Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019) Terme und Gleichungen 1 Potenzen 0 a 1 für a 0 n m n m a a a n n m m a a a m nm n a a 1 a a n n n a b ab n n n a a b b n n 1 a a 2 Wurzeln 2 a a 1 2 a a 1 n n a a a b ab a a b b n n a a 3 Logarithmen x a a b log b x a log b a b c a c log b log b log a a a a log bc log b log c a a a b log log b log c c k a a log b k log b 4 Quadratische Gleichungen 2 ax bx c 0 2 D b 4ac Diskriminante 1/2 b D x 2a D 0 keine Lösung; D 0 eine Lösung; D 0 zwei Lösungen 5 Binomische Formeln 2 2 2 a b a 2ab b 2 2 2 a b a 2ab b 2 2 a b a b a b Funktionen 6 Lineare Funktionen y mx t Q P Q P y y m x x m tan Steigung g h m m g h g h m m 1 g h parallele Geraden orthogonale Geraden α x y O . α ( ) P P Px y ( ) Q Q Qx y } t
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· 5 Binomische Formeln ... z.B.: Prw,bo Prw Pbo Pro,gw,go Pro Pgw Pgo Wichtiger Hinweis: Die vorliegende Merkhilfe stellt wichtige Zusammenhänge dar, sie ist aber keine ausführliche
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Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019)
Terme und Gleichungen
1 Potenzen
0a 1 für a 0 n mn ma a a n
n m
m
aa
a m n mna a
1a a nn na b a b nn
n
a a
b b
n
n
1a
a
2 Wurzeln
2a a 1
2a a 1
n na a
a b a b a a
b b
nna a
3 Logarithmen
xaa b log b x alog ba b c
a
c
log blog b
log a
a a alog b c log b log c
a a a
blog log b log c
c k
a alog b k log b
4 Quadratische Gleichungen
2a x b x c 0 2D b 4 a c Diskriminante 1/2
b Dx
2 a
D 0 keine Lösung; D 0 eine Lösung; D 0 zwei Lösungen
5 Binomische Formeln
2 2 2a b a 2 a b b 2 2 2a b a 2 a b b 2 2a b a b a b
Funktionen
6 Lineare Funktionen
y m x t
Q P
Q P
y ym
x x
m tan
Steigung
g hm m g h g hm m 1 g h
parallele Geraden orthogonale Geraden
αx
y
O
.α
( )P PP x y
( )Q QQ x y
}t
Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019)
7 Quadratische Funktionen Parabel
2y a x b x c allgemeine Form
2
S Sy a x x y Scheitelpunktsform
2b bS c
2 a 4 a
Scheitelpunkt
8 Potenzfunktionen Hyperbel
ny x
n gerade, ganzzahlig n ungerade, ganzzahlig n rational, nicht ganzzahlig
9 Exponentialfunktionen 10 Logarithmusfunktionen
x cy k a d ay k log x c d
x
y
O
1
1
( )= ⋅ + −2
y 2 x 2 1
( )= − ⋅ − +2
y 0,5 x 1 2
x
y
O
1
1
n negativn positiv
= 2y x
−= 6y x
x
y
O
1
1
n positiv
n negativ
= 3y x
−= 1y x
x
y
O
1
1
n negativ
= 2,5y x
−= 0,5y x
n positiv
x
y
O
1
1
0 < a < 1
a >1
=0,5
y log x
=2
y log x
x
y
O
1
1
0 < a < 1 a >1
= xy 0,5 = x
y 2
Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019)
Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019)
16 Besondere Vierecke
Raute
a b c d ;
1A e f
2
Drachenviereck
a d ; b c
1
A e f2
Trapez
AB CD
1A a c h
2
Parallelogramm
a c ; b d
AB CD ; BC AD
;
A a h
17 Kreis
2A r u 2 r
Flächeninhalt Umfang
2A r360
b 2 r
360
Flächeninhalt Kreissektor Länge Kreisbogen Tangente
C
D
b
d
e
fc
a
B
A
β
α γ
δ
C
D
b
d
e
f c
a
B
A
β
α γ
δ
CD
bd h
c
a BA
CD
bd h
c
a BAβα
γδ
KreissegmentSehne
Tangente
M
r
r
b
Kreissektor
α
Kreisbogen
Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019)
18 Besondere Körper
Prisma
V G h
GM u h
O 2 G M
Pyramide
1V G h
3
O G M
Gerader Kreiszylinder
2V r h
M 2 r h
O 2 r r h
Gerader Kreiskegel
21V r h
3
M r s
O r r s
r360
s
Mittelpunktswinkel der Mantelfläche
h
h
r
r
hh
s
h
r
ss
s
r
α
2ᐧrᐧπ
M: Inhalt der Mantelfläche O: Inhalt der Oberfläche V: Volumen G: Inhalt der Grundfläche
Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019)
Kugel
34V r
3
2O 4 r
19 Einheitskreis 20 sin, cos, tan für besondere Winkelmaße
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
sin 0 1
2
12
2
13
21 0 1 0
cos 1 1
32
12
2
1
2 0 1 0 1
tan 0 1
33
1 3 n. def. 0 n. def. 0
21 Auswahl trigonometrischer Formeln
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens
2 2sin cos 1 sin
tancos
Negative Winkelmaße
sin sin cos cos tan tan
Supplementbeziehungen
sin 180 sin
cos 180 cos
tan 180 tan
sin 180 sin
cos 180 cos
tan 180 tan
sin 360 sin
cos 360 cos
tan 360 tan
Komplementbeziehungen für Sinus und Kosinus
sin 90 cos cos 90 sin
Additionstheoreme für Sinus und Kosinus
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
r
x
y
Oα
1
1
1
cosα
sinα tanα
Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019)
22 Geometrie im Koordinatensystem
A B A Bx x y yM
2 2
A B C A B Cx x x y y yS
3 3
Mittelpunkt einer Strecke Schwerpunkt eines Dreiecks
2 2
B A B Ax x y y LEAB 2 2u uu x y
Länge einer Strecke Betrag eines Vektors
u vu v u v
u v
x xx x y yu v
y y
u vcosu v
Skalarprodukt Winkel zwischen Vektoren Determinante
u v u v 0
u vu v v u
u v
x x1 1A FE x y x y FE
y y2 2
Senkrechte Vektoren Flächeninhalt eines Dreiecks
23 Abbildungen im Koordinatensystem
Parallelverschiebung Zentrische Streckung mit dem Zentrum Z 0 0
v
v
x ' x x
y ' y y
x ' xk
y ' y
Verschiebungsvektor v
Streckungsfaktor k
Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden Drehung um den Ursprung
x' xcos 2 sin 2
y ' ysin 2 cos 2
x' cos sin x
y ' sin cos y
: Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt : Drehwinkel
a c x a x c y
b d y b x d y
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
y
xO
( )C C
C x y
( )B B
B x y
( )A A
A x y
BA
uBA
u
xx
x
u
yy
y
→
−⎛⎞ ⎛ ⎞
=
=⎜
⎟ ⎜ ⎟−⎝
⎠ ⎝ ⎠
ϕ
C
A
v
C
A
v
x
x
x
v
y
y
y
→
−⎛
⎞⎛⎞
=
=
⎜
⎟⎜⎟
−⎝
⎠⎝⎠
Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019)
24 Dreidimensionales Koordinatensystem
Wahrscheinlichkeiten
25 Laplace-Wahrscheinlichkeit
Anzahl der günstigen FälleLaplace-Wahrscheinlichkeit
Anzahl der möglichen Fälle
26 Mehrstufige Zufallsexperimente
Baumdiagramm
1. Pfadregel (Produktregel)
z. B. : P r o P r P o
2. Pfadregel (Summenregel)
z.B. : P r w,b o P r w P b o
P r o,g w,g o P r o P g w P g o
Wichtiger Hinweis:
Die vorliegende Merkhilfe stellt wichtige Zusammenhänge dar, sie ist aber keine ausführliche Formelsammlung. In der Regel werden Bezeichnungen nicht erklärt, Variablen nicht näher definiert und die Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln nicht dargestellt.