ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙusers.uoa.gr/~atzanis/MathGeo/%cd%e9%ea%ef%eb%e1%fa%e4%e... · 2011. 12. 1. · (ii) είναι κλειστό ως προς

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ Μια συνάρτηση

CBAf →×: αντιστοιχίζει σε κάθε ζεύγος (a,b) (με Aa∈ και Bb∈ ) ένα στοιχείο . Γράφουμε τότε

Cc∈

f(a,b)=c.

Η συνάρτηση αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί και ως πράξη. Εσωτερική πράξη σε ένα σύνολο Α είναι μια συνάρτηση

AAA →×∗ : Εξωτερική πράξη στο Α (με συντελεστές στο Κ) είναι μια συνάρτηση

AAK →×∗ : Και στις δύο περιπτώσεις, αντί για ),( ba∗ συνηθίζουμε να γράφουμε ba ∗

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών είναι εσωτερικές πράξεις. Αντιστοιχίζουν σε ένα κάθε ζεύγος (x,y) πραγματικών αριθμών έναν νέο πραγματικό αριθμό, το άθροισμά τους yx + και γινόμενό τους yx ⋅ αντίστοιχα. Στο σύνολο των τετραγωνικών πινάκων 3x3, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι πράξεις εσωτερικές, ενώ ο πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα είναι πράξη εξωτερική (από το R

33×M

× στο ). 33×M 33×M

Στη συνέχεια του κεφαλαίου αυτού θα θεωρούμε μια εσωτερική πράξη + που καταχρηστικά θα ονομάζουμε «πρόσθεση» και μια εξωτερική πράξη που θα ονομάζουμε «εξωτερικό πολλαπλασιασμό» ή «βαθμωτό πολλαπλασιασμό»

•

37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

3.2 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ Έστω V ένα μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με δύο πράξεις, μια εσωτερική και μία εξωτερική: + (πρόσθεση) (βαθμωτός πολλαπλασιασμός με συντελεστές στο R) • Δηλαδή ισχύουν

(i) 0/≠V (ii) για κάθε , Vvu ∈, Vvu ∈+

(ή όπως αλλιώς λέμε, το V είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση) (iii) για κάθε ∈λ R, Vu∈ , Vvu ∈⋅

(ή όπως αλλιώς λέμε, το V είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό)

Το σύνολο V θα λέγεται διανυσματικός χώρος (στο R), αν ισχύουν οι επόμενες οκτώ ιδιότητες Ως προς την πρόσθεση:

Α1. για κάθε , Vvu ∈, uvvu +=+ (αντιμεταθετική ιδιότητα) Α2. για κάθε , Vwvu ∈,, )()( wvuwvu ++=++ (προσεταιριστική ιδιότητα) Α3. υπάρχει ένα στοιχείο 0 V∈ τέτοιο ώστε για κάθε Vu∈

uuu +==+ 00 , Το 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο του V.

A4. για κάθε , υπάρχει ένα στοιχείο Vu∈ Vu ∈′ , τέτοιο ώστε =′+ uu 0 uu +′= .

Το u ονομάζεται συμμετρικό στοιχείο του u και συμβολίζεται . ′ u− Ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιαμό: για κάθε ∈μλ, R και Vvu ∈,

Β1. vuvu ⋅+⋅=+⋅ λλλ )( Β2. uuu ⋅+⋅=⋅+ μλμλ )( Β3. )()( uu ⋅⋅=⋅ μλλμ Β4. 1 =u u⋅

Τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου θα λέγονται και διανύσματα. Σημείωση: όταν σε ένα μη κενό σύνολο V με μια εσωτερική πράξη ισχύουν οι ιδιότητες Α2-Α4 λέμε ότι το σύνολο αποτελεί ομάδα. Εάν επιπλέον ισχύει και η ιδιότητα A1 λέμε ότι αποτελεί αντιμεταθετική ομάδα.

38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1) Το σύνολο 32×= MV όλων των 2x3 πινάκων με τις συνηθισμένες πράξεις + (πρόσθεση πινάκων) και (πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα) είναι διανυσματικός χώρος.

•

Προφανώς το σύνολο V είναι μη κενό και κλειστό ως προς τις δύο πράξεις. Τις ιδιότητες Α1-Α4 και Β1-Β4 τις έχουμε δει στο Κεφάλαιο 1. Το ουδέτερο στοιχείο 0 είναι ο 2x3 μηδενικός πίνακας. 2) Το σύνολο )(xPV = όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές έχει στοιχεία της μορφής

011

1)( axaxaxaxp nn

nn ++++= −

− Το άθροισμα πολυωνύμων και το γινόμενο πραγματικού αριθμού με πολυώνυμο ορίζονται με τον συνήθη τρόπο, δηλαδή αν ∈λ R και )()(),( xPxqxp ∈ με

011

1)( axaxaxaxp nn

nn ++++= −

−

011

1)( bxbxbxbxq mm

mm ++++= −

− και έστω , τότε nm ≤

)()( xqxp + = )()()()( 0011 baxbaxbaxba mmm

nnn +++++++++ )(xP∈

(θεωρώντας τους τυχόν επιπλέον συντελεστές ίσους με 0) 11 ,,, +− mnn bbb …

)(xpλ )(01

11 xPaxaxax n

nn

n ∈++++= −− λλλλα

Εύκολα δείχνεται ότι ισχύουν οι ιδιότητες Α1-Α4 και Β1-Β4, ενώ το ουδέτερο στοιχείο είναι το μηδενικό πολυώνυμο

0 0)( =x 3) Έστω το σύνολο όλων των πινάκων στο R. Αν Α είναι ένας πίνακας 2x3 και Β ένας πίνακας 7x9, τότε δεν ορίζεται το άθροισμα Α+Β, δηλαδή το Μ δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση πινάκων. Συνεπώς το Μ με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού δεν αποτελεί διανυσματικό χώρο.

MV =

4) Έστω V= RRRR ××=3 = ,,/),,( Rzyxzyx ∈ , με τις συνήθεις πράξεις +),,( zyx =′′′ ),,( zyx ),,( zzyyxx ′+′+′+ λ =),,( zyx ),,( zyx λλλ Εύκολα διαπιστώνουμε ότι αποτελεί διανυσματικό χώρο με ουδέτερο στοιχείο το μηδενικό διάνυσμα 0 = (0,0,0).

39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Σημείωση: Γενικά, το σύνολο Rn, όλων των n-άδων πραγματικών αριθμών με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού αποτελεί διανυσματικό χώρο. 5) Έστω V=Ζ3=Ζ×Ζ×Ζ= ,,/),,( Zzyxzyx ∈ , με τις συνήθεις πράξεις +),,( zyx =′′′ ),,( zyx ),,( zzyyxx ′+′+′+ λ =),,( zyx ),,( zyx λλλ Το σύνολο είναι μη κενό διότι 0 = (0,0,0) 3Z∈ , είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση αλλά όχι ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό, διότι π.χ.

αν 21

=λ και , τότε 3)3,2,1( Zu ∈= ( )23,1,2

1=uλ 3Z∉ .

Συνεπώς το σύνολο V=Ζ3 δεν αποτελεί διανυσματικό χώρο. 6) Έστω V=R2 = . Ορίζουμε δύο πράξεις ,/),( Ryxyx ∈ ⊕ και ως εξής: ⊕),( yx =′′ ),( yx ),( yyxx ′+′+ λ =),( yx )0,( xλ Ισχύουν όλες οι ιδιότητες του ορισμού εκτός από την ιδιότητα Β4 (δηλ. ), διότι π.χ. αν τότε

uu =⋅1)3,2(=u

uu ≠== )0,2()3,2(11 . Συνεπώς το σύνολο R2 με τις παραπάνω πράξεις δεν αποτελεί διανυσματικό χώρο.

Σε έναν διανυσματικό χώρο ισχύουν τα εξής:

• 0u = 0 για κάθε Vu∈• λ0 = 0 για κάθε R∈λ • Αν =uλ 0 όπου R∈λ και Vu∈ , τότε 0=λ ή =u 0 • uuu λλλ −=−=− )()( για κάθε R∈λ και Vu∈

Η απόδειξή τους είναι απλή και αφήνεται ως άσκηση. 3.3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος και . Το W θα λέγεται διανυσματικός υποχώρος του V εάν είναι και το ίδιο διανυσματικός χώρος με τις ίδιες πράξεις.

VW ⊆

Το παρακάτω θεώρημα μας απαλλάσσει από τις 8 ιδιότητες του ορισμού για να αποφανθούμε ότι έχουμε διανυσματικό χώρο.

40

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω V ένας διανυσματικός χώρος και . Το W είναι διανυσματικός υποχώρος του V εάν και μόνο εάν

VW ⊆

(i) 0∈W, (ii) Το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση (iii) Το W είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό

Εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί ότι ισχύουν οι οκτώ ιδιότητες του ορισμού του διανυσματικού χώρου. Σημείωση: Για κάθε διανυσματικό χώρο V υπάρχουν δύο «στοιχειώδεις» υποχώροι. Το ίδιο το V και το 0. Το πρώτο είναι προφανές διότι το V είναι υποσύνολο του εαυτού του και είναι διανυσματικός χώρος. Για το δεύτερο έχουμε

(i) 0∈0, (ii) Αν ∈vu, 0, τότε == vu 0, οπότε vu + = 0∈0, δηλαδή το 0 είναι

κλειστό ως προς την πρόσθεση (iii) Αν R∈λ και 0, τότε ∈u =u 0, οπότε λu = 0∈0, δηλαδή το 0 είναι

κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1) Έστω 3RV = ,,|),,( Rcbacba ∈= . Θα εξετάσουμε αν τα παρακάτω υποσύνολα του 3R είναι διανυσματικοί υποχώροι:

W1 ,|)0,,( Rbaba ∈= W2 ,|)1,,( Rbaba ∈= W3 )0,0,0(,|)1,,( ∪∈= Rbaba W4 |),,( Raaaa ∈= W5 ,|)2,,( Rbababa ∈+= • Το υποσύνολo W1 είναι διανυσματικός υποχώρος του 3R διότι

(i) 0 = (0,0,0)∈W1 (για a=b=0) (ii) είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση καθώς για 1, Wvu ∈ με

)0,,( bau = και )0,,( bav ′′= , ισχύει

1)0,,( Wbbaavu ∈′+′+=+ (iii) είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό καθώς για λ και

με , ισχύει R∈

1Wu ∈ )0,,( bau =

1)0,,( Wbau ∈= λλλ

41

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

• Το υποσύνολo W2 δεν είναι διανυσματικός υποχώρος του 3R διότι

0= 2)0,0,0( W∉ • Το υποσύνολo W3 δεν είναι διανυσματικός υποχώρος του 3R διότι παρόλο που

0= , το σύνολο δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση (ούτε ως προς τον πολλαπλασιασμό). Πράγματι, αν

3)0,0,0( W∈)1,,( bau = και )1,,( bav ′′= , τότε

3)2,,( Wbbaavu ∉′+′+=+

• Το υποσύνολo W4 είναι διανυσματικός υποχώρος του 3R διότι

(i) 0 = (0,0,0)∈W4 (για a=0) (ii) είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση καθώς για 4, Wvu ∈ με

και , ισχύει ),,( aaau =

),,( aaav ′′′=

4),,( Waaaaaavu ∈′+′+′+=+ (iii) είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό καθώς για λ και

με , ισχύει R∈

4Wu ∈ ),,( aaau =

4),,( Waaau ∈= λλλλ • Το υποσύνολo W5 είναι διανυσματικός υποχώρος του 3R διότι

(i) 0 = (0,0,0)∈W5 (για a=b=0) (ii) είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση καθώς για 5, Wvu ∈ με

)2,,( babau += και )2,,( babav ′+′′′= , ισχύει vu + )22,,( bababbaa ′+′++′+′+=

))(2)(,,( bbaabbaa ′++′+′+′+= 5W∈ (iii) είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό καθώς για λ και

με R∈

5Wu∈ )2,,( babau += , ισχύει uλ ))2(,,( baba += λλλ

5))(2,,( Wbaba ∈+= λλλλ 2) Έστω , ο διανυσματικός χώρος των 3x3 πινάκων στο R. Θα εξετάσουμε αν το υποσύνολο των άνω τριγωνικών πινάκων

33×= MV

,,,,,|00

0 Rfedcbafedcba

W ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

είναι διανυσματικός υποχώρος:

(i) 0 = ∈W (για a=b=c=d=e=f=0) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000000000

42

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Έστω λ και , με και R∈ Wvu ∈,⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

fedcba

u00

0⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′′′′′

=fedcba

v00

0

Τότε,

(ii) =+ vu⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

fedcba

000

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′′′′′

+fedcba

000 =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′+

′+′+

′+′+′+

ffeeddccbbaa

000 ∈W

(iii) =uλ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

fedcba

λλλλλλ

000 ∈W

Συνεπώς, το W είναι διανυσματικός υποχώρος του V. Σημείωση: Όμοια δείχνουμε ότι το σύνολο των κάτω τριγωνικών πινάκων είναι διανυσματικός υποχώρος του . Το αποτέλεσμα γενικεύεται φανερά για τον διανυσματικό χώρο .

33×M

nnM ×

3) Έστω , ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων στο R. Θα εξετάσουμε αν το υποσύνολό του , που αποτελείται από όλα τα πολυώνυμα βαθμού το πολύ n (συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού πολυωνύμου που χαρακτηρίζεται συχνά ως αδιαβάθμητο) είναι διανυσματικός υποχώρος του V .

)(xPV =)(xPn

(i) Το μηδενικό πολυώνυμο 0 0)( =x ανήκει στο . )(xPn

Έστω λ και . R∈ )()(),( xPxqxp n∈ (ii) To πολυώνυμο έχει βαθμό μικρότερο ή ίσο του n (είτε είναι το μηδενικό πολυώνυμο) άρα ανήκει στο .

)()( xqxp +)(xPn

(iii) To πολυώνυμο )(xpλ έχει βαθμό μικρότερο ή ίσο του n (είτε είναι το μηδενικό πολυώνυμο) άρα ανήκει στο . )(xPn

Συνεπώς, το είναι διανυσματικός υποχώρος του )(xPn )(xPV = .

ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω V ένας διανυσματικός χώρος και , δύο υποχώροι του V. Το υποσύνολο

1W 2W=W 1W ∩ 2W είναι επίσης διανυσματικός υποχώρος του V .

Απόδειξη: Θα δείξουμε τις τρεις ιδιότητες του υποχώρου για το W:

43

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

(i) Εφόσον 0∈ και 0∈ , ισχύει 01W 2W ∈ 1W ∩ 2W =W . (ii) Έστω . Τότε ∈vu, =W 1W ∩ 2W ∈vu, 1W και ∈vu, 2W . Εφόσον τα υποσύνολα

, είναι υποχώροι του V θα ισχύει 1W 2W

∈+ vu 1W και ∈+ vu 2W . Άρα =W . ∈+ vu 1W ∩ 2W (iii) Έστω λ και R∈ ∈u =W 1W ∩ 2W . Τότε ∈u 1W και ∈u 2W . Εφόσον τα υποσύνολα , είναι υποχώροι του V θα ισχύει 1W 2W

∈uλ 1W και ∈uλ 2W . Άρα ∈uλ 1W ∩ 2W =W . Συνεπώς, το W είναι διανυσματικός υποχώρος του V . Σημείωση: Το υποσύνολο δεν είναι απαραίτητα διανυσματικός υποχώρος. Για παράδειγμα, έστω και

1W ∪ 2W2RV =

|)0,(1 RaaW ∈= , |),0(2 RbbW ∈=

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι τα υποσύνολα , είναι υποχώροι του V. Ωστόσο τo

δεν είναι υποχώρος διότι δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση. Πράγματι, για και

1W 2W

1W ∪ 2W)0,3(=u )5,0(=v

∈u 1W ∪ 2W και ∈v 1W ∪ 2W ενώ ∉=+ )5,3(vu 1W ∪ 2W

3.4 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ – ΧΩΡΟΣ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟΣ ΑΠΟ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος και Vuuu n ∈,...,, 21 . Κάθε διάνυσμα της μορφής

nnuuu λλλ +++ ...2211

όπου Rn ∈λλλ ,...,, 21 , λέγεται γραμμικός συνδυασμός των . Το σύνολο αυτών των γραμμικών συνδυασμών συμβολίζεται

nuuu ,...,, 21

nuuu ,...,, 21

και αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του V. Λέμε ότι είναι ο χώρος που παράγεται από τα nuuu ,...,, 21

44

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Σημείωση: Αν =S ,...,, 21 nuuu , τότε γράφουμε και S αντί για nuuu ,...,, 21 . Ας αποδείξουμε τον ισχυρισμό μας. ΘΕΩΡΗΜΑ: Το σύνολο W= nuuu ,...,, 21 είναι διανυσματικός υποχώρος του V. Απόδειξη: Θα δείξουμε τις τρεις ιδιότητες του υποχώρου: (i) 0 = ∈W nuuu 0...00 21 +++ Έστω λ και , με R∈ Wvu ∈,

nnuuuu λλλ +++= ...2211 και nnuuuv λλλ ′++′+′= ...2211 Τότε, (ii) = (vu + nnuuu λλλ +++ ...2211 ) + ( nnuuu λλλ ′++′+′ ...2211 ) = ( +11uλ 11uλ′ ) + ( +22uλ 22uλ′ ) ++ ... ( nnuλ nnuλ′+ )

= nnn uuu )(...)()( 222111 λλλλλλ ′+++′++′+ ∈W

(iii) uλ = λ( nnuuu λλλ +++ ...2211 ) = )(...)()( 2211 nnuuu λλλλλλ +++ = nn uuu )(...)()( 2211 λλλλλλ +++ ∈W

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω 3RV = ,,|),,( Rcbacba ∈= και )0,0,1(1 =u , )0,1,0(2 =u . Ο χώρος που παράγουν τα δύο διανύσματα είναι

21,uu = ,| 212211 Ruu ∈+ λλλλ = ,|)0,1,0()0,0,1( 2121 R∈+ λλλλ = ,|)0,,0()0,0,( 2121 R∈+ λλλλ = ,|)0,,( 2121 R∈λλλλ

Ο υποχώρος μπορεί να γραφεί και 21,uu = ,|)0,,( Rbaba ∈ . Σημείωση: Παραστατικά, ο αρχικός διανυσματικός χώρος είναι ο γνωστός μας τρισδιάστατος χώρος R3, τα είναι τα μοναδιαία διανύσματα στους άξονες Οx και Οy αντίστοιχα, ενώ ο υποχώρος που παράγουν είναι το επίπεδο Οxy. Πράγματι, κάθε διάνυσμα του επιπέδου Οxy γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των (ουσιαστικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο υποχώρος είναι ο δισδιάστατος χώρος R

21,uu

21,uu

2).

45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

1u 2u

z

y

x

3.5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος. Τα διανύσματα λέγονται γραμμικά εξαρτημένα αν υπάρχουν συντελεστές

Vuuu n ∈,...,, 21

Rn ∈λλλ ,...,, 21 , όχι όλοι μηδέν τέτοιοι ώστε

=+++ nuuu νλλλ ...2211 0 Διαφορετικά τα διανύσματα θα λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα. Δηλαδή, τα διανύσματα Vuuu n ∈,...,, 21 είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν

=+++ nuuu νλλλ ...2211 0 ⇒ 021 ==== nλλλ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1) Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο R2. • για τα διανύσματα και )2,1(1 =u )4,2(2 =u παρατηρούμε ότι

==− )0,0(12 21 uu 0

οπότε τα δύο διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα1.

• για τα διανύσματα και )0,1(1 =u )1,0(2 =u παρατηρούμε ότι

=+ 2211 uu λλ 0 ⇒ )0,0()1,0()0,1( 21 =+ λλ

⇒ )0,0(),0()0,( 21 =+ λλ ⇒ )0,0(),( 21 =λλ

1 ουσιαστικά είναι γραμμικά εξαρτημένα διότι το ένα εξαρτάται από το άλλο, καθώς u2 = 2u1

46

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

⇒ 021 == λλ οπότε τα δύο διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

• για τα διανύσματα και )0,1(1 =u )1,1(2 =u παρατηρούμε ότι

=+ 2211 uu λλ 0 ⇒ )0,0()1,1()0,1( 21 =+ λλ ⇒ )0,0(),()0,( 221 =+ λλλ ⇒ )0,0(),( 221 =+ λλλ

⇒ ⎩⎨⎧

==+0

0

2

21

λλλ

⇒ 021 == λλ οπότε τα δύο διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

2) Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο V=M2x2 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Rdcba

dcba

,,, και τα

διανύσματα:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0001

1u , , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1000

2u ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0100

3u

α) Να βρεθεί ο υποχώρος 321 ,, uuu β) Να δειχθεί ότι τα είναι γραμμικά ανεξάρτητα 321 ,, uuu

γ) Αν , να δειχθεί ότι τα είναι γραμμικά εξαρτημένα. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1200

4u 4321 ,,, uuuu

Έχουμε, α) 321 ,, uuu = ,,| 321332211 Ruuu ∈++ λλλλλλ

= ,,0100

1000

0001

321321 R∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λλλλλλ

= ,,0

32123

1 R∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λλλ

λλλ

Πρόκειται για τον υποχώρο των 2x2 κάτω τριγωνικών πινάκων.

β) =++ 332211 uuu λλλ 0 = ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0100

1000

0001

321 λλλ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0000

⇒ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

23

1 0λλ

λ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0000

47

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

⇒ 0321 === λλλ οπότε τα τρία διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. γ) Παρατηρούμε ότι , δηλαδή 234 12 uuu +=

=−++ 4321 1210 uuuu 0 άρα τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα.

3.6 ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΒΑΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος. Ένα σύνολο ,...,, 21 nuuuS = θα λέγεται βάση του διανυσματικού χώρου αν

(i) Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα nuuu ,...,, 21

(ii) Κάθε διάνυσμα του V γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των , δηλ. nuuu ,...,, 21 Vuuu n =,...,, 21

ΘΕΩΡΗΜΑ: Το σύνολο ,...,, 21 nuuuS = αποτελεί βάση του διανυσματικού χώρου V αν και μόνο αν κάθε διάνυσμα του V γράφεται με μοναδικό τρόπο σαν γραμμικός συνδυασμός των nuuu ,...,, 21

Απόδειξη: Έστω ότι το σύνολο S αποτελεί βάση του διανυσματικού χώρου V και

. Το u γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός της βάσης, δηλαδή υπάρχουν Vu∈Rn ∈λλλ ,...,, 21 τέτοια ώστε

nnuuuu λλλ +++= ...2211 (*)

Έστω ότι το u γράφεται και με διαφορετικό τρόπο σαν γραμμικός συνδυασμός της βάσης, δηλαδή υπάρχουν Rn ∈′′′ λλλ ,...,, 21 τέτοια ώστε

nnuuuu λλλ ′++′+′= ...2211 (**) Αν αφαιρέσουμε τις σχέσεις (*) και (**) κατά μέλη παίρνουμε

=′−++′−+′− nnn uuu )(...)()( 222111 λλλλλλ 0 κι επειδή τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε nuuu ,...,, 21

02211 =′−==′−=′− nn λλλλλλ

και τελικά

48

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

nn λλλλλλ ′=′=′= ,,, 2211 …

δηλαδή οι εκφράσεις (*) και (**) είναι ταυτόσημες. Αντίστροφα, έστω ότι κάθε διάνυσμα του V γράφεται με μοναδικό τρόπο σαν γραμμικός συνδυασμός των . Θα δείξουμε ότι το αποτελεί βάση του διανυσματικού χώρου. Προφανώς

nuuu ,...,, 21 ,...,, 21 nuuuS =

Vuuu n =,...,, 21 . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Έστω nuuu ,...,, 21

nnuuu λλλ +++ ...2211 = 0

Ισχύει επίσης nuuu 0...00 21 +++ = 0

Από τη μοναδικότητα της υπόθεσης παίρνουμε

0,,0,0 21 === nλλλ … όπως ακριβώς θέλαμε.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1) Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο R3. Τα διανύσματα

)0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e , )1,0,0(3 =e

αποτελούν βάση του R3: (i) Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα:

=++ 332211 eee λλλ 0 ⇒ )1,0,0()0,1,0()0,0,1( 321 λλλ ++ = (0,0,0) ⇒ ),,( 321 λλλ = (0,0,0) ⇒ 0321 === λλλ

(ii) Τα διανύσματα παράγουν το χώρο: Έστω . Τότε εύκολα διαπιστώνουμε ότι το u γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των :

3),,( Rcbau ∈=

321 ,, eee

321 cebeaeu ++= Σημείωση: Η τελευταία έκφραση για το u είναι μοναδική. Για παράδειγμα το διάνυσμα (7,8,9) γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός της βάσης:

=u

321 987 eeeu ++=

49

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Αντίθετα, αν θεωρήσουμε και το διάνυσμα )1,1,1(4 =e , τα είναι γραμμικά εξαρτημένα (άρα δεν αποτελούν βάση) και το

4321 ,,, eeee=u (7,8,9) δεν γράφεται με μοναδικό

τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός τους:

u 321 987 eee ++= 40e+ 321 876 eee ++= 41e+ 321 765 eee ++= 42e+

κλπ.

2) Στον ίδιο χώρο R3 θα δείξουμε ότι τα διανύσματα

)0,0,1(1 =u , )0,1,1(2 =u , )1,1,1(3 =u αποτελούν βάση. (i) Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα:

=++ 332211 uuu λλλ 0 ⇒ )1,1,1()0,1,1()0,0,1( 321 λλλ ++ = (0,0,0) ⇒ ),,( 332321 λλλλλλ +++ = (0,0,0)

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

==+

=++

00

0

3

32

321

λλλ

λλλ

⇒ 0321 === λλλ

(ii) Τα διανύσματα παράγουν το χώρο: Έστω . Αναζητούμε συντελεστές 3),,( Rcbau ∈= R∈321 ,, λλλ τέτοιους ώστε

332211 uuuu λλλ ++= ή

)1,1,1()0,1,1()0,0,1(),,( 321 λλλ ++=cba ή

=),,( cba ),,( 332321 λλλλλλ +++ Δηλαδή, αναζητούμε τη λύση του συστήματος

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==+

=++

cb

a

3

32

321

λλλ

λλλ

50

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Προφανώς έχει τη λύση ),,( 321 λλλ = ),,( ccbba −− , άρα το u γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των . 321 ,, uuu 3) Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο

Μ2x3 .⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Rfedcba

fedcba

,,,,,|

Τα διανύσματα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

000001

1e , , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

000010

2e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

000100

3e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

001000

4e , , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

010000

5e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

100000

6e

αποτελούν βάση. Η απόδειξη γίνεται όπως στο Παράδειγμα 1.

Εάν ο διανυσματικός χώρος V έχει μια βάση με n διανύσματα, αποδεικνύεται2 ότι οποιαδήποτε βάση του V έχει επίσης n διανύσματα. Τότε λέμε ότι ο V έχει διάσταση n και γράφουμε

nV =dim Από τα προηγούμενα παραδείγματα συμπεραίνουμε ότι και Μ3dim 3 =R dim 2x3 6= . Γενικά,

nRn =dim dimΜmxn nm ⋅=

Πράγματι, η πιο οφθαλμοφανής βάση του Rn αποτελείται από τα n διανύσματα

)0,,0,0,1(1 …=e , )0,,0,1,0(2 …=e , ..., )1,,0,0,0( …=ne

όπου είναι το διάνυσμα που έχει παντού 0 εκτός από την i-στή θέση όπου έχει 1. Η βάση αυτή του R

ien λέγεται κανονική.

Επίσης, η πιο φανερή βάση του Μmxn αποτελείται από τους nm ⋅ πίνακες

ije , με ,...,2,1 mi∈ , ,...,2,1 nj∈ όπου είναι ο πίνακας που έχει 1 στη θέση i,j ενώ σε κάθε άλλη θέση έχει 0. Η βάση αυτή του Μ

ijemxn λέγεται κανονική.

2 η απόδειξη παραλείπεται

51

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω . Έχουμε δει ότι το V αποτελεί διανυσματικό χώρο. Θεωρούμε τα πολυώνυμα

)(3 xPV = ,,,| 3210012

23

3 Raaaaaxaxaxa ∈+++=

3

3 )( xxe = , , 22 )( xxe = xxe =)(1 , 1)(0 =xe

Θα δείξουμε ότι αποτελούν βάση του V: (i) Τα πολυώνυμα είναι γραμμικά ανεξάρτητα:

1λ )(3 xe + 2λ )(2 xe + 3λ )(1 xe + 4λ )(0 xe = 0 [το μηδενικό πολυώνυμο]

⇒ 1λ3x + 2λ

2x + 3λ x + 4λ 1 = 0

⇒ 1λ = 2λ = 3λ = 4λ = 0 (ii) Τα πολυώνυμα παράγουν το χώρο: Έστω . Προφανώς το γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των 4 πολυωνύμων:

012

23

3)( axaxaxaxp +++= V∈)(xp

=)(xp 3a )(3 xe + + + 2a )(2 xe 1a )(1 xe 0a )(0 xe

Συνεπώς τα 4 πολυώνυμα αποτελούν βάση του )(3 xPV = και άρα

dim 4)(3 =xP

Γενικά,

dim 1)( += nxPn Η προφανής βάση του που αποτελείται από τα n +1 πολυώνυμα )(xPn

1,,,, 2 xxxn …

ονομάζεται κανονική. Όπως έχουμε δει μέχρι τώρα, για να διαπιστώσουμε ότι ένα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση δείχνουμε δύο ιδιότητες: ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ότι παράγουν το χώρο. Η πρώτη ιδιότητα δείχνεται σχετικά εύκολα ενώ η δεύτερη πολλές φορές απαιτεί αρκετές πράξεις. Όταν γνωρίζουμε τη διάσταση του χώρου, το

52

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

επόμενο θεώρημα μας επιτρέπει να περιοριστούμε μόνο στη μία από τις δύο ιδιότητες. Αναφέρεται χωρίς απόδειξη. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος με nV =dim . Τότε,

Α. Οποιαδήποτε n+1 ή περισσότερα διανύσματα είναι πάντοτε γραμμικά εξαρτημένα.

Β. Οποιαδήποτε n -1 ή λιγότερα διανύσματα δεν αρκούν για να παραγάγουν τον χώρο V

Γ. Εάν έχουμε n ακριβώς διανύσματα τότε αυτά αποτελούν βάση του V αρκεί να ισχύει μόνο ένα από τα παρακάτω:

• τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα • τα διανύσματα παράγουν το χώρο

Δ. Οποιαδήποτε k γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, όπου k αποτελούν μέρος μιας βάσης του V, δηλαδή μπορούν να συμπληρωθούν σε μια βάση του V.

n≤

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1) Τα διανύσματα ),3,2,1(1 =u ),0,2,5(2 =u )2,0,1(3 −=u αποτελούν βάση του R3. Εφόσον αρκεί να δείξουμε ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα 3dim 3 =R 11uλ + 22uλ + 33uλ = 0 ⇒ )3,2,1(1λ + )0,2,5(2λ + )2,0,1(3 −λ = (0,0,0) ⇒ )23,22,5( 3121321 λλλλλλλ ++−+ = (0,0,0)

⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=−+

023022

05

31

21

321

λλλλλλλ

Το τελευταίο σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση (αν λύσουμε π.χ. με επαυξημένο πίνακα). Άρα τα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση του R321 ,, uuu 3. 2) Τα πολυώνυμα , 1)( 2

1 += xxp 1)(2 −= xxp και 12)(3 += xxp αποτελούν βάση του . Εφόσον γνωρίζουμε ότι =3, αρκεί να δείξουμε ότι τα τρία πολυώνυμα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

)(2 xP dim )(2 xP

1λ )(1 xp + 2λ )(2 xp + 3λ )(3 xp = 0 ⇒ 1λ )1( 2 +x + 2λ )1( −x + 3λ )12( +x = 0

⇒ 1λ2x + x)2( 32 λλ + + )( 321 λλλ +− = 0

⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+

=

002

0

321

32

1

λλλλλ

λ

53

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

⇒ 1λ = 2λ = 3λ = 0 Άρα τα τρία πολυώνυμα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση του . )(2 xP

3.7 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΕΥΘΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑ Έστω και δύο υποχώροι του διανυσματικού χώρου V. Έχουμε δει ότι η τομή τους αποτελεί υποχώρο του V ενώ η ένωσή τους τους όχι απαραίτητα. Ωστόσο, θα ορίσουμε έναν νέο υποχώρο του V ο οποίος θα περιέχει την ένωση αυτή.

1W 2W

21 WW ∩ 21 WW ∪

Το άθροισμα των δύο υποχώρων 21 WW + αποτελείται από όλα τα αθροίσματα

, όπου και . Δηλαδή, vu + 1Wu ∈ 2Wv∈

21 WW + και| 21 WvWuvu ∈∈+= ΘΕΩΡΗΜΑ: Το άθροισμα 21 WW + δύο υποχώρων του διανυσματικού χώρου V αποτελεί επίσης διανυσματικό υποχώρο του V. Απόδειξη: Θα δείξουμε τις τρεις ιδιότητες του διανυσματικού υποχώρου. (i) Εφόσον 0 και 0 , ισχύει 0 = 0 + 0 1W∈ 2W∈ 21 WW +∈ (ii) Θα δείξουμε ότι το σύνολο 21 WW + είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση. Έστω και δύο διανύσματά του, όπου , vu + vu ′+′ u u′ 1W∈ και , . Εφόσον και είναι διανυσματικοί υποχώροι του V ισχύει και

. Άρα,

v v′ 2W∈

1W 2W )( uu ′+ 1W∈)( vv ′+ 2W∈

++ )( vu )( vu ′+′ +′+= )( uu )( vv ′+ 21 WW +∈ (iii) Θα δείξουμε ότι το είναι κλειστό ως προς το βαθμωτό πολλαπλασιασμό. 21 WW +Έστω R∈λ και , όπου vu + 21 WW +∈ 1Wu ∈ και 2Wv∈ . Εφόσον και είναι διανυσματικοί υποχώροι του V ισχύει

1W 2Wuλ 1W∈ και vλ 2W∈ . Άρα,

)( vu +λ vu λλ += 21 WW +∈

Συνεπώς, το άθροισμα είναι διανυσματικός υποχώρος του V. 21 WW + Εύκολα διαπιστώνεται ότι ο υποχώρος 21 WW + περιέχει την ένωση και μάλιστα είναι ο μικρότερος χώρος που περιέχει την ένωση αυτή.

21 WW ∪

Η επόμενη πρόταση συνδέει τις διαστάσεις των υποχώρων , , και

ενός διανυσματικού χώρου V. Αναφέρεται χωρίς απόδειξη. 1W 2W 21 WW ∩

21 WW +

54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω και δύο υποχώροι πεπερασμένης διάστασης του διανυσματικού χώρου V. Τότε ισχύει

1W 2W

)dim(dimdim)dim( 212121 WWWWWW ∩−+=+ (∗ )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο διανυσματικός χώρος των 222×= MV ×2 πινάκων. Θεωρούμε τους δύο υποχώρους

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Rba

bba

W ,01 και

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Rba

ba

W ,0

02

Ισχυριζόμαστε ότι

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ Rcba

cbba

WW ,,21

Πράγματι, κάθε στοιχείο του 21 WW + έχει τη μορφή

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛b

ab

ba0

00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

′+=

bbbaa

όπου Rbaba ∈′′,,,

και προφανώς ανήκει στο δεύτερο σύνολο. Επίσης κάθε στοιχείο του δεύτερου συνόλου μπορεί να γραφεί

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cb

bacbba

000

0 όπου Rcba ∈,,

που προφανώς ανήκει στο . 21 WW + Αρκετά πιο εύκολα μπορεί να δειχτεί ότι

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∩ Ra

aWW

000

21

Από τη μορφή των υποχώρων διαπιστώνουμε ότι

2dim 1 =W , , 2dim 2 =W 3)dim( 21 =+WW , 1)dim( 21 =∩WW

και οι διαστάσεις αυτές επαληθεύουν τη σχέση

)dim(dimdim)dim( 212121 WWWWWW ∩−+=+

55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Προχωράμε ένα βήμα παραπέρα. Ο διανυσματικός χώρος V θα λέγεται ευθύ άθροισμα των υποχώρων του και εάν 1W 2W 21 WWV += και επιπλέον

. Τότε γράφουμε 21 0=∩WW

21 WWV ⊕=

Η σημασία του ευθέως αθροίσματος βρίσκεται στην επόμενη πρόταση ΘΕΩΡΗΜΑ: 21 WWV ⊕= αν και μόνο αν κάθε διάνυσμα Vv∈ γράφεται με μοναδικό τρόπο ως , με 21 wwv += 11 Ww ∈ και 22 Ww ∈ . Απόδειξη: Έστω . Προφανώς κάθε 21 WWV ⊕= Vv∈ μπορεί να γραφεί ως

, με και 21 wwv += 11 Ww ∈ 22 Ww ∈ . Θα δείξουμε ότι η ανάλυση αυτή είναι μοναδική. Έστω λοιπόν ότι υπάρχει και δεύτερη ανάλυση 21 wwv ′+′= , με και . Τότε

11 Ww ∈′

22 Ww ∈′

21 wwv += 21 ww ′+′= ⇒ 2211 wwww −′=′− ∈ 21 0=∩WW ⇒ 2211 wwww −′=′− = 0

⇒ 11 ww ′= και 22 ww ′= Αντίστροφα, έστω ότι κάθε διάνυσμα Vv∈ γράφεται με μοναδικό τρόπο ως

, με και 21 wwv += 11 Ww ∈ 22 Ww ∈ . Προφανώς 21 WWV += . Μένει να δείξουμε ότι . Έστω λοιπόν 21 0=∩WW 21 WWv ∩∈ . Τότε το v μπορεί να γραφεί ως εξής

+= vv 0, όπου 1Wv∈ και 0 2W∈ όπως επίσης

=v 0 , όπου 0v+ 1W∈ και 2Wv∈ Εφόσον η ανάλυση αυτή είναι μοναδική ισχύει =v 0 και συνεπώς . 21 0=∩WW Προφανώς όταν 21 WWV ⊕= , η σχέση (∗ ) του πρώτου θεωρήματος δίνει

21 dimdimdim WWV +=

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Γνωρίζουμε ότι κάθε διάνυσμα ),( bav = του επιπέδου 2R αναλύεται ως άθροισμα των προβολών του στους άξονες του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και μάλιστα με μοναδικό τρόπο.

v

56

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

),( bav =

)0,(1 aw =

),0(2 bw =

Πρόκειται για ένα παράδειγμα ευθέως αθροίσματος. Πράγματι, ο διανυσματικός χώρος

2RV = ,|),( Rbaba ∈= είναι το ευθύ άθροισμα των υποχώρων του

|)0,(1 RaaW ∈= και |),0(2 RbbW ∈= διότι και , όπου 0 = (0,0). 21 WWV += 21 0=∩WW Παρατηρούμε επίσης ότι κάθε διάνυσμα ),( bav = αναλύεται

),( bav = ),0()0,( ba += όπου , 11 )0,( Waw ∈= 22 ),0( Wbw ∈= και η ανάλυση αυτή είναι μοναδική.

57