Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1 Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: KYMATA (ΑΣΚΗΣΕΙΣ) Μηχανικά κύματα 2.29) Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα σημείο της χορδής για να μετατοπιστεί από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση ισορροπίας του είναι 0,15 s. Ποια είναι η συχνότητα του κύματος; Αν το μήκος κύματος είναι λ= 1,2 m ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; ΛΥΣΗ Κάθε σημείο της χορδής στην οποία διαδίδεται το αρμονικό κύμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Γνωρίζουμε ότι ο χρόνος ( t ) που απαιτείται για να μετατοπιστεί ένα σωμάτιο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση ισορροπίας του ισούται με το 1/4 της περιόδου της ταλάντωσής του. Δηλαδή: 4 t t 4 s 15 , 0 4 s 6 , 0 Επομένως η συχνότητα του κύματος θα είναι: 1 f s f 6 , 0 1 Hz f 6 10 Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής: f Hz m 6 10 2 , 1 s m 1 6 10 2 , 1 s m 6 12 s m 2 2.30) Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος είναι y =3x10 -2 ημ(1320t -4x). Να υπολογίσετε: α) το μήκος κύματος (λ). β) την ταχύτητα του κύματος υ. γ) τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου. δ) την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οποία παρουσιάζουν διαφορά φάσης 120°. ΛΥΣΗ Σε τέτοιου είδους θέματα το πρώτο βήμα είναι η σύγκριση των εξισώσεων που μας δίνονται με την εξίσωση της θεωρίας. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η εξίσωση της θεωρίας είναι: x t y 2 (1) Η εξίσωση που μας δίνεται είναι: x t y 4 1320 10 3 2 (2) Πρέπει να ‘μετασχηματίσουμε’ την εξίσωση (2) στη μορφή της εξίσωσης (1). Δηλαδή: x t y 4 1320 10 3 2 x t y 2 660 2 10 3 2 x t y 2 660 2 10 3 2 α) Από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει:
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: KYMATA (ΑΣΚΗΣΕΙΣ)
Μηχανικά κύματα
2.29) Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα
σημείο της χορδής για να μετατοπιστεί από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση
ισορροπίας του είναι 0,15 s. Ποια είναι η συχνότητα του κύματος; Αν το μήκος κύματος είναι
λ= 1,2 m ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος;
ΛΥΣΗ
Κάθε σημείο της χορδής στην οποία διαδίδεται το αρμονικό κύμα εκτελεί απλή αρμονική
ταλάντωση. Γνωρίζουμε ότι ο χρόνος ( t ) που απαιτείται για να μετατοπιστεί ένα σωμάτιο
που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση
ισορροπίας του ισούται με το 1/4 της περιόδου της ταλάντωσής του. Δηλαδή:
4
t t4 s15,04 s6,0
Επομένως η συχνότητα του κύματος θα είναι:
1
f s
f6,0
1Hzf
6
10
Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:
f Hzm6
102,1
sm
1
6
102,1
s
m
6
12
s
m2
2.30) Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος είναι
y =3x10-2ημ(1320t -4x). Να υπολογίσετε:
α) το μήκος κύματος (λ).
β) την ταχύτητα του κύματος υ.
γ) τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου.
δ) την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οποία παρουσιάζουν διαφορά
φάσης 120°.
ΛΥΣΗ
Σε τέτοιου είδους θέματα το πρώτο βήμα είναι η σύγκριση των εξισώσεων που μας δίνονται
με την εξίσωση της θεωρίας. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η εξίσωση της θεωρίας είναι:
xty 2 (1)
Η εξίσωση που μας δίνεται είναι: xty 41320103 2 (2)
Πρέπει να ‘μετασχηματίσουμε’ την εξίσωση (2) στη μορφή της εξίσωσης (1). Δηλαδή:
xty 41320103 2 xty 26602103 2
xty
2660
2103 2
α) Από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 2
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
xx
2
21 m
2
m
2
14,3 m57,1
β) Ομοίως από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει:
tt
660
6601s
660
Με τη βοήθεια της περιόδου του κύματος μπορούμε να υπολογίσουμε τη συχνότητά και τη
γωνιακή συχνότητα του κύματος:
1
f
s
f
660
1
Hzf
660
Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:
f Hzm
660
2s
m1660
2
s
m
2
660
s
m330
Σημείωση: Στο παραπάνω ερώτημα θα μπορούσαμε να είχαμε γράψει απευθείας
Hzf
660 χωρίς να υπολογίσουμε πρώτα την περίοδο του κύματος, διότι:
xty 2
xty1
2
x
tfy 2
γ) Ομοίως από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει: m2103
Με τη βοήθεια της συχνότητας του κύματος μπορούμε να υπολογίσουμε και τη γωνιακή
συχνότητα:
f 2 Hz
660
2s
rad1320
Άρα, η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου θα είναι:
max ms
rad 2
max 1031320
s
m2max 103960
s
m6,39max
δ)
Σημείωση: Διαφορά φάσης Δφ των ταλαντώσεων σε δύο σημεία του μέσου διάδοσης ενός
κύματος ονομάζεται η διαφορά των φάσεων των ταλαντώσεων στα σημεία αυτά.
Έστω δύο σημεία Α και Β του άξονα Οx που απέχουν αποστάσεις x και x , ( xx ),
αντίστοιχα από την πηγή Ο του κύματος. Οι φάσεις των ταλαντώσεων στα δύο αυτά σημεία
κατά την ίδια χρονική στιγμή t , θα είναι αντίστοιχα
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 3
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
)(2
xt Επειδή xx
)(2
xt
Σύμφωνα με τον ορισμό της διαφοράς φάσης, έχουμε
)(2)(2
xtxt
xx2
x
2
Επομένως, για να προσδιορίσουμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου
τα οποία παρουσιάζουν διαφορά φάσης 120° , δηλαδή 3
2 rad πρέπει να χρησιμοποιήσουμε
τη σχέση:
x
2
Προσοχή! Η σχέση
x
2 πρέπει να αποδεικνύεται!
Άρα για 3
2 προκύπτει:
x
2
x2 x 2
2x
2
57,13
2m
x
2
3
57,12 m
x
6
57,12 mx mx 523,0
2.31) Η πηγή κυμάτων Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή μηδέν να εκτελεί απλή αρμονική
ταλάντωση πλάτους Α=10 cm και συχνότητας f=0,25 Hz. Το κύμα που δημιουργεί διαδίδεται
κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου με ταχύτητα υ=3 m/s. Να υπολογίσετε:
α) μετά από πόσο χρόνο θα αρχίσει να κινείται κάποιο σημείο Β του μέσου, που απέχει x =
60 m από την πηγή Ο.
β) την απομάκρυνση του σημείου Β, από τη θέση ισορροπίας του, τη στιγμή t = 21,5 s.
ΛΥΣΗ
α) Το κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου με σταθερή
ταχύτητα, μέτρου υ=3 m/s.
Άρα το σημείο Β που απέχει x = 60 m από την πηγή Ο θα αρχίσει να κινείται μετά από χρόνο
t που προκύπτει από την εξίσωση της ταχύτητας του κύματος:
x
txtt
x
s
m
mt
3
60st 20
β) Το πρώτο πράγμα που πρέπει να ελέγχουμε σε τέτοιου είδους ερωτήματα είναι εάν έχει
φτάσει το κύμα στο σημείο που μελετάμε τη δοσμένη χρονική στιγμή. Παρατηρούμε ότι το
σημείο Β αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή st 20 και μας ζητείται η
απομάκρυνση του τη χρονική στιγμή st 5,21 . Άρα το σημείο Β ταλαντώνεται.
Η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του προκύπτει από την εξίσωση:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 4
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
xty 2 (1)
Παρατηρούμε ότι για να υπολογίσουμε την απομάκρυνση y χρειαζόμαστε την περίοδο και
το μήκος κύματος.
Άρα:
1
f f
1
Hz25,0
1
s
125,0
1s4
Το μήκος κύματος προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:
f
f
f
1 s
s
m43 m12
Επομένως, τώρα είμαστε έτοιμοι να αντικαταστήσουμε στην (1):
m
m
s
sy
12
60
4
5,21210
5
4
5,120210 y
5
4
5,1
4
20210 y
5
4
5,15210 y
4
5,1210 y
4
310
y
4
10
y cmy2
210 cmy 25
Σημείωση: Εάν μας δίνεται η συχνότητα του κύματος (και θέλουμε να βρούμε την
απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα από τη θέση ισορροπίας
του), αντί να βρίσκουμε πρώτα την περίοδο του κύματος και να αντικαθιστούμε στην
εξίσωση:
xty 2
,μπορούμε να γράψουμε:
xty 2
xty1
2
x
tfy 2
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 5
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Στάσιμο κύμα
2.32) Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση:
tx
y
403
5,0 όπου τα x και y είναι σε cm και το t σε s.
α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το
στάσιμο κύμα.
β ) Πόσο απέχουν δύο διαδοχικοί δεσμοί;
γ) Τι ταχύτητα έχει τη χρονική στιγμή t = 9/8 s ένα σημείο του μέσου το οποίο απέχει 1cm
από τη θέση x = 0;
δ) Με τι ταχύτητα διαδίδονται τα κύματα που δημιουργούν το στάσιμο;
ΛΥΣΗ
α) Σε τέτοιου είδους θέματα το πρώτο βήμα είναι η σύγκριση των εξισώσεων που μας
δίνονται με την εξίσωση της θεωρίας. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η εξίσωση της θεωρίας
είναι:
txy
222 (1)
α) tx
y
403
5,0 (2)
Από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει:
cm25,02
5,05,02 (το πλάτος των αρχικών κυμάτων που συμβάλλουν και
δημιουργούν το στάσιμο κύμα)
3
2 xx
3
12
cm6
tt
402
402
40
2402 s
20
1
Το στάσιμο κύμα δημιουργείται όταν δύο κύματα ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας
διαδίδονται με αντίθετη φορά μέσα στο ίδιο ελαστικό μέσο
Τα δύο κύματα συμβάλλουν. Η κίνηση του μέσου ονομάζεται στάσιμο κύμα.
Άρα οι εξισώσεις των δύο κυμάτων θα είναι:
xty 21
(1) (διαδίδεται προς τη θετική φορά του άξονα x.)
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 6
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
xty 22
(2) (διαδίδεται προς την αρνητική φορά του άξονα x.)
Αντικαθιστώντας τις τιμές του πλάτους, της περιόδου και του μήκους κύματος, στις σχέσεις
(1) και (2), προκύπτουν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να
δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα.
Άρα:
xty 21
6
20
1225,01
xty
6
20225,01
xty (x και y είναι
σε cm και το t σε s).
xty 22
6
20
1225,02
xty
6
20225,02
xty (x και y
είναι σε cm και το t σε s).
β) Υπενθύμιση: Στην εξίσωση του στάσιμου κύματος,
tx
y
222 ,
ο όρος
x22 δίνει το πλάτος της ταλάντωσης κάθε σημείου. Το αποτελεί το
πλάτος του στάσιμου κύματος. Παρατηρούμε ότι το πλάτος εξαρτάται μόνο από τη θέση x
του σημείου και παραμένει σταθερός με το χρόνο.
Δεσμούς έχουμε στα σημεία όπου 0 .
Ο όρος μηδενίζεται όταν
022
x
2)12(,.....,
2
3,2
2
x
4)12(,...,
4
3,4
x , ,.....2,1,0
Τα σημεία αυτά [του θετικού ημιάξονα που απέχουν από την αρχή Ο( 0x ) αποστάσεις που
δίνονται από την παραπάνω σχέση] μένουν διαρκώς ακίνητα. Είναι οι δεσμοί του στάσιμου
κύματος.
Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος είναι 2
(διότι 24
)12(4]1)1(2[
d )
Συμπέρασμα: Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι ίση με το μισό
του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 7
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Από την παραπάνω ανάλυση συμπεραίνουμε ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών
θα είναι:
2
d
2
6cmd cmd 3
γ) Ένα σημείο του μέσου το οποίο απέχει 1cm από τη θέση x = 0 ταλαντώνεται με πλάτος:
x22
6
1225,02
6
25,0
35,0
2
15,0 cm25,0
Άρα η ταχύτητα της ταλάντωσης του εν λόγω σημείου τη χρονική στιγμή t = 9/8 s θα δίνεται
από τη σχέση:
t (3)
Στο σημείο αυτό πρέπει να προσδιορίσουμε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης η οποία
θα είναι:
2
s20
1
2 srad /40
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (3) προκύπτει:
t 8
94025,040
8
94010
4510
4410 22210 10 10
s
cm14,310
s
cm4,31
δ) Η ταχύτητα με την οποία διαδίδονται τα δύο κύματα που συμβάλλουν (και εξαρτάται μόνο
από το μέσο διάδοσης) προσδιορίζεται από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:
f (4)
Η συχνότητα των κυμάτων που συμβάλλει είναι:
1
f
s
f
20
1
1Hzf 20
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (4) προκύπτει:
f Hzcm 206 scm /120
s
m210120
s
m2,1
1
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 8
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2.33) Στο σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος, κάποια στιγμή κατά
την οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν μηδενική ταχύτητα. Τα κύματα που
συμβάλλουν για να δώσουν το στάσιμο κύμα έχουν περίοδο s2 .
α) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος μετά από 0,5 s και μετά από 1
s.
β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x = 12,5
cm.
ΛΥΣΗ
α) Η περίοδος του κύματος είναι s2 . Άρα το χρονικό διάστημα st 5,01 αντιστοιχεί
στο 1/4 της περιόδου, δηλαδή 4
1
t .
Αντίστοιχα το χρονικό διάστημα st 12 αντιστοιχεί στο 1/4 της περιόδου, δηλαδή
22
t .
Τα σημεία που βρίσκονται αποστάσεις cmx 51 , cmx 152 , cmx 253 κ.τ.λ. από τη θέση
0x . Αποτελούν δεσμούς του στάσιμου κύματος, δηλαδή παραμένουν συνεχώς ακίνητα.
Επίσης στο συγκεκριμένο στιγμιότυπο πάρθηκε τη στιγμή όπου όλα τα σημεία του μέσου
είναι ακίνητα. Δηλαδή τη στιγμή εκείνη όπου όλα τα σημεία του μέσου βρίσκονται στη θέση
μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας.
Σημείωση: Υπενθυμίζουμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι το ίδιο για όλα τα σημεία
στο στάσιμο κύμα καθώς δίνεται από τη σχέση
x22 , δηλαδή εξαρτάται από την
απόσταση του σημείου από τη θέση 0x .
Αφού λοιπόν όλα τα σημεία του μέσου βρίσκονται στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης, μετά
από χρόνο 4
1
t θα βρίσκονται στη θέση ισορροπίας!
Επίσης μετά από χρόνο 2
2
t όλα τα σημεία θα έχουν αντίθετες μέγιστες απομακρύνσεις.
Άρα τα δύο ζητούμενα διαγράμματα θα είναι:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 9
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
β) Ένα σημείο του μέσου το που βρίσκεται στη θέση x = 12,5 cm ταλαντώνεται με πλάτος
που προκύπτει από τη σχέση:
x22 (1)
Στη σχέση αυτή ο όρος 2 είναι το πλάτος της ταλάντωσης των κοιλιών, δηλαδή των
σημείων που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και βρίσκονται στις θέσεις 00 x ,
cmx 101 , cmx 202 , cmx 303 κ.τ.λ (δηλαδή στο μέσο της οριζόντιας απόστασης
μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών).
Όπως βλέπουμε από το σχήμα: cm42 .
Όπως είδαμε στην άσκηση 2.32, απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι
ίση με το μισό του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το
στάσιμο κύμα.
Άρα, όπως βλέπουμε από το σχήμα cmcm 5152
cm10
2
cm20
Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) προκύπτει:
x22
20
5,1224
20
254
4
54
4
4
cm2
24 cm22
)(cmy
)(cmy
)(cmy
)(cmx
)(cmx
)(cmx
4
4
4
4
4
4
5
5
5
15
15
15
25
25
25
Αρχικό στιγμιότυπο
st 5,01
st 12
2/
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 10
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2.34) Διαπασών συχνότητας 340 Hz ηχεί μπροστά σε λείο κατακόρυφο τοίχο. Ανάμεσα στο
διαπασών και στον τοίχο, στην ευθεία που είναι κάθετη στον τοίχο, μετακινείται ευαίσθητος
δέκτης. Παρατηρούμε ότι σε δύο διαδοχικές θέσεις του δέκτη, που απέχουν μεταξύ τους 0,5
m, η ένδειξή του μηδενίζεται.
α) Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου;
Αντικαθιστούμε το διαπασών με άλλο άγνωστης συχνότητας.
β) Διαπιστώνουμε δύο διαδοχικά μέγιστα έντασης σε θέσεις που απέχουν μεταξύ τους 0,2 m.
Ποια είναι η συχνότητα του δεύτερου διαπασών;
ΛΥΣΗ
α) Στην περίπτωση αυτή έχουμε δύο κύματα ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας (το
προσπίπτον κύμα και το ανακλώμενο στον τοίχο) που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις.
Άρα έχουμε τη δημιουργία ενός στάσιμου κύματος. Οι θέσεις όπου μηδενίζεται η ένδειξη του
δέκτη αντιστοιχούν σε δεσμούς του στάσιμου κύματος.
Όπως είδαμε στην άσκηση 2.32, απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι
ίση με το μισό του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το
στάσιμο κύμα.
Άρα, m5,02
m1
Επομένως η ταχύτητα διάδοσης του ήχου, δηλαδή η ταχύτητα του προσπίπτοντος και η
ταχύτητα του ανακλώμενου ηχητικού κύματος (η οποία εξαρτάται μόνο από το μέσο
διάδοσης) προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:
f Hzm 3401s
m340
β) Τα μέγιστα του ήχου αντιστοιχούν σε κοιλίες του στάσιμου κύματος.
Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι ίση με το μισό του μήκους
κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.
Άρα,
m2,02
m4,0
Άρα το μήκος κύματος των νέων κυμάτων που συμβάλλουν (του νέου προσπίπτοντος και του
νέου ανακλώμενου) είναι m4,0 .
Επειδή η ταχύτητα διάδοσης του ήχου (όπως και οποιουδήποτε κύματος) εξαρτάται μόνο από
το μέσο διάδοσης, η ταχύτητα του νέου προσπίπτοντος και του νέου ανακλώμενου θα είναι
πάλι: s
m340 .
Άρα η νέα συχνότητα του διαπασών (δηλαδή η νέα συχνότητα του προσπίπτοντος και του
ανακλώμενου ηχητικού κύματος) θα είναι:
ff
m
s
m
f4,0
340
s
f1
850 Hzf 850
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 11
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2.35) Δύο κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα κατά μήκος του ίδιου σχοινιού.
Οι εξισώσεις των κυμάτων είναι:y1 = 5ημπ(5t - x) και y2 = 5ημπ(5t + x) όπου τα y και x είναι
μετρημένα σε cm και το t σε s.
α) Υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων.
β) Βρείτε τη θέση τριών σημείων του σχοινιού τα οποία παραμένουν ακίνητα και τριών
σημείων των οποίων το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο.
γ) Ποιο είναι το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης;
ΛΥΣΗ
α) Σε τέτοιου είδους θέματα το πρώτο βήμα είναι η σύγκριση των εξισώσεων που μας
δίνονται με την εξίσωση της θεωρίας. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η εξίσωση της θεωρίας
είναι:
xty 2
xty1
2
x
tfy 2 (1)
Άρα,
xty 551
22
5251
xty (2)
xty 552
22
5252
xty (3)
Από τη σύγκριση των εξισώσεων (1) και (2) ή (1) και (3) προκύπτει:
cm5
2
5 ttf Hzf
2
5
2
xx
2
11
cm2
Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων, προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:
f Hzcm2
52
s
cm5
β) Η εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει από τη συμβολή των δύο κυμάτων είναι:
tx
y
222
ty
2
Άρα το πλάτος της ταλάντωσης των σημείων του μέσου είναι:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 12
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
x22
2
252
x x10
Για τα σημεία που παραμένουν ακίνητα ισχύει: 0 010 x 0x
2
2
x
22
x
22x
2
12 x ,
Δηλαδή δεσμούς έχουμε στις θέσεις όπου ικανοποιούνται οι σχέσεις:
2
12 x
Και
2
12 x
όπου ,.....3,2,1,0
Άρα δεσμούς (σημεία που παραμένουν συνεχώς ακίνητα) έχουμε στις θέσεις: