โครงงาน สาขาวิชาคณิตศาสตร์

MATHEMATICALPROJECT

A Number of N-edge Disjoint Cycle in Complete Graph and L’ Posa Conclusion

ADVISORS

AJ.CHIDCHALERM KONGPRADIT

AJ.TAMMANOON PUIROD

ที่��มาและแนวคิ�ดของปั�ญหา

กำ�าหนดให� G เปั�นกำราฟใดๆ ถ้�าจำ�านวนเส้�นเชื่#�อมของกำราฟ G ม�คิ$ามากำกำว$าจำ�านวนจำ%ดยอดของกำราฟ G แล�วกำราฟน'(นจำะม�ว'ฏจำ'กำร 1 ว'ฏจำ'กำรเส้มอ

กำ�าหนดให� G เปั�นกำราฟใดๆ ถ้�าจำ�านวนเส้�นเชื่#�อมของกำราฟ G ม�คิ$ามากำกำว$ากำว$าจำ�านวนจำ%ดยอดบวกำส้��แล�วจำะได�ว$ากำราฟน'(นจำะม�ว'ฎจำ'กำร 2 ว'ฏจำ'กำรที่��ไม$ม�ม�เส้�นเชื่#�อมร$วมกำ'น

ตั'วอย$าง

e ≥ v

e=3 v=4 e=5 v=5 e=7 v=6

ตั'วอย$าง e ≥ v+4

v=6 e=10 v=7 e=11

แนวทางการพิสู�จน�โดยขั�ดแย�ง ให้� G

เป็�นกราฟท��เล็�กท��สู ดท��เป็�น counter example

i) Girth ขัอง G มี�ขันาด 5ii) minimum degree 3

ท#าให้� v ≤ 8 โดยการสูร�างไมี%มี�กราฟน�&น

ปั�ญหาที่��ตั�องถ้.กำถ้ามคิ#อ

ป็'ญห้าป็'ญห้า กำ�าหนดให� G เปั�นกำราฟใดๆ ถ้�า G ม�จำ�านวนว'ฏจำ'กำรที่��ไม$ม�เส้�นเชื่#�อมร$วมกำ'นที่'(งหมด N ว'ฏจำ'กำรแล�ว E ≥ V+L

จำากำปั�ญหาที่��กำล$าวมาเราจำะหา คิ$าของ L ในร.ปัคิ$าคิงที่�� หร#อ ในเที่อมของ V

จำากำปั�ญหาน�(ที่�าให�เราตั�องพยายามหาคิ#อจำ�านวนว'ฏจำ'กำรที่��แน$นอนในกำราฟที่%กำๆร.ปัแบบที่��เปั�นไปัได�

ปั�ญหาที่��เกำ��ยวข�องและปั�ญหาเพ��มเตั�ม

E+

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

4 2

5 2 3

6 2 4

7 2 7

8 2 8

ปั�ญหา กำารหาจำ�านวนว'ฏจำ'กำรคิวามยาวตั$างๆ กำารพ�จำารณาว$าในกำราฟบร�บ.รณ1ที่��ม�ขนาด N น'(นจำะ

ม�จำ�านวนว'ฏจำ'กำรที่��ไม$ม�เส้�นเชื่#�อมร$วมกำ'นที่'(งหมดเที่$าไหร$

ตั'วอย$าง

แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3

V1

V2V3

พ�จำารณากำารส้ร�าง

Cycle ที่��ม�คิวามยาว 3 บนเซตั ของจำ%ดยอด 3 จำ%ดน'(นเราจำะเห3นได�ว$า จำะให� cycle ที่��จำ�าเพาะเจำาะจำงตั$างกำ'บกำรณ�บนจำ%ดยอด 4 จำ%ดแล�วหา cycle คิวามยาว 4 เพราะฉะน'(นถ้�าเซตัของจำ%ดยอด 2 เซตั A และ B โดยที่�� แล�วเราส้ามารถ้ส้ร�างว'ฏจำ'กำรจำากำไม$ A กำ3 B เที่$าน'(น

V4V4

V2V2 V1V1

V3 V3

2A B

แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3

จากขั�างต้�นป็'ญห้าขัองเราน�&นจะล็ดล็งเห้ล็+อเป็�นคำ#าถามีท��ว%า

, , , , , 1,2,3 ( , 1,2,3 1i i jB A a b c a b c n i j k A A

ป็'ญห้าคำ+อ คำ%า n คำ%าห้น.�ง ขันาดขัองเซต้ B ท��ให้ญ%ท��สู ดเป็�นเท%าใด

, , , , , 1, 2,3 ( , 1, 2,3 1i i jB A a b c a b c n i j k A A

แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3

V1

V2V3

V2V1

V3V4

1,2,3{ 1,2,3 }

{ 1,2,3 } { 1,2,4 }

{ 1,3,4 }

{ 2,3,4 }

แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3

V1

V2

V3V4

V5

{ 1,2,3 } { 1,2,4 } { 1,2,5 }{ 1,3,4 } { 1,3,5 } { 1,4,5 }

{ 2,3,4 } { 2,3,5 }{ 2,4,5 }

{ 3,4,5}

แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3

V6 V1

V2

V3V4

V5

{ 1,2,3 } { 1,2,4 } { 1,2,5 } { 1,2,6 }{ 1,3,4 } { 1,3,5 } { 1,3,6 }{ 1,4,5 } { 1,4,6 }{ 1,5,6 }

{ 2,3,4 } { 2,3,5 } { 2,3,6 }{ 2,4,5 } { 2,4,6 }{ 2,5,6 }

{ 3,4,5 } { 3,4,6 }{ 3,5,6 }

{ 4,5,6 }

แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3

V1

V2

V3

V4V5

V6

V7

{ 1,2,3 } { 1,2,4 } { 1,2,5 } { 1,2,6 } { 1,2,7 }{ 1,3,4 } { 1,3,5 } { 1,3,6 } { 1,3,7 }{ 1,4,5 } { 1,4,6 } { 1,4,7 }{ 1,5,6 } { 1,5,7 }{ 1,6,7 }{ 2,3,4 } { 2,3,5 } { 2,3,6 } {2,3,7}{ 2,4,5 } { 2,4,6 } { 2,4,7 }{ 2,5,6 } { 2,5,7 }{ 2,6,7 }{ 3,4,5 } { 3,4,6 } { 3,4,7 }{ 3,5,6 } { 3,5,7 }{ 3,6,7 }{ 4,5,6 } { 4,5,7 }{ 4,6,7 }{ 5,6,7 }

ผลที่��ได�จำากำกำารส้'งเกำตัที่�าให�ได�ว$า Conjecture

j(6 4 ) 4 6

(5 4 ) 2 6

(4 4 ) (3 3 ) 1 6

f k k

f k k

f k f k k

เม#�อ k ม�คิ$าเปั�นจำ�านวนเตั3มที่��ไม$เปั�นลบ

แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหา C n

จ#านวนว�ฏจ�กรคำวามียาว n ในกราฟบรบ�รณ์� Kn มี�คำ%าเท%าก�บ

1

2

n

แนวทางการพิสู�จน�

i) พิจารณ์าด�กร�ขัองแต้%ล็ะจ ดยอดii) คำวามีจรงท��ว%าว�ฏจ�กรท��มี�คำวามียาว n ออกจากแต้%ล็ะจ ดยอดวนกล็�บมีาท��เดมี ด�กร�ขัองแต้%ล็ะจ ดยอดจะห้ายไป็ท�ล็ะ2 เสูมีอiii) พิจารณ์าว%า จ ดแต้%ล็ะจ ดน�&นเชื่+�อมีโยงก�นห้มีดจากคำวามีเป็�นบรบ�รณ์�

ตั'วอย$าง ว'ฏจำ'กำรคิวามยาว n บน Kn

แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C4

ป็'ญห้ากรณ์� ว�ฏจ�กรคำวามียาว 4 ในกราฟน�&คำ%อนขั�างซ�บซ�อน ไมี%เห้มี+อนกรณ์�ขัอง C3 เน+�องจากบนจ ดยอดสู��จ ดน�&นไมี%ได� จ#านวนว�ฏจ�กรท��จ#าเพิาะบนจ ดยอดสู��จ ดใดๆ

แต้%ก�พิอมี�เง+�อนไขับางป็ระการถ�าเราก#าห้นดล็งไป็เราจะได�เง+�อนไขัขัองเซต้ท��เราต้�องการสูร�างเห้มี+อนกรณ์� ขัอง C3 , , , , , , 1, 2,3 ( , 1,2,3 1 2i i jB A a b c d a b c d n i j k A A

แล็ะย�งมี�เง+�อนไขัต้%อไป็อ�กว%า แต้%ล็ะคำ�ขัองต้�วเล็ขัท��สูร�างจาก 1,2,3…n น�&นจะป็รากฏได�ไมี%เกน 2 คำร�&งเท%าน�&น

แนวที่างกำรณ� C5

เน#�องจำากำเราที่ราบมาแล�วบนจำ%ดบอด 5 ใดน'(นจำะตั�องม�ว'ฏจำ'กำรที่��ม�คิวามยาว 5 อย$างน�อย 2 อ'น

ที่�าให�เราได�ว$า

15 5,

2 5m

m mK m DC m

ส้�าหร'บกำรณ�คิวามยาว n ใดๆ ส้.ตัรน�(จำะเปั�นผลพลอยได�โดยตัรงจำากำเร#�อง Cn บน Kn

1,

2m

m mK n m DC n m

n

ข�อส้ร%ปับางปัระกำารของ C4

2

1

2 ( 1)4

2 4

m

i

m i m mC