Page 1
1
ประวั�ติ� แคลค�ล�ส Calculus แคลค�ล�ส เป็�นวิ�ชาคณิ�ตศาสตร์�ที่��มี�ควิามีส�าค�ญอย่�างย่��ง สามีาร์ถน�าไป็ป็ร์ะย่#กต�ใช&ในการ์อธิ�บาย่กฎเกณิฑ์�ธิร์ร์มีชาต� เป็�นพื้,-นฐานของควิามีเข&าใจโลก และป็ร์ากฏการ์ณิ�ต�าง ๆ แคลค�ล�สช�วิย่ให้&เร์าสามีาร์ถค�านวิณิวิงโคจร์ของดาวิต�าง ๆ ช�วิย่ให้&เร์าค�านวิณิกร์ะแสน�-า การ์ค�านวิณิห้าเส&นแร์งในอาคาร์ร์�ป็แป็ลก ๆ เพื้,�อให้&สามีาร์ถสร์&างอาคาร์เห้ล�าน�-น เป็�นวิ�ชาที่��จ�าเป็�นส�าห้ร์�บน�กวิ�ที่ย่าศาสตร์�แที่บที่#กแขนง
ผู้�&ที่��เก�ดแนวิค�ดเร์,�องแคลค�ล�สก�อนผู้�&ใด เมี,�อร์าวิ ป็7 1667 เซอร์� ไอแสค น�วิต�น น�กฟิ:ส�กส�ชาวิอ�งกฤษ สนใจในเร์,�องคณิ�ตศาสตร์�ของการ์เคล,�อนที่�� ซ=�งมี�การ์เป็ล��ย่นแป็ลงตลอดเวิลา กฎเกณิฑ์�ของการ์เป็ล��ย่นแป็ลงน�-เอง ที่�าให้&เป็�นที่��มีาของแคลค�ล�ส ในเร์,�องของอ�นที่�กร์�ลและด�ฟิเฟิอเร์นเช�ย่ล ต�อมีาไมี�นานก>มี�น�กคณิ�ตศาสตร์�ชาวิเย่อร์มี�นช,�อ กอตฟิร์�ค ไลป็น�ช ก>เก�ดแนวิต�ดในที่�านองเด�ย่วิก�น ที่�-งสองคนเข�ย่นจดห้มีาย่แลกเป็ล��ย่นที่�ศนะ และแนวิค�ดก�น
แคลค�ล�สเป็�นคณิ�ตศาสตร์�ที่��ถ,อก�าเน�ดข=-นในศตวิร์ร์ษที่�� 17 แต�ถ&าไล�ย่&อนไป็ในอด�ต ก>จะพื้บแนวิควิามีค�ดห้ร์,อเที่คน�คต�าง ๆที่��น�กคณิ�ตศาสตร์�สมี�ย่ก�อนห้น&าน�-นได&ช�วิย่ค�ดช�วิย่สร์&างมีาต�-งแต�สมี�ย่กร์�กโบร์าณิโน�น ซ=�งมี�ร์าย่ละเอ�ย่ดมีาก พื้อจะสร์#ป็ห้ล�ก ๆ ที่��ส�าค�ญ ด�งน�-
น�กคณิ�ตศาสตร์�สมี�ย่โบร์าณิห้ลาย่คน เช�น อาร์�ค�มี�ด�ส เคย่ค�ดวิ�ธิ�ห้าเส&นส�มีผู้�สร์�ป็ร์�างเกล�ย่วิห้อย่ โจที่ย่�ข&อน�-ส�าค�ญมีาก เพื้ร์าะน�าจะเป็�นโจที่ย่�เก��ย่วิก�บเส&นส�มีผู้�สห้ร์,อ ด�ฟิเฟิอเร์นเช�ย่ลแคลค�ล�ส เพื้�ย่งข&อเด�ย่วิในป็ร์ะวิ�ต�ศาสตร์�“ ” ส�วินที่��เห้ล,อ เช�น การ์ค�านวินห้าพื้,-นที่��วิงกลมี ป็ร์�มีาตร์ และพื้,-นผู้�วิของที่ร์งกลมีได&อย่�างไร์
Page 2
2
ซ=�งจากมี#มีมีองสมี�ย่น�- เป็�นโจที่ย่�เก��ย่วิก�บผู้ลร์วิมี ห้ร์,อ อ�นที่�กร์�ลแคลค�ล�ส“ ” ที่�-งส�-น
นอกจากน�- น�กคณิ�ตศาสตร์�ชาวิกร์�ก ได&ต�-งโจที่ย่�เก��ย่วิก�บ ล�มี�ต และค�าอน�นอ�กด&วิย่ แต�ที่��น�าจะส�าค�ญที่��ส#ดค,อ เที่คน�คที่างคณิ�ตศาสตร์�ที่��เร์�ย่กวิ�า "วิ�ธิ�ใช&ที่�-งห้มีดของย่�โดซ�ส" ซ=�งมี�ห้ล�กการ์ง�าย่ ๆวิ�า ถ&าต&องการ์ค�านวิณิห้าพื้,-นที่��ร์�ป็ที่ร์งป็ร์ะห้ลาดๆ ที่��สนใจก>แบ�งพื้,-นที่��ให้&เป็�นร์�ป็ง�าย่ ๆ เช�น ร์�ป็ 3 เห้ล��ย่มี 4 เห้ล��ย่มี โดย่เร์��มีจากการ์ใช&ร์�ป็ง�าย่ ๆ ใส�ลงไป็ในพื้,-นที่��ที่��ต&องการ์ห้าและซอย่ย่�อย่ลงไป็เร์,�อย่ ๆ ด�งน�-นผู้ลร์วิมีก>จะได&ใกล&เค�ย่งก�บพื้,-นที่��ที่��ต&องการ์
น��ค,อเที่คน�คการ์อ�นที่�เกร์ตโดย่ใช&ภาพื้ของน�กคณิ�ตศาสตร์�กร์�กโบร์าณิน��นเอง น�กคณิ�ตศาสตร์�ชาวิเอเช�ย่ก>มี�ผู้�&ค�ด"ป็ฐมีแคลค�ล�ส"ไวิ&ค,อคนจ�นก�บคนญ��ป็#@น น�กคณิ�ตศาสตร์�ญ��ป็#@นค�านวินห้าพื้,-นที่��วิงกลมี โดย่แบ�งเป็�นแถบ 4 เห้ล��ย่มีย่�อย่ ๆ
จวิบจนถ=งคร์�ต�ศตวิร์ร์ษที่�� 14 จ=งมี�ค�าถามีป็ร์ะเภที่วิ�าวิ�ตถ#เคล,�อนที่��ด&วิย่อ�ตร์าเร์>วิไมี�คงที่��จะห้าร์ะย่ะที่างที่��วิ��งไป็ได&อย่�างไร์ แต�แคลค�ล�สสมี�ย่ให้มี�ต&องร์อเวิลานานกวิ�าจะถ,อก�าเน�ดข=-นได& เพื้ร์าะแคลค�ล�ส จ�าเป็�นต&องใช&แนวิค�ดจากคณิ�ตศาสตร์�สาขาอ,�นๆห้ลาย่วิ�ชาน�ามีาก�อน เช�น ฟิAงก�ช��น พื้�ชคณิ�ตส�ญล�กษณิ� และเร์ขาคณิ�ตวิ�เคร์าะห้�
แนวิค�ดเร์,�องฟิAงก�ช�นน�-มีาส#กงอมีตอนที่��กาล�เลโอมีาศ=กษาเร์,�องการ์เคล,�อนที่��ส�วินสองเร์,�องห้ล�งค,อ พื้�ชคณิ�ตส�ญล�กษณิ� และเร์ขาคณิ�ตวิ�เคร์าะห้�เป็�นฝี7มี,อของเดอคาร์�ตส�ย่อดน�กคณิ�ตศาสตร์�ที่��ค�ดแกนอ&างอ�งแบบคาร์�ที่�เช�ย่นให้&เร์าใช&ก�นจนถ=งเด�Cย่วิน�-น��เอง
ล�มิ�ติและควัามิติ�อเนื่��องของฟั�งก์�ชั�นื่
Page 3
3
-ล�มิ�ติของฟั�งก์�ชั�นื่
y = f(x) ที่��มิ�โดเมินื่และเรนื่จ์�เป#นื่ส�บเซติของจ์&านื่วันื่จ์ร�ง ขณะที่�� x เข(าใก์ล( จ์&านื่วันื่จ์ร�งใด ๆ เพี�ยงจ์&านื่วันื่เด�ยวัเที่�านื่�-นื่ ควิามีห้มีาย่ของการ์ที่�� x เข&าใกล&จ�านวินจร์�ง a ใด ๆ ด�งร์�ป็ x a x
เมี,�อ x เข&าใกล& a โดย่ที่�� x < a ห้มีาย่ควิามีวิ�า x เข&าใกล& a ที่างด&านซ&าย่ เข�ย่นแที่นด&วิย่ส�ญล�กษณิ� x a ฟิAงก�ช�น f ใด ๆ ที่��มี�โดเมีนและเร์นจ�เป็�นส�บเซตของเซตจ�านวินจร์�ง เมี,�อ x เข&าใกล& a ที่างด&านซ&าย่ แล&วิ f(x) เข&าใกล&จ�านวินจร์�ง
เร์�ย่ก วิ�า ล�มี�ตซ&าย่ของ f ที่�� a เข�ย่นแที่นได&วิ�า f(x) =
เมี,�อ x เข&าใกล& a โดย่ที่�� x> a ห้มีาย่ควิามีวิ�า x เข&าใกล& a ที่างด&านขวิา เข�ย่นแที่นด&วิย่ส�ญล�กษณิ� x a ฟิAงก�ช�น f ใด ๆ ที่��มี�โดเมีนและเร์นจ�เป็�นส�บเซตของเซตจ�านวินจร์�ง เมี,�อ x เข&าใกล& a ที่างด&านขวิา แล&วิ f(x) เข&าใกล&จ�านวินจร์�ง
เร์�ย่ก วิ�า ล�มี�ตซ&าย่ของ f ที่�� a เข�ย่นแที่นได&วิ�า f(x) =
เมิ��อ x เข(าใก์ล( a ไมิ�วั�าจ์ะที่างด(านื่ซ(ายหร�อด(านื่ขวัา แล(วั ค�าของ f(x)เข(าใก์ล(จ์&านื่วันื่จ์ร�ง L เข�ยนื่แที่นื่ได(วั�า f(x) = L
Page 4
4
ล�มิ�ติข(างเด�ยวั (One - side limit)
พื้�จาร์ณิาจากร์�ป็
= ..........(1)
= ..........(2)
(1) (2) น��นค,อ
ด�งน�-น ห้าค�าล�มี�ตไมี�ได&
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
Page 5
5
พี�จ์ารณาจ์าก์ร�ป
=
= 4 - 6 = - 2 ...........(1)
=
= 4 - 4 = 0 .............(2)
(1) (2) น��นค,อ
ด�งน�-น ห้าค�าล�มี�ตไมี�ได&
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Page 6
6
พี�จ์ารณาจ์าก์ร�ป
=
= 10 - 3 = 7 .....(1)
=
= 2(3) + 1 = 7 .......(2)
(1) = (2) น��นค,อ
=
ด�งน�-น = 7
ก์ารหาล�มิ�ติของฟั�งก์�ชั�นื่การ์ห้าค�าของล�มี�ตสามีาร์ถห้าได&ห้ลาย่วิ�ธิ�จะแนะน�า 3 วิ�ธิ� ด�งน�-
วั�ธี�ที่�� 1 โดย่การ์แที่นค�า x โดย่ตร์งลงใน f(x) ของล�มี�ต จะได&ค�าของล�มี�ตออกมีาเลย่ จ�ดเป็�นวิ�ธิ�ห้าค�าล�มี�ตที่��ง�าย่ที่��ส#ด เมี,�อแที่นค�า x โดย่ตร์งในฟิAงก�ช�นของล�มี�ต
ค�าของล�มี�ตอย่��ในร์�ป็ ต&องใช&วิ�ธิ�ที่�� 2 ห้ร์,อวิ�ธิ�ที่�� 3 ต�อไป็
วั�ธี�ที่�� 2 โดย่การ์แย่กต�วิป็ร์ะกอบของฟิAงก�ช�นเศษและฟิAงก�ช�นส�วิน (ถ&าแย่กต�วิป็ร์ะกอบได&) ถ&าเศษและส�วินมี�ต�วิป็ร์ะกอบที่��เห้มี,อนก�น ให้&ต�ดที่อนก�นไป็ แล&วิจ=ง
Page 7
7
แที่นค�า x
โดย่ตร์งตามีวิ�ธิ�ที่�� 1 ก>จะได&ค�าของล�มี�ต
วั�ธี�ที่� 3 โดย่การ์ส�งย่#ค (conjugate) ให้&ห้าต�วิป็ร์ะกอบมีาค�ณิที่�-งเศษและส�วิน เพื้,�อที่�าให้&ผู้ลห้าร์ง�าย่ข=-น แล&วิจ=งแที่นค�า x ตามีวิ�ธิ�ที่�� 1 ก>จะได&ค�าของล�มี�ต
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้& f(x = 2x - 3 จงห้าค�าของ (2x-3)
(2x-3) = (4-3) = 1
ติ�วัอย�าง ก�าห้นด f(x) = จงห้าค�าของ f(x)
f(x) = [ ]
= ( x + 3 ) = 3 + 3 = 6
ติ�วัอย�าง จงห้าค�าของล�มี�ต h(x) เมี,�อ h(x) =
แที่นค�า x = 0 จะได& h(x) = = ให้&ใช&วิ�ธิ�ที่�� 3 ให้มี�
=
=
=
Page 8
8
=
=
ควัามิติ�อเนื่��องของฟั�งก์�ชั�นื่ที่�� x = a หร�อไมิ� ?
นื่�ยามิ เราจ์ะเร�ยก์ฟั�งก์�ชั�นื่ f วั�ามิ�ควัามิติ�อเนื่��องที่�� a ก์1ติ�อเมิ��อเง��อนื่ไขที่�-งสามิ ข(อนื่�-ติ(องเป#นื่จ์ร�ง
1) f(a) หาค�าได(
2) f(x) สามิารถหาค�าได( และ
3) f(x) = f(a)
ถ(าฟั�งก์�ชั�นื่ f ขาดค3ณสมิบ�ติ�ข(อใดข(อหนื่4�ง (หร�อหลายข(อ) ในื่สามิข(อด�งก์ล�าวัแล(วั จ์ะก์ล�าวัได(วั�า " f ไมิ�มิ�ควัามิติ�อเนื่��องที่�� a "
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
ก์ารติรวัจ์สอบวั�าฟั�งก์�ชั�นื่ f เป#นื่ฟั�งก์�ชั�นื่ติ�อเนื่��องหร�อไมิ�ติ�อเนื่��องที่�� x = a มิ� 3 ข�-นื่ติอนื่ ด�งนื่�-ข�-นื่ติอนื่ที่�� 1 ตร์วิจสอบ f(a)
f(a) ห้าค�าไมี�ได& สร์#ป็ได&เลย่วิ�า ฟิAงก�ช�น f ไมี�ต�อเน,�องที่�� x = a
f(a) ห้าค�าได& ย่�งสร์#ป็ไมี�ได& จะต&องที่�าข�-นตอนที่�� 2 ต�อข�-นื่ติอนื่ที่�� 2 ตร์วิจสอบ f(x)
Page 9
9
f(x) ห้าค�าไมี�ได& สร์#ป็ได&เลย่วิ�า ฟิAงก�ช�น f ไมี�ต�อเน,�องที่�� x = a
f(x) ห้ าค�าได& ย่�งสร์#ป็ไมี�ได& จะต&องที่�าข�-นตอนที่�� 3 ต�อข�-นื่ติอนื่ที่�� 3 ตร์วิจสอบ f(x) = f(a) ห้ร์,อไมี� ถ&า f(x) f(a) สร์#ป็ได&เลย่วิ�า ฟิAงก�ช�น f ไมี�ต�อเน,�องที่�� x = a ถ&า f(x) = f(a) สร์#ป็ได&เลย่วิ�า ฟิAงก�ช�น f ต�อเน,�องที่�� x = a
ข(อส�งเก์ติ ถ&าฟิAงก�ช�น f ต�อเน,�องที่�� x = a แล&วิ f(a) = f(x) = f(x)
ถ&าฟิAงก�ช�น f ไมี�ต�อเน,�องที่�� x = a แล&วิ f(a) f(x) f(x)
ติ�วัอย�าง จงพื้�จาร์ณิาฟิAงก�ช�น f(x) เป็�นฟิAงก�ช�นต�อเน,�องที่�� x = 2
ห้ร์,อไมี�
f(x) = เมี,�อ x 2
f(x) = 2 เมี,�อ x = 2
ข�-นตอนที่�� 1 ตร์วิจสอบ f(2)
f(2) = 2 ย่�งสร์#ป็ไมี�ได& จะต&องที่�าข�-นตอนที่�� 2 ต�อ
ข�-นตอนที่�� 2 ตร์วิจสอบ = 4 ย่�งสร์#ป็ไมี�ได& จะต&องที่�าข�-นตอนที่�� 3 ต�อ
Page 10
10
ข�-นตอนที่�� 3 ตร์วิจสอบ = f(2) ห้ร์,อไมี� f(2) สร์#ป็ได&เลย่วิ�า ฟิAงก�ช�น f (x) ไมี�ควิามีต�อเน,�องที่�� 2
ติ�วัอย�าง จงพื้�จาร์ณิาฟิAงก�ช�น f(x) เป็�นฟิAงก�ช�นต�อเน,�องที่�� x = 10
ห้ร์,อไมี�
f(x) = x ถ&า 0 x 10
f(x) = 10 + 0.9 ( x - 10 ) = 0.9 x + 1 ถ&า 10 < x
ข�-นื่ติอนื่ที่�� 1 ตร์วิจสอบ f(10)
f(10) = 10 ย่�งสร์#ป็ไมี�ได& จะต&องที่�าข�-นตอนที่�� 2 ต�อ
ข�-นื่ติอนื่ที่�� 2 ตร์วิจสอบ = = 10
= = 10
=
ด�งน�-น = 10 ย่�งสร์#ป็ไมี�ได& จะต&องที่�าข�-นตอนที่�� 3
ต�อ
ข�-นื่ติอนื่ที่�� 3 ตร์วิจสอบ = f(10) ห้ร์,อไมี� = f(10) = 10
สร3ปได(เลยวั�า ฟั�งก์�ชั�นื่ f (x) มิ�ควัามิติ�อเนื่��องที่�� 10
Page 11
11
ก์ารหาอนื่3พี�นื่ธี�ของ�ฟั�งก์�ชั�นื่พี�ชัคณ�ติ (Differentiation Algebraic
Function)
ฟั�งก์�ชั�นื่พี�ชัคณ�ติ (Algebraic Function)
ห้มีาย่ถ=งฟิAงก�ช�นล�กษณิะ
y =
เมี,�อ n เป็�นจ�านวินจร์�ง
ก์ฎข(อที่�� 1 เมี,�อ y = c เมี,�อ c เป็�นต�วิคงที่�� จะได&วิ�า = 0
ก์ฎข(อที่�� 2 เมี,�อ y = x จะได&วิ�า
ก์ฎข(อที่�� 3 เมี,�อ y = c f (x) และ c เป็�นต�วิคงที่�� จะได&วิ�า
ก์ฎข(อที่�� 4 เมี,�อ u,v,w เป็�นฟิAงก�ช�นของ x
จะได&วิ�า
ก์ฎข(อที่�� 5 เมี,�อ y เป็�นฟิAงก�ช�นของ เมี,�อ n เป็�นจ�านวินตร์ร์ภย่ะ
จะได&วิ�า =
ก์ฎข(อที่�� 6 อน#พื้�นธิ�ของผู้ลค�ณิของฟิAงก�ช�น ถ&า y = f (x) g(x) เมี,�อ f (x) และ g(x) เป็�นฟิAงก�ช�น
Page 12
12
ที่��สามีาร์ถห้า
f '(x) และ g '(x) ได& แล&วิ = f (x) g '(x) + f '(x) g(x)
ก์ฎข(อที่�� 7 อน#พื้�นธิ�ของผู้ลห้าร์ของฟิAงก�ช�น
ถ&า y = โดย่ที่�� f(x) และ g(x) เป็�นฟิAงก�ช�นที่��สามีาร์ถห้า
f '(x) และ g '(x) ได& และ g(x) 0 แล&วิ
=
ก์ฎข(อที่�� 8 กฎล�กโซ� (chain rule )
ถ&า y = f เมี,�อ n เป็�นจ�านวินตร์ร์ภย่ะ และ f(x) เป็�นฟิAงก�ช�นที่��สามีาร์ถห้า f '(x) ได& แล&วิ
= n f '(x)
ติ�วัอย�างก์ารนื่&าก์ฎด�งก์ล�าวัไปใชั(หาอนื่3พี�นื่ธี�ฟั�งก์�ชั�นื่
1) ก�าห้นดให้& y = 8
จะได& = 0
2) ก�าห้นดให้& y = 5x
จะได& = = 5 = 5
3) ก�าห้นดให้& y =
จะได& = = 8
Page 13
13
4) ก�าห้นดให้& y =
จะได& =
= =
=
5) ก�าห้นดให้& y = 3 - 2 + 6x -19 จงห้า
= - + -
= - + - 0
= 3 (3 ) - 2 ( 2x ) + 6
= 9 - 4 x + 6
6) ถ&าก�าห้นด y = (x+3) (2x -3) จงห้า
y = (x+3) (2x -3)
= f (x) g '(x) + f '(x) g(x)
= (x+3) (2) + 1 (2x - 3)
= 2x + 6 + 2x - 3 = 4x + 3
7) ถ&า y = จงห้า
ก�าห้นดให้& y = โดย่ที่�� f (x)= + 5 และ g(x) =
Page 14
14
ด�งน�-น f ' (x) = 3 และ g '(x) =
=
=
=
=
8) ถ&า y = จงห้า
ก�าห้นดให้& y = เมี,�อ f (x) = + 5
เพื้ร์าะฉะน�-น f ' (x) = 2x
= 3 f ' (x)
= 3 f ' (x)
= 6 x
Page 15
15
ก์ารหาค�าอนื่3พี�นื่ธี�ของฟั�งก์�ชั�นื่ที่��อย��ในื่ร�ปค�าส�มิบ�รณ�
พื้,-นฐานที่��ผู้�&เร์�ย่นควิร์มี�1. การ์เข�ย่นกร์าฟิของค�าส�มีบ�ร์ณิ�2. วิ�ธิ�ป็ลดค�าส�มีบ�ร์ณิ� โดย่ใช&ควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ�
กร์ณิ�แร์ก = เมี,�อ 0 กร์ณิ�สอง = - เมี,�อ < 0
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้& y = จงห้า
จากที่��ก�าห้นดให้& พื้บวิ�า > 0 แน� ๆ
ควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ� = เมี,�อ > 0
จะได& y = =
ด�งน�-น = = 2 x
วิ�เคร์าะห้�กร์าฟิของ y =
Page 16
16
จากร์�ป็ จะเห้>นได&วิ�าไมี�เก�ดการ์ห้�กมี#มี แสดงวิ�าสามีาร์ถห้า ได&ที่#กค�าของ x
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้& y = จงห้า
จากที่��ก�าห้นดให้& พื้บวิ�า ( ) > 0
แสดงวิ�า - ( ) < 0
ควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ� = - เมี,�อ < 0
y = = - [ - ( ) ] =
ด�งน�-น = = 2 x
วิ�เคร์าะห้�กร์าฟิของ y =
จากร์�ป็ จะเห้>นได&วิ�าไมี�เก�ดการ์ห้�กมี#มี แสดงวิ�าสามีาร์ถห้า ได&ที่#กค�าของ x
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้& f(x) = จงห้าค�าของ
Page 17
17
จากควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ�
กร์ณิ�แร์ก = เมี,�อ 0
กร์ณิ�สอง = - เมี,�อ < 0
จะได& กร์ณิ�ที่��ห้น=�ง f(x) = = เมี,�อ x 0
กร์ณิ�ที่��สอง f(x) = = - เมี,�อ x < 0
ก์รณ�ที่��หนื่4�ง = = 2 x = 2(x) เมี,�อ x 0
ก์รณ�ที่��สอง = = - 2 x = 2 (- x) เมี,�อ x < 0
จากกร์ณิ�ที่�-ง 2 กร์ณิ� จะได& =
พื้�จาร์ณิาจากกร์าฟิ f(x) =
จะเห้>นวิ�า เส&นกร์าฟิไมี�เก�ดการ์ห้�กมี#มี แสดงวิ�าสามีาร์ถห้า ได&ที่#กค�าของ x
Page 18
18
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้& y = f(x) = จงห้าค�าของ
จากควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ�
กร์ณิ�แร์ก = เมี,�อ 0
กร์ณิ�สอง = - เมี,�อ < 0
จะได& กร์ณิ�แร์ก y = f(x) = = - 4 เมี,�อ - 4 0
กร์ณิ�สอง y = f(x) = = 4 - เมี,�อ - 4 < 0
แสดงวั�า
กร์ณิ�แร์ก = = 2 x
เมี,�อ x จร์�งห้ร์,อไมี�
กร์ณิ�สอง = = - 2 x เมี,�อ x
พื้�จาร์ณิาจากกร์าฟิ y = f(x) = เป็�นด�งน�-
จากกร์าฟิ จะเห้>นได&วิ�าเก�ดการ์ห้�กมี#มีที่�� x = -2 และ x = 2
Page 19
19
แสดงวิ�า และ ห้าค�าไมี�ได&
ด�งน�-น = เมี,�อ x 2
สามีาร์ถค�ดล�ดได&ด�งน�-
ถ&า y = แล&วิ = g' (x) เมี,�อ g(x) 0
ถ&า y = แล&วิ = เมี,�อ x 2
ด�งน�-น = เมี,�อ x 2
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้& y = f(x) = จงห้าค�าของ
สามีาร์ถค�ดล�ดได&ด�งน�-
ถ&า y = แล&วิ = g' (x) เมี,�อ g(x) 0
ถ&า y = แล&วิ = เมี,�อ 5x - 7 0
ด�งน�-น = เมี,�อ x
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้& y = f(x) = จงห้าค�าของ
Page 20
20
สามีาร์ถค�ดล�ดได&ด�งน�-
ถ&า y = แล&วิ = g' (x) เมี,�อ g(x) 0
ถ&า y = แล&วิ = = เมี,�อ x 0
ด�งน�-น = เมี,�อ x 0 ห้ร์,อเข�ย่นได&วิ�า 3 x
ก์ฎล�ก์โซ� (Chain rule) ก์�บอนื่3พี�นื่ธี�ของ ฟั�งก์�ชั�นื่คอมิโพีส�ที่
กฎล�กโซ� ค,อกฏที่��ใช&ในการ์ห้าอน#พื้�นธิ�ของ"ฟิAงก�ช�นคอมีโพื้ส�ที่"
ถ&า y = = g(f(x)) แล&วิ
=
ก์ารปร�บส�ติรใหมิ�ให(ด�ง�าย
ถ&าให้& u = f(x) แล&วิ y = = g(f(x)) = g(u)
Page 21
21
จาก =
จะได& =
จาก u = f(x) แล&วิ y = g(u)
ด�งน�-น =
ก์ารปร�บส�ติรใหมิ�ให(ด�ง�าย อ�ก์ร�ปแบบหนื่4�ง
ถ&า y = f เมี,�อ n เป็�นจ�านวินตร์ร์ภย่ะ และ f(x) เป็�นฟิAงก�ช�นที่��สามีาร์ถห้า f '(x) ได& แล&วิ
= n f '(x)
ติ�วัอย�าง ถ&า y = จงห้า
ก�าห้นดให้& y = เมี,�อ f (x) = + 5
เพื้ร์าะฉะน�-น f ' (x) = 2x
= 3 f ' (x)
= 3 f ' (x)
= 6 x
Page 22
22
อนื่3พี�นื่ธี�ในื่ที่างเรขาคณ�ติควัามิชั�นื่และเส(นื่ส�มิผั�สของเส(นื่โค(ง
ก�าห้นดให้& y = f(x) เป็�นสมีการ์ของเส&นโค&งใด ๆ เส&นส�มีผู้�สโค&ง y = f(x) ที่��จ#ด ใด ๆ ค,อ เส&นตร์งที่��ผู้�านจ#ด
และมี�ควิามีช�นเที่�าก�บ f '(x) ห้ร์,อ | x =
ควิามีช�นของเส&นส�มีผู้�สเส&นโค&งที่��จ#ด ใด ๆ ห้มีาย่ถ=งควิามีช�นของเส&นโค&ง ที่��จ#ดน�-น ๆ
พี�-นื่ฐานื่ควัามิร�(ของผั�(เร�ยนื่
1. ควิามีช�นของเส&นตร์ง (m) ที่��ผู้�านจ#ด และ
จะได& m = =
2. ให้&เส&นตร์ง และ มี�ควิามีช�นเป็�น และ ตามีล�าด�บ เส&นตร์ง จะขนานก�บเส&นตร์ง ก>ต�อเมี,�อ =
เส&นตร์ง จะต�-งฉากก�บเส&นตร์ง ก>ต�อเมี,�อ = -1
Page 23
23
3. สมีการ์เส&นตร์งที่��วิไป็ y - = m เมี,�อผู้�านจ#ด และมี�ควิามีช�น m
ก์ารหาสมิก์ารของเส(นื่ส�มิผั�สเส(นื่โค(ง และสมิก์ารของเส(นื่ติรงที่��ติ�-งฉาก์ก์�บเส(นื่ส�มิผั�ส
ติ�วัอย�าง จงห้าจ#ดบนเส&นโค&ง y = ที่��มี�ควิามีช�นของเส&นส�มีผู้�สเที่�าก�บ 1
y =
จะได& = 2x - 3
ห้าค�า x ที่��ที่�าให้& = 1
จะได& 2 x - 3 = 1
x = 2
น�าค�า x แที่นใน y จะได& y = - 3(2) - 4
y = - 6
ด�งน�-น จ#ดบนเส&นโค&ง y =
ที่��มี�ควิามีช�นของเส&นส�มีผู้�สเที่�าก�บ 1 ค,อ ( 2 , - 6)
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้&เส&นตร์ง L มี�ควิามีช�น 2 และส�มีผู้�สเส&นโค&ง y =
+2 แล&วิ
จงห้าสมีการ์เส&นตร์ง L
Page 24
24
จากที่��ก�าห้นด y = + 2
= 2 x
เส&นตร์ง L มี�ควิามีช�น 2 และส�มีผู้�สเส&นโค&ง y = + 2
จะได& = 2
2 x = 2
x = 1
น�าค�า x แที่นใน y จะได& y = + 2
y = 3
จะได& จ#ด ( 1 , 3 ) เป็�นจ#ดส�มีผู้�ส
ด�งน�-น สมีการ์เส&นตร์ง L ค,อ (y -3 ) = 2( x -1 ) ห้ร์,อ y = 2 x + 1
อนื่3พี�นื่ธี�แบบอ�มิปล�ส�ติ (Implicit Differentiation)
การ์ห้าอน#พื้�นธิ�แบบอ�มีป็ล�ส�ตเป็�นวิ�ธิ�ห้น=�งที่��ใช&การ์ห้าอน#พื้�นธิ� จากสมีการ์ที่��อย่��ในร์�ป็ f(x,y) = 0
โดย่ที่�� f ( x , y ) เป็�นน�พื้จน�ของต�วิแป็ร์ x และ y
ซ=�งสมีการ์น�-ในบางคร์�-งเป็�นการ์ย่ากที่��จะเข�ย่นให้&อย่��ในร์�ป็ y = g(x) ได&
Page 25
25
ด�งน�-นจ=งเก�ดการ์ห้าอน#พื้�นธิ�แบบอ�มีป็ล�ส�ตข=-น
ห้ล�กในการ์ห้า จากสมีการ์ f (x,y) = 0 แบบอ�มีป็ล�ส�ตน�-นมี�อย่��วิ�า
จะต&องถ,อวิ�าต�วิแป็ร์ y ในสมีการ์น�-ที่#กต�วิก>เป็�นฟิ7งก�ช�นของ x
ด�งน�-น การ์ห้าอน#พื้�นธิ�ของพื้จน�ที่��มี�ต�วิแป็ร์ y จะต&องใช&กฎล�กโซ� ค,อ
จะต&องค�ณิผู้ลล�พื้ธิ� จากการ์ห้าอน#พื้�นธิ�ด&วิย่ เสมีอ ด�งต�วิอย่�าง ด�งน�-
ติ�วัอย�าง จงห้า จากสมีการ์ = 0
วิ�ธิ�ที่�า = 0
จากการ์ห้าอน#พื้�นธิ�ของ y เที่�ย่บก�บต�วิแป็ร์ x จะได&วิ�า
2 x + 2 y - 0 = 0
2 y = - 2 x
เพื้ร์าะฉะน�-น = =
ติ�วัอย�าง จากสมีการ์ = 0 จงห้า
วั�ธี�ที่&า = 0
จากการ์ห้าอน#พื้�นธิ�ของ y เที่�ย่บก�บ x จะได&วิ�า
2 x + 2 y - 2 + 2 + 0 = 0
Page 26
26
2 y + 2 = 2 - 2 x
( 2 y + 2 ) = 2 - 2 x
=
=
ติ�วัอย�าง สมีการ์ = 0 จงห้า เมี,�อ x =
= 0
8 x + 18 y - 0 = 0
= =
ถ&า x = แล&วิ y =
ที่��จ#ด ( , ) จะได&วิ�า = =
ที่��จ#ด ( , )จะได&วิ�า = =
อนื่3พี�นื่ธี�อ�นื่ด�บส�ง
Page 27
27
ก�าห้นดให้& y = f(x) และ f ' (x) เป็�นอน#พื้�นธิ�ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ ซ=�งสามีาร์ถห้าอน#พื้�นธิ�ได&จะเร์�ย่กอน#พื้�นธิ�ของอน#พื้�นธิ�ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ วิ�า อน#พื้�นธิ�ของอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� 2 ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ
เข�ย่นแที่นด&วิย่ส�ญล�กษณิ� f ' ' (x) ห้ร์,อ ในที่�านองเด�ย่วิก�น
อน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� 3 ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ วิ�าเป็�น อน#พื้�นธิ�ของอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� 2 ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ . . .
สร3ปได(วั�า อน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� n ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ เป็�นอน#พื้�นธิ�ของอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� n - 1 ด�งน�-
f ' (x) = แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� 1 ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ
f '' (x) = แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� 2 ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ
f ''' (x) = แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� 2 ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ
f '''' (x) = แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� 2 ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ
. . .
= แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่�� n ของ f(x) ที่�� x ใด ๆ
ติ�วัอย�าง จงห้าอน#พื้�นธิ�ที่�-งห้มีดของฟิAงก�ช�น f ซ=�ง f(x) =
Page 28
28
f ' (x) =
f ' ' (x) =
f ' ' '(x) = 192 x + 30
= 192
= 0
= 0 เมี,�อ n 5
บที่ประย3ก์ติ�อนื่3พี�นื่ธี�ของฟั�งก์�ชั�นื่ ติอนื่ 1
1) ค�าส�งส#ดและต��าส#ดของฟิAงก�ช�น (Maximum and minimum values of function)
นื่�ยามิ ฟิAงก�ช�น f มี�ค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� ณิ ที่�� x = c
ถ&าในช�วิงเป็:ดมี�ค�า c ที่��ที่�าให้& f(c) f(x) ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ ค�า x ในช�วิงเป็:ดน�-
ถ&า f '(x) >0 เมี,�อ x น&อย่กวิ�า c เล>กน&อย่แต� f '(x) < 0 เมี,�อ x มีากกวิ�า c เล>กน&อย่ แล&วิฟิAงก�ช�น f มี�ค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� ที่�� x = c และค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�เที่�าก�บ f(c)
Page 29
29
นื่�ยามิ ฟิAงก�ช�น f มี�ค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� ณิ ที่�� x = c
ถ&าในช�วิงเป็:ดมี�ค�า c ที่��ที่�าให้& f(c) f(x) ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ ค�า x ในช�วิงเป็:ดน�-
ถ&า f '(x)<0 เมี,�อ x น&อย่กวิ�า c เล>กน&อย่ แต� f '(x)> 0
เมี,�อ x มีากกวิ�า c เล>กน&อย่ แล&วิฟิAงก�ช�น f มี�ค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�ที่�� x = c และค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�เที่�าก�บ f(c)
นื่�ยามิ ถ&า c เป็�นจ�านวินในโดเมีนของฟิAงก�ช�น f และถ&า f ' (c) = 0 ห้ร์,อ f ' (c) ห้าค�าไมี�ได& จะเร์�ย่ก c วิ�าเป็�นค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น f และจ#ด (c , f(c) )
บนกร์าฟิของ f ถ�กเร์�ย่กวิ�า จ#ดวิ�กฤตของกร์าฟิของ f เมี,�อที่ร์าบวิ�า f ' (c) = 0 แสดงวิ�า c เป็�นค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น ให้&ร์ะวิ�งด�งน�-
1. c อาจ์เป#นื่ค�าวั�ก์ฤติที่��ที่&าให(ฟั�งก์�ชั�นื่มิ�ค�าส�งส3ดส�มิพี�ที่ธี�
Page 30
30
ถ&ากร์าฟิเป็�นร์�ป็ควิ��าลง แล&วิ f '' (x) < 0 แสดงวิ�า f ''(c) < 0 ด&วิย่
2. c อาจ์เป#นื่ค�าวั�ก์ฤติที่��ที่&าให(ฟั�งก์�ชั�นื่มิ�ค�าติ&�าส3ดส�มิพี�ที่ธี�
ถ&ากร์าฟิเป็�นร์�ป็ห้งาย่ข=-น แล&วิ f '' (x) > 0 แสดงวิ�า f ''(c) > 0 ด&วิย่
3. c อาจ์เป#นื่ค�าวั�ก์ฤติที่��ไมิ�ได(ที่&าให(ฟั�งก์�ชั�นื่มิ�ค�าส�งส3ดส�มิพี�ที่ธี�หร�อค�าติ&�าส3ดส�มิพี�ที่ธี� เช�น
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้& f(x) = อย่ากที่ร์าบวิ�าฟิAงก�ช�นมี�ค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�ที่��ใด และมี�ค�าเที่�าใด
Page 31
31
f (x) = f '(x) =
ให้& = 0 จะได&ค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น x =
ติรวัจ์สอบจ์3ดติ&�าส3ดและจ์3ดส�งส3ดส�มิพี�ที่ธี�
f ' '(x) = = -12 x
น�าค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น x = แที่นค�าใน f ' '(x)
จะได& f ' '( ) = < 0
และ f ' '( ) = > 0
แสดงวิ�าที่�� x = จะเป็�นจ#ดส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�
ด�งน�-นฟิAงก�ช�นมี�ค�า ส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�ที่�� x =
ฟิAงก�ช�นมี�ค�า ส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� = f ( )
= =
ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้& f(x) = แล&วิ อย่ากที่ร์าบวิ�าที่��จ#ด x = 2 จะที่�าให้&ฟิAงก�ช�นมี�ค�าเที่�าไร์
Page 32
32
จาก f(x) = f ' (x) =
แที่นค�า x = 2 ใน f ' (x)
จะได& f ' (2) = = 0
แสดงวิ�า x = 2 เป็�นค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น
ติรวัจ์สอบจ์3ดติ&�าส3ดและจ์3ดส�งส3ดส�มิพี�ที่ธี� f ' ' (x) = แที่นค�า x = 2 ใน f ' ' (x)
f ' ' (2) = = 48 มี�ค�ามีากกวิ�า 0 แสดงวิ�าที่�� x = 2 จะเป็�นจ#ดต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�
ฟิAงก�ช�นมี�ค�า ต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� = f(2) = = -15
ค�าส�งส3ดส�มิบ�รณ�และค�าติ&�าส3ดส�มิบ�รณ�
นื่�ยามิ ฟิAงก�ช�น f มี�ค�าส�งส#ดส�มีบ�ร์ณิ�บนช�วิงห้น=�งช�วิงใด ถ&ามี�จ�านวิน c ที่��อย่��ในช�วิงน�-นซ=�ง f(c) f(x) ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ ค�า x ในช�วิงน�-น กร์ณิ�เช�นน�- f(c) เป็�นค�าส�งส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของ f บนช�วิงน�-น
นื่�ยามิ ฟิAงก�ช�น f มี�ค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�บนช�วิงห้น=�งช�วิงใด ถ&ามี�จ�านวิน c ที่��อย่��ในช�วิงน�-นซ=�ง f(c) f(x) ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ ค�า x ในช�วิงน�-น กร์ณิ�เช�นน�- f(c) เป็�นค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของ f บนช�วิงน�-น
นื่�ยามิ f(c) เป็�นค�าส�งส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของ ฟิAงก�ช�น f ถ&า c อย่��ในโดเมีนของ f
Page 33
33
และถ&า f(c) f(x) ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ ค�า x ในโดเมีนของ f นื่�ยามิ f(c) เป็�นค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของ ฟิAงก�ช�น f ถ&า c อย่��ในโดเมีนของ f และถ&า f (c) f(x) ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ ค�า x ในโดเมีนของ f
ค�าส�งส3ดส�มิบ�รณ�ค�อ ค�าส�งส3ดจ์ร�ง ๆ ค�าติ&�าส3ดส�มิบ�รณ�ค�อ ค�าติ&�าส3ดจ์ร�ง ๆ
ห้ล�กส�ตร์มี�ธิย่มีศ=กษาตอนป็ลาย่ ค�าส�งส#ดมี�กจะเป็�นค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� และค�าต��าส#ดมี�กจะเป็�นค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�
ก์ารก์&าหนื่ดค�าส�งส3ดส�มิบ�รณ� และค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของฟิAงก�ช�นต�อเน,�อง f
ช�วิงป็:ด [a,b]
มี�ข� -นตอนด�งน�- 1. ห้าค�าของฟิAงก�ช�นที่��จ#ดวิ�กฤตของ f บนช�วิงป็:ด [a , b]
2. ห้าค�า f(a) และ f(b)
3. ค�ามีากที่��ส#ดจากข&อที่�� 1 และข&อที่�� 2 เป็�นค�าส�งส#ดส�มีบ�ร์ณิ� ค�าน&อย่ที่��ส#ดจากข&อที่�� 1 และข&อที่�� 2 เป็�นค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�
บที่ประย3ก์ติ�ค�าส�งส3ดและค�าติ&�าส3ดหล�ก์ก์ารพี�จ์ารณาหาค�าติ&�าส3ดและค�าส�งส3ด
1. อ�านโจที่ย่�ให้&ละเอ�ย่ด ค&นห้าป็ร์�มีาณิที่��โจที่ย่�ถามีห้าค�าต��าส#ดห้ร์,อค�าส�งส#ด แล&วิสมีมี#ต�ให้&เป็�น y เป็�นต�วิป็ร์�มีาณิที่��โจที่ย่�ถามีห้าค�าต��าส#ดห้ร์,อค�าส�งส#ด
2. สมีมี#ต�ให้& x เป็�นต�วิเป็ล��ย่นต&นที่��แที่นป็ร์�มีาณิที่��ที่�าให้& y เป็ล��ย่นแป็ลง
Page 34
34
3. ให้&สถานการ์ณิ�ได&วิ�า y = f(x)
4. ด�าเน�นการ์ตามีข�-นตอนในการ์ห้าค�าต��าส#ดห้ร์,อค�าส�งส#ดของฟิAงก�ช�น
4.1 การ์ห้าค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� และค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�โดย่ใช& และ เข&าช�วิย่
- ห้า
- ให้& = 0 แก&สมีการ์ ห้าค�า x สมีมี#ต�ให้& x = c "ค�าวิ�กฤต" ตร์วิจสอบต�อด�งน�-
ถ&า / x = c < 0 (c, f(c) )
เป็�นจ#ดส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�และฟิAงก�ช�นมี�ค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� = f (c)
ถ&า / x = c > 0 (c, f(c) )
เป็�นจ#ดต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�และฟิAงก�ช�นมี�ค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� = f (c)
4.2 ห้าค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิและจ#ดต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� โดย่ใช&กร์าฟิ
ติ�วัอย�าง สนามีร์�ป็ส��เห้ล��ย่มีผู้,นผู้&าซ=�งมี�พื้,-นที่�� 2700 ตาร์างเมีตร์ ต&องการ์ล&อมีร์�-วิโดย่ร์อบและ ร์� -วิแบ�งคร์=�งสนามี ซ=�งร์� -วิส�าห้ร์�บแบ�งคร์=�งสนามีร์าคาเมีตร์ละ 80 บาที่ ส�วินร์�-วิโดย่ร์อบ สนามีร์าคาเมีตร์ละ 120 บาที่ จงห้าขนาดของสนามีซ=�งจะ
Page 35
35
เส�ย่ค�าร์� -วิน&อย่ที่��ส#ด
วิ�ธิ�ที่�า ให้&สนามีย่าวิ x เมีตร์ และกวิ&าง y เมีตร์ ให้&ค�าที่�าร์� -วิที่�-งห้มีดเป็�น f(x)
ด�งน�-น f(x) = 120 ( 2 x + 2 y ) + 80 y = 240 x + 320 y แต�พื้,-นที่��สนามีที่�-งห้มีดเที่�าก�บ 2700 ตาร์างเมีตร์ เพื้ร์าะฉะน�-น x y = 2700
y =
น��นค,อ f(x) = 240 x + 320
x ต&องอย่��ในช�วิง ( 0 , + ) และ f ต�อเน,�องตลอดช�วิงน�-
f '(x) = 240 -
ให้& f '(x) = 0
240 - = 0
= 0
= 3600
x = 60
ด�งน�-น 60 เป็�นค�าวิ�กฤตของ f ใช&อน#พื้�นธิ�อ�นด�บ 2 ที่ดสอบวิ�า f(60) เป็�นค�าต��าส#ดห้ร์,อไมี�
f '' (x) = ซ=�งมี�ค�ามีากกวิ�า 0
Page 36
36
แสดงวิ�า f(60)
เป็�นค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�ของ f ซ=�งมี�เพื้�ย่งค�าเด�ย่วิใน (0, )
เพื้ร์าะวิ�าสนามีมี�พื้,-นที่��เที่�าก�บ x y = 2700
ถ&า x = 60 จะได& y = 45
ด�งน�-นสนามีจะต&องกวิ&าง 45 เมีตร์ ย่าวิ 60 เมีตร์ จ=งจะเส�ย่ค�าร์� -วิน&อย่ที่��ส#ด