Химикотехнологичен и металургичен университет Факултет по химично и системно инженерство; Катедра: Автоматизация на производството; Д И П Л О М Н А РАБОТА Тема : Проектиране на робастни системи с дискретни регулатори Ръководител катедра: …………………. / Доц. Венцислав Цочев / Научен ръководител: ………….………… / Доц. Георги Еленков /
106
Embed
Проектиране на робастни системи с дискретни регулатори
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Химикотехнологичен и металургичен университет
Факултет по химично и системно инженерство;Катедра: Автоматизация на производството;
Д И П Л О М Н А РАБОТА
Тема: Проектиране на робастни системи с дискретни регулатори
Специалност: Автоматика, информационна и управляваща техника;
Съдържание
1. Робастни системи за автоматично регулиране с еталонен модел на
обектите на управление;
2. Изучаване на методи за синтез на дискретни регулатори;
3. Прилагане на САР с еталонен модел за синтез на дискретни регулатори
от нисък порядък;
4. Изследване на влиянието на относителната инерционност, такта на
дискретизация, степента на пререгулиране или затихване върху основни
времеконстанти на “разрешената ” област.
Студент:…………………… Ръководител:……………………/ Ралица Лумбева / /доц. Г. Еленков/
- 2 -
С Ъ Д Ъ Р Ж А Н И Е
Използвани означения 1
1. Увод 2
2. Теоретична част 3
2.1. Структура на системите със вътршен модел 3
2.2. Робастност на системи със вътрешен модел 10
2.3. Цифров ПИД регулатор 13
2.4. Основни качествени показтели на преходния процес 19
3. Експериментална част 23
3.1. Ред на провеждане на експериментите 23
3.2. Резултати 24
3.3. Обобщение на резултатите 45
4. Приложение 46
4. Заключение 75
Използвана литература 76
- 3 -
Използвани означения
Gr(p) – предавателна функция на регулатора;
P(p) – предавателна функция на обекта;
^
P(p) – предавателна функция на модела;
уz – задание;
d – смущение;
y – регулируема величина;
S(p) – функция на чувствителност;
ωВ – ширина на честотната лента;
ωС – срязваща честота;
Lm – мултипликативна гршка;
T(p) – допълнителна функция на чувствителност;
М – показател на колебателност;
f(p) – предавателна функция на нискочестотен филтър
T(f) – времеконстанта на филтъра;
W1(p) – предавателна функция, дефинираща динамичната точност на САР;
δТ , δα – неопределености на времеконстантите;
δd – неопределеност на чистото закъснение;
δК – сумарна грешка в статичния предавателен коефициент;
T, Tα, A – времеконстанти на обекта;
τ – чисто закъснение;
Wз(p) – функция на неопределеност;
Te - еквивалентна времеконстанта;
TW – времеконстанта на функцията W(jw);
KW – настроечен коефициент на функцията;
Ce(p) – предавателна функция на еквивалентния регулатор;
Kp – коефициент на усилване на регулатора;
Tи – време на интегриране;
k – предавателен коефициент;
σ – коефициент на пререгулиране
ψ – степен на затихване
tp – време на регулиране- 4 -
1. Увод
Основните показатели, който определят качеството на една система за
автоматично регулиране, са нейната статична и динамична точност.
Известни са множество методи за оптимизация на параметрите на типови
регулатори или на компенсиращи звена със зададена структура. Основният
недостатък на огромната част от тях е, че се основават на допускането за
точно математично описание на обекта на регулиране. На практика обаче
математичните модели на технологичните процеси са неточни по следните
причини: опростяващи допускания при извода на модела; промени в
натоварването на обекта на управление; сложност на обекта и
невъзможност да се изследват всички вътрешни връзки в него.
Теорията на робастното управление предлага разумен подход за синтез,
който се основава на компромис между точността и устойчивостта на САР.
Това определи и темата на настоящата дипломна работа “Проектиране на
робастни системи с дикретни регулатори”, като основно внимание бе
отделено на изследване на взаимните зависимости между някои
времеконстанти и точността на САР.
- 5 -
2. Теоретична част
2.1. Структура на системите с вътрешен модел
Проектирането на системи за управление на технологични процеси често
се затруднява поради това, че не могат да се опишат точно. Например
структурата на математичните модели на динамиката и статиката на
процесите е добре известна, но поради сложността си те се основават на
редица опростяващи допускания и включват параметри, чийто стойности се
определят приблизително.
На фиг. 2.1.1а е изобразена структурна схема на системата за автоматично регулиране с върешен модел на обекта на управление с отрицателна обратна връзка.
Изборът на тази структура се определя от нейните преимущества. Ако
е изпълнено условието , при смущение по задание САР ще
функционира като отворена, тъй акто сигналът е равен на нула:
(1)
Изискването за възпроизвеждане на сигнала yz(p) от регулируемата
величина се свежда до изпълнение на условието:
, т.е (2)
В този случай регулаторът Gr(p) теоретично напълно компенсира
динамичните закъснения в обекта на управление. Ето защо преходните
процеси протичат много бързо.
- 6 -
Фиг. 2.1.1а
Ако смущението приведено към изхода на обекта на управление е различно
от нула, сигналът в обратната връзка е също различен от нула. Следователно
системата функционира като такава за регулиране по отклонение. Ето защо
може да се обобщи, че въвеждането на еталонен модел на обекта на
управление обединява предимствата на отворените и затоврените САР,
изразяващи се във високо бързодействие на системата и пълно компенсиране
на смущенията.
За улеснение на извода на основните зависимости за синтез на робастен регулатор, структурната схема от фиг. 2.1.1а се преубразува във вида от
фигура 2.1.1б
.При нея изходния сигнал от модела на обекта е прехвърлен след
сравняващия блок на регулатора. Предавателната функция на регулатора,
еквивалентен на Gr(p) в класическата едноконтурна САР е:
(3)
Еквивалентният обект на регулатора Ce(p) е
(4)
Способността на САР да подтиска смущенията d(p), приведени към изхода
на обекта на управление се определя от предавателната функция по канала
”смущение регулируема велична”, наречена функция на чувствителност S(p).
Необходимо е в целия вероятен честотен диапазон модулът |S(jw)| да клони
към нула. Системата от фиг. 2.1.1а или 2.1.1б се отнася към тези с еталонен
модел на обекта на регулиране. Функцията на чувствителност към тях има
вида:
- 7 -
(5)
За да клони модулът и към нула, е необходимо да се изпълнява
условието:
(6)
Вместо S, като мярка за качеството на регулиране може да се използва
ширината на честотната лента на затворената система: това е честотата
при която за пръв път S достига стойност
(7)
Увеличаването на ширината на честотната лента означава по слабо
затихване на задаващия сигнал, по ефективно отработване на смущенията и
по бърза реакция. За запас по фаза по - малък или равен на π/2 ширината на
честотната лента е по малка или равна на честотата ωС, при която
коефициентът на усилване на отворената система спада до единица:
(8)
Основната цел при проектиране на система за управление е да се осигури
устойчивост и приемливо качество на преходните процеси на затворената
система при несъвпадение на модела с обекта, т.е да се гарантира
робастност. Несъвпадението на модела и обекта може да бъде предизивкано
от редуциране на модела ( представяне на обект от висок ред с приблизителен
модел от по – нисък ред ), или от разлика в параметрите на системата, който
зависят от условията на работа.
В направените по долу изводи се приема, че неопределеността в
описанието на обекта на управление е отнесена към неговия изход и е от
мултипликативен тип ( Lm ). По- голяма яснота се добива от следната
структурна схема:
- 8 -
(9)
- функция на неопределеност;
– предавателна функция на реалния процес;
– номинална предавателна функция на обекта на управление.
В общия случай фамилията от описания на технологичния процес π включва
всички негови възможни състояния като е изпълнено следното условие:
(10)
Допълнителната функция на чувствителността:
(11)
е мярка за робастност и представлява предавателната функция на
затворената система по канала “ задание – регулируема величина”
Името на допълнителната функция на чувствителност следва от
равенството:
(12)
Ако P(p), и Gr(p) нямат полюси в дясната полуравнина и затворената
система с номиналния обект и регулаторът Gr(p) е устойчива, от което
следва, че затворената система е устойчива за всички обекти от фамилията
π, тогава и само тогава, когато:
(13)
Тъй като Lm нараства с увеличаване на честотата и евентуално надхвърля
единица, | T(p) | трябва да падне под единица при някаква честота. Поради
израза ( 12 ) |S ( p )| трябва да е близо до единица в този честотен обхват.
Така достижимата ширина на честотната лента на затворената система е
ограничена от ширината на честотната лента, в която модела на процеса е
- 9 -
Фиг. 2.1.2
статично точен. Най – малка неточност Lm(ω) е допустима при честота, при
която |T(jω)| има максимален пик.
Показател на устойчивост:
(14)
Показателят на устойчивост е удобен и широко възприет вместо запасите
по модул или по фаза, защото те оценяват робастността само по отношение
на моделните неточности, който са независими от честотата. Ето защо те
имат тенденцията да бъдат крайно оптимистични. Трябва да отбележим, че
М е само един качествен показател за робастността. Допустимата
неточност в специфичните параметри на модела може да бъде изведена от М
само когато ширината на честотната лента е известна.
Предимствата на структурата с вътрешен модел се разкриват от следните четири своиства:
Свойство 1: Дуална устойчвост.
Предополагаме, че . Тогава системата е ефективно отворена и
устойчивостта на затворения контур следва от устойчивостта на P(p) и
Gr(p):
(15)
Структурата на система с вътрешен модел гарантира устойчивост на
затворената система за всички устойчиви регулатори.
Свойство 2: Идеално регулиране.
Допускаме, че регулаторът е равен на инверсията на модела
и, че затворената система е устойчнва. Тогава y = yz за
всички t>0 и всички смущения d(t)
За разгледаните системи “тип 1” и “тип 2” може да се запише:
Тип 1 lim p . P(p) . Gr(p) ≠ 0 (16) p ->0
Тип 2 lim p2 . P(p) . Gr(p) ≠ 0 (17) p ->0
Тези системи се характеризират с нулева статична грешка при
стъпаловидни и линейно нарастващи смущения ( yz - d). Освен това са
изпълнени следните статични равенства:
lim T(p) = 1 (18) p ->0
- 10 -
lim S(p) = 0 (19) p ->0
Своиство 3: Система “тип 1”
Предполагаме, че коефициента на усилване на регулатора в установено
състояние е равен на инверсията на коефициента на усилване на модела:
(20)
и че затворената система на фиг. 2.1.1а е устойчива. Тогава системата е от
тип 1 и грешката на регулиране клони към нула асимтотично за всички
приблизтелно еднакви входове yz и d.
Своиство 4: Система “тип 2”
Избираме Gr(p) да удовлетворява своиство 3 и:
(21)
Тогава системата е от “тип 2” и грешката на регулиране клони към 0
асимтотично за всички приблизително линейно нарастващи входове yz и d.
Своиство 1 отразява факта, че при отсъствие на несъвпадение на обекта и
модела, въпросът за устоичивостта на затворената система е тривиален до
тогава, докато отворената система е устойчива. Своиство 2 гарантирa, че
идеалният регулатор води до съвършено качество на регулиране на
затворената система, когато се използва структурата на система с
вътрешен модел. От своиство 3 и 4 следва, че присъщо интегрално деиствие
може да бъде допуснато, без да е необходимо да се въвеждат допълнителни
настроечни параметри. Своиство 2 изисква безкраен коефициент на усилване
на регулатора, което означава интегрално управляващо деиствие.
Има няколко причини поради, който идеалния регулатор не може да бъде
реализиран на практика:
а/ Нули в дясната полуравнина – ако моделът има нули в дясната
полуравнина, регулаторът има полюс в дясната полуравнина и
ако затворената система ще бъде неустойчива според своиство
1.
б/ време на чистото закъснение – ако моделът съдържа време на чисто
закъснение регулаторът трябва да включва чисто изпреварване
и не може да бъде реализран.
в/ Ограничение на управляващите променливи.
- 11 -
Ако моделът е правилен тогава съвършеният регулатор
е нереалзируем
Така безкрайно малки високочестотни смущения ще пораждат
безкрайно големи отклонения на управляващите променливи, който са
физически нереализируеми;
г/ Грешка при моделирането
Ако своиство 1 не е спазено и затворената система в общия
случай ще бъде неустойчива за съответния регулатор.
При решаването на тези четири въпроса, идеалът на съвършения
регулатор трябва да бъде изоставен. Процедурата за проектиране на
системата с вътрешен модел се справя с тях на две стъпки: първо вниманието
се насочва към качеството на регулиране, без да се има в предвид
робастността или ограниченията на входа. Второ, въвежда се и се проектира
филтър за постигане на реализируемост и робастност, без да се обръща
внимание как влияе това на качеството на регулиране. Макар че няма
разделителен принцип, който прави този подход “ оптимален”, процедурата
на проектиране е много проста и пряка. Освен това има случай, в който други,
по сложни непреки процедури дават по добри резултати.
На практика за регулатора се получават често практически
нереализируеми функций. Ето защо израза ( 6) се трансформира:
; (22)
е онази част от описанието, която след инвертиране не може да се
реализира физически от управляващото устройство ( например чистото
закъснеие ). Регулаторът синтезиран по уравнение ( 22 ) все още не е подходящ
за прилагане, тъй като поради силно диференциращите се своиства при високи
честоти усилва прекомерно входните сигнали. Ето защо последователно с него
се включва нискочестотен филтър със следната предавателна функция:
(23)
където n е степенен показател, Tf се избира така, че да удовлетворява
изискванията за динамична точност.
Следователно за обект от пъви ред:
- 12 -
Тогава:
(24)
След въвеждане на филтъра, функцията на чувствителност има вида:
(25)
2.2. Робастност на системи със вътрешен модел
Съгласно теоремите за робастна устойчивост и точност при синтез
на робастни системи за регулиране първоначално се определя “разрешената”
честотна област за ходографа на отворената система. Тя е ограничена от
две функций: първата W3(p )определя параметрите на отклоненията от тези в
номиналното описание на обекта на управление, а втората W1(p ) дефинира
динамичната точност на САР.
(26)
Видът на предавателната функция P(p) се определя от уравненията на
материалния и топлинния баланс на технологичните апарати. В повечето
случай техните елементи могат да се опишат с достатъчна точност със
зададена структура като звена от първи ред с чисто закъснение
(27)
δТ , δτ, - неопределеностти във времеконстантите и чистотото
закъснение, а δК –сумарната грешка в статичния предавателен коефициент на
обекта на управление.
Възможно е основната неопределеност в описанието на технологичния
процес да бъде:
- неточност в предавателния коефициент - δК;
- неточност във времеконстантата - δТ;
- неточност в чистотото закъснение - δτ
- 13 -
- произволна комбинация от горните три
Ако бъде решено спрямо времеконстантата ще се получи:
(28)
А спрямо чистото закъснение:
(29)
- 14 -
Най подходящата структура на W1(p) за системи с един вход и един
изход може да бъде изведена на базата на следното ограничение, което е
определящо за свойството на САР да подтиска смущениеята:
(30)
Филтърът от най нисък ред има вида:
Ако в САР няма статична грешка, неравенството може да се запише в
следния вид:
(31)
Изпълнението на това условие може да се проследи най - удобно, ако
лявата и дясната част имат сходна структура, т.е W1(jw) се дефинира като:
(32)
Tw – времеконстанта на функцията;
kw – настроечен коефициент на функцията;
Предавателната функция на регулатора ще изглежда по следния начин:
- 15 -
Предавателната функция на еквивалентния регулатор съдържа
интегрираща съставяща, която гарантира нулева статична грешка.
2.3. Цифров ПИД регулатор
А./ Общ случай
Уравнението на идеалния аналогов ПИД регулатор е:
(34)
Kp – коефициент на усилване;
Ти – време на интегриране;
ТД – време на диференциране;
Ако тактът на квантуване Т0 е малък, производната може да се замени
с първа разлика, а интеграрането да се извърши по метода на
правоъгълниците. Тогава за изхода на регулатора в момента t = k.
(35)
Формулата дава стойността на управляващия сигнал u(k.T0) във всеки
момент на дискретизация и затова е известна като позиционен ПИД
алгоритъм. Неудобството му се състой в това, че в дясната страна участват
всички предишни стойности на грешката на регулиране e(k). Нека я
преубразуваме по следния начин, като определим:
- 16 -
(36)
където параметрите на цифровия регулатор са свързани с параметрите на
аналоговия регулатор чрез съотношенията:
(37)
Формулата дава изменението на управляващия сигнал и тя е известна
като скоростен ПИД алгоритъм. От нея непосредствено следва и
предвателната функция на цифровия ПИД регулатор:
(38)
Тъй като тя съдържа полюс z = 1, цифровият ПИД регулатор осигурява
нулева статична грешка на затворената система при стъпаловидни външни
сигнали ( задание и смущения).
Ако във формулата:
(39)
численото интегриране се извърши по метода на трапеците, предавателната
функция остава същата, но стойностите на параметрите f0 и f1 се променят:
(40)
При малки тактове на квантуване, коефициентите получени по
различните формули не се различават съществено.
Могат да се дефинират параметрите на предавателната функция по
следния начин:
- 17 -
- коефициент на усилване
(41)
- коефициент на интегриране
(42)
- коефициент на изпреварване
(43)
При малки тактове на квантуване, чистото интегриране и
диференциране дават незначителна грешка:
(44)
Предавателната функция на ПИД – регулатора, изразена чрез
коефициентите е:
(45)
Преходната характеристика на цифровия ПИД регулатор се получава
при е( k ) = 1( k ). Тогава от уравнението:
(46)
следва:
(47)
Преходната характеристика на идеалния аналогов ПИД регулатор е
представена на фигура 2.3.1, а на
цифровия ПИД регулатор – на
фигура 2.3.2:
- 18 -
(48)
Всички тези съотношения между параметрите на предавателната
функция на ПИД регулатора дават следната система неравенства:
(49)
- 19 -
Фиг.3а
Фиг. 2.3.1
Фиг.2.3.2
Системата неравенства определя допустимата област на изменение на
параметрите на цифровия ПИД-регулатор, представен на фигура 4
Ако някое от неравенствата се нарушава, регулаторът с тази
предавателна функция вече не е регулатор. Настройката на цифровия ПИД
регулатор не е особено проста, тъй като тези параметри са взаимно
зависими.
Б./ Частни случай
1. П-регулатор
(56)
2. И-регулатор
- 20 -
Фиг. 2.3.3
(57)
Преходната му характеристика е:
3. ПИ регулатор
(58)
Преходната му характеристика е:
2.4. Основни качествени показатели на преходния процес
- 21 -
Фиг.2.3.4
Фиг.2.3.5
Своиството устойчивост е необходимо условие за нормалната работа
на всяка автоматична система. Това означава, че изменението на
регулираната променлива трябва да затихва. Само това свойство обаче не е
достатъчно за работоспособността на системата. В зависимост от
изменението на регулируемата променлива, трябва да се изпълняват
определени качества. Те характеризират възможността на системата да
възпроизвеждат полезните сигнали.
Качеството на управление на една автоматична система се оценява по
вида на нейната преходна функция, наричана преходен процес:
Преходен процес по задание:
R(p) – предавателна функция на регулатора;W(p) – предавателна функция на обекта;
- 22 -
Изменението на y(t) e предизвикано от изменение yз(t)
(59)
Фиг.2.4.1а
Преходен процес по смущение:
При процес по смущение регулираната променлива се отклонява и след
известно време се установява в зададената стойност.
(60)
Качествени критерий
- Допустимо отклонение – счита се, че преходният процес се е установил,
когато заданието се поддържа с точност ∆. По технологични
съображения е ±5%.
- 23 -
Фиг.2.4.2а
Фиг.2.4.2б
Фиг. 2.4.1б
- Максимално динамично отклонение – регулаторът трябва да има такива
параметри, че то да има малка стойност. Характерно е за колебателни
преходни процеси
- Време за регулиране – това е времето за което отклонението от
регулираната променлива от зададената стойност става по малко от
предварително приетата допустима грешка и след това не става по
голямо от него. Стремежът е това време да бъде най – малко.
(61)
- Степен на пререгулиране – характеризира затихването на преходния
процес
(62)
σ <100 – за устойчиви системи
- Степен на затихване – характеризира затихването на преходния процес.
(63)
За устойчиви системи е по – голямо от 0.
Интегрални критерий
(64)
- линеен интегрален критерий
(65)
Недостатък е, че при колебателни преходни процеси има малка
стойност, защото положителните и отрицателните части се сумират
алгебрично. Използват се при апериодично затихване на преходния процес.
- Интегрално квадратичен критерий
(66)
Използва се за апериодични и колебателни преходни процеси.
Параметрите на регулатора се избират, така че I2 да има минимална
стойност.
- 24 -
(67)
Интегралът има два компонента:
Квадратът на динамичната грешка;
Производната на динамичната грешка – минимизирането и води до
по- плавни преходни процеси;
- В практиката се използват:
(67)
(68)
(69)
3. Експериментална част
3.1. Ред за провеждане на експериментите
Изследвана е система за автоматично регулиране с един типов обект за
управление. Обекта има следната предавателна функция.
където Т = 10, к = 1
Обектите са изследвани като отношението τ/Т има следните
стойности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. За всяка промяна на τ/Т е варирано и
отношението Tw /T по следните стойности:0,4; 0,8; 1.- 25 -
За изследваният обект са снети преходните процеси на затворената
система и са определени стойностите на:
- Степен на пререгулиране – σ;
- Степен на затихване – ψ;
- Време за регулиране - tp ;
Изведена е регресионна зависимост от вида или
и е приложена за четири тестови обекта
който съм изследвала при σ = 0,2 и ψ = 0,9
при σ = 0,4 и ψ = 0,75
3.2. Резултати
Резултатите за σ, ψ, tp са подредени в таблици. На базата на тези
резултати е изведена регресионна зависимост от вида или
, с помощта на която са изследвани тестови
зависисмости.
Част от графиките получени на MATLAB за са дадени в
приложението.
- 26 -
Tw/T = 0,4;
Предавателната функция на обекта е:
Предавателната функция на регулатора е:
Поради наличието на такта на дискретизаця в предавателната
функция на регулатора той ( регулатора ) има различна предавателна функция
* - процесите с това времезакъснение и съответните тактове на дискретизация са неустойчиви;▲ - процесите затихват много бавно и времето за регулиране се отчита трудно;
Процесите с това закъснение са неустойчиви при всички тактове на дисктретизация ( квантуване ) – Т0 .