - 8 .
З а д а ч а 6. Исследуем корни уравнения
х 4 + а ( х — I)4 = 8 ( а — параметр) (I)
и функцию
(2)
Р е ш е н и е. Построим график функции (2) следующим образом. Во-первых, замечаем, что выражение
g ___ ^.4 -т- не определено в точке х = 1. Во-вторых, а ( х ) =
(х — I)4 Г 4Г“ 4 Г- 4j= 0, если х = — д/8 или х=д/8. Обозначим: — \ 8 —= т , д/8 = п .
Составляем при помощи микрокалькулятора таблицы значений функций: f ( x ) = 8 — х4, ф(х) = ( х — I ) 4 , a ( x ) = f ( x ) : ф(х):
С помощью таблицы строим графики этих функций (рис. 2).
Выясним свойства функций f ( x ) , ф(х) и а(х ) видны из таблицы и графиков. Какие из обнаруженных свойств мы сможем обосновать?
Функция f ( x ) принимает наибольшее значение в точке 0, и /(0) = 8. Она изменяется от — оо до 8. Ее график пересекает ось абсцисс в точках т и п и симметричен относительно оси ординат.
Функция <р(х) неотрицательна; ф( 1) = 0. Она изменяется от 0 до + о о . Ее график симметричен относительно прямой а = 1.
Функция а(х ) есть частное функций f ( x ) и ф(х).На промежутке [т; 0] функции f ( x ) и ф(х) положи
тельны; функция f ( x ) возрастает от 0 до 8, а функция
ф(х) убывает. Поэтому функция а ( х ) = - ^ щ на этом
промежутке возрастает от 0 до 8.Таблица и графики функций указывают на то, что
отрицательная функция а(х ) на (— о о ; т) больше — 1 и монотонно возрастает до 0.
Докажем, что если х<Ст у то а(х )> —1.Очевидно,
8 — х 4 - X
Поэтому если будет доказано неравенство
то тем самымдокажем, чтоа ( х ) > — 1. Но
если х < — 1. Поэтому верно и неравенство
а ( х ) > — 1, если х<С т <С — 1.
93
Докажем еще, что если х > п > 1, то а ( х ) > — 8, т. е.
После приведения к общему знаменателю и приведения подобных членов последнее неравенство принимает вид:
Легко убедиться, что наименьшее значение функциии ( х ) = 9х2 — 32х + 48 больше 19. А так как х > д/8, т. е. х >>1,7, то неравенство (4) верно при х > п .
Докажем, наконец, что если х > 2, то а(х) < < — 1, т. е.
или 2х(2х2 —- Зх + 2) — 9 ;> 0. Очевидно, для х > 2 функция v ( x ) = 2 x 2 — Зх + 2 возрастающая. Ее наименьшее значение (в точке х = 2) равно 4. Поэтому неравенство 2х(2х2 — Зх + 2) — 9 > 0 при х > 2 верно.
Таблица и график функции а ( х ) позволяют получить ответы на следующие вопросы:
1. При каких значениях параметра а уравнение (1) имеет только одно решение?
О т в е т . При а = —8.2. Сколько корней имеет уравнение ( 1 ) , если а —
= —1?О т в е т . При а = — 1 уравнение (1) решений не
имеет.3. При каких значениях параметра а уравнение
(1) имеет два решения?О т в е т . — 8 <С.а<С— 1 и а >— 1 .4. Рассмотрите таблицу и назовите те промежутки,
на которых функция <р(х) изменяется быстрее, чем функция f(x).
5. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (1) положительны?
О т в е т . а < — 1.6. Пусть х\ и х2 — корни уравнения (1) и Х2>Х|.
Существуют ли такие значения параметра а, при которых х2 — х 1 <С 1?
7. Существуют ли такие значения параметра а, при которых х2 — Xi > 1000?
8. Как изменяются корни х\ и х2 уравнения ( 1 ) , если параметр а уменьшается от —8 до —1?
( x - i y (3)
х(9х2 - 3 2 * + 4 8 ) - 3 2 > 0 . (4)
94
9. Существуют ли такие значения параметра а , при которых верны неравенства: Х \ Х 2 <С 0 и Х \ Х 2 > — 1 ?
10. Как изменяется произведение Х \ Х 2 , если а увеличивается от 0 до + о о ?
11. Существует ли такое значение параметра а, при котором уравнение (1) имеет три корня?
12. К чему стремится сумма х \ '+*2, если а неограниченно возрастает?
13. Верно ли, что х 4 + a ( x — I)4 > 8, если — 1< <а<1?
У к а з а н и е . При обосновании ответа используйте таблицу и рисунок.
14. Почему не существует такого значения а, при котором один из корней уравнения (1) равен 1?
15. Верно ли, что х 4 - + а ( х — I)4 > 8, если х \ < х << х2?
16. При каких а верно неравенствох 4 + а ( х — I)4 > 8
для всех х, принадлежащих полуинтервалу [3; 4)? О т в е т , а > а ( 4 ) .З а д а ч а 7. Дано уравнение
г3 + (2 — а ) х — а — 3 = 0. П
Постройте график этого уравнения и исследуйте его корни ( а — параметр).
Р е ш е н и е . Преобразуем уравнение (1) следующим образом:
х ^ -{- 2 , х — 3 ( х — 1) • (х2 -j- х -f- 3) а X + 1 х -f- 1
= (*— l)(x + —ру- ) = *(*— l) + i^il =
= x { x - 1) + 3(1 +T-f^r) =
^ ^ _ l ) + 3 _ _ 6 _ . ( 2 )
Составляем при помощи микрокалькулятора табли-g
цы функций: f ( x ) = х { х — 1) + 3; ф(х) =------------------ ; а ( х ) =
Строим графики функций /(*), ср(х) и а ( х ) (рис. 3). В таблице 2 уточнено наименьшее значение функции а ( х ) на отрезке [ — 3; —2]: а(хо) ~ 14,961944; х 0 ~& -2,0785:
Используя таблицы 1, 2 и рисунок 3, ответьте на следующие вопросы:
1. Назовите наименьшее значение функции f ( x ) .2. Чему равно наибольшее значение функции f ( x )
на отрезке [0; 2].3. Назовите наименьшее значение функции f ( x ) на
полуинтервале ( — 1 ; 0].4. Назовите наименьшее значение функции f ( x ) на
интервале (— 1; 1).5. На каком промежутке функция f ( x ) убывает?
96
6. На каком промежутке функция f ( x ) возрастает?
7. Докажите, что функция ф(х) на интервале ( — 4; —1) возрастает.
8. Назовите приближенное значение х, при котором верно равенство f { x ) == ф(х).
9. Почему уравнение f ( x ) = ф(х) имеет только одно решение?
10. Верно ли, что функция ф(х) возрастающая?
11. Чему равно наибольшее значение функции ф(х) на полуинтервале ( - 1; 2] ?
12. В скольких точках график функции ф(х) пересекает ось ординат?
13. Почему график функции ф(х) не пересекает оси абсцисс?
14. Докажите неравенство а ( х 14, если — 2 , 2 ^ < л < —2,0.
Р е ш е н и е . Непрерывная функция f ( x ) на отрезке [ — 2,2; —2,0] убывает от 10 до 9 (см. таблицу 1). Непрерывная функция ф(х) на этом отрезке возрастает от 5 до 6. Но а ( х ) = f ( x ) + ф(^). Поэтому на отрезке [ — 2 , 2 ; —2,0] функция а ( х ) не может быть меньше 14(9 + 5=14).
15. Докажите, что уравнение /(х) = ф(х) не имеет положительных корней.
16. Имеет ли корни уравнение а ( х ) = ф(х)?Р е ш е н и е . Не имеет, потому что а ( х ) = ф(х) + f ( x )
и /(*) > 0.17. Почему функция а ( х ) возрастает на промежутке
[0; 0,5]?Р е ш е н и е . На этом промежутке f ( x ) убывает от
3 до 2,5, а функция ф(х) возрастает от —6 до —4. Поэтому а ( х ) возрастает.
18. При каких значениях параметра а уравнение х 3 + (2 — а ) х — а — 3 = 0 не имеет корней?
4 А. Б. Василевский 9 7
19. Назовите несколько значений параметра а, при которых уравнение х 3 + (2 — а ) х — а — 3 = 0 имеет: только один корень; три корня; два отрицательных корня; один отрицательный корень; только положительный корень.
20. Существует ли такое значение параметра а, при котором сумма всех трех корней уравнения х3 + (2 —— а ) х — а — 3 = 0 положительна?
21. Существует ли такое значение а, при котором корень уравнения х3 + (2 — а ) х — а — 3 = 0 равен — 1 ?
22. Как изменяются корни уравнения х3 + (2 —— а ) х — а — 3 = 0, если параметр а увеличивается от -6 до 20?
23. Существует ли такое значение параметра а, при котором произведение трех действительных корней уравнения х3 + (2 — а ) х — а — 3 = 0 больше 1000?
Задание 10. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
З а д а ч а 1. Сколько решений имеет уравнение ~\[х + х3 = 5?
Р е ш е н и е . Функция f ( x ) — ~\[х + х 3 определена для х ^ 0, непрерывная, монотонная, неотрицательная, изменяется от 0 до + оо. Поэтому данное уравнение имеет только одно решение Х \ . Очевидно, 1 <xi<2.
З а д а ч а 2. Существует ли корень Х о уравнения sin 2 х + 5 sin х + 5 cos х + 1 = 0, если 0 ^ Х о ^ 0,25л?
Р е ш е н и е . Не существует. Если 0 ^ ^ 0,25я, товсе слагаемые левой части этого уравнения неотрицательны.
З а д а ч а 3. Уравнение
sin 2 х + 5 sin х + 5 cos х + 1 = 0 (1)
преобразовали следующим образом:
2 sin х cos х + 5 sin х + 5 cos x + 1 = 0 ; cos x ( 2 sin x + 5) = — 1 — 5 sin x ,
C 0 S X = -L -J^ . ( 2 )2 sin x + 5 4 '
c o s x = - —1!A__2,5. (3)2 sin x + 5
Докажите, что уравнения (1), (2), (3) равносильны.
98
Как изменяются cos х , 2 s i n x + 5, ^"+5 и -
— 2,5,если х увеличивается от 0,5л до л? Докажите, что на отрезке [0,5л; л] уравнение (3) имеет единственный корень.
З а д а ч а 4. Докажите, что уравнение
3 tg 2л: — 4 tg Зл: = tg2 З х tg 2 х (1)
Уе имеет корней, принадлежащих интервалу ^0;
Р е ш е н и е . Если 0 < С х < у , то функции tg 2 х и
i g 3 x положительные и возрастающие. Отсюда ясно, что на ^0; левая часть уравнения (1) отрицатель
на, а правая положительна.З а д а ч а 5. Уравнение
3 tg 2л: — 4tg3* = tg23xtg2x (1)преобразовали следующим образом:
tg 2 х = —, (2)ё 3 — tg2 Злг w
tg 2х — 3 — З х _ — Зл_ . (3)
Какие два из уравнений ( 1 ) , (2), (3) равносильнымежду собой?
З а д а ч а 6. Сколько решений имеет уравнение
arcsin 2 х + arcsin х — (1)
Р е ш е н и е . Функция f ( x ) = arcsin 2 х определена на отрезке [ — 0,5; 0,5], а функция ф(х) = arcsin х определена на отрезке [ — 1 ; 1]. Поэтому левая часть уравнения (1) определена на отрезке [ — 0,5; 0,5]. Монотонная и непрерывная функция у = arcsin 2 х + arcsin х
изменяется на отрезке [ — 0,5; 0,5] от ^—5. — J L ) до
(я . я \ 2 2 т т я _ 2 т - гТ ' Т )’ т' е‘ от ~ ~ J n до Т71' Т <TJt* Поэтому
уравнение (1) имеет единственное решение.З а д а ч а 7. Уравнение
Рассмотрев таблицу, можно предположить, что на отрезке [0; 2л] уравнение имеет только один корень
X i = ~ , а в остальных точках этого отрезка функция f ( x ) положительная.
Наименьшее значение правой части уравнения (1)
равно "У2 ^в точках х = ~ и * ~ у Выясним, чему
равно наибольшее значение левой части этого данного уравнения. Для этого исследуем функцию ф(х) = = sin х + cos х. Находим ф'(х) = cos х —- sin х. Оче
видно, ф'(х) = 0, если х — Вычисляем ф ^ у ^ = 2.
Итак, уравнение (1) на отрезке [0; 2л] имеет един
ственный корень х = ~ .
З а д а ч а 9. Уравнение4 sin4 З х — 3 cos х + 5 = 0 (1)
преобразовали к виду:4 sin4 Зл: 4- 5 /г>чCOS X =--------T~L—. (2)О
В каких пределах изменяются функции /(х) = cos х / ч 4 sin4 З х 4- 5
И <р{*) =------------- з——?
Сколько решений имеет уравнение ( 1 ) ?О т в е т . Уравнение (1) не имеет действительных
корней.З а д а ч а 10. Неравенство
^/2х + 5 ^ 8 — д/х — 1 (1)
преобразовали к виду:
д/2х + 5 + д/х —~ 1 ^ 8. (2)
Докажите, что функция /(х) == д/2х + 5 +д/лс ~ 1
возрастающая. Почему уравнение д/2х + 5 + д/х — 1 == — 8 имеет единственный корень х = 10? Назовите все решения неравенства (2).
О т в е т. х ^ 10.З а д а ч а 11. Докажите, что уравнение д/х + 3-f-
— 2 = 7 имеет единственный корень Х \ .
101
Р е ш е н и е . Функция f ( x ) = л / х + 3 -f л/Зл: — 2 . 2
определена для лг ^ —, возрастающая, непрерывная,
/(■|-) = < 7. Легко заметить, что лч = 6.
З а д а ч а 12. Уравнение
-\/22 —л; —-\/l0 —* = 2 (1)
преобразовали следующим образом:
(-\/22 — х — -\/l0 — х ) (~\/22 — х + ~\/l0 — л:) 2-
~у/22 — л: + “д/lO — х * (22 — х ) — (10 — х ) _д.
^22 - л: + -т/Ю - л:
V — 6 . ----------= 1 - ( 2 )”у22 — л; + "у 10 — х
Для каких значений х определена функция f ( x ) = = “\/ 22 — лс + ^Ю — х ?
Докажите, что функции f ( x ) и ф(лг)==__ монотонные.1 \Х)
В каких пределах изменяются функции f ( x ) и ф(л:)? Сколько решений имеют уравнения (2) и (1)? Назовите целое число, которое является решением уравнений (2) и (1).
З а д а ч а 13. Найдите наименьшее значение функции
t|)(jc) = -\/l5 — 12 cosx + "^7 — 4д/з sin х (1)
на отрезке [0; 0,5я].Р е ш е н и е . Т а к к а к | c o s x | ^ l и | s i n x | < l , то
функция я|)(лг) определена на всем отрезке [0; 0,5л1.Для поиска свойств функций f ( x ) = ^ J 15 — 12 cos х ,
ф(х)= у7 — sin лг, ■ф(х) = f ( x ) -j- ф(лг) составляем при помощи микрокалькулятора таблицу их значений:
На основании таблицы можно высказать предполо- жение, что на отрезке [0; 0,5я] функция i|?(x)>4, при
чем ) — 4-Итак, попытаемся доказать, что
-л/15 — 12 cos х+ "^7 — 4^3 sin 4. (2)
Пусть д/7 — 4-\/з sin x = t .7 /2 I (7 /2\2
Отсюда sinx = —, cosx = - \ / l ---------------------- ^— и нера-4 д/3 v
венство (2) принимает вид:
V l 5 - V 3 - V 4 8 - ( 7 - / 2 ) 2 > 4 - ^ . (3)Обе части неравенства (3) неотрицательны, поэтому после возведения его обеих частей в квадрат получаем равносильное неравенство
15 — д/3 • л/48 — (7 — /2)2 >(4 - О2
ИЛИ
- \ /3 'У48-(7-/2)2<8^- 1 - /2 .
Отсюда /4 — 4/3 + 6/2 — 4/ + 1 ^ 0.103
Применив теорему Безу, получаем ( t — 1) • ( t 3 — — 31 + 3/ — 1 ) ^ 0 или ( t — 1 )4 ^ 0.
Таким образом доказано, что наименьшее значение функции 'ф(х) равно 4.
З а д а ч а 14. Выясните, каким необходимым и достаточным условиям должны удовлетворять числа а, b , с, для того чтобы уравнение х3 + а х 2 + Ь х + с = = 0(1) имело три действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
Р е ш е н и е . Обозначим х = р + t . После этого данное уравнение (1) преобразуется к виду:
+ (а + 3 p ) t 2 + (3 р2 + 2 а р + b ) t ++ { р 3 + а р 2 + Ь р + с ) = 0. (2)
Если р = — а : 3, принимает вид
т. е. а + 3р = 0, то уравнение (2)
t I / и я3 \ j . I / 2а3 ab , \+ (*- —)' + (^7------------------ 3- + С) =
И Л И
t3 = а/?“3~
2а3 "27“ о-
(3)
(4)
Построим графики функций f ( t ) = t 3 и ф(/) =
= (4 “ (рис* ТепеРь ясно>что прямая <р(/) пересекает кубическую параболу f ( t ) в точках А и В , симметричных относительно начала координат, если
a b“з”
2 а"27
аТ (5)
Если — b ^ 0 и — с 0 и прямая ф(/)
функции /(/),
Рис. 1
ab 2 а 3
“3 27пересекает график функции ДГ), то корни уравнения (4) не симметричны относительно начала координат.
Итак, необходимым и достаточным условиями, при которых корни данного кубического уравнения вещественны и образуют арифметическую прогрессию, служат соотношения (5).
З а д а ч а 15. Решите уравнение
—s— = _L + ii. (их ± 1 2 [ )
104
Р е ш е н и е . Положительная функция Р ( х ) = —-V1 — х2
определена на ( — 1 ; 0) и (0; 1). Положительную функ-ч 1 , 85 / , 12 \
цию /г(х) = у + у2 рассматриваем на # — 1; — gg) и
(0; 1). Для получения гипотезы о числе корней уравнения составляем таблицы функций Р ( х ) и F ( x ) :
Методом «ступенек» легко доказывается, что на этом промежутке уравнение (1) корней не имеет. На (0; 1) непрерывная функция Р ( х ) возрастает, функция F ( x ) убывает. Число 0,8 является единственным корнем уравнения ( 1 ) .
З а д а ч а 16. Решите уравнение
lg(*2 + 9) — 3 • 2Л' + 5 == 0. (1)
Р е ш е н и е . Отрицательных корней уравнение не имеет, потому что на (— оо; 0) функция Р { х ) = lg(*2 + + 9) + 5 убывает, функция К ( х ) = 3 • 2х возрастает и Р(0)>/С(0).. Для получения гипотезы о числе корней данного уравнения составляем таблицы функций Р ( х ) и К { х ) :
Теперь можно сделать предположение, что если х > 2 , то lg(x2 + 9)<2* (это неравенство легко доказывается при помощи производной). После этого становится ясным, что все корни данного уравнения принадлежат отрезку [0; 2]. Число 1 является корнем уравнения.
Из таблицы ясно, что отрезкам [0; 0,8] и [1,2; 2] не могут принадлежать корни уравнения (1).
Для доказательства того, что 1 является единственным корнем уравнения (1), составляем таблицы функций Р ' ( х ) и к ' ( х ) :
Теперь ясно, что на интервале (0,8; 1,2) функция у = р ( х ) — К ( х ) убывает.
З а д а ч а 17. Вычислите наименьший корень Х о уравнения
л;2 — ->Jlg х + 100 = 0 (1)
(с относительной погрешностью не более 10“390 %). Р е ш е н и е . Уравнение (1) определено на [10” 00;
+ оо). Пусть Р ( х ) = х 2 — ^ f \ g ^ c + 100. Очевидно, Р(Ю-100)> 0; Р( 1 ) < 0 ; />(0,1) <0.
Заменим уравнение (1) равносильным ему уравнением л:4 = lg л; + 100. Обозначим: М ( х ) = х \ F ( x ) = = l g x + 1 0 0 . Находим М ' ( х ) = 4x3
t F ' ( x ) = 1 : ( х In 10).
106
Если 10“100 < х < 0,1, то М ' ( х ) <С F ' ( x ) . Отсюда следует, что наименьший корень данного уравнения принадлежит интервалу (10" ; 10“1). Этому интервалудругие корни уравнения (1) не принадлежат.
Заменим уравнение (1) равносильным ему уравнением
| х = ~\Jlgx+ 100. (2)
Если * = 10-100+10~396, то "\/lgx + 100 = 10“". Так как 10~100_^ 10-396 <С 10 ", то наименьший корень уравнения (1) принадлежит интервалу (10“100;lO-ioo+io-396). Но
Ю - 1 0 0 + 1 0 — _ 1 0 - ю о 96
10~юо
Теперь остается доказать, что Ю10 3% < 10“392. При106/—
помощи микрокалькулятора получаем у Ю< 1,000003. Так как л[ \ + а < 1 + — (если 0 < а < 1), то