ДИСКРЕТНАЯ М АТЕМ АТИКА 1. Н овиков Ф . А . Д искретная м атем атика для програм м истов.2001. 2. Ш апорев С .Д .Д искретная м атем атика. Курс лекций и практических занятий. Уч.пособие.2006. 3. Б елоусов А .И .,Ткачёв С .Б .Д искретная м атем атика.М .:И зд- во М ГТУ им .Н .Э .Б аум ана.2001. 4. Галиев Ш . И . Д искретная м атем атика. Учебное пособие. 2005.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
1. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. 2001.
2. Шапорев С. Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий. Уч. пособие. 2006.
3. Белоусов А. И., Ткачёв С. Б. Дискретная математика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001.
4. Галиев Ш. И. Дискретная математика. Учебное пособие. 2005.
Георг Кантор
МНОЖЕСТВА
Большой вклад в становление теории множеств внёс Георг Кантор.
Множество - это собрание определенных и различных между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.
Примеры множеств:
1) множество целых положительных чисел меньших 10;
2) множество решений уравнения х2 – 1 = 0;
3) множество чисел Фибоначчи: а1 , а2 , а3 ,…, где аk+2 = ak + ak+1, k 1, a1 = a2 = 1;
4) множество самолетов и авиапассажиров.
Если х принадлежит М, то записываем хМ, иначе хМ.
ЗАДАНИЕ МНОЖЕСТВА Перечислением элементов: M = { a1 , a 2,…, a n };
предикатом: M = { x S : P(x) } или M = { x : x S и P(x)};
порождающей процедурой: M = {а k: а k+2 = а k + а k+1, а 1 = а 2 = 1, k 1}
M = {x : P(x)} M = {x P(x)} M = {x} P(x).
В А или В А если каждый элемент из В принадлежит А.
Если В А и В А, то В - собственное подмножество множества А.
А = В А В и В А.
Существует множество , что ни один элемент х ему не принадлежит.
Для любого А: А. n( ) = 0 или |А| = 0.
N = { 1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел; N = {0, 1, 2, 3, …};
Z = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} - множество целых чисел;
Q = { m / n: m, n Z, n 0 } - множество рациональных чисел;
R = (- ,) - множество вещественных чисел.
A B
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Объединение множеств А и В: A B = { x: x A или x B }.
Пересечение множеств А и В:
A B = { x: x A и x B }. Разность множеств А и В: A \ B = { x: x A и x B }.
Симметричная разность множеств А и В: A ∆ B = (A B) \ (A B ) =
= { x: ( x A и x B ) или ( x B и x A ) }.
Дополнение множества А: A = СА = { x: x A }. Диаграммы Венна или Эйлера – Венна.
A B
AB
A B
A BA\B
A∆B
U
A
А
СВОЙСТВА
Теорема 1.1. Для любых подмножеств А , В , С множества U выполняются:
1) )A( = A – свойство инволютивности; 12) A (А В) = A
2) A B = B A 13) A (А В) = A
3) A B = B A 14) A A = U
4) A (B C) = (A B) C 15) A A =
5) A (B C) = (A B) C 16) A U = A
6) A (B C) = (A B) (AC) 17) A U = U
7) A (B C) = (A B) (AC) 18) A =
8) A B =A B 19) A = A
9) A B =A B
10) A A = A
11) A A = A
Пусть х )A( . Имеем х )A( х A х А. Итак, )A( = А.
- св-ва коммутативности;
- св-ва ассоциативности;
- св-ва дистрибутивности;
- свойства операций с и U .
– законы де Моргана;
- свойства дополнения;
- законы идемпотентности;
- законы поглощения;
n-раз
РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ
{ B1 , B2 , …, B n } образует разбиение множества А : 1) B i , 1 i n; 2) B i B j = если i j; 3) B1 B2 … Bn = A. Пусть а А , b B , с А , d B. Упорядоченная пара - объект a , b такой, что
a , b = c , d а = с и b = d. Декартово произведение А и В ; А В = { a , b : а А и b B }. Если А = { 0, 1 }, B = { a , b }, то А В = { 0, a , 1, a , 0, b , 1, b }. Упор-ная n-ка: a 1 , a 2 ,…, a n = b 1 , b 2 ,…, b n : a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n = b n.
A1 A2…An = { a1, a2, …,an: a1A1 и a2A2 и … и anAn}.
Положим: An = A A … A. Свойства: (A B) C = (A C) (B C);
( A B) C = (A C) (B C); (A \ B) C = (A C) \ (B C).
B1
B3
B2
B4
ОТНОШЕНИЯ
Бинарным отношением на множествах А и В называется
подмножество R декартового произведения А В.
R А В. a , b R или a R b.
R1 – отношение: y = x; R2 – отношение: y > x; R3 – отношение: y < x.
Область определения бинарного отношения R: В
D R = { x А: y B, что x, y R } = pr A R R
Область значений бинарного отношения R: Im R = {y B: xA, что x, y R } = pr B R . А
R2 R1
R3
654321
000000
100000
110000
111000
111100
111110
6
5
4
3
2
1
RA
ПРИМЕР ЗАДАНИЯ ОТНОШЕНИЯ Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } и R таково, что: a R b a < b.
Задание R перечислением: R = { 1,2, 1,3, …, 1,6, 2,3, 2,4,…, 2,6, 3,4,…, 3,6, …, 5,6 }.
Задание R матрицей АR: Задание R орграфом:
1
5
4
3
6
2
ОПЕРАЦИИ НАД ОТНОШЕНИЯМИ
1) R1 R2 ; 2) R1 R2 ; 3) R1 \ R2 ; 4) R =(A B) \ R, x,y R x,y R
5) обратное к R отношение R-1 = { b, a : а, b R } ;
6) Пусть R – отношение на А и В, S – отношение на В и С. Тогда композицией R и S называется отношение R S на А и С такое, что:
a, c ( R S ) b ( b B и a, b R и b, c S ).
Бинарное отношение R на множестве А называется:
1) рефлекcивным, если для а А : а, а R;
2) антирефлексивным (иррефлексивным), если для а А : а, а R;
3) симметричным, если из x, y R y, x R;
4) антисимметричным, если из x, y R и y, x R х = у;
5) транзитивным, если из x, y R и y, z R x, z R.
Теорема 1.2. Пусть R – бинарное отношение на А. Тогда: 1) R рефлексивно E R; 2) R антирефлексивно R Е = ; 3) R симметрично R = R-1; 4) R антисимметрично R R-1 = E; 5) R транзитивно RR = R.
ФУНКЦИЯ
Бинарное отношение f на множествах А и В называется функцией, если образ каждого элемента единственен:
x, y f x, z f
Вместо x, y f или x f y записывают y = f(x) или f: A B.
f
B A
Imf B или Imf =B
Df =A
для функции
f
B A
Imf B или Imf =B
Df A
для частично определенной функции
y = z
БИЕКТИВНАЯ ФУНКЦИЯ
Функция f ( f: A B) называется инъективной, если:
для x1 , x 2 из f( x 1 ) = f( x 2 ) x 1 = x 2 (x 1 x2 f( x 1 ) f( x 2 )).
Функция f ( f: A B) наз-ся сюръективной, если для у В х А :
y = f( x ). ( Im f = B ).
Функция f ( f: A B) наз-ся биективной, если f инъективна и сюръективна
( f биективна f взаимно однозначное отображение между А и В ).
y = ex
инъективна, но не сюръективна
y = x3- x
не инъективна, но сюръективна
y=2x+1
биективнаа
y=x2
не инъективна и не сюръективна
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА
Пусть задано множество U и его подмножество А. Характеристической функцией подмножества А
считают функцию:
U. x A, x если 0,
A x если xA
,1)(
Множества А и В равны тогда и только тогда, когда для )()(, x x:U x x BA . Легко видеть, что:
).()]([ 2 xx AA
Очевидно, что характеристическая функция для дополнения множества А будет равна:
.
)(,0
)( x -1 A x если 1,
A x если x AA
Построим характеристическую функцию для пересечения и объединения множеств.
Характеристическая функция для пересечения должна принимать значение 1 для тех элементов х из
U, которые принадлежат множествам А и В одновременно, и значение 0 в противном случае. Тогда:
).()()( x x x BABA
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА
Можно получить, что для объединения множеств А и В имеем:
).()()()()( x x -xx x BABABA
Для разности и симметрической разности можно получить соответственно:
),()()()(\ x x -x x BAABA
).()()()( x x 2 -(x) x x BABABA
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА
Покажем это на примерах. Докажем соотношение:
A\(A\B) = AB. (1)
Для этого найдем характеристические функции для множества стоящего в левой части соотношения
(1). Последовательно имеем:
xx -x x B\AAABAA )()()()()\(\
).()())()()()(()( xx xx -xx -x BABAAAA
Получили, что характеристическая функция левой части для (1) равна )()( xx BA , а эта
характеристическая функция для AB, следовательно, множества тоже совпадают.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Доказательство соотношения 7 из теоремы 1.1:
A(BC)=(AB)(AC). (1)
Для множества стоящего в левой части (1) имеем:
x x -x x x CBACBACBA )()()()()()(
(x) x x -(x) x x CBACBA )()()()( .
Для множества стоящего в правой части (1) получим:
x x x CABACABA )()()()()(
(x))x -x x(x))x -x x CACABABA )()()(()()()((
-(x)x (x)x (x)x -xx x CBBACACAA )()()()()()(
)()()()()()()()()()()( xx x xx xxx -xx x CBACBABACBA
(x) x x -(x) x x CBACBA )()()()( .
Таким образом, левые и правые части соотношения (1) имеют одинаковые характеристические
функции, следовательно, множества стоящие в левой и правой частях (1) равны.
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
Теорема 1.4. Функция f имеет обратную функцию f -1 когда f биективна.
Теорема 1.5. Композиция биективных функций является биективной.
Пусть f : А В – функция, а множества А и В - конечные множества, положим А = n, B = m. Принцип Дирихле гласит: если n > m, то, по крайней мере, одно значение f встречается более одного раза.
отношение, но не функция
инъекция, но не сюръекция
сюръекция, но не инъекция
биекция
ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Классом эквивалентности (классом смежности), порожденным элементом а при данном отношении эквивалентности R : [а]R={хA:а,хR}.
Теорема 1.6. Пусть R - отношение эквив-ти на множестве А и [а]R смежный класс, тогда: 1) для любого аА: [а]R , в частности, а[а]R; 2) различные смежные классы не пересекаются; 3) объединение всех смежных классов совпадает со всем множеством А; 4) совокупность различных смежных классов образуют разбиение множества А.
К1 К2 К1 К2 К3 К4
Теорема 1.7. Различные отношения эквивалентности на А порождают различные разбиения А.
Теорема 1.8. Каждое разбиение множества А порождает отношение эквивалентности на A, причем различные разбиения порождают различные отношения эквивалентности.
ФАКТОР-МНОЖЕСТВО
Совокупность всех классов смежности множества А по данному отношению эквивалентности R называется фактор-множеством и обозначается через А / R.
Элементами фактор-множества являются классы смежности. Класс смежности [а]R состоит из элементов А, которые находятся между собой в отношении R.
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Два целых числа а и b называют сравнимыми по модулю m, если m делитель числа a - b, т. е.:
а = b + km, k = 0, 1, 2, 3, ….
В этом случае записывают a b (mod m).
Теорема 1.9. Для любых чисел a, b, c и m > 0 имеем:
1) a a (mod m);
2) если a b (mod m), то b a (mod m);
3) если a b (mod m) и b c (mod m), то a c (mod m).
3
111 9
-5
1 8
1 0
2
-6
1 7
9
1
-7
1 680-8
1 5
7
-1
-9
1 4
6
-2
-1 0
1 3
5
-3
-11
1 2 4 -4 -1 2
ПРИМЕР ФАКТОР-МНОЖЕСТВА
Z = {., -2, -1, 0, 1, 2, .}. Рассмотрим отношение a b (mod m) для m = 8.
[ 0 ] = {…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1 ] = {…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2 ] = {…, -6, 2, 10, 18, …}; …
[ 7 ] = {…, -9, -1, 7, 15, …}.
Фактор-множество множества Z по отношению сравнения по модулю m обозначается как Z / m или как Z m.