Вариант 1 Часть 1 В заданиях 1–12 дайте ответ в ...wilar.ucoz.ru/_ld/1/193_.-11_-_2016.pdfугольной призмы проведена плоскость,

Диагностическая работа по математике 11 класс, октябрь 2016

1

Вариант 1

Часть 1

В заданиях 1–12 дайте ответ в виде целого числа, или десятичной дроби,

или последовательности цифр.

1 Показания счётчика электроэнергии 1 ноября составляли 12 625 кВт/ч, а 1 де-

кабря — 12 802 кВт/ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь,

если 1 кВт/ч электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек? Ответ дайте в рублях.

2 На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все

дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по

вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диа-

грамме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наи-

меньшее количество посетителей за день.


2

3 Найдите площадь треугольника, вер-

шины которого имеют координаты

(1;6), (9;6), (10;9).

4 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7

спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок,

в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность

того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

5 Найдите корень уравнения (х + 8)5 = 243.

6 В четырехугольник ABCD вписана окруж-

ность, AB = 10, CD = 16. Найдите периметр

четырехугольника ABCD.

7 На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные

в четырёх точках.

Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, по-

ставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.


3

ТОЧКИ ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

А) K

Б) L

В) M

Г) N

1) −4

2) 3

3)

4) −0,5

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А Б В Г

8

Через среднюю линию основания тре-

угольной призмы проведена плоскость, па-

раллельная боковому ребру. Площадь бо-

ковой поверхности отсеченной треуголь-

ной призмы равна 8. Найдите площадь бо-

ковой поверхности исходной призмы.

Часть 2

9 Найдите значение выражения

10 Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по зако-

ну

, где t — время с момента начала колебаний, T = 12 с — период

колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется

по формуле

где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в

м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колеба-

ний. Ответ дайте в джоулях.

11 Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять

таких же рубашек дороже куртки?

12 Найдите точку максимума функции .


4

В заданиях 13-14 запишите решение и ответ

13 а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14 Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с верши-

ной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрез-

ка SS1, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так,

что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобокая

трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.


5

Вариант 2

Часть 1



1 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 10 копеек. Счетчик электроэнергии

1 ноября показывал 7061 киловатт-час, а 1 декабря показывал 7249 киловатт-

часов. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?

2 На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс

откладывается время (в часах), на оси ординат — пройденный путь (в километ-

рах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте.

Ответ дайте в км/ч.

3 Найдите площадь треугольника, верши-

ны которого имеют координаты (1; 7),

(3; 7), (5; 9).


6

4 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8

спортсменов из Сербии, 3 спортсмена из Хорватии и 6 — из Словении. Порядок,

в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность

того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии.

5 Найдите корень уравнения (х + 2)5 = 32 .

6 Периметр четырехугольника, описанного

около окружности, равен 24, две его стороны

равны 5 и 6. Найдите большую из оставших-

ся сторон.

7 На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в

четырёх точках.

Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, по-

ставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.


А) K

Б) L

В) M

Г) N

1)

2) 2

3)

4)


А Б В Г


7

8 Через среднюю линию основания треугольной

призмы проведена плоскость, параллельная боко-

вому ребру. Площадь боковой поверхности отсе-

ченной треугольной призмы равна 20. Найдите

площадь боковой поверхности исходной призмы.

Часть 2



ну



по формуле


м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 11 секунд после начала колеба-


11 Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа уве-

личилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%. Если бы стипендия доче-

ри уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько про-

центов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

12 Найдите точку минимума функции .




14 Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны

12. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M —

середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.


трапеция.



8


9

Вариант 3

Часть 1

В заданиях 1–12 дайте ответ в виде целого числа, или десятичной

дроби, или последовательности цифр.

1 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 90 копеек. Счетчик электроэнер-

гии 1 июня показывал 14700 киловатт-часов, а 1 июля показывал 14892 кило-

ватт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за июнь?

2 На рисунке показано изменение биржевой стоимости акций горно-обогати-

тельного комбината во второй половине октября. 18 октября бизнесмен при-

обрёл 480 акций этого комбината. Треть своих акций он продал 25 октября, а

оставшиеся акции — 27 октября. Сколько рублей приобрёл бизнесмен в ре-

зультате этих операций?

3 Найдите площадь треугольника, изоб-

раженного на рисунке.

4 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 9

спортсменов из Сербии, 8 спортсменов из Хорватии и 10 — из Словении. По-

рядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите ве-

роятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из

Сербии.


10

5 Найдите корень уравнения (х – 7)9= - 512 .

6 В четырехугольник ABCD вписана окруж-

ность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите

четвертую сторону четырехугольника.

7 На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к

нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точ-

ках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке

значение производной функции в ней.

ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ

А) A

Б) B

В) C

Г) D

1) 1,4

2) −0,7

3) 0,5

4) −1,8

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А Б В Г


11

8 Через среднюю линию основания треуголь-

ной призмы проведена плоскость, парал-

лельная боковому ребру. Площадь боковой

поверхности отсеченной треугольной приз-

мы равна 10. Найдите площадь боковой по-

верхности исходной призмы.

Часть 2



ну

, где t — время с момента начала колебаний, T = 12 с — пери-

од колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычис-

ляется по формуле

где m — масса груза в килограммах, v — скорость

груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала

колебаний. Ответ дайте в джоулях.

11

Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько процен-

тов тринадцать таких же рубашек дороже куртки?

12 Найдите точку максимума функции .




ной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой от-

резка SS1, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так,

что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобо-

кая трапеция.



12


13

Вариант 4

Часть 1



1 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 60 копеек. Счетчик электроэнергии

1 сентября показывал 79 991 киловатт-час, а 1 октября показывал 80 158 кило-

ватт-часов. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за сентябрь?

2 На рисунке показано изменение биржевой стоимости акций целлюлозно-бу-

мажного завода в первой половине апреля. 2 апреля бизнесмен приобрёл 250

акций этого завода. 6 апреля он продал 150 акций, а оставшиеся акции продал 11

апреля. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?

3 Найдите площадь треугольника, верши-

ны которого имеют координаты (1; 6),

(9; 6), (7; 9).


14

4 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании,

3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 — из Италии. Поря-

док, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероят-

ность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Франции.

5 Найдите корень уравнения (х +1)3= - 1000 .

6 В четырехугольник АВСD, периметр которого

равен 48, вписана окружность АВ = 15.

Найдите СD.

7 На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему

в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точ-

ках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке зна-

чение производной функции в ней.


А) A

Б) B

В) C

Г) D

1) −0,5

2) −2

3) 1,5

4) 0,3


А Б В Г


15

8 Через среднюю линию основания треуголь-

ной призмы проведена плоскость, параллель-

ная боковому ребру. Площадь боковой по-

верхности отсеченной треугольной призмы

равна 47. Найдите площадь боковой поверх-

ности исходной призмы.

Часть 2



ну



по формуле


м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 2 секундs после начала колеба-


11 Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа уве-

личилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери

уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процен-

тов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

12 Найдите точку минимума функции .





ной S равны 12. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрез-

ка SS1, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так,

что BL : LC = 1 : 2.


трапеция.



16


17

Инструкция по выполнению работы

На выполнение работы по математике даётся 90 минут. Работа включает в себя 14

заданий. Ответом в заданиях 1–12 является целое число, или десятичная дробь, или

последовательность цифр. В заданиях 13-14 требуется записать решение и ответ.

При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями,

справочниками, калькулятором. При необходимости можно пользоваться черновиком.

Записи в черновике не проверяются и не оцениваются.

Ответы и решения:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

1 318,6 206,8 364,8 267,2

2 2 50 32 000 13 500

3 12 2 3 12

4 0,36 0,4 0,3 0,12

5 - 5 0 5 - 11

6 52 7 14 9

7 2143 2413 4132 2431

8 16 40 20 94

9 3 3 7 4

10 0 ,0025 0 ,045 0 ,005 0 ,006

11 15 38 17 27

12 - 1 4 - 10 2


18

Критерия задания 13

Содержание критерия Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах а и б 2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при

этом имеется верная последовательность всех шагов решения

уравнения и отбора корней

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых

выше

0

Критерия задания 14

Содержание критерия Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах а и б

2

Выполнен только один из пунктов а и б

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых

выше

0

Критерия оценивания работы

Оценка «2» «3» «4» «5»

количество

баллов 1-5 баллов 6-9 баллов 10-12 баллов 13-16 баллов


19

Вариант 1, 3

13. а) Решите уравнение


14. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основа-

ние высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра AS,

точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.


Решение.

Прямая S1M пересекает медиану AO треугольника ABD в

точке T так, чтоАТ : TO = 2 : 1, поскольку T — точка пересечения

медиан треугольника SAS1 и O — точка пересечения диагоналей

основания ABCD, так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC = 1 : 2. Точка L делит отрезок BC в от-

ношенииBL : LC = 1 : 2, следовательно, треугольни-

ки ACB и TCL подобны с коэффициентом подо-

бия k = AC : TC = BC : CL = 3 : 2, так как они имеют общий угол с

вершиной C и стороны AC и BC в треугольнике ABC пропорцио-

нальны сторонам TC и LC треугольника TCL, заключающим тот

же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L и T,

параллельна стороне AB основания пирамиды SABCD. Пусть эта

сторона сечения пересекает сторону AD в точке P.

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB, параллельна прямой AB, так как

плоскость S1LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямуюPL, параллельную плоско-

сти SAB. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K. Тогда сечение PMKL — равно-

бокая трапеция, поскольку AP = BL и AM = BK.

Большее основание LP трапеции равно 6, поскольку ABCD — квадрат. Второе основание MK тра-

пеции равно 3, поскольку MK — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия трапеции

равна 4,5

О т в ет : б) 4,5.


20

Вариант 2, 4



14. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 12. Ос-

нование высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра AS,

точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.


Решение. Прямая S1M пересекает медиану AO треугольника ABD в

точке T так, чтоАТ : TO = 2 : 1, поскольку T — точка пересече-

ния медиан треугольника SAS1 и O — точка пересечения диаго-

налей основания ABCD, так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC = 1 : 2. Точка L делит отрезок BC в

отношении BL : LC = 1 : 2, следовательно,

треугольники ACB и TCL подобны с коэффициентом по-

добия k = AC : TC = BC : CL = 3 : 2, так как они имеют общий

угол с вершиной C и стороны AC и BC в треугольни-

ке ABC пропорциональны сторонам TC и LC треугольни-

ка TCL, заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения,

проходящая через точки L и T, параллельна стороне AB основа-

ния пирамиды SABCD. Пусть эта сторона сечения пересекает

сторону AD в точке P.

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB, параллельна прямой AB, так как

плоскость S1LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямуюPL, параллельную плоско-

сти SAB. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K. Тогда сечение PMKL — равно-

бокая трапеция, поскольку AP = BL и AM = BK.

Большее основание LP трапеции равно 12, поскольку ABCD — квадрат. Второе основа-

ние MK трапеции равно 6, поскольку MK — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия

трапеции равна 9

О т в ет : б) 9.

Вариант 1 Часть 1 В заданиях 1–12 дайте ответ в ...wilar.ucoz.ru/_ld/1/193_.-11_-_2016.pdfугольной призмы проведена плоскость,

Documents