Лекция 10 Осуществимость решения задач на вычислительных системах http ://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov/teaching/index.php?n=Site.DCSFT-spring2014 Пазников Алексей Александрович к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных систем Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
ЛЕКЦИЯ 10. Осуществимость решения задач на вычислительных системах
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных системСибирский государственный университеттелекоммуникаций и информатики
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Лекция 10
Осуществимость решения задач на вычислительных системах
Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
2
Функция осуществимости:
𝐹 𝑡 = 𝑅(𝑡)Φ(𝑡)
где 𝑅(𝑡) – функция надёжности системы иливероятность безотказной работы ВС втечение времени 𝑡.
Φ(𝑡) – вероятность решения задачи на 𝑛работоспособных ЭМ за время 𝑡, т.е. Φ 𝑡 =𝑃 0 ≤ 𝜁 < 𝑡 , 𝜁 – случайная величина,являющаяся моментом решения задачи намножестве из 𝑛 исправных ЭМ.
(1)
Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
3
В момент начала решения задачи: 𝑖 ∈ 𝐸𝑛𝑁 =
{𝑛, 𝑛 + 1,… ,𝑁} , т.е. в ВС может бытьисправно 𝑖 ЭМ.
Если во множестве из 𝑖 работоспособных ЭМможно выделить множество из 𝑛 < 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸𝑛
𝑁
связных машин, тогда это подмножествобудет подсистемой, способной выполнятьпрограмму из 𝑛 ветвей.
Функция Φ(𝑡) – вероятностный законрешения сложной задачи на любойсовокупности из 𝑛 работоспособных ЭМ.
Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
4
Статистически установлено, что законраспределения времени решения простыхзадач на одной ЭМ являетсяэкспоненциальным. Поэтому
Φ 𝑡 = 1 − 𝑒−𝛽𝑛𝑡
где 𝛽𝑛 - интенсивность ( 1/𝛽𝑛 - среднеевремя) решения задач на 𝑛 машинах.Практически 𝛽𝑛 ≈ 𝑛𝛽1
(1)
Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
5
Функция (1) позволяет судить о том, скакой вероятностью за время 𝑡 ≥ 0сложная задача, представленнаяпараллельной программой с 𝑛 ветвями,будет решена на неабсолютно надёжнойВС, в которой из 𝑁 машин (𝑁 − 𝑛) ЭМсоставляют структурную избыточность.
Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
6
Поскольку 𝑅(𝑡) и Φ(𝑡) являютсясоответственно невозрастающей инеубывающей функциями, то существуеттакой момент 𝑡𝑚 , при котором 𝐹(𝑡)достигает максимума: 𝐹(𝑡𝑚) = max
𝑡𝐹(𝑡).
⇒ наиболее вероятно ожидать решениязадачи в момент 𝑡𝑚, после прохожденияэтого времени вероятность решениязадачи уменьшается и асимптотическистремится к нулю.
Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
7
Функция 𝐹(𝑡) (1) – функция осуществимостирешения задачи на ВС со структурнойизбыточностью.
Решение сложной задачи осуществимо наВС, если для некоторого 𝑡 одновременноимеют место 𝐹 𝑡 ≥ 𝐹°, 𝑡 ≤ 𝑡°; 𝐹° и 𝑡° -пороги осуществимости параллельногорешения задачи и их значения выбираютэмпирически.
Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
8
Методика расчёта 𝐹(𝑡) не отличается отрасчёта функции надёжности ВС, т.е. 𝑅(𝑡), исвязан с применением численных методов.
Для ВС, режим которой стационарен, вместо(1) достаточно использовать:
𝐹∗ 𝑡 = 𝑅∗ 𝑡 Φ(𝑡)
где 𝑅∗ 𝑡 рассчитывается по известнымформулам.
Функцию 𝐹∗ 𝑡 назовём функциейоперативной осуществимости решениязадачи на ВС со структурной избыточностью.
Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
9
На практике при расчёте 𝐹∗(𝑡) достаточноучесть лишь оценку 𝑅∗(𝑡) снизу.
Но даже в этом случае расчёт являетсятрудоёмким.
Ниже рассчитаем показатели, позволяющиелегко оценить потенциальнуюосуществимость решения задачи на ВС.
Функция осуществимости на живучих ВС
10
Мат. ожидание 𝓃(𝑖, 𝑡) числа работоспособныхЭМ при условии, что в начальный моментисправно 𝑖 ∈ 𝐸0
𝑁 = {0,1,2, … , 𝑁} ЭМ, достаточноточно говорит об уровне потенциальнойпроизводительности ВС в любой момент 𝑡 > 0.
Тогда осуществимость решения задачи:
ℱ 𝑖, 𝑡 = 1 − exp −𝛽
0
𝑡
𝓃 𝑖, 𝜏 𝑑𝜏
где 𝛽 = 𝛽1 - интенсивность решения задачна 1 ЭМ.
(3)
Функция осуществимости на живучих ВС
11
(3) ⇒ функция ℱ 𝑡 является вероятностью того,что сложная задача, представленнаяадаптирующейся параллельной программой,будет решена за время 𝑡 на ВС, начавшейфункционировать в состоянии 𝑖 ∈ 𝐸0
𝑁.
Если ВС функционирует долго (стац. режим), товероятность решения задачи может бытьвыражена просто:
ℱ 𝑡 = 1 − exp(−𝛽𝓃𝑡)
Здесь 𝓃 = lim𝑡→∞
𝓃(𝑖, 𝑡)
(4)
Функция осуществимости на живучих ВС
12
Функции ℱ 𝑖, 𝑡 и ℱ 𝑡 позволяютпроанализировать процесс параллельногорешения задачи в переходном истационарном режимах.
Решение задачи осуществимо на промежутке[0, 𝑡) , если выполняются неравенстваℱ 𝑖, 𝑡 ≥ 𝐹°, 𝑡 ≤ 𝑡° для переходного режимаи ℱ 𝑡 ≥ 𝐹° , 𝑡 ≤ 𝑡° для стационарногорежима функционирования системы.
где 𝑝 – комплексный параметр, 𝒜(𝑝) –изображение функции 𝒜 𝑡 . Из последнего сучётом (10) следует
𝒜 𝑝 = (𝑗𝑝 + 𝛼)/(𝑝 + 𝛽)
Используя формулу обращенияпреобразования Лапласа-Карсона
𝑗𝑝 + 𝛼
𝑝 + 𝛽~𝛼
𝛽+𝑗𝛽 − 𝛼
𝛽𝑒−𝛽𝑡
Анализ обслуживания потока задач на ВС
19
находим решение (9) при начальныхусловиях (10):
𝒜 𝑡 =𝛼
𝛽+ 𝑗 −
𝛼
𝛽𝑒−𝛽𝑡
Подстановка t=0 в (11) и самой функции𝒜 𝑡 в (9) убеждает в том, что (11)удовлетворяет начальному условию (10) иуравнению (9).
(11)
Анализ обслуживания потока задач на ВС
20
В стационарном режиме среднееколичество задач, находящихся в ВС, независит от начального условия:
𝒜 = lim𝑡→∞
𝒜(𝑡) = 𝛼/𝛽
Вместо (7) выведем простое условие. Дляэтого учтём, что (7) должно выполнятьсяна всём промежутке [0,∞)
lim𝑡→∞
𝒜(𝑡) ≤ lim𝑡→∞
𝓃 𝑖, 𝑡 , 𝒜 ≤ 𝓃
(12)
Анализ обслуживания потока задач на ВС
21
Следовательно, потока поступающих на ВСзадач считается слабоинтенсивным, есливыполняются неравенства:
𝛼
𝛽≤
𝑁𝜇(𝜆 + 𝜇)−1 при 𝑁𝜆 ≤ 𝑚 𝜆 + 𝜇 ;
𝑚𝜇𝜆−1 в противном случае.
Если учесть, что для современных ЭВМ𝜆 ≪ 𝜇, то (13) принимает вид:
𝛼 ≤ 𝑁𝛽 при 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇;
𝑚𝜇𝛽𝜆−1 при 𝑁𝜆 > 𝑚𝜇.
(13)
(14)
Анализ обслуживания потока задач на ВС
22
Т.о. (13), (14) указывают на условия,при которых справедлива формула(11) для расчёта мат. ожиданияколичества задач, находящихся в ВСв момент времени 𝑡.
Анализ обслуживания потока задач на ВС
23
Случай 2. Поток поступающих на ВС задач -сильноинтенсивный и имеет место неравенство
𝒜 𝑡 > 𝓃(𝑖, 𝑡)
Следовательно, имеется очередь задач наобслуживание. Тогда ℬ 𝑡 = 𝓃(𝑖, 𝑡) и справедливыформулы:
𝒜 𝑡 + ∆𝑡 = 𝒜 𝑡 + 𝛼∆𝑡 + 𝓃 𝑖, 𝑡 𝜆Δ𝑡 − 𝓃 𝑖, 𝑡 𝛽Δ𝑡
𝑑
𝑑𝑡𝒜 𝑡 = 𝛼 + (𝜆 − 𝛽)𝓃 𝑖, 𝑡
𝒜 0 = 𝑗, 𝑗 ∈ 𝑖 + 1, 𝑖 + 2,… = 𝐸𝑖+1∞
(15)
Анализ обслуживания потока задач на ВС
24
Действуя аналогичным образом, получаемформулу для мат. ожидания количества задач,находящихся в ВС в момент t приневыполнении неравенства (7):
𝒜 𝑡 = 𝑗 +𝑖(𝜆 − 𝛽)
𝑥−𝑦𝜇(𝜆 − 𝛽)
𝑥2+
+ 𝛼 +𝑦𝜇(𝜆 − 𝛽)
𝑥𝑡
−𝑖(𝜆 − 𝛽)
𝑥−𝑦𝜇(𝜆 − 𝛽)
𝑥2𝑒−𝑥𝑡
(17)
(18)
Анализ обслуживания потока задач на ВС
25
где
𝑥 = 𝜆 + 𝜇, если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚 𝜆 + 𝜇 ,
𝜆, если 𝑁𝜆 > 𝑚 𝜆 + 𝜇 ;
𝑦 = 𝑁, если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚 𝜆 + 𝜇 ,
𝑚, если 𝑁𝜆 > 𝑚 𝜆 + 𝜇 ;
Выражения (16)-(18) характеризуют процессобслуживания сильноинтенсивного потоказадач независимо от режима её работы.
(17)
(18)
Анализ обслуживания потока задач на ВС
26
Условие роста очереди нерешённых задач:
𝛼 > 𝑁 𝛽 − 𝜆 , если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇;
𝑚𝜇 𝛽 − 𝜆 𝜆−1, если 𝑁𝜆 > 𝑚𝜇.
Из (19) следует, что показатель 𝒜 𝑡 следуетрассчитывать по формулам (16)-(18), еслиинтенсивность потока задач выше суммарнойинтенсивности их решения всеми ЭМ ВС.
Случай 1 практически наиболее важен.
(19)
Анализ обслуживания потока задач на ВС
27
1. Показатели осуществимости решения задачустанавливают взаимосвязь междуколичественными характеристикаминадёжности или живучести ВС ивероятностными параметрами поступающихзадач.
2. Моделирование показало, что до 10 чустанавливается стационарный режим.
3. Континуальный подход являетсяэффективными при анализеосуществимости.