นวัตกรรม ชุดที่ 5 การวัดการกระจาย

ชดแบบฝกทกษะ [การแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใชกระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคมออนไลน (E-book on Facebook)]

การวดการกระจาย



2

คานา

ชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตรโดยใชกระบวนการ

เรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคมออนไลน

(E-book on Facebook) ชดท 5 เรอง การวดการกระจายของขอมล จดทาขนตามผล

การเรยนรทคาดหวงและมาตรฐานการเรยนร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตาม

หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 เพอใชประกอบการจดการเรยนการ

สอน รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ระดบชนมธยมศกษาปท 6 เรองการวเคราะห

ขอมลเบองตน มงเนนแกปญหานกเรยนทขาดทกษะทางคณตศาสตร โดยจด

กจกรรมการเรยนการสอนแบบ PBL (Project-Based Learning)และใชเครอขาย

สงคมออนไลน (E-book on Facebook) คอ ใหนกเรยนเรยนรจากการเรยนแบบลง

มอทา การเรยนรแบบโครงงาน การทาโปรเจค(Project) หรอชนงานสรปบทเรยนนนๆ

การใชสอออนไลน(Facebook)และสอผสมอนๆ พรอมจดบรรยากาศรปแบบการ

เรยนร (Learning style)ของผ เรยน ความรทเกดขนกจะยงยน

จงหวงเปนอยางยงวาชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใช

กระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคม

ออนไลน (E-book on Facebook) จะเปนเครองมอชวยใหนกเรยนและครผสอนได

ใชสรางองคความรและใชเปนแนวทางในการวางแผนการจดการเรยนร การเตรยม

กจกรรมในการจดการเรยนร การวดผลการเรยนรทครอบคลมความรความเขาใจ

ทกษะกระบวนการคดวเคราะห การแกปญหา และมเจตคตทดตอวชาคณตศาสตร

กบผ เรยนทกคน ตามจดมงหมายของหลกสตร

วรรณวภา จรรยาศร



3

สารบญ

หนา

วธการจดกระบวนการเรยนรแบบPBL(Project-Based Learning) 6

และเครอขายสงคมออนไลน (E-book on Facebook)

คาชแจงเกยวกบชดแบบฝกทกษะคณตศาสตร 8

คาแนะนาการใชชดแบบฝกทกษะคณตศาสตรสาหรบคร 11

คาแนะนาการใชชดแบบฝกทกษะคณตศาสตรสาหรบนกเรยน 14

ขนตอนการเรยนโดยใชชดแบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท 4 15


จดประสงคการเรยนร 16

แบบทดสอบยอยกอนเรยนและหลงเรยน 17

พสย (Range)

แบบฝกทกษะท 5.1

สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน


“The 95% rule”


ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถคากลางและการกระจายของขอมล




4

หนา

บตรคาสงท 5

ภาคผนวก

สอหนงสออเลกทรอนกส (E-book on Facebook) ชดท 5

การวดการกระจายของขอมล

เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะชดท 5 42

แบบบนทกผลการพฒนาการเรยนร 47

เฉลยแบบทดสอบยอยกอนเรยนและหลงเรยน 48

เฉลยแบบฝกทกษะท 5.1 49

เฉลยแบบฝกทกษะท 5.2



กระดาษคาตอบทดสอบยอยกอนเรยนและหลงเรยน 53

บรรณานกรม 54



5

วธการเรยนการสอนทเนนทกษะกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร

โดยใชกระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และ

เครอขายสงคมออนไลน ( E-book on Facebook)

เรอง การวเคราะหขอมลเบองตน กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6

กระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning)และเครอขายสงคม

ออนไลน (E-book on Facebook) มขนตอนกระบวนการเรยนร 5 ขนตอนดงน

ขนท 1 ขนวางบทบาทหนาท บทบาทของครและบทบาทของผ เรยน

ครเพอศษยตองเปลยนบทบาทของตนเองจาก “ครสอน” (teacher) ไปเปน “คร

ฝก”(Coach)หรอ “ผ อานวยความสะดวกในการเรยนร” (learning facilitator)

และนกเรยนตองเขาใจในบทบาทการเรยนรดวยตนเอง ซงในการจดกจกรรมการ

เรยนในแตละชวโมงนน เมอครแจกชดแบบฝกทกษะ ใหนกเรยนอานคาชแจง

และลงมอปฏบตเรยนรดวยตนเอง ถานกเรยนไมเขาใจในเนอหาบางเรอง

สามารถถามเพอนและครเพอเพมความเขาใจใหมากยงขน แตมขอตกลงรวมกน

วา ครและเพอนจะแสดงบทบาทในฐานะแคคนฝก(Coach) หรอเพอนสอนเพอน

(buddy)เทานน นกเรยนสามารถออกนอกหองเรยนเพอไปคนควาเพมเตมจาก

หองสมด หรอหองคอมพวเตอรได (ตามความเหมาะสมของเนอหา) โดยแบง

กระบวนการเรยนรของนกเรยนเปนกลม คอ กลมเกง กลมออน และกลมปาน

กลางคละกน

ขนท 2 ขนลงมอทาและเพมทกษะการเรยนรดวยตนเอง ในระหวางท

นกเรยนเรยนรชดแบบฝกทกษะอยนน ขณะนกเรยนลงมอทา และศกษา ครอาจ

เปดสอการเรยนการสอนเรอง การวเคราะหขอมลเบองตน(เนอหาในขณะทเรยน)

หรอเปดสออนเตอรเนต(หองปฏบตการคณตศาสตร)เพอเพมทกษะใหนกเรยน



6

เขาใจมากขน หากนกเรยนคนใดไมเขาใจเนอหาและตองการความชวยเหลอ ให

นกเรยนกลมเกงจบค(buddy)เพอใหคาแนะนาและหลกการในการทาแบบฝก

ทกษะนนๆ และปลอยใหเพอนดงกลาวฝกทาแบบฝกทกษะดวยตนเอง และ

นกเรยนจะตองสามารถแตงโจทยคขนานกบแบบฝกทกษะพรอมกบเฉลยไดอยาง

ถกตอง

ขนท 3 ขนประเมนผลและตดตามพฒนาการรายบคคล หลงจาก

นกเรยนทาแบบฝกทกษะแตละเนอหา และทาแบบทดสอบยอยหลงเรยนในแตละ

ครง ครจะตดประกาศคะแนนแตละแบบฝกทกษะและรวมคะแนนในแบบฝก

ทกษะแตละชด ถาพบวานกเรยนคนใดไมผานเกณฑตามเกณฑทตงไว ใหคร

พจารณารองรอยการปฏบตงานและสอนซอมเสรมพเศษใหกบนกเรยนบคคลนน

ขนท 4 ขนสรางสรรคผลงานคขนาน หลงจากทนกเรยนศกษาและ

ทาความเขาใจพรอมกบลงมอทาแบบฝกทกษะ และแบบทดสอบยอยหลงเรยน

ของชดแบบฝกทกษะนนๆเสรจแลว ใหนกเรยนสรางสรรคผลงานดวยตนเองอยาง

ละ 1 ชนตามความถนดและความสามารถของตนเอง เปนลกษณะสรปความคด

รวบยอดในรปแบบฉบบคาพดของนกเรยน สามารถใชภาษาและสญลกษณตาม

ความเขาใจ(ทถกตอง)ของผ เรยนททาใหตนเองเขาใจและสามารถนาไปใชไดทนท

เชน สอการเรยนร แผนพบ power point วดโอ โครงงาน โปสเตอร หรออนๆ

ขนท 5 ขนศกษาและนาเสนอผลงานโดยใชเครอขายสงคมออนไลน

( Facebook) เปนฐานแหงการเรยนร หลงจากทนกเรยนสรางสรรคผลงานสรป

ความคดรวบยอดของตนเองเสรจสนแลว ในแบบฝกทกษะแตละชด ใหนกเรยน

นาเสนอผลงานผานเครอขายสงคมออนไลน(Facebook) (บรณาการกบรายวชา

คอมพวเตอร )และ เขารวมอภปรายแสดงความคดเหนเพอแลกเปลยนเรยนรกบ

บคคลอนๆ รวมถงศกษาเนอหาเพมเตม จากทครนาเสนอ แนวขอสอบ O-NET



7

กจกรรมและเฉลยหลายๆตวอยาง เปนสอ หนงสออเลกทรอนกส (E-book on

Facebook ) เพอสรางความเขาใจและเตรยมความพรอมสาหรบการสอบเขาส

ระดบอดมศกษาตอไป



8

1. เอกสารฉบบนเปนชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใช

กระบวนการเรยนรแบบPBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคม

ออนไลน(E-book on Facebook) เรองการวเคราะหขอมลเบองตน กลมสาระการ

เรยนรคณตศาสตร สาหรบนกเรยนมธยมศกษาปท 6 มทงหมด 5 ชดดงน

ชดท 1 เรอง การแจกแจงความถของขอมล

ชดท 2 เรอง การแจกแจงความถโดยใชกราฟ

ชดท 3 เรอง การวดตาแหนงทของขอมล เปอรเซนไทล การหาเปอรเซนไทล

ของขอมลทไมไดแจกแจง ความถ

ชดท 4 เรอง การวดคากลางของขอมล

ชดท 5 เรอง การวดการกระจายของขอมล

2. ชดแบบฝกทกษะคณตศาสตรฉบบนเปนชดท 5 เรอง การวดการกระจาย

ของขอมลประกอบดวย

2.1 คาชแจงเกยวกบชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดย

ใชกระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคม

ออนไลน(E-book on Facebook)

คาชแจงเกยวกบชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใช

กระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และ

เครอขายสงคมออนไลน(E-book on Facebook)



9

2.2 คาแนะนาการใชชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดย

ใชกระบวนการเรยนรแบบPBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคม

ออนไลน(E-book on Facebook) สาหรบคร

2.3 คาแนะนาการใชชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดย

ใชกระบวนการเรยนรแบบPBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคม

ออนไลน(E-book on Facebook) สาหรบนกเรยน

2.4 ขนตอนการเรยนโดยใชชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทาง

คณตศาสตร โดยใช


ออนไลน(E-book on Facebook)

และสวนประกอบรายละเอยดยอยดงน

- แบบทดสอบยอยกอนเรยน –หลงเรยน เรอง การวดการกระจายของขอมล

- ใบความรท 5 เรอง การวดการกระจายของขอมล

- เอกสารแนะแนวทางท 5.1 เรอง พสย (Range)

- แบบฝกทกษะท 5.1 เรอง พสย (Range)

- เฉลยแบบฝกทกษะท 5.1 เรอง พสย (Range)

- เอกสารแนะแนวทางท 5.2 เรอง สวนเบยงเบนมาตรฐานและความ

แปรปรวน

- แบบฝกทกษะท 5.2 เรอง สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน

- เฉลยแบบฝกทกษะท 5.2 เรอง สวนเบยงเบนมาตรฐานและความ

แปรปรวน

- เอกสารแนะแนวทางท 5.3 เรอง “The 95% rule”



10

- แบบฝกทกษะท 5.3 เรอง “The 95% rule”

- เฉลยแบบฝกทกษะท 5.3 เรอง “The 95% rule”

- เอกสารแนะแนวทางท 5.4 เรอง ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ

คากลางและการกระจายของขอมล

- แบบฝกทกษะท 5.4 เรอง ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถคา

กลางและการกระจายของขอมล

- เฉลยแบบฝกทกษะท 5.4 เรอง ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ

คากลางและการกระจายของขอมล

- บตรคาสงท 5 เรอง การวดการกระจายของขอมล

- เฉลยแบบทดสอบยอยกอนเรยน –หลงเรยน เรองการวดการกระจายของ

ขอมล

3. ชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใชกระบวนการเรยนร

แบบ PBL(Project-Based Learning) และเครอขายสงคมออนไลน (E-book on

Facebook) เรองการวเคราะหขอมลเบองตน กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

สาหรบนกเรยนมธยมศกษาปท 6 ฉบบนจดทาขนเพอใชเปนสอในการจดกจกรรม

การเรยนการสอนใหนกเรยนเกดการเรยนรจากการลงมอทา โครงงาน โปรเจค

ชนงานสรปบทเรยนและการนาเสนอผลงานผาน Facebook

4. ชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใชกระบวนการเรยนร

แบบPBL(Project-Based Learning) และเครอขายสงคมออนไลน (E-book on

Facebook) ชดท 5 เรอง การวดการกระจายของขอมล ใชเวลาเรยน 6 ชวโมง



11

คาแนะนาการใชชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใช


ออนไลน (E-book on Facebook) สาหรบคร

การใชชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใชกระบวนการ

เรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคมออนไลน (E-book

on Facebook) เรองการวเคราะหขอมลเบองตน กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

สาหรบนกเรยนมธยมศกษาปท 6 ครผสอนเปนผ ทมบทบาทสาคญทจะชวยใหการ

ดาเนนการเรยนรของนกเรยนบรรลตามวตถประสงค ครผสอนจงควรศกษา

รายละเอยดเกยวกบการปฏบตตนกอนทจะใชแบบฝกทกษะ ดงน

1. ครตองศกษาชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดย

ใชกระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคม

ออนไลน (E-book on Facebook) ศกษาเนอหาสาระอยางละเอยด รอบคอบ พรอม

ทงทาความเขาใจกบเนอหาทกชดกอนการใชงาน

2. ครเตรยมชดแบบฝกทกษะใหครบถวนและเพยงพอกบจานวน

นกเรยน

3. ครเตรยมเครองมอวดและประเมนผล เพอใหทราบความกาวหนา

ของนกเรยน

4. ครชแจงใหนกเรยนทราบลาดบขนตอนและวธการสอนโดยใชชด

แบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใชกระบวนการเรยนรแบบ PBL

(Project-Based Learning) และเครอขายสงคมออนไลน (E-book on Facebook)

อยางชดเจนและประโยชนทไดจากการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะดงกลาว



12

5. ครชแจงใหนกเรยนทราบเกยวกบบทบาทของนกเรยน ในการเรยน

โดยใชชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใชกระบวนการเรยนร

แบบ PBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคมออนไลน (E-book on

Facebook) วาการเรยนรและกระบวนการทงหมดตองเกดจากการลงมอทาดวย

ตนเองไมวาจะเปนแบบฝกทกษะ การทาโครงงาน การทาโปรเจค(Project) หรอ

ชนงานสรปบทเรยนนนๆ การใชสอออนไลน (Facebook)

6. ใหนกเรยนทาแบบทดสอบยอยกอนเรยนเพอประเมนความรเดม

ของนกเรยน

7. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบ

8. ดาเนนการสอนตามกจกรรมการเรยนรทกาหนดไวในแผนการ

จดการเรยนรท 5

9. ใหนกเรยนศกษาเนอหา และทาชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทาง

คณตศาสตร เครอขายสงคมออนไลน(Facebook) ชดท 5 แลวเปลยนกนตรวจตาม

เฉลย

10. ครสงเกตกระบวนการทางาน การสรปบทเรยนและการสราง

โปรเจคของแตละกลม คอยอานวยความสะดวกและเปนโคช(Coach)แกกลม

นกเรยนทมปญหา

11. เวลาในการจดกจกรรมการเรยนโดยใชชดแบบฝกทกษะการ

แกปญหาทางคณตศาสตร โดยใชกระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based

Learning) และเครอขายสงคมออนไลน(E-book on Facebook) ของนกเรยนแต

ละคน แตละกลมอาจจะไมเทากน ครควรยดหยนตามความเหมาะสมและ

สถานการณ



13

12. เมอนกเรยนผานกระบวนการเรยนรดงกลาวแลว ใหนกเรยนทา

แบบทดสอบยอยหลงเรยน เพอประเมนความกาวหนาของนกเรยน

13. การสรปบทเรยนอาจทาโครงงาน โปรเจค(Project) หรอชนงาน

สรปบทเรยนนนๆ แลวใชสอออนไลน (Facebook) นาเสนอแนวคดผลงานและ

อภปรายผลงานของแตละงาน

14. ในกรณทนกเรยนคนใดขาดเรยน ใหนกเรยนศกษาเปน

ดวยตนเองนอกเวลาเรยนจากชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใช


ออนไลน (E-book on Facebook)

15. การจดชนเรยนอาจจดใหนกเรยนศกษาเปนรายบคคลหรอราย

กลมกได



14

คาแนะนาการใชชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใช


ออนไลน (E-book on Facebook) สาหรบนกเรยน

ในการศกษาชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใช


ออนไลน (E-book on Facebook) เรองการวเคราะหขอมลเบองตน กลมสาระการ

เรยนรคณตศาสตร สาหรบนกเรยนมธยมศกษาปท 6 นกเรยนควรปฏบตตาม

คาแนะนา ดงน

1. อานคาชแจงเกยวกบแบบฝกทกษะ และคาแนะนาการใชแบบฝกทกษะ

สาหรบนกเรยนใหเขาใจกอนลงมอทางานหรอทาการศกษาทกครง

2. ทาแบบทดสอบยอยกอนเรยนเพอประเมนความรเดมของนกเรยน

3. ศกษาเนอหาและทาแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใช

กระบวนการเรยนรแบบPBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคม

ออนไลน (E-book on Facebook) ชดท 5 ถาทาแบบฝกทกษะไมไดใหศกษาเนอหา

ใหมอกครง ศกษาใบความร ศกษาตวอยางหรอปรกษาครผสอน

4. เปลยนกนตรวจแบบฝกทกษะตามเฉลยและบนทกคะแนนทไดไว จากนน

รวมกนอภปราย โดยครคอยชแนะแนวทางและอธบายเพมเตม

5. ทาแบบทดสอบยอยหลงเรยนเพอประเมนความกาวหนาของตนเอง

หลงจากศกษาชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใชกระบวนการ

เรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และเครอขายสงคมออนไลน (E-book

on Facebook) ชดท 5 จบแลว

6. สรปองคความรโดยนาเสนอผลงานตามบตรคาสงท 1 จดทา

โครงงาน/โปรเจค/ชนงานสรปบทเรยน ผาน Facebook



15

ขนตอนการเรยนโดยใชชดแบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดย

ใชกระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based Learning) และ

เครอขายสงคมออนไลน (E-book on Facebook)


1. อานคาแนะนาสาหรบนกเรยน

2. ทาแบบทดสอบยอยกอนเรยน

3. ศกษาแบบฝกทกษะโดยปฏบตกจกรรม

-ศกษาเนอหา

-ทาแบบฝกทกษะ

- ตรวจแบบฝกทกษะ

-ทาโครงงาน/โปรเจค/ชนงานสรป

4. ทาแบบทดสอบยอยหลงเรยน

5. ศกษาแบบฝกทกษะชดตอไป ผานเกณฑ

ประเมนผล

ไมผานเกณฑ



16

Key word [บอก,หา,วด]

วดการกระจายของขอมลทไมได

แจกแจงความถโดยใชพสยได

หาความแปรปรวนของขอมลได

บอกความสมพนธระหวางคาเฉลยเลขคณต

มธยฐานและฐานนยมในกรณเสนโคงของ

ความถของขอมลเปนรปเสนโคงปกต เสน

โคงเบทางขวา และเสนโคงเบทางซายได

บอก "The 95 Rule" และ

นาไปใชได

วดการกระจายของขอมลทไมได

แจกแจงความถโดยใชสวน

เบยงเบนมาตรฐานได

จดประสงคการเรยนร

แบบฝกคณตศาสตร ชดท 5

เรอง การวดการกระจายของขอมล



17

แบบทดสอบกอนเรยน-หลงเรยน


รหสวชา ค43101 รายวชา คณตศาสตรพนฐาน ระดบชนมธยมศกษาปท 6

จดประสงคทใชทดสอบ 1. วดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถโดย

ใชพสยได

2. วดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถโดย

ใชสวนเบยงเบนมาตรฐานได

3. หาความแปรปรวนของขอมลได

4. บอก “The 95% Rule ”และนาไปใชได

5. บอกความสมพนธระหวางคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน

และฐานนยมในกรณเสนโคงของความถของขอมลเปน

รปเสนโคงปกต เสนโคงเบทางขวา และเสนโคงเบ

ทางซายได

คาชแจง 1. ใหนกเรยนเลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยวจากตวเลอก ก , ข

, ค หรอ ง แลวเขยนเครองหมาย ลงใน ( ) ของกระดาษคาตอบ

2. แบบทดสอบเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบจานวน 10 ขอ คะแนนเตม

10 คะแนน ใชเวลา 15 นาท



18

1. กาหนดขอมล คอ 6,8,14,4,11,10,17 ขอมล

นจะมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทาใด

ก 1.48 ข 2.58 ค 3.68 ง 4.78

ถาคะแนนสอบของนกเรยน 10 คน ทมคะแน

เตม 25 คะแนน เปนดงน

20 20 19 21 21 18 20 22 23 17

ถาขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตและมธยฐาน

เทากนจากตารางขางบนตอบคาถามขอ (2-3)

2.สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนคอ

ขอใด

ก. 1.7 ข. 1.8 ค. 1.9 ง. 2

3.ขอมลชดนควรจะมการกระจายในลกษณะใด

ก.การกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบ

ทางซาย

ข.การกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบ

ทางขวา

ค.การกระจายของขอมลเปนการกระจายแบบ

สมมาตร

ง.ไมสามารถสรปลกษณะการกระจายของ

ขอมลได

4. จากขอมลตอไปน 13, 5, 7, 9 และ 11 จงหา

ความแปรปรวนของขอมล

ก. 3.16 ข.8.99 ค. 9.99 ง. 99.9



19

5. ครอบครวหนงพอมอาย 45 ป แมมอาย 40 ป

มลก 3 คนมอาย 18,14และ 12 ตามลาดบ อก

3 ปขางหนาสวนเบยงเบนมาตรฐานจะเปน

เทาไร

ก. 10.86 ข. 13.86 ค. 16.86 ง. 18.86

6.กาใหขอมลชดท 1 ซงประกอบดวย

xxx ,..., 1021 ,, มคาเฉลยเลขคณตเทากบ x

และขอมลชดทสองซงประกอบดวย

yyy ,..., 20101,, มคาเฉลยเลขคณตเทากบ y

โดยท 10

2 160)(i

i xx , 20

2 110)(i

i yy

และ yx

ถาขอมลทงสองชดมารวมเปนชดเดยวกนแลว

สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดใหมเทากบ

ขอใดตอไปน (o -net ป51)

ก 9 ข. 5 ค 7 ง 3

7.จากแผนภาพกลองของคะแนนสอบวชา

คณตศาสตรของนกเรยนจาแนกตามเพศเปน

ดงน

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง(o -net ป49)

ก.คะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของ

นกเรยนชายสงกวาคะแนนสอบเฉลยของ

นกเรยนหญง

ข.คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน

ชายมการกระจายเบขวา

ค.คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน

หญงมการกระจายมากกวาคะแนนสอบวชา

คณตศาสตรของนกเรยนชาย

ง.คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน

หญงมการกระจายเบขวา

คะแนนสอบของนกเรยนหญง

คะแนนสอบของนกเรยนชาย

0 100คะแนนสอบ



20

8.จากการทดสอบนกเรยนจานวน 100 คนใน 2

รายวชาแตละรายวชามคะแนนเตม 150 คะแนน

ถาผลการทดสอบทงสองรายวชาเขยนเปน

แผนภาพกลองไดดงน

แลวขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง(o -net ป50)

ก.คะแนนสอบทงสองรายวชามการแจกแจงแบบ

ปกต

ข.จานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน

ในรายวชาท 1 มากกวาจานวนนกเรยนทได

คะแนนไมเกน 80 คะแนนในรายวชาท2

ค.คะแนนสงสดทอยในกลม 25% ตาสดของผล

การสอบรายวชาท 1 นอยกวาคะแนนสงสดทอย

ในกลม 25%ตาสดของผลการสอบรายวชาท 2

ง.จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60-80

คะแนนในการสอบรายวชาท 2 นอยกวาจานวน

นกเรยนทไดคะแนนในชวงเดยวกนในการสอบ

รายวชาท 1

9.พนกงานโรงงานแหงหนงจานวน 1,000 คน

ไดรบเงนเดอนเฉลยคนละ 8,000 บาท มสวน

เบยงเบนมาตรฐาน 1,000 บาท ถาการกระจาย

ของเงนเดอนพนกงานโรงงานแหงนเปนแบบ

ปกต ขอสรปในขอใดตอไปนผด(o -net ป51)

ก.พนกงานจานวนกวา 100 คน ไดรบเงนเดอน

นอยกวา 6,000

ข.พนกงานอยางมาก 930 คน ไดรบเงนเดอน

มากกวาหรอเทากบ 6,000 บาท

ค.พนกงานทไดรบเงนเดอนมากกวา 10,000

บาทมจานวนนอยกวา 70 คน

ง.ถาในปตอไปพนกงานไดรบเงนเดอนเพมคน

ละ 400 บาทแลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของ

เงนเดอนพนกงานโรงงานนยงคงเดม

0 20 40 60 80 100 120 140

คะแนนสอบรายวชาท

คะแนนสอบรายวชาท



21

10.ขอมลชดหนงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 20

มธยฐานเทากบ 25 และฐานนยมเทากบ 30

ขอสรปใดตอไปนถกตอง(o -net ป52)

ก.ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการ

กระจายทเบทางซาย

ข.ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการ

กระจายทเบทางขวา

ค.ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการ

กระจายแบบสมมาตร

ง.ไมสามารถสรปลกษณะการกระจายของขอมล

ได



22

ใบความรท 5 เรอง การวดการกระจายของขอมล

จดประสงคการจดการเรยนร

1. วดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถโดยใชพสยได

2. วดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถโดยใชสวนเบยงเบน

มาตรฐานได


4. บอก “The 95% Rule ”และนาไปใชได

5. บอกความสมพนธระหวางคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมในกรณ

เสนโคง ของความถของขอมลเปนรปเสนโคงปกต เสนโคงเบทางขวา และเสนโคงเบ


สาระสาคญ

คาการวดการกระจายเปนคาสถตทอธบายถงการกระจายของขอมลใน

ชดขอมล ซงการวดการกระจายนอาจทาไดหลายลกษณะดวยกน ทสาคญคอ การวด

การกระจายดวยพสย ความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน การวดการ

กระจายมความสาคญในลกษณะททาใหตดสนใจเกยวกบความเชอถอไดของคาวด

แนวโนมสสวนกลางไดดมากขนรวมทงสามารถเปรยบเทยบขอมลสองชดไดดขน

สาระการเรยนร

การวดการกระจายของขอมล



23

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5

เวลา

(นาท

)

วน

ชด

ขอมล1

การวดการกระจาย (Measures of Dispersion)

ถงแมวาคาวดแนวโนมเขาสสวนกลางสามารถใชอธบายลกษณะของ

ขอมลได แตบางครงการอธบายลกษณะของขอมลโดยใชคาวดแนวโนมเขาส

สวนกลางอยางเดยวไมเพยงพอ ควรมการวดการกระจายของขอมลควบคไปดวย

เชน ชายคนหนงกาลงตดสนใจเลอกเสนทางประจาขบรถไปทางาน ระหวางเสนทาง

ทใชทางดวนท 1 กบเสนทางทใชทางดวนท 2 ในสปดาหแรกชายคนนขบรถไป

ทางานโดยใชเสนทางทใชทางดวนท 1 และสปดาหสองใชเสนทางทใชทางดวนท 2

ซงเวลา (นาท) ทใชในการขบรถไปทางานของแตละเสนทางในแตละวน เปนดงน

เสนทางทใชทางดวนท 1 15 26 30 39 45

เสนทางทใชทางดวนท 2 29 30 31 32 33

เวลาเฉลยทชายคนนใชขบรถไปทางานในแตละเสนทางเทากนคอ 31

นาท แตถาพจารณาถงการกระจายของเวลาทใชขบรถไปทางานทง 2 เสนทาง จะ

เหนวาเวลาทใชขบรถไปทางานโดยใชเสนทางทใชทางดวนท 1 กระจายมากกวาเวลา

ทใชขบรถไปทางานโดยใชเสนทางทใชทางดวน ท 2 ดงรป 2



24

รป 2 แสดงการกระจายของเวลาทใชขบรถไปทางานโดยใชเสนทางทใชทาง

ดวนท 1 และ 2

ฉะนน ชายคนนควรเลอกขบรถไปทางานโดยใชเสนทางทใชทางดวนท 2

(เพราะวา มการกระจายนอยกวา)

วธวดการกระจายขอมล

วธการใชวดการกระจายของขอมลทมอยดวยกนหลายวธ แตวธทนยมใชมาก

จะมอย 2 วธคอ

1.พสย (Range)

2.สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)



25

เอกสารแนะแนวทางท

5.1

พสย (Range)

พสย (Range)

1. จดประสงคการเรยนร

วดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถโดยใชพสยได

2. สาระสาคญ

พสยเปนคาทใชวดการกระจายของขอมลทหาไดจากการนาขอมลทมคาสงสด

ลบดวยขอมลทมคาตาสด และเปนการวดการกระจายขอมลทคอนขางหยาบ

เพราะเปนคาทคานวณจากคาเพยงสองคาเทานน แตการวดการกระจายโดยใช

พสยสามารถวดไดสะดวกและรวดเรวกวาวธอน ๆ

3. สาระการเรยนร

ในการวดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถ โดยใชพสยสามารถหา

พสยของขอมลไดดงตารางตอไปน

การจดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

โดยใชพสย



26

ตารางแสดงการหาคาของพสยจากขอมลตาง ๆ

ขอท ขอมล คาสงสด คาตาสด พสย

1 11, 14, 14, 15, 19, 20, 21, 24, 26, 42 42 11 42 – 11 = 31

2 20, 35, 150, 80, 10, 9, 36, 15 100 9 100 – 9 = 91

3 3, 5, 9, 12, 15 15 3 15 – 3 = 12

4 2, 6, 8, 12, 18, 20, 22, 30, 40 40 2 40 – 2 = 38

5 9, 14, 6, 8, 12 ,5 ,8, 8, 6, 11 14 5 14 – 5 = 9

2 26, 25, 48, 57, 60, 68, 73, 85, 90, 92 92 25 92 – 25 = 67

จากตารางขางบน สามารถสรปการหาคาของพสยไดดงน

1. พสยของขอมล หาไดจากการนาขอมลทมคาสงสดลบดวยขอมลทมคา

ตาสด

หรอ

พสยของขอมล คอ คาทใชวดการกระจายของขอมลทไดจากผลตางระหวาง

ขอมลทมคาสงสด และขอมลทมคาตาสด

2. ถาให เปนขอมลทไมไดแจกแจงความถ แลวจะเขยนพสยอยในรป

สญลกษณไดดงน



27

เมอ 푋 แทน ขอมลทมคาสงสด

푋 แทน ขอมลทมคาตาสด

พสย = 푋 − 푋



28



คาชแจง ใหนกเรยนเตมคาตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท

ขอมล คาสงสด

ของ

ขอมล

คาตาสด

ของ

ขอมล

คาพสย

ของขอมล

1 1, 5, 7, 11, 15, 19

2 20, 38, 12, 28, 42, 32

3 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70,

4 9, 11, 13, 15, 17, 21, 33, 43

5 2, 6, 8, 90, 12, 14,16,18, 20, 22

6 53, 56, 58, 69, 65, 63, 71, 74

7 110, 112,118, 162, 142, 153, 158

8 153, 156, 154, 162, 165, 172, 145,

165, 145,157

9 2.5, 3.5, 4.5, 8.5, 9.5, 10.5, 12.5

10 11.2, 8.2, 7.2, 12.2, 14.2,

13.2,16.2, 17.2, 18.2, 6.2, 5.2, 4.2


คะแนนเตม 10 คะแนน

คะแนนทได……………………

ผตรวจ…………………………………

ผล ผาน ไมผาน



29

เอกสาร

แนะแนวทางท 5.2

สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน

สวนเบยงเบนมาตรฐาน


1.1 วดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถโดยใชสวนเบยงเบน


1.2 หาความแปรปรวนของขอมลได


สวนเบยงเบนมาตรฐานเปนคาทใชวดการกระจายของขอมลทไดจากการหา

รากทสองของคาเฉลยยกกาลงสองของผลตางระหวางคาของขอมล แตละคากบ

คาเฉลยของขอมลชดนน ซงเปนวธการวดการกระจายทนยม และเชอถอไดมากทสด

ความแปรปรวนเปนคาสวนเบยงเบนมาตรฐานยกกาลงสอง ซงความ

แปรปรวนสามารถใชวดการกระจายของขอมลได


การจดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถโดยใชสวน

เบยงเบนมาตรฐาน



30

1. ความหมายของของสวนเบยงเบนมาตรฐาน

สวนเบยงเบนมาตรฐาน คอ คาทใชวดการกระจายของขอมลทไดจากการ

หารากทสองทเปนบวกของคาเฉลยของกาลงสองของผลตางระหวางคาของขอมลแต

ละคากบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน

กรณทขอมลเปนประชากร ใชสตรสวนเบยงเบนมาตรฐาน คอ

σ = ∑ ( )

เมอ N คอจานวนขอมลของประชากร 휇 คอ คาเฉลยเลขคณต

สญลกษณ σ อานวา “ซกมา”

กรณทขอมลเปนกลมตวอยาง ใชสตรสวนเบยงเบนมาตรฐาน คอ

푠 = ∑ ( )

เมอ n คอจานวนขอลของกลมตวอยาง 푥 คอ คาเฉลยเลขคณตของตวอยาง

ใชสญลกษณ s หรอ S.D.



31

2. การหาคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน (กลมตวอยาง)

จากความหมายของสวนเบยงเบนมาตรฐาน จะสามารถหาคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ได

ตามลาดบขนตอน ดงน

1. หาคาเฉลยเลขคณต ( 푥 )

2. หาผลตางระหวางขอมลแตละคากบคาเฉลยเลขคณต ( x - 푥 )

3. หากาลงสองในผลตางในขอ 2 ( x − 푥)

4. หาผลบวกของกาลงสองของผลตางในขอ 3 ∑(x − 푥)

5. หารผลบวกในขอ 4 ดวยจานวนขอมล ∑( )

6. หารรากทสองทไมเปนจานวนลบ ของผลหารในขอ 5 ∑( )

สรป ใชสตร

푠 = ∑ ( )

1n

2xx2S

=√푠

เลอกใชสตรใดกไดจา



32

ความแปรปรวนของขอมล

1. ความหมายของความแปรปรวน

ความแปรปรวน (Vari ance) คอ สวนเบยงเบนมาตรฐานยกกาลงสอง

ใชสญลกษณ

2S หรอ 2..DS

2. การหาความแปรปรวนของขอมลทไมแจกแจงความถจะใชสตร ดงน

1n

2xx2S

หรอ

22

2

1X

nx

S

เลอกใชตามความถนดนะคะ



33

ตวอยางท 1 จงหาคาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลตอไปน 1, 2, 4, 6, 8, 9

วธทา หาคาเฉลยเลขคณต =

= = 5

สรางตารางชวยในการคานวณ

X ( X- ) ( X- )2

1

2

4

6

8

9

(1-5) = -4

(2-5) = -3

(4-5) = - 1

(6-5) = 1

(8-5) = 3

(9-5) = 4

(-4)(-4) =16

(-3)(-3) =9

(-1)(-1) =1

(1)(1) = 1

(3)(3) = 9

(4)(4) = 16

= 52

จากสตร S = ∑( )

=

= √10.40 = 3.22 คาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนคอ 3.22

คาความแปรปรวนคอ 푠 = (3.22) = 10.40

คาเฉลย


ความแปรปรวน



34

ตวอยางท 2 จากการเพาะเมลดพนธถวเหลอง จานวน 4 เมลดเปนเวลา 10 วน วด

ความยาว

ตนถว (เซนตเมตร) ไดดงน

12.1 15.4 14.1 14.4

จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของความยาวของตน

ถว

เราจะไดวา คาเฉลยของความยาวตนถว 4

14.414.115.412.1x

= 14.0 เซนตเมตร

1n

2xx2S

=

14

2144.142141.142144.152141.12

푠 = 91.1374.5

1.381.91S

คาสวนเบยงเบนมาตรฐานความยาวของตนถว (S.D.)คอ 1.38

คาความแปรปรวนของขอมล(푠 ) คอ 1.91

ความแปรปรวน




35

푠


1. วดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถโดยใชสวน

เบยงเบนมาตรฐานได


คาชแจง ใหนกเรยนแสดงวธทาหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน

ของขอมลแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอ

ท

ขอมล

ความแปรปรวน x 2 xx สวนเบยงเบน

มาตรฐาน

1n

2xx2S

1 4, 5, 6, 9

푥 = ……………………

…………. 푠 =

………….………

= , S= √ = …

= ………………….

สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ………………….

ความแปรปรวน เทากบ …………………………….

x 푥 − 푥 (푥 − 푥)

2 xx


푥 =∑

푆



36

2

1, 3, 6, 4, 8, 3, 5, 2,

x 푥 − 푥 (푥 − 푥)

2 xx

푥 = …………………………………..

=…., 푠 = = = ……..

,S = √ = ………..





37

3

157, 156, 160, 156, 175, 160, 156

x 푥 − 푥 (푥 − 푥)

2 xx

푥 = ……………………………………………

= ……….

= …………….

푠 = = = ………………. , S = √ =

…………………….





ผตรวจ…………………………………




38


5.3

“ The 95% Rule ”

“ The 95% Rule ”


บอก “ The 95% Rule ” และนาไปใชได


“ The 95% Rule ” กลาววา โดยทวไปไมวาขอมลจะมการกระจายใน

ลกษณะใด จะม

ขอมลอยประมาณ 95% ของขอมลทงหมดทอยในชวง 푥 ± 2푠


ขอมลโดยทวไปจะมการแจกแจงปกตหรอแจกแจงขอมลตามธรรมชาต ซงม

คณสมบตทสาคญประการหนงซงจานวนขอมลอยในชวง 푥 ± 2푠 มประมาณ

รอยละ 95 ของจานวนขอมลทงหมด

“ The 95% Rule “ กลาววาโดยทวไปไมวาขอมลจะมการกระจายใน

ลกษณะใดจะมขอมลอยประมาณ 95% ของขอมลทงหมดอยในชวง 푥 ± 2푠

ดงตวอยางตอไปน



39

ตวอยางท 1 จากแผนภาพตน – ใบ ตอไปน จงตรวจสอบวามขอมลอยในชวง 푥 − 2푠 ,푥 +2푠 ประมาณ 95% จรงหรอไม

0 6 7 8

1 0 2 4

2 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9

3 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3

4 5 6 8

วธทา คาเฉลยเลขคณต X เทากบ 27.78

คาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 9.17

เมอพจารณาจานวนทอยในชวง 푥 − 2푠, 푥 + 2푠

푥 − 2푠 = 27.78 – 2 (9.17) = 9.44

푥 + 2푠 = 27.78+2(9.17) = 46.12

จะพบวามขอมลทมคาตากวา 9.44 ( 푥 − 2푠 ) อยสามขอมลไดแก 6,

7,8 และมขอมลทมคาสงกวา 46.12 ( 푥 + 2푠 ) อยหนงจานวน คอ 48

ขอมลทมคาอยระหวาง 푥 − 2푠 และ 푥 + 2푠 มทงหมด 40 – 4 หรอ 36 ขอมลซง

คดเปน 90% ของขอมลทงหมด ( =90 )

สรปไดวา ประมาณ 90% ของขอมลทงหมด ตกอยในชวง 푥 − 2푠 ถง 푥 + 2푠

ซงไมเปนตาม “ The 95% Rule “ เพราวาขอมลมจานวนนอยเกนไป

6,7,8 และ 48 รวมเปน 4 จานวน



40

ตวอยางท 2 จากขอมลคะแนนสอบของนกเรยน 200 คน ทมคะแนนเตม 100 คะแนน

เปนดงน จงแสดงวามขอมลประมาณ 95% อยในชวง 푥 − 2푠, 푥 + 2푠

49 50 52 54 55 56 56 56 57 57 57 57 58 58 58 58 58 58 58 59

60 60 60 61 61 61 61 61 61 62 62 62 62 62 62 62 63 63 63 63 63 63 63

64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 65 65 65 65 65 65 65 65 66 66 66

70 70 70 70 70 70 70 71 71 71 71 72 72 72 72 72 73 73 73 73 73

73 73 73 74 74 74 74 74 75 75 75 75 75 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76

77 77 77 77 77 78 78 78 78 79 79 79 79 79 79 79 79 79 80 80 80 80 80

80 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 83 83 83 83 83 84 84 84 85 85 85 85

86 87 87 87 87 88 89 90 90 90 90 90 91 91 92 93 94 94 95 96 98

วธทา คาเฉลยเลขคณต X เทากบ 72.3 คะแนน

สวนเบยงเบนมาตรฐาน S เทากบ 10.3 คะแนน


푥 − 2푠 = 72.3 – 2 (10.3) = 51.70

푥 + 2푠 = 72.3 + 2 (10.3) = 92.90

จะพบวามขอมลทมคาตากวา 51.7 ( 푥 − 2푠 ) อยสองขอมลไดแก 49 และ 50

และมขอมลทมคาสงกวา 92.9 ( 푥 + 2푠 ) อยหกขอมลไดแก 93, 94, 94, 95,96 และ 98

ดงนนขอมลทมคาอยระหวาง 푥 − 2푠 และ 푥 + 2푠 มทงหมด 200 – 8 หรอ 192

ขอมล ซงคดเปน 96% ของขอมลทงหมด ( =96 )

สรปไดวา 96% หรอประมาณ 95% ของขอมลทงหมดทเปนคะแนนของนกเรยน 200 คน ตกอย

ในชวง 푥 − 2푠 ถง 푥 + 2푠



41



คาชแจง ใหนกเรยนใชขอมลทกาหนดใหแสดงวามขอมลประมาณ 95% อยในชวง

푥 − 2푠, 푥 + 2푠

ขอมลตอไปน แสดงคะแนนสอบของนกเรยนจานวน 15 คน

52 67 59 79 62 65 52 90 64 87 65 64 50 70 83

ขนตอนท 1

푥= ∑

= =

หา s จากสตรน

1n

2xx2S

= √푠

5

6

7

8

9




42



1n

2xx2S

= √푠

푠 = 푠 = √ =

ขอมล 푥 − 푥 2 xx

รวม



43



푥 − 2푠 = ……. – 2 (………) =

푥 + 2푠 = …….. + 2 (………) =

จะพบวามขอมลทมคาตากวา ……. ( 푥 − 2푠 ) อย…………..ขอมล

และมขอมลทมคาสงกวา …….. ( 푥 + 2푠 ) อย…….ขอมล

ดงนนขอมลทมคาอยระหวาง 푥 − 2푠 และ 푥 + 2푠 มทงหมด

หรอ …... ขอมล ซงคดเปน …..% ของขอมลทงหมด

สรปไดวา ………..% หรอประมาณ 95% ของขอมลทงหมดทเปนคะแนน

ของนกเรยน 15 คน ตกอยในชวง 푥 − 2푠 ถง 푥 + 2푠



ผตรวจ…………………………




44


5.4

ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง และ

การกระจายของขอมล

ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง และการกระจายของ

ขอมล


บอกความสมพนธระหวางคาเฉลเลขคณต มธยฐานและฐานนยมในกรณ

เสนโคงของความถของขอมลเปนรปเสนโคงปกต เสนโคงเบทางขวาและเสนโคงเบ



เสนโคงความถของขอมลม 3 ลกษณะ คอ เสนโคงปกต เสนโคงเบ

ทางขวาและเสนโคงเบทางซาย ซงจะมความสมพนธกบคากลางของขอมลไดแก

คาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยม นอกจากนยงมความสมพนธกบการ

กระจายของขอมลอกดวย


ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลางและการ

กระจายขอมล

โดยทว ๆ ไปเสนโคงปกตของการแจกแจงความถ แบงออกได 3 ลกษณะ คอ



45

1. เสนโคงปกตหรอรประฆง ( Normal or bell - shape Curves )

ขอมลทมเสนโคงความถเปนเสนโคงปกต จะมคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน

และฐานนยมเทากน ดงรป

จากรป คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม อยทจดเดยวกน คอ จด

ทมความถสงสด นนคอ

ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายแบบสมมาตร

2. เสนโคงเบทางขวา หรอทางบวก ( Positively skewed curve ) คอ เสน

โคงทสวนของเสนโคงมความชนนอยอยทางดานขวา ดงรป

จากรป คาเฉลยเลขคณตมคามากทสด รองลงมา คอ มธยฐาน และฐาน

นยม ตามลาดบนนเอง

ลกษณะการกระจายเบทางขวา คาเฉลยเลขคณตจะมคามากทสด

x Mdn Mod

푥> Mdn > Mod

푥 Mdn Mod



46

3. เสนโคงเบทางซาย หรอทางลบ ( negatively skewed curve ) คอ เสน

โคงทสวนของเสนโคงทมความชนนอยอยทางดายซาย ดงรป

จากรป คาฉลยเลขคณตมคานอยทสด ถดขนไป คอ มธยฐาน และฐาน

นยม ตามลาดบ นนคอ

ลกษณะการกระจายเบทางซาย คาเฉลยเลขคณตจะมคานอยทสด

푥 Mdn Mod

푥 Mdn Mod



47

สาหรบการกระจายของขอมลนน เมอเขยนเปนเสนโคงของความถ ซงเปน

โคงปกตแลวขอมลชดใดมการกระจายมาก เสนโคงปกตจะมความโดงนอย หรอ

คอนขางแบนแตถาขอมลใดมการกระจายนอย เสนโคงปกตจะมความโดงมาก ดง

รป

ขอมลทมการกระจายนอย

ขอมลทมการกระจายมาก

ขอสงเกต

1. เสนโคงของความถเบทางใด คาเฉลยเลขคณตจะอยทางนน

และมธยฐานจะอยระหวางคาเฉลยเลขคณต กบ ฐานนยม

2. ใชสญลกษณ

x แทน คาเฉลย

Mnd แทน มธยฐาน

Mod แทน ฐานนยม



48


บอกความสมพนธระหวางคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมใน

กรณเสนโคงของความถของขอมลเปนรปเสนโคงปกต เสนโคงเบทางขวาและเสน

โคงเบทางซายได

คาชแจง ใหนกเรยนเตมคาตอบทถกตอง ลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตอง

สมบรณ

A B C D E

1. คาเฉลยเลขคณต อยตรงกบตาแหนง……………………………………………..

2. คามธยฐาน อยตรงกบตาแหนง……………………………………………………

3. คาฐานนยม อยตรงตาแหนง………………………………………………………

4. เปนเสนโคงความถประเภท…………………………………………………………

A B C D E




8. เปนเสนโคงความถประเภท…………………………………




49

A B C D E




12. เปนเสนโคงความถประเภท………………………………………



ผตรวจ…………………………………




50

บตรคาสงท5 (15 คะแนน)

ใหนกเรยนจดทาโครงงาน / การทาโปรเจค(Project) หรอชนงานสรปบทเรยน

อยางใดอยางหนง เรอง การวดการกระจายของขอมล โดยครอบคลมเนอหาการ

เรยนรเรอง การแจกแจงความถของขอมล พรอมนาเสนอเผยแพรองคความรนนผาน

เครอขายสงคมออนไลน (Facebook)



51

ภาคผนวก

สอหนงสออเลกทรอนกส( E-book on Facebook)

ชดท 5 เรองการวดการกระจายของขอมล



52

แบบฝกทกษะมคะแนนเตม 72 คะแนน โดยจาแนกเกณฑในการพจารณาออกเปน 4 สวน คอ

1) การแสดงวธทาและความสามารถในการแกปญหา คะแนน 47 คะแนน

2) การนาเสนอแนวทางวธคดแกปญหาโดยใชกระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based

Learning)ทสามารถนาไปสคาตอบ คะแนน 10 คะแนน

3) สามารถนาเสนอผลงานแนวคดผานเครอขายสงคมออนไลน (Facebook) คะแนน 5 คะแนน

4) แบบทดสอบยอยหลงเรยน เรอง การวดการกระจายของขอมล คะแนน 10 คะแนน

- แบบฝกทกษะท 5.1 เรอง พสย (Range)

- แบบฝกทกษะท 5.2 เรอง สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน

- แบบฝกทกษะท 5.3 เรอง “The 95% rule”

- แบบฝกทกษะท 5.4 เรอง ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถคากลางและการกระจาย


โดยมเกณฑการใหคะแนนดงน

รายการประเมน 1.การแสดงวธทาและ

ความสามารถในการ

แกปญหา

2.การนาเสนอแนวทางวธคด

แกปญหาโดยใชกระบวนการ

เรยนรแบบ PBL (Project-

Based Learning)ทสามารถ

นาไปสคาตอบ

3.สามารถนาเสนอผลงานแนวคด

ผานเครอขายสงคมออนไลน

(Facebook)


เรอง พสย (Range)

10 คะแนน

ขอ1-10

ตอบถกได ขอละ 1คะแนน

ตอบผด 0 คะแนน

บตรคาสงท5

10 คะแนน สามารถนาเสนอ

แนวทางวธคดแกปญหาโดยใช

กระบวนการเรยนรแบบ PBL

(Project-Based Learning)ท

สามารถนาไปสคาตอบ ไดเขาใจ

และครอบคลมเนอหาไมนอยกวา

รอยละ 80


ผลงานและแนวคดผานเครอขาย

สงคมออนไลน (Facebook)

3 คะแนน มรองรอยความ

พยายามในการนาเสนอผลงาน

และแนวคดผานเครอขายสงคม

ออนไลน (Facebook)

เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะเรอง การวดการกระจายของขอมล



53



แกปญหา






3.สามารถนาเสนอผลงานแนวคด

ผานเครอขายสงคมออนไลน

(Facebook)



และความแปรปรวน

15 คะแนน

ขอ1-3

5 คะแนน สามารถแสดงวธ

ทาไดถกตองตามลาดบ

ขนตอนแทนคาในสตรและ

แสดงแนวคดพรอมคด

คานวณถกตองทงหมด





คานวณถกตอง ไมนอย

กวารอยละ 70





คานวณถกตองไมนอยกวา

รอยละ 50

2 คะแนน มรองรอยความ

พยายามในการแสดงวธทา

แทนคาในสตรแตคด

คานวณไดถกตองนอยกวา

รอยละ 50


แนวทางวธคดแกปญหาโดยใช

กระบวนการเรยนรแบบ PBL

(Project-Based Learning)ท

สามารถนาไปสคาตอบ ไดเขาใจ

และครอบคลมเนอหาไมนอยกวา

รอยละ 60

5 คะแนน มความพยายามใน

การนาเสนอแนวทางวธคด




นาไปสคาตอบ ไดเขาใจและ

ครอบคลมเนอหานอยกวารอยละ

50

ประเมนหลงจากเสรจกจกรรมแบบฝกทกษะท

( 5.1,5.2,5.3,5.4 )

การนาเสนอแนวคดแบบ PBL และการนาเสนอผลงาน

( 15 คะแนน)



54

รายการประเมน 1.การแสดงวธทาและความสามารถในการ

แกปญหา

2.การนาเสนอแนวทางวธ

คดแกปญหาโดยใช

กระบวนการเรยนรแบบ

PBL (Project-Based

Learning)ทสามารถ


3.สามารถนาเสนอ

ผลงานแนวคดผาน

เครอขายสงคม

ออนไลน

(Facebook)


“The 95% rule”

10 คะแนน

10 คะแนน สามารถแสดงวธทาไดถกตอง

ตามลาดบขนตอนแทนคาในสตรและแสดงแนวคด

พรอมคดคานวณ

ไดถกตองทงหมด

8 คะแนน สามารถแสดงวธทาไดถกตองตามลาดบ

ขนตอนแทนคาในสตรและแสดงแนวคดพรอมคด

คานวณไดถกตองไมนอยกวารอยละ 70

6 คะแนน สามารถแสดงวธทาไดถกตองตามลาดบ

ขนตอนแทนคาในสตรและแสดงแนวคดพรอมคด

คานวณ

ไดถกตองไมนอยกวารอย 50

4 คะแนน มรองรอยความพยายามในการแสดงวธ

ทา แทนคาในสตรและแสดงแนวคดพรอมคด

คานวณ ไดถกตองนอยกวารอยละ 50


ความสมพนธ

ระหวางการแจกแจง

ความถคากลางและ

การกระจายของ

ขอมล

12 คะแนน

ขอ1-12

ตอบถกได ขอละ 1คะแนน

ตอบผด 0 คะแนน



55

สรประดบคณภาพ

คะแนน 57-72 หมายถง ด

คะแนน 37-56 หมายถง พอใช

คะแนน 0- 36 หมายถง ควรปรบปรง

เกณฑการใหคะแนน



56

แบบบนทกผลการพฒนาการเรยนร

แบบฝกทกษะการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยใชกระบวนการเรยนรแบบ PBL (Project-Based

Learning) และเครอขายสงคมออนไลน(E-book on Facebook)


สาหรบนกเรยนมธยมศกษาปท 6

คาชแจง เมอทาการทดสอบเสรจแลวใหกรอกคะแนนในชอง “คะแนนทได” และกาเครองหมาย √

ลงในชอง ด ,พอใช,ควรปรบปรง ตามคะแนนทได



แกปญหา






3.สามารถนาเสนอ

ผลงานแนวคดผาน

เครอขายสงคมออนไลน

(Facebook)

แบบทดสอบยอยหลงเรยน คะแนนเตม 10 ชดท 1 เรองการแจกแจงความถ


ชดท 1 เรองการแจกแจง

ความถของขอมล คะแนนทได

แบบฝกทกษะท 5.1 คะแนนเตม 10 คะแนนเตม 10 คะแนนเตม 5

คะแนนทได คะแนนทได คะแนนทได

แบบฝกทกษะท 5.2 คะแนนเตม 15

คะแนนทได





ผลการประเมน ด

พอใช

ควรปรบปรง

ชอ………………………………………………..เลขท………………….ระดบชน…………………



57

เฉลยแบบทดสอบยอยกอนเรยน-หลงเรยน


รหสวชา ค43101 รายวชา คณตศาสตรพนฐาน ระดบชนมธยมศกษาปท 6

ขอ 1 ค ขอ 6 ง

ขอ 2 ก ขอ 7 ก

ขอ 3 ค ขอ 8 ค

ขอ 4 ค ขอ 9 ข

ขอ 5 ข ขอ 10 ก



58



คาชแจง ใหนกเรยนเตมคาตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท ขอมล คาสงสด

ของ

ขอมล

คาตาสด

ของ

ขอมล

คาพสย


1 1, 5, 7, 11, 15, 19 19 1 18

2 20, 38, 12, 28, 42, 32 42 12 30

3 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 70 10 60

4 9, 11, 13, 15, 17, 21, 33, 43 43 9 34

5 2, 6, 8, 90, 12, 14,16,18, 20, 22 90 2 88

6 53, 56, 58, 69, 65, 63, 71, 74 74 53 21

7 110, 112,118, 162, 142, 153, 158 162 110 52

8 153, 156, 154, 162, 165, 172, 145,

165, 145,157

172 145 30

9 2.5, 3.5, 4.5, 8.5, 9.5, 10.5, 12.5 12.5 2.5 10

10 11.2, 8.2, 7.2, 12.2, 14.2,

13.2,16.2, 17.2, 18.2, 6.2, 5.2, 4.2

18.2 4.2 14




59


1.วดการกระจายของขอมลทไมไดแจกแจงความถโดยใชสวนเบยงเบน


2.หาความแปรปรวนของขอมลได

คาชแจง ใหนกเรยนแสดงวธทาหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน ของขอมลแตละขอ

ตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอ

ท

ความแปรปรวน ขอมล x 2 xx สวนเบยงเบน

มาตรฐาน

1n

2xx2S

1 4, 5, 6, 9

x 푥 − 푥 (푥 − 푥)

4 4-6 (−2) =4

5 5-6 (−1) =1

6 6-6 0

9 9-6 (3) =9

2 xx 14

푥 = 푠 = = , 4.67 S= √4.67 = 2.16

= 6

สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ…………2.16……….

ความแปรปรวน เทากบ …………4.67………………….


푥 =∑

푠



60

2 1, 3, 6, 4, 8, 3, 5, 2,

x 푥 − 푥 (푥 − 푥)

1 1-4 (−3) = 9

3 3-4 (−1) = 1

6 6-4 (2) = 4

4 4-4 0

8 8-4 (4) =16

3 3-4 (−1) = 1

5 5-4 (1) = 1

2 2-4 (−2) = 4

2 xx 36

푥 = =4, 푠 = = =5.14 , S

= √5.14 = 2.26

สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ………2.26………….

ความแปรปรวน เทากบ …………5.14………………….



61

3

157, 156, 160, 156, 175, 160, 156

푥 = = = 160

푠 = = = 47 S = √47 = 6.85

สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ…………6.85……….

ความแปรปรวน เทากบ ……………47……………….

x 푥 − 푥 (푥 − 푥)

157 157-160 (−3) = 9

156 156-160 (−4) = 16

160 160-160 0

156 156-160 (−4) = 16

175 175-160 (15) = 225

160 160-160 0

156 156-160 (−4) = 16

2 xx 282



62



คาชแจง ใหนกเรยนใชขอมลทกาหนดใหแสดงวามขอมลประมาณ 95% อยในชวง

푥 − 2푠, 푥 + 2푠

ขอมลตอไปน แสดงคะแนนสอบของนกเรยนจานวน 15 คน

52 67 59 79 62 65 52 90 64 87 65 64 50 70 83


푥= ∑

= = 67.27


1n

2xx2S

= √푠

5 0 2 2 9

6 2 4 4 5 5 7

7 0 9

8 3 7

9 0




63



1n

2xx2S

=√푠

ขอมล 푥 − 푥 2 xx

50-67.27 -17.27 298.25

52-67.27 -15.27 233.17

52-67.27 -15.27 233.17

59-67.27 -8.27 68.39

62-67.27 -5.27 27.77

64-67.27 -3.27 10.69

64-67.27 -3.27 10.69

65-67.27 -2.27 5.15

65-67.27 -2.27 5.15

67-67.27 -0.27 0.07

70-67.27 2.73 7.45

79-67.27 11.73 137.59

83-67.27 15.73 247.43

87-67.27 19.73 389.27

90-67.27 22.73 516.65

รวม 2,190.89

푠 =2190.8915 − 1

= 156.49

푠 = √156.49 = 12.5



64



푥 − 2푠 = 67.27 – 2 (12.5) = 42.27

푥 + 2푠 = 67.27 + 2 (12.5) = 92.27

จะพบวาไมมขอมลทมคาตากวา 42.27 ( 푥 − 2푠 )

และไมมขอมลทมคาสงกวา 92.27 ( 푥 + 2푠 )

ดงนนขอมลทมคาอยระหวาง 푥 − 2푠 และ 푥 + 2푠 มทงหมด 15-0

หรอ 15 ขอมล ซงคดเปน 100% ของขอมลทงหมด ( =100 )

สรปไดวา ประมาณ 100% หรอประมาณ 95% ของขอมลทงหมดทเปน

คะแนนของนกเรยน 15 คน ตกอยในชวง 푥 − 2푠 ถง 푥 + 2푠



65


บอกความสมพนธระหวางคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมในกรณเสนโคง

ของความถของขอมลเปนรปเสนโคงปกต เสนโคงเบทางขวาและเสนโคงเบทางซายได

คาชแจง ใหนกเรยนเตมคาตอบทถกตอง ลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

A B C D E

8. คาเฉลยเลขคณต อยตรงกบตาแหนง…………C…………………………………..

9. คามธยฐาน อยตรงกบตาแหนง…………C…………………………………………

10. คาฐานนยม อยตรงตาแหนง………………C………………………………………

11. เปนเสนโคงความถประเภท…………………เสนโคงปกต……………………………………

A B C D E

12. คาเฉลยเลขคณต อยตรงกบตาแหนง…………A…………………………………..

13. คามธยฐาน อยตรงกบตาแหนง……………B………………………………………

14. คาฐานนยม อยตรงตาแหนง………C………………………………………………

8. เปนเสนโคงความถประเภท………………เสนโคงเบทางซาย…………………




66

A B C D E

12. คาเฉลยเลขคณต อยตรงกบตาแหนง……………E………………………………..

13. คามธยฐาน อยตรงกบตาแหนง…………………D…………………………………

14. คาฐานนยม อยตรงตาแหนง…………………C……………………………………

12. เปนเสนโคงความถประเภท……………………เสนโคงเบทางขวา…………………



67

กระดาษคาตอบแบบทดสอบยอยกอนเรยน-หลงเรยน

รายวชาคณตศาสตรพนฐาน

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6

เรอง การแจกแจงความถของขอมล

ชอ – นามสกล …………………………ชน………….เลขท……..

ผลการประเมน

คะแนน กอนเรยน หลงเรยน

ตม 10 10

ได

รอยละ

ขอ ก ข ค ง

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ผตรวจ ………………………………..

วนท ……..เดอน……………พ.ศ……



68

บรรณานกรม

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2544) หนงสอเรยนสาระการเรยนร

พนฐานคณตศาสตรเลม 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5

(ตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544). พมพครงท 3. กรงเทพมหานคร

: โรงพมพครสภาลาดพราว.

กรมวชาการ.(2546) การจดสาระการเรยนรกลมสาระการเรยนคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท

1-6 ตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544. กรงเทพฯ : โรงพมพ

องคการรบสงสนคาและพสดภณฑ (ร.ส.พ.)

วฒชย ประสารสอย.(2543) บทเรยนเครอขายสงคมออนไลน นวตกรรมเพอการศกษา.

กรงเทพฯ : หางหนสวนจากด ว เจ พรนตง

จราวฒน ชรเวทย. (2542) Face book กบวยรนยคใหม นครปฐม : สถาบนราชภฎนครปฐม

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2544) หนงสอเรยนคณตศาสตร ค 012

ชนมธยมศกษาตอนปลาย หลกสตรมธยมศกษาตอนปลาย พทธศกราช 2524 (ฉบบ

ปรบปรง 2533). พมพครงท 11. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว.

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2544) หนงสอเรยนคณตศาสตร ค 014

ชนมธยมศกษาตอนปลาย หลกสตรมธยมศกษาตอนปลาย พทธศกราช 2524 (ฉบบ

ปรบปรง 2533). พมพครงท 12. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว.

สชาดา กระนนท และคณะ (2547). สถตกบชวตประจาวน. โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

ฝายวชาการ พบซ.(2553). ยอดคณตศาสตร ม.ปลาย เรองสถต.กรงเทพฯ:พบซ.

จกรนทร วรรณโพธ กลาง และคณะ(ม.ป.ป.).คณตศาสตรพนฐานม.6 ภาคเรยนท2. กรงเทพฯ: พ.ศ.

พฒนา

กมล เอกไทยเจรญ และคณะ (ม.ป.ป.).คมอคณตศาสตรพนฐาน ม.5 เลม 2. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบ

ลชชง

การวเคราะหขอมลเบองตน http://tutoroui.com/web_main/14_statistic-1/statistic-1.html

(11 กมภาพนธ 2554)

. http://mathematics –pr.blogspot.com/p/blog-page_5723.html

(11 กมภาพนธ 2554)

. http://thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn-

s/sec01p02.html (11 กมภาพนธ 2554)



69

นวัตกรรม ชุดที่ 5 การวัดการกระจาย

Documents