Vjerojatnost i statistika

Bozidar Ivankovic

Ljeto, 2012, izvanredni

Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika

Ukratko

Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:

1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost

3 Slucajne varijable

4 Statistika

Literatura:E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa

Ukratko

1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost

4 Statistika

Ukratko

1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost

4 Statistika

Ukratko

1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost

4 Statistika

Ukratko

1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost

4 Statistika

Ukratko

1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost

4 Statistika

Ukratko

1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost

4 Statistika

Literatura:

E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa

Ukratko

1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost

4 Statistika

Rjesavanje ispita

1 Potpis:1 Domace zadace2 Aktivna prisutnost

2 Prolaz:1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.

3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog

Rjesavanje ispita

1 Potpis:

1 Domace zadace2 Aktivna prisutnost

Rjesavanje ispita

1 Potpis:1 Domace zadace

2 Aktivna prisutnost

Rjesavanje ispita

2 Prolaz:

1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.

Rjesavanje ispita

2 Prolaz:1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne

2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.

Rjesavanje ispita

KOMBINATORIKA

Teorem ( o uzastopnom prebrojavanju)

Neka se u uredenoj m-torki (a1, a2, . . . , am)

- prva komponenta a1 moze se birati na k1 razlicitih nacina,

- nakon vec odabrane komponente a1, druga komponentu a2

moze se izabrati na k2 razlicitih nacina,

- sve dok se nakon svih prethodnih, posljednja moze birati nakm razlicitih nacina,

Tada skup T svih uredenih m-torki (a1, a2, . . . , am) imak1 · k2 · · · km elemenata.

KOMBINATORIKA

Primjer i zadatak

Primjer

Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert? (2 · 3)

Zadatak

Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)

Zadatak

U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)

Primjer i zadatak

Primjer

Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert?

(2 · 3)

Zadatak

Primjer i zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer i zadatak

Primjer

Zadatak

Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci?

(3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)

Zadatak

Primjer i zadatak

Primjer

Zadatak

Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2,

ne morakravatu.)

Zadatak

Primjer i zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer i zadatak

Primjer

Zadatak

U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac?

(3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)

Primjer i zadatak

Primjer

Zadatak

U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1,

ako strajka gladu, ne ruca.)

Primjer i zadatak

Primjer

Zadatak

Ukljucivanje i iskljucivanje

Primjer

U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20 studenata,a njemacki 10. Kako je to moguce?

Zadatak

Od svih studenata upisanih na prvoj godini 40% ih je poloziloMatematiku, 50% Osnove elektrotehnike i 80% Racunarstvo.Nadalje, 30% studenata polozilo je Matematiku i Osnoveelektrotehnike, 40% Osnove elektrotehnike i Racunarstvo, dok ih je25% polozilo Matematiku i Racunarstvo. Ako se zna da je 20%studenata polozilo sva tri predmeta, koliki postotak studenata nijepolozio niti jedan od navedena tri kolegija?

rjesenja: bar 6 zna oba jezika, 5% niti jedan

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

rjesenja: bar 6 zna oba jezika,

5% niti jedan

Primjer

Zadatak

Algebra skupova. Vennovi dijagrami

Skup i element skupa - osnovni matematicki pojmovi.

Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -Vennovim dijagramima.

Brojnost - brojevi unutar skupa.

Zadatak

Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak

Skup i element skupa

- osnovni matematicki pojmovi.

Zadatak

Skup i element skupa -

osnovni matematicki pojmovi.

Zadatak

Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -

Vennovim dijagramima.

Zadatak

Brojnost

- brojevi unutar skupa.

Zadatak

Brojnost -

brojevi unutar skupa.

Zadatak

PERMUTACIJE. Permutacije bez ponavljanja

Zadatak

Na koliko nacina mogu uvijek ista prva petorica socijalnih slucajevastajati u redu za pucku kuhinju?

Definicija

Permutacija n-clanog skupa S je svaki niz od n medusobnorazlicitih elemenata iz S.

Faktorijela je unarna operacija:

n! = 1 · 2 · · · n.

Zadatak

Definicija

n! = 1 · 2 · · · n.

Zadatak

Definicija

n! = 1 · 2 · · · n.

Zadatak

Definicija

n! = 1 · 2 · · · n.

Broj permutacija bez ponavljanja

Teorem

Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi n!.

Zadatak

Koliko se 4-slovnih zaporki moze sloziti od rijeci FRKA?

Zadatak

Koliko ima telefonskih brojeva u kojima se po jednom javljajuznamenake 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Zadatak

Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero? (Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta: 6)

Zadatak

Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol? 10!

Teorem

Zadatak

Teorem

Zadatak

Teorem

Zadatak

Teorem

Zadatak

Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero?

(Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta: 6)

Zadatak

Teorem

Zadatak

Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero? (Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta:

Zadatak

Teorem

Zadatak

Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol?

Teorem

Zadatak

Permutacije s ponavljanjem

Primjer

Koliko se zaporki moze napraviti od rijeci TATA?

Primjer

Koliko se PIN-ova moze napraviti od PIN-a 3272?

Primjer

Na koliko se nacina mogu posloziti slova u rijeci KRAPINA? A urijeci OTORINOLARINGOLOGIJA?

Teorem

Permutacija s ponavljanjem ima onoliko puta manje odpermutacija bez ponavljanja, koliko iznosi umnozak faktorijelaelemenata koji se ponavljaju.

Primjer

Teorem

Primjer

Teorem

Primjer

Na koliko se nacina mogu posloziti slova u rijeci KRAPINA?

A urijeci OTORINOLARINGOLOGIJA?

Teorem

Primjer

Teorem

Primjer

Teorem

Varijacije bez ponavljanja

Primjer

Na koliko nacina moze 10 umirovljenika zauzeti 5 mjesta utramvaju?

Definicija

Varijacija r -tog razreda skupa S od n elemenata je svaka uredenar-torka medjusobno razlicitih elemenata iz skupa S.Broj varijacija:V rn = n!

(n−r)! = n · (n − 1) · · · (n − r + 1). Dzepna racunaljka imaprogram nPr koji racuna varijacije bez ponavljanja.

Primjer

Definicija

Primjer

Definicija

Varijacija r -tog razreda skupa S od n elemenata je svaka uredenar-torka medjusobno razlicitih elemenata iz skupa S.

Broj varijacija:V rn = n!

Primjer

Definicija

(n−r)! = n · (n − 1) · · · (n − r + 1).

Dzepna racunaljka imaprogram nPr koji racuna varijacije bez ponavljanja.

Primjer

Definicija

Varijacije s ponavljanjem

Zadatak

Na koliko se nacina, teoretski, moze popuniti listic sportskeprognoze ako se za svaki od 13 parova smije ponuditi bilo koji odtri znaka: X , 0 ili 1?

Zadatak

Tri prijatelja kupuju Peugeote koji su ponudeni u cetiri boje. Nakoliko nacina oni mogu izabrati boje?

Zadatak

U grupi je 6 studenata i 4 studentice. Na koliko se nacina mogustudentima svidati studentice? Na koliko se nacina mogu studentisvidati studenticama?

Broj varijacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjemjednak je nr

Zadatak

U grupi je 6 studenata i 4 studentice. Na koliko se nacina mogustudentima svidati studentice?

Na koliko se nacina mogu studentisvidati studenticama?

Zadatak

KOMBINACIJE. Kombinacije bez ponavljanja

Primjer

Kosarkaski trener prijavio je 11 igraca. Koliko razlicitih petorkimoze biti na parketu?

Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.

Isto bi bilo da trener bira kojih 6 ce sjediti na klupi.

Primjer

Jedan nacin odabira petorke.

Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.

Primjer

Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce?

Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.

Primjer

Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru.

Ostalih 6 u trenirkama sjede.

Primjer

Broj kombinacija bez ponavljanja

Definicija

Kombinacija od k-tog razreda skupa od n elemenata svaki je izborpodskupa od k elemenata izuzet iz skupa od n elemenata.

Propozicija

Broj kombinacija jednak je

k!(n − k)!

Binomni koeficijent

)moguce je na boljim dzepnim

racunaljkama dobiti programom nCr .

Primjer

Koliko kombinacija ima Lotto 7/39? A koliko Lotto 6/45?

Definicija

Propozicija

k!(n − k)!

Binomni koeficijent

Primjer

Definicija

Propozicija

k!(n − k)!

Binomni koeficijent

Primjer

Definicija

Propozicija

k!(n − k)!

Binomni koeficijent

Primjer

Definicija

Propozicija

k!(n − k)!

Binomni koeficijent

Primjer

Koliko kombinacija ima Lotto 7/39?

A koliko Lotto 6/45?

Definicija

Propozicija

k!(n − k)!

Binomni koeficijent

Primjer

Kombinacije s ponavljanjem

Primjer

Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?

Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:

c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite

c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu

c , d , d = · · · dvije je pojeo decko

d , d , dUkupan broj je (

2 + 3− 13

Primjer

2 + 3− 13

Primjer

2 + 3− 13

Primjer

2 + 3− 13

Primjer

c , c , c

cura je pojela sve tri kremsnite

2 + 3− 13

Primjer

2 + 3− 13

Primjer

c , c , d = c , d , c = d , c , c

cura dvije, decko jednu

2 + 3− 13

Primjer

2 + 3− 13

Primjer

2 + 3− 13

Primjer

d , d , d

Ukupan broj je (2 + 3− 1

Primjer

2 + 3− 13

Problem

Kako moze pet djecaka podijeliti 12 bombona?

Definicija

Kombinacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjem jemultiskup od r elemenata u kojem je najvise n vrsta elemenata.

Teorem

Broj kombinacija racuna se po formuli: Krn =

(n + r − 1

Problem

Definicija

Teorem

(n + r − 1

Problem

Definicija

Teorem

(n + r − 1

Problem

Definicija

Teorem

(n + r − 1

Da li je jasno?

1 Dobavljac narucuje pet glacala koja mogu biti ispravna ilineispravna. Na koliko nacina se mogu dobiti?

2 Na koliko se nacina mogu 3 jednake knjige razdijeliti medu 12ucenika, tako da svaki ucenik dobije najvise jednu knigu?

3 Registarska plocica zagrebackog registarskog podrucja ima uizboru 3 i 4-znamenkasti broj, te jedno ili dva slova abecedekoja ne mogu biti palatali, koliko se razlicitih tablica mozeizdati?

4 Na nekom je sahovskom turniru odigrano 78 partija. Turnir jeigran po principu da je svaki igrac odigrao sa svakim samojedan mec. Koliko je bilo sahista na turniru?

5 U skupu od 100 studenata engleski jezik zna 28 studenata,njemacki 30, francuski 42, engleski i njemacki zna njih 8,engleski i francuski 10, njemacki i francuski pet, dok sva trijezika znaju samo tri studenta. Koliko studenata ne znanijedan jezik?

Da li je jasno?

Rjesenja

1 Rjesenje: 6

2 Rjesenje: 1320 nacina

3 Rjesenje: 5 566 000

4 Rjesenje: 13 ucesnika

5 Rjesenje: 20 studenata

Rjesenja

1 Rjesenje: 6

2 Rjesenje: 1320 nacina

3 Rjesenje: 5 566 000

4 Rjesenje: 13 ucesnika

5 Rjesenje: 20 studenata

Intuitivna vjerojatnost

Slucajan pokus je pokus s vrlinama

- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji

Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.

1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?

2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?

3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?

4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?

- nepoznat ishod

- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji

- nepoznat ishod- poznati svi ishodi

- ponavljanje po volji

Algebra skupova

Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!

Definicija

Operacije sa skupovima

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

komplement u univerzalnom skupu Ac ,

razlika skupova A \ B

Zadatak

Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

Algebra skupova

Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline.

Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Algebra skupova

Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa.

Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Algebra skupova

Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata.

Intuitivno!

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Algebra skupova

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Algebra skupova

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Algebra skupova

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Algebra skupova

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Algebra skupova

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Algebra skupova

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Vennovim dijagramima pokazite identitete:

A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

Algebra skupova

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

Algebra skupova

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc ,

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

Algebra skupova

Definicija

unija A ∪ B,

presjek A ∩ B,

Zadatak

Algebra dogadaja

Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω

Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω

Dogadaj je skup

Nemogucim dogadajem naziva se

prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅

Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.

Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).

Algebra dogadaja

Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa:

Dogadaj je skup

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

prazan skup ∅ ⊂ Ω

bilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Operacije s dogadajima su logicke:

ili (unija); i (presjek); ne (komplement).

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija);

i (presjek); ne (komplement).

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek);

ne (komplement).

Algebra dogadaja

Dogadaj je skup

Velicina skupa

Velicina skupa moze biti

- prirodan broj

- neogranicena ali prebrojiva

- neogranicena ali neprebrojiva

- ogranicena ali neprebrojiva

Zadatak

Odredite velicine vjerojatnosnih prostora

1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.

2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.

3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.

4 Mjerenje vrelista vode

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Velicina skupa

- prirodan broj

Zadatak

Intuitivna definicija vjerojatnosti

Vjerojatnost dogadjaja - p(A) =k(A)

k(Ω), gdje je k(A) = |A| velicina

skupa A.

Zadatak

Koliko je vjerojatna sedmica na lotu ako igrac odigra sistem od 23broja?

Zadatak

Koliko je vjerojatno da mali Ivica pogodi prozor loptom ako nocunapucava zid 10× 5 metara na kojem je prozor 1.20× 1 metar.

Zadatak

Policiji je dojavljeno da nocu od dva do tri manijak prolazi krozcrveno. Koliko je vjerojatno da policija ulovi izgrednika ako

ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri.

u dva i petnaest produ raskrscem

Vjerojatnost dogadjaja -

p(A) =k(A)

skupa A.

Zadatak

skupa A.

Zadatak

skupa A.

Zadatak

skupa A.

Zadatak

skupa A.

Zadatak

skupa A.

Zadatak

skupa A.

Zadatak

Vjerojatnostni prostor

σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.

Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:

p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).

Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).

Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.

Zadatak

Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?

σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja

sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.

Zadatak

σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅,

Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.

Zadatak

σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,

komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.

Zadatak

σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A

izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.

Zadatak

σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju.

Tada je zatvorena ina presjek.

Zadatak

p(A) ≥ 0

p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).

Zadatak

p(A) ≥ 0p(Ω) = 1

p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).

Zadatak

p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)

p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).

Zadatak

Konacan vjerojatnosni prostor

Primjer

Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odreditevjerojatnost da zbroj na kockama bude veci od 9? 6

Zadatak ( Chevalier de Mere oko 1655.godine)

Koliko je vjerojatno da se u 4 bacanja jedne kocke bar jednompojavi broj 6?

Zadatak

Kolika je vjerojatnost da se u 24 bacanja dviju kocaka baremjednom pojavi zbroj 12?

Primjer

Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odreditevjerojatnost da zbroj na kockama bude veci od 9?

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Prebrojiv vjerojatnostni prostor

Zadatak

Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju? 1

Zadatak

Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13, p = 0, 906536.

Zadatak

Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju?

Zadatak

Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6?

13, p = 0, 906536.

Zadatak

Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13,

p = 0, 906536.

Zadatak

Geometrijska vjerojatnost

Zadatak

Decko i cura dogovore susret izmedu 7 : 00 i 8 : 00 na trgu.Dogovore se, da ono koje dode prvo, ceka drugo 20min. Kolika jevjerojatnost da ce se ipak susresti?

Zadatak

Iz intervala [0, 2] biraju se na slucajan nacin dva broja. Kolika jevjerojatnost da umnozak brojeva bude manji od 1?

Zadatak

Zadaci

1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8

3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375

4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%

5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%

6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%

Zadaci

2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski?

83 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednom

pojavi pismo? 0.3754 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj na

kockama nece biti 9? 88.9%5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikado

pogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%

Zadaci

3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo?

0.3754 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj na

kockama nece biti 9? 88.9%5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikado

Zadaci

4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9?

88.9%5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikado

Zadaci

5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu?

88.9%6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svaki

dimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%

Zadaci

6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor?

Zadaci

Uvjetna vjerojatnost

Vjerojatnost da se dogodi dogadaj A uz pouzdanu dojavu da se

dogodio dogadaj B: p(A/B) =p(A ∩ B)

Primjer

Kocka je bacena i pao je neparan broj. Kolika je vjerojatnost da jepao tri? Kolika je vjerojatnost da je pao broj dva?

Primjer

Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec kartaju belu. Andrija nema nitijednog herca. Kolika je vjerojatnost da Cvetko ima tri?

Zadatak

Mirko je zvao trefa iako u prvih sest madarskih karata nije imao nitijednog. Kolika je vjerojatnost da u talonu obje karte budu trefovi?

dogodio dogadaj B:

p(A/B) =p(A ∩ B)

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Nezavisni dogadaji

Dogadaji A i B su nezavisni, ako informacija o dogadaju B ne utice

na vjerojatnost dogadaja A: p(A/B) = p(A) =p(A ∩ B)

p(A ∩ B) = p(A) · p(B).

Primjer

Dobar, los i zao strijelac gadaju vepra. Dobar strijelac na streljanipogada u 80% gadanja, los u 60% i zao u 90% gadanja. Koliko jevjerojatno da vepra pogodi samo jedan metak, ako sva trojicagadaju samo s po jednim metkom? Ako je vepra zaista pogodiojedan metak, koliko je vjerojatno da je metak ispalio dobarstrijelac?

Nezavisni dogadaji

p(A ∩ B) = p(A) · p(B).

Primjer

Nezavisni dogadaji

p(A ∩ B) = p(A) · p(B).

Primjer

Nezavisni dogadaji

p(A ∩ B) = p(A) · p(B).

Primjer

Dobar, los i zao strijelac gadaju vepra. Dobar strijelac na streljanipogada u 80% gadanja, los u 60% i zao u 90% gadanja. Koliko jevjerojatno da vepra pogodi samo jedan metak, ako sva trojicagadaju samo s po jednim metkom?

Ako je vepra zaista pogodiojedan metak, koliko je vjerojatno da je metak ispalio dobarstrijelac?

Nezavisni dogadaji

p(A ∩ B) = p(A) · p(B).

Primjer

Zadaci

1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%. Kolika je vjerojatnost

1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu

2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?(0,38)

3 Vjerojatnost da se otac dobije sina je 0.502. Koliko bi Miroslavtrebao imati djece, pa da bude 99% siguran da ce dobiti sina?

Zadaci

1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%.

Kolika je vjerojatnost1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu

Zadaci

1 tocno jednog pogotka u metu

2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu

Zadaci

1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu

3 najvise dva pogotka u metu

Zadaci

2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?

(0,38)

Zadaci

Potpuna vjerojatnost

Potpun sistem dogadaja - hipoteze H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω, ako vrijedi:

H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅

Formula potpune vjerojatnosti - p(A) =∑n

i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak

Mercedes 60% proizvodnje ima u Turskoj, 30% u Kini i 10% uNjemackoj. Postotak Mercedesa koji imaju kvar u garantnom roku,a napravljeni su u Turskoj iznosi 1%, za Kinu to je 1.5%, dok je zaMercedese iz Njemacke 0.8%. Marko je kupio Mercedesa. Kolikaje vjerojatnost da ce se pokvariti u garantnom roku?

Potpun sistem dogadaja -

hipoteze H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω, ako vrijedi:

H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅

i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak

H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅

i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak

H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅

i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak

H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅

Formula potpune vjerojatnosti -

p(A) =∑n

i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak

H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅

i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak

H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅

i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak

Bayesova formula

Bayesova formula -

p(Hi/A) =p(Hi ) · p(A/Hi )

Zadatak

Kolika je vjerojatnost da je Markov Mercedes kineski?

Zadatak

Iz spila od 32 karte jedna je pala pod stol. Ako je Janko u prvihsest karata dobio tri trefa, kolika je vjerojatnost da pod stolom nijetref?

Bayesova formula

Bayesova formula -

Zadatak

Bayesova formula

Bayesova formula -

Zadatak

Bayesova formula

Bayesova formula -

Zadatak

Bayesova formula

Bayesova formula -

Zadatak

Zadaci

1 Strijelci Mate i Ante, svaki sa po jednim metkom, gadaju cilj.Mate pogada s vjerojatnosti 0, 8, a Ante s 0, 4. Utvrdeno jeda je meta pogodena jednim metkom. Kolika je vjerojatnostda je metu pogodio Mate?

2 U uzorku ispitanika, u kojem je dio muskaraca 55%, 70%muskaraca i 60% zena su vozaci. Kolika je vjerojatnost daslucajno odabrana osoba ima vozacku dozvolu? Kolika jevjerojatnost da je slucajno odabrani vozac muskarac?

3 U plavoj kutiji su tri bijele i dvije crne kuglice, a u crvenojcetiri bijele i pet crnih kuglica. Adam je iz crvene u plavukutiju prebacio jednu kuglicu. Kolika je vjerojatnost da tadaMartin iz plave kutije izvuce bijelu kuglicu? Ako je izvukaobijelu kuglicu, koliko je vjerojatno da je Adam bac crnukuglicu prebacio prije izvlacenja?

Zadaci

Uvjetna vjerojatnost. Bayesova formula

1 Statisticki podaci govore da autobus kasni u 10% slucajeva, avlak u 35% slucajeva. Ako putnici u javnom prijevozu tri putacesce biraju autobus od vlaka,

1 izracunajte kolika je vjerojatnost da slucajno odabrani putnikzakasni na odrediste?

2 Ako znamo da je odredeni putnik zakasnio, kolika jevjerojatnost da je isao vlakom?

2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?

2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%.

Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?

2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca.

Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?

Zadaci s pismenih

1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da

1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?

2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student

1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?

3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat

1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?

Zadaci s pismenih

1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?

2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?

Zadaci s pismenih

1 polozi sve ispite?

2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?

Zadaci s pismenih

1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?

3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?

Zadaci s pismenih

1 ostvari sve svoje ciljeve?

2 polovicno ostvari svoje ciljeve?

Zadaci s pismenih

Kombinatorni zadaci s pismenih

1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da

1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?

2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da

1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?

3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da

1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?

1 u prvi vagon udu cetiri putnika?

2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?

1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?

3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?

1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?

2 svih pet izadu kroz isti izlaz?

1 sve ispite polaze isti dan?

2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?

1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?

3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?

Razni zadaci s pismenih

1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?

2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena. Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?

3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?

4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:

1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.

2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena.

Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?

1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti

2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.

Slucajna varijabla. Vrednovanje ishoda

Kakve su oklade moguce u sljedecim primjerima?

Novcic se baca dok se ne dobije pismo.

Broje se bacanja kocke dok se ne dobije sestica.

U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj nakockama.

Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu bitioklade?

Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga,kakve su oklade moguce?

Zadatak

Koje su oklade zajednicke?

Zadatak

Definicija slucajne varijable

Definicija

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor, a neka je x neka je realanbroj. Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) za svaki realan broj x.

Zadatak

Definirati u prethodnim primjerima slucajne varijable.

Zadatak

Navedite po jedan primjer diskretne i jedan primjer kontinuiraneslucajne varijable.

Definicija

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor, a neka je x neka je realanbroj.

Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) za svaki realan broj x.

Zadatak

Definicija

Zadatak

Definicija

Zadatak

Definicija

Zadatak

Funkcija razdiobe

Definicija

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i neka je X slucajnavarijabla. Funkcija razdiobe F : R→ [0, 1] definirana je prekovjerojatnosti: F (x) = P(X ≤ x).

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije razdiobe ako je u bacanju dviju kocakaslucajna varijabla jednaka zbroju brojeva na kockama.

Svojstva funkcije razdiobe:

- neopadajuca: x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)

- neprekidna sdesna limε→0

F (x + ε) = F (x)

- vrijedi: limx→−∞

F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.

Funkcija razdiobe

Definicija

Zadatak

F (x + ε) = F (x)

F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.

Funkcija razdiobe

Definicija

Zadatak

F (x + ε) = F (x)

F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.

Funkcija razdiobe

Definicija

Zadatak

F (x + ε) = F (x)

F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.

Funkcija razdiobe

Definicija

Zadatak

F (x + ε) = F (x)

F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.

Funkcija razdiobe

Definicija

Zadatak

F (x + ε) = F (x)

F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.

Funkcija razdiobe

Definicija

Zadatak

F (x + ε) = F (x)

F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.

Diskretna slucajna varijabla

Zadatak

U kutiji su tri crne i pet bijelih kuglica. Kuglice se mogu izvlacitidok se ne izvuce bijela. Slucajna varijabla je broj izvlacenja.

1 Koliko vrijednosti moze imati slucajna varijabla?

2 Odredite pripadne vjerojatnosti za svaku vrijednost slucajnevarijable.

Definicija

Skup parova (xi , pi ) gdje je xi vrijednost slucajne varijable, a pi

pripadna vjerojatnost, naziva se diskretnom razdiobom ilidiskretnom distribucijom vjerojatnosti. Funkcijaf : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) naziva sefunkcijom (gustoce) vjerojatnosti.

Zadatak

Definicija

Zadatak

Definicija

Zadatak

Definicija

Zadatak

Definicija

pripadna vjerojatnost, naziva se diskretnom razdiobom ilidiskretnom distribucijom vjerojatnosti.

Funkcijaf : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) naziva sefunkcijom (gustoce) vjerojatnosti.

Zadatak

Definicija

Funkcija distribucije diskretne slucajne varijable

Teorem

Neka je (Ω,F , p) vjerojatnosti prostor. Neka je f : X (Ω)→ [0, 1]funkcija vjerojatnosti slucajne varijable X : Ω→ R. Tada je

F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x

p(X = xi ) =∑xi≤x

f (xi )

Zadatak

Kocka se baca sve dok ne padne jedinica, a najvise cetiri puta.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja kocke. Odrediterazdiobu vjerojatnosti. Zapisite funkciju distribucije F (x).Nacrtajte funkciju razdiobe.

Teorem

F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x

f (xi )

Zadatak

Teorem

F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x

f (xi )

Zadatak

Kocka se baca sve dok ne padne jedinica, a najvise cetiri puta.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja kocke. Odrediterazdiobu vjerojatnosti.

Zapisite funkciju distribucije F (x).Nacrtajte funkciju razdiobe.

Teorem

F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x

f (xi )

Zadatak

Kocka se baca sve dok ne padne jedinica, a najvise cetiri puta.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja kocke. Odrediterazdiobu vjerojatnosti. Zapisite funkciju distribucije F (x).

Nacrtajte funkciju razdiobe.

Teorem

F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x

f (xi )

Zadatak

Matematicko ocekivanje

Definicija

Matematicko ocekivanje diskretne slucajne varijable X je broj

E (X ) =∑i

xi f (xi )

gdje su f (xi ) vrijednosti funkcije vjerojatnosti za vrijednostislucajne varijable xi .

Zadatak

Odredite ocekivanu razliku koja padne pri bacanju dviju kocaka.Ako igrac dobiva onoliko kuna kolika je razlika na kockama, kolikitreba biti upad u igru, pa da igra bude fer?

Definicija

E (X ) =∑i

xi f (xi )

Zadatak

Definicija

E (X ) =∑i

xi f (xi )

Zadatak

Odredite ocekivanu razliku koja padne pri bacanju dviju kocaka.

Ako igrac dobiva onoliko kuna kolika je razlika na kockama, kolikitreba biti upad u igru, pa da igra bude fer?

Definicija

E (X ) =∑i

xi f (xi )

Zadatak

Ocekivanje beskonacne diskretne slucajne varijable

Programirajte u EXCEL-u.

Zadatak

Novcic se baca dok se ne dobije pismo. Po svakoj dobivenoj glaviigrac ima pravo na 10 kuna. Koliki bi morao biti upad u fer-play?

Zadatak

Po svakom bacanju kocke na kojem padne 6 igrac ima pravo na josjedno bacanje. Ako padne 6, dobiva 10 kn. Koliki bi sada trebaobiti ulaz u igru?

Zadatak

Varijanca i standardna devijacija

Definicija

Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje: V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.

Definicija

Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:σX =

√V (X ).

Primjer

Vjerojatnost da se na sajmu proda auto je 15%. Covjek odluci icina sajam dok ne proda auto, ali najvise cetiri puta. Izracunajteocekivani broj odlazaka na sajam i standardnu devijaciju.

Definicija

Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje:

V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.

Definicija

√V (X ).

Primjer

Definicija

√V (X ).

Primjer

Definicija

Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:

σX =√

V (X ).

Primjer

Definicija

√V (X ).

Primjer

Definicija

√V (X ).

Primjer

Zadaci

Zadatak

Bezicni modem pokusava uspostaviti vezu sest puta dnevno. Akoje vjerojatnost uspostave veze pri svakom pokusaju 70%, odrediteocekivani broj uspjesnih spajanja toga dana i standardnu devijaciju.

Zadatak

Igra na srecu sastoji se u bacanju cetiri novcica jednog za drugim,ali se prekida ako padne glava. Za svaki baceni novcic dobivaju se2 kn, a za svaki koji nije bacen gube se 2 kn. Da li je igra postena?

Zadatak

Igrac ima pravo izvlaciti karte sve dok izvlaci herceve. U Spilu od32 karte ima 8 herceva. Ako po svakom hercu koji nasumce izvucedobiva po 20 kn, koliko mora biti ucesce igraca?

Zadaci

Zadatak

Zadaci

Zadatak

Zadaci

Zadatak

Pikado

Zadatak

Meta za pikado izgleda kao na slici. Sredisnji krug nosi 10 bodova,prvi srednji 5, a vanjski vijenac 1 bod. Igrac gada metu s tri pikadostrelice. Pod pretpostavkom da metu ne promasuje, izracunajteocekivani broj bodova, varijancu i standardnu devijaciju

Pikado

Zadatak

Meta za pikado izgleda kao na slici. Sredisnji krug nosi 10 bodova,prvi srednji 5, a vanjski vijenac 1 bod. Igrac gada metu s tri pikadostrelice. Pod pretpostavkom da metu ne promasuje, izracunajteocekivani broj bodova, varijancu i standardnu devijaciju

Binomna razdioba

Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:

- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p

- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p

Slucajna varijabla X broji uspjehe.

Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

Funkcija distribucije vjerojatnosti:

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Matematicko ocekivanje: E (X ) = np

Varijanca: V (X ) = npq

Binomna razdioba

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Binomna razdioba

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Binomna razdioba

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Binomna razdioba

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Binomna razdioba

Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -

f (x) = P(X = x) =(

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Binomna razdioba

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Binomna razdioba

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Binomna razdioba

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Binomna razdioba

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

)· pk · qn−k .

Zadatak

Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2

5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?

Zadatak

5 faze.

Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?

Zadatak

5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz.

Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?

Zadatak

5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza?

Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?

Zadatak

5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja?

Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?

Zadatak

5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza?

Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?

Zadatak

5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja?

Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?

Zadatak

5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza?

Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?

Zadatak

5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?

Ispitni zadaci

Zadatak

Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplova je30%. Odredite vjerojatnos da pri slijetanju:

a) u nizu od 10 letova nastupi 3 uvjeta smanjene vidljivosti.

b) u nizu od 6 letova dobra vidljivost bude u vise od poloviceslucajeva?

Zadatak

Vjerojatnost da se postigne dogovor vlade i opozicije je 0.25.Kolika je vjerojatnost da u cetiri sastanka do dogovora

uopce dode.

Koji je ocekivani broj plodnih sastanaka i kolika je standardnadevijacija?

Ispitni zadaci

Zadatak

uopce dode.

Ispitni zadaci

Zadatak

uopce dode.

Ispitni zadaci

Zadatak

uopce dode.

Ispitni zadaci

Zadatak

uopce dode.

Ispitni zadaci

Zadatak

uopce dode.

Ispitni zadaci

Zadatak

uopce dode.

Poissonova distribucija

Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost

”uspjeha” je mala: limn→∞

)· px · qn−x = e−λ · λ

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

”uspjeha” je mala:

limn→∞

)· px · qn−x = e−λ · λ

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

)· px · qn−x = e−λ · λ

gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

)· px · qn−x = e−λ · λ

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

)· px · qn−x = e−λ · λ

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

)· px · qn−x = e−λ · λ

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

Dobri rezultati za np ≤ 10.

Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

)· px · qn−x = e−λ · λ

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

)· px · qn−x = e−λ · λ

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

)· px · qn−x = e−λ · λ

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

)· px · qn−x = e−λ · λ

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

f (x) = e−λ · λx

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

E (X ) = λ

V (X ) = λ

Ispitni zadaci

Zadatak

Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana

1 kasni manje od 4 autobusa

2 kasni vise od 3 autobusa

3 kasni samo jedan autobus.

Zadatak

Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.

1 Izracunajte standardnu devijaciju.

2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?

Ispitni zadaci

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

Prosjecni vremenski interval izmedu dva poziva u centrali taxisluzbe je 20 sekundi. Ako se broj poziva u minuti ravna poPoissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost da u minuti bude:

1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak

Centrala taxi sluzbe primi prosjecno 120 poziva na sat, a moguobraditi u minuti najvise 3 zahtjeva. Ako se broj poziva u minutiravna po Poissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost:

1 preopterecenja centrale

2 da u minuti bude samo jedan poziv?

Ispitni zadaci

Zadatak

1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak

Zadaci

Zadatak

U spilu od 52 karte ima 4 asa. U pokeru se dijeli pet karata.Slucajna varijabla je broj dobivenih aseva. Kolika je vjerojatnostpara aseva? Koliki je ocekivani broj aseva? Koliko bi se karatamoralo udijeliti, pa da broj dobivenih karata u uzorku bude 2?

Zadatak

U spilu od 20 karata ima 4 decka. Igrac dobiva 5 karata. Kolika jevjerojatnost da u dobivenim kartama ima

1 dva decka

2 barem dva decka

3 najvise dva decka?

Zadaci

Zadatak

1 dva decka

2 barem dva decka

Zadaci

Zadatak

1 dva decka

2 barem dva decka

Zadaci

Zadatak

1 dva decka

2 barem dva decka

Zadaci

Zadatak

1 dva decka

2 barem dva decka

Zadaci

Zadatak

1 dva decka

2 barem dva decka

Neprekinuta slucajna varijabla

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da

P(a < X < b) =

af (t)dt.

Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.

Primjer

Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor.

Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi

P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0

i ako postojif : R→ R tako da

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postoji

f : R→ R tako da

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

P(a < X < b) =

af (t)dt.

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

Primjer

Funkcija distribucije neprekinute slucajnevarijable

Kljucna za racunanje vjerojatnosti:

F (x) =

−∞f (t)dt,

zbog P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a).

Zadatak

Zapisati formulama funkciju gustoce vjerojatnosti za zavrsetakdanasnje nastave. Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsinajkasnije 5 min poslije najranijeg predvidenog zavrsetka.

F (x) =

−∞f (t)dt,

Zadatak

F (x) =

−∞f (t)dt,

Zadatak

F (x) =

−∞f (t)dt,

Zadatak

F (x) =

−∞f (t)dt,

Zadatak

Zapisati formulama funkciju gustoce vjerojatnosti za zavrsetakdanasnje nastave.

Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsinajkasnije 5 min poslije najranijeg predvidenog zavrsetka.

F (x) =

−∞f (t)dt,

Zadatak

Numericke karakteristike

Matematicko ocekivanje µ = E (X ) =

∫ +∞

−∞tf (t)dt.

Standardna devijacija σ =√

V (X ), gdje jeV (X ) = E

[(X − E (X ))2

]= E (X 2)− E (X )2.

Zadatak

Izracunati matematicko ocekivanje i standardnu devijaciju za nekiprimjer graficki zadane kontinuirane razdiobe gustoce vjerojatnosti.

∫ +∞

−∞tf (t)dt.

[(X − E (X ))2

]= E (X 2)− E (X )2.

Zadatak

∫ +∞

−∞tf (t)dt.

[(X − E (X ))2

]= E (X 2)− E (X )2.

Zadatak

Uniformna razdioba

Zadana je funkcijom gustoce vjerojatnosti

f (x) =

k , a ≤ x ≤ b0, ostalo

Zadatak

Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b]. Zapisatifunkciju distribucije. Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.

Uniformna razdioba

f (x) =

Zadatak

Uniformna razdioba

f (x) =

Zadatak

Uniformna razdioba

f (x) =

Zadatak

Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b].

Zapisatifunkciju distribucije. Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.

Uniformna razdioba

f (x) =

Zadatak

Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b]. Zapisatifunkciju distribucije.

Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.

Uniformna razdioba

f (x) =

Zadatak

Eksponencijalna razdioba

Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:

f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak

Odrediti λ tako da bude zadovoljen uvjet normiranosti. Napisatiformulu funkcije distribucije. Izracunati matematicko ocekivanje istandardnu devijaciju. Izracunati eksces i asimetricnost.

Zadatak

Prosjecan dnevni promet na autocesti sirokoj 30 m u spici sezoneiznosi 24000 automobila. Medvjed trci 54 km/h. Koliko jevjerojatno da nece biti udaren onaj medo koji preskoci zicu ipretrcava autocestu?

Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.

Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:

f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak

f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak

f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak

f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak

f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak

Normalna razdioba

Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)

Parametri : µ ∈ R i σ > 0.

Funkcija gustoce vjerojatnosti :

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Matematicko ocekivanje : EX = µ.

Varijanca : V (X ) = σ2.

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

Normalna razdioba :

X ∼ N(µ, σ2)

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

Parametri :

µ ∈ R i σ > 0.

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Matematicko ocekivanje :

EX = µ.

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Varijanca :

V (X ) = σ2.

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Normalna razdioba

f (t) =1

2πe−

(t − µ)2

Funkcija razdiobe :

F (x) =1

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

Standardna normalna razdioba

Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Funkcija distribucije :

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

Supstitucija : z =x − νσ

daje F (x) = Φ(z)

Racunanje vjerojatnosti :

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

Standardna normalna razdioba :

Z ∼ N (0, 1).

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti :

Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

Supstitucija :

z =x − νσ

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

ϕ(z) =1√2π

e−z2

Φ(z) =1√2π

−∞e−

Tablice.

Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

daje F (x) = Φ(z)

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)

Primjena standardne normalne razdiobe

Zadatak

Maksimalna dnevna temperatura zraka u sijecnju je slucajnavarijabla normalne razdiobe s ocekivanih −20C ± 50C . Odredite

1 vjerojatnost da dnevna temperatura bude u minusu.

2 vjerojatnost da maksimalna dnevna temperatura bude iznad−100C .

3 najvecu maksimalnu temperaturu koja se postize svjerojatnoscu od 70%.

Primjena standardne normalne razdiobe

Zadatak

Maksimalna dnevna temperatura zraka u sijecnju je slucajnavarijabla normalne razdiobe s ocekivanih −20C ± 50C . Odredite

1 vjerojatnost da dnevna temperatura bude u minusu.

2 vjerojatnost da maksimalna dnevna temperatura bude iznad−100C .

3 najvecu maksimalnu temperaturu koja se postize svjerojatnoscu od 70%.

Kolokvij...

1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.

1 Izracunajte standardnu devijaciju.2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilo

dode na servis?

2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?

3 Funkcija je zadana formulom

f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5

Odredite a tako da f

bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).

Kolokvij...

dode na servis?

f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5

Kolokvij...

2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilodode na servis?

f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5

Kolokvij...

dode na servis?

f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5

Kolokvij...

dode na servis?

f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5

Kolokvij...

dode na servis?

f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5

bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .

Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).

Kolokvij...

dode na servis?

f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5

bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x).

IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).

Kolokvij...

dode na servis?

f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5

... s nastavkom

1 Tri izlaza s autoputa koriste se jednako cesto. Kolika jevjerojatnost da od pet vozila

1 tri vozila izadu na isti izlaz2 svi izadu kroz isti izlaz?

2 Ante pogodi vuka u 60%, Brane u 70%, a Caruga u 90%slucajeva. Ako sva trojica zapucaju s po jednim metkom, a uvuku nadu dva metka, koliko je vjerojatno da Brane nijepogodio?

... s nastavkom

1 tri vozila izadu na isti izlaz

2 svi izadu kroz isti izlaz?

... s nastavkom

Kolokvij...

1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:

a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)

b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.

Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?

2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno

1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?

3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?

Kolokvij...

Koliko je vjerojatno

1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?

Kolokvij...

Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?

2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.

30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno

Kolokvij...

1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?

2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Koliko

je vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?

Kolokvij...

...s nastavkom

1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:

1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.

2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.

3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?

...s nastavkom

1 postotak zena koje su vise od 1.8m

2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.

...s nastavkom

1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine

3 donju granicu ispod koje je 10% zena.

...s nastavkom

Statistika

State=drzava: vjestina upravljanja drzavom

temelj: Teorija vjerojatnosti

Statistika

Osnovni pojmovi. Vrste statistika

Deskriptivna statistika: prikupljanje, selekcija, grupiranje,graficka prezentacija, kvalitativna analiza.

Inferencijalna statistika: zakljucci na temelju Teorijevjerojatnosti, induktivni pristup

Statisticki skup. Modaliteti

Skup statistickih jedinica

Pojmovna definicija: jednoznacna odredenost elemenata

Prostorna definicija: pripadnost podrucju

Vremenska definicija: trenutak ili interval prikupljanja

Populacija je osnovni skup podataka o promatranom svojstvu zasvaku jedinicu statistickog skupa.

Obiljezje (kvalitativno)

Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.

nominalno obiljezje:

atributno, geografsko, alternativnonisu dopustene brojcane operacije

ordinalno ili redosljedno obiljezje

strucna sprema, ekonomska razvijenostosim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene

atributno, geografsko, alternativno

nisu dopustene brojcane operacije

strucna sprema, ekonomska razvijenost

osim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene

Obiljezje (kvantitativno)

Intervalno obiljezje

temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)

Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano

Numericko obiljezje

temperatura, ocjena

sve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)

Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanja

diskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano

Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrsce

sve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano

Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacije

diskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano

Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta

- kontinuirano

Numericko obiljezje

Primjer prvi

Tabela 1.8 Struktura zaposlenih u grani Proizvodnja obojenihmetala u Republici Hrvatskoj u rujnu 1990 godine

Placa u HRD Struktura zaposlenih u %

HRD Pi

4000.5-5000.5 8.85000.5-6000.5 17.16000.5-8000.5 50.7

8000.5-10000.5 20.010000.5-12000.5 3.0

12000.5-(20000.5) 0.4

UkupnoNapomena: U izvoru su dane nominalne granice razreda.Izvor: Statisticki godisnjak Republike Hrvatske, 1991

Primjer prvi

HRD Pi

4000.5-5000.5 8.85000.5-6000.5 17.16000.5-8000.5 50.7

8000.5-10000.5 20.010000.5-12000.5 3.0

12000.5-(20000.5) 0.4

Primjer prvi

HRD Pi

4000.5-5000.5 8.85000.5-6000.5 17.16000.5-8000.5 50.7

8000.5-10000.5 20.010000.5-12000.5 3.0

12000.5-(20000.5) 0.4

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima

Tablica moze imati

oznaku retka

zbirni redak, odnosno stupac

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

Tablica moze imati

oznaku retka

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

Tablica moze imati

oznaku retka

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

Tablica moze imati

oznaku retka

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

Tablica moze imati

oznaku retka

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

Tablica moze imati

oznaku retka

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

Tablica moze imati

oznaku retka

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

Tablica moze imati

oznaku retka

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

Tablica moze imati

oznaku retka

Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

Tablica moze imati

oznaku retka

Nejasnoca nominalne granice

Ako su podaci grupirani tako da se gornja i donja granica razlikuju,onda se radi o nominalnim granicama. Tako je moguce naslutiti dasu u godisnjaku podaci dani na slijedeci nacin:

HRD Pi

4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7

8001-10000 20.010001-12000 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno

Ako su podaci grupirani tako da se gornja i donja granica razlikuju,onda se radi o nominalnim granicama.

Tako je moguce naslutiti dasu u godisnjaku podaci dani na slijedeci nacin:

HRD Pi

4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7

8001-10000 20.010001-12000 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno

HRD Pi

4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7

8001-10000 20.010001-12000 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno

HRD Pi

4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7

8001-10000 20.010001-12000 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno

Granice u primjeru

granice u primjeru su prave i mogu se dobiti izjednacavanjem

HRD Pi

4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7

8001-10001 20.010001-12001 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

UkupnoKada se sirovi podaci trpaju u razrede, onda se granicna vrijednostuvijek stavlja u veci razred ai ≤ xi < b.

Granice u primjeru

HRD Pi

4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7

8001-10001 20.010001-12001 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Granice u primjeru

HRD Pi

4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7

8001-10001 20.010001-12001 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno

Kada se sirovi podaci trpaju u razrede, onda se granicna vrijednostuvijek stavlja u veci razred ai ≤ xi < b.

Granice u primjeru

HRD Pi

4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7

8001-10001 20.010001-12001 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Prirodne granice

U slucaju inferencijalne statistike, granice u primjeru mogu sekorigirati bez vece stete na konacan rezultat

HRD Pi

4000-5000 8.85000-6000 17.16000-8000 50.7

8000-10000 20.010000-12000 3.0

12000 -(20000 ) 0.4

Ukupno

Prirodne granice

HRD Pi

4000-5000 8.85000-6000 17.16000-8000 50.7

8000-10000 20.010000-12000 3.0

12000 -(20000 ) 0.4

Ukupno

Prirodne granice

HRD Pi

4000-5000 8.85000-6000 17.16000-8000 50.7

8000-10000 20.010000-12000 3.0

12000 -(20000 ) 0.4

Ukupno

Pitanja

Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:

Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram

Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?

Pitanja

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Pitanja

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Pitanja

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Pitanja

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Pitanja

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Pitanja

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Pitanja

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Pitanja

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Prikupljanje statistickih podataka

Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...

Primarni podaci - promatranja

jednokratnaperiodicnatekuca

Pogreske u promatranju

sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno

Sekundarni podaci -

statisticki ljetopisi...

jednokratna

periodicnatekuca

jednokratnaperiodicna

tekuca

sistemske

- svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno

sistemske - svaki podatak -

ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno

sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju se

slucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno

sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna

- svaki podatak - ponistavaju se medusobno

sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak

- ponistavaju se medusobno

Grupiranje

Metodom steam and leaf poredajte podatke o racunima kupnje(kn)

600 100 500 100 150 400 170 2000 100 400100 1300 500 100 200 250 400 500 800 700510 180 800 250 100 1500 380 2600 1000 800250 1000 1500 250 500 700 100 100 100 1500500 600 100 250 150 1000 500 1600 2000 350200 100 100 150 500 100 2000 150 1500 100

1100 400 700 300 200 2400 100 1500 600 200400 300 300 500 200 600 500 800 100 200500 800 200 300 300 800 1000 1500 1800 200200 2000 100 200 100 260 500 500 150 1000300 1400 250 200 100 200 200 300 250 1250

Grupiranje

600 100 500 100 150 400 170 2000 100 400100 1300 500 100 200 250 400 500 800 700510 180 800 250 100 1500 380 2600 1000 800250 1000 1500 250 500 700 100 100 100 1500500 600 100 250 150 1000 500 1600 2000 350200 100 100 150 500 100 2000 150 1500 100

1100 400 700 300 200 2400 100 1500 600 200400 300 300 500 200 600 500 800 100 200500 800 200 300 300 800 1000 1500 1800 200200 2000 100 200 100 260 500 500 150 1000300 1400 250 200 100 200 200 300 250 1250

Grupiranje

600 100 500 100 150 400 170 2000 100 400100 1300 500 100 200 250 400 500 800 700510 180 800 250 100 1500 380 2600 1000 800250 1000 1500 250 500 700 100 100 100 1500500 600 100 250 150 1000 500 1600 2000 350200 100 100 150 500 100 2000 150 1500 100

1100 400 700 300 200 2400 100 1500 600 200400 300 300 500 200 600 500 800 100 200500 800 200 300 300 800 1000 1500 1800 200200 2000 100 200 100 260 500 500 150 1000300 1400 250 200 100 200 200 300 250 1250

Mjere centralne tendencije. Mod i medijan

Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka

Zadatak

Odredite mod i medijan za sirove podatke.

Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.

Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka

Zadatak

Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.

Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka

Zadatak

Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.

Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka

Zadatak

Grupiranje podataka numerickih nizova

Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:

k = 1 + 3.3 · log N,

gdje je N ukupan broj podataka.

Zadatak

Svrstajte podatke u razrede s pravim granicama i izracunajtearitmeticku sredinu.

Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede.

Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:

k = 1 + 3.3 · log N,

Zadatak

Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno.

Sturgerovo pravilo:

k = 1 + 3.3 · log N,

Zadatak

k = 1 + 3.3 · log N,

Zadatak

k = 1 + 3.3 · log N,

Zadatak

k = 1 + 3.3 · log N,

Zadatak

k = 1 + 3.3 · log N,

Zadatak

Osnovne vrijednosti

Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑

fi = N.

Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N

Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi

xipi .

Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija

Osnovne vrijednosti

Apsolutna frekvencija:

fi intenzitet pojavnosti∑

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

Apsolutna frekvencija: fi

intenzitet pojavnosti∑

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti

∑fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

Kumulativna frekvencija:

Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

Kumulativna frekvencija: Fi ,

zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta

Fn = N

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

Relativna frekvencija

Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

Relativna frekvencija Pi , pi ili fir ,

udio u ukupnom broju

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

podataka:

pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Osnovne vrijednosti

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Statisticki niz:

parovi modalitet-frekvencija

Osnovne vrijednosti

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Statisticki niz: parovi

modalitet-frekvencija

Osnovne vrijednosti

fi = N.

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

xipi .

Primjer

U mjesecnom statistickom izvjescu DSZ, br. 4, 2001, na str. 92.nalaze se podaci o mirovinama u Republici Hrvatskoj, stanjepotkraj travnja 2001. Podaci se odnose na umirovljenike bezzastitnog dodatka. Mirovina u kn, broj korisnika u (000),

Mirovina Broj korisnika Udio Kumulativno

xi fi pi Fi

(300)-500 95.4500-1000 215.3

1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4

UkupnoPopunite tablicu. Izracunajte prosjecnu mirovinu.

Primjer

xi fi pi Fi

(300)-500 95.4500-1000 215.3

1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4

Primjer

xi fi pi Fi

(300)-500 95.4500-1000 215.3

1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4

Ukupno

Popunite tablicu. Izracunajte prosjecnu mirovinu.

Primjer

xi fi pi Fi

(300)-500 95.4500-1000 215.3

1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4

Geometrijska sredina

r1, r2, . . . , rN > 0Geometrijska sredina:

xG = N√

r1 · r2 · · · rN .

Tablica 2. zaposleni gradani Republike Hrvatske po godinama utisucama.

godina 1995 1996 1997 1998 1999

zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.

r1, r2, . . . , rN > 0

Geometrijska sredina:

xG = N√

r1 · r2 · · · rN .

godina 1995 1996 1997 1998 1999

xG = N√

r1 · r2 · · · rN .

godina 1995 1996 1997 1998 1999

xG = N√

r1 · r2 · · · rN .

godina 1995 1996 1997 1998 1999

xG = N√

r1 · r2 · · · rN .

godina 1995 1996 1997 1998 1999

zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.

Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.

xG = N√

r1 · r2 · · · rN .

godina 1995 1996 1997 1998 1999

Ponos i predrasude

Tijek broja nezaposlenih po mjesecima u tisucamamjesec I II III IV V VI

nezaposleni 254 186 203 316 196 198izvor: nepouzdanDa li u prosjeku broj nezaposlenih raste ili pada?

Ponos i predrasude

nezaposleni 254 186 203 316 196 198izvor: nepouzdan

Da li u prosjeku broj nezaposlenih raste ili pada?

Ponos i predrasude

nezaposleni 254 186 203 316 196 198izvor: nepouzdanDa li u prosjeku broj nezaposlenih raste ili pada?

Harmonijska sredina

x1, x2, . . . , xN 6= 0Harmonijska sredina:

+ · · ·+ 1xN

Zadatak

Do Splita smo vozili u prosjeku 160 km/h, a natrag 100 km/h.Kolika je bila prosjecna brzina tog putovanja?

Zadatak

Andrija iskopa kanal za kanalizaciju za 15 dana, Blaz za 20, dokCvetku treba 25 dana. Kolika im je prosjecna brzina kopanja?

Harmonijska sredina

x1, x2, . . . , xN 6= 0

Harmonijska sredina:

+ · · ·+ 1xN

Zadatak

Harmonijska sredina

+ · · ·+ 1xN

Zadatak

Harmonijska sredina

+ · · ·+ 1xN

Zadatak

Harmonijska sredina

+ · · ·+ 1xN

Zadatak

Harmonijska sredina

+ · · ·+ 1xN

Zadatak

Mjere rasprsenja. Raspon varijacije

Raspon varijacije je razlika najvece i najmanje vrijednostnumerickog obiljezja u numerickom nizu.

Zadatak

Potrosnja goriva biljezena na 30 kamiona voznog parka dana je utablici:

14 22 15 21 17 32 25 23 33 3112 13 12 31 12 13 14 25 24 1322 12 14 21 13 23 22 13 12 25

Odredite raspon varijacije.

Zadatak

14 22 15 21 17 32 25 23 33 3112 13 12 31 12 13 14 25 24 1322 12 14 21 13 23 22 13 12 25

Zadatak

14 22 15 21 17 32 25 23 33 3112 13 12 31 12 13 14 25 24 1322 12 14 21 13 23 22 13 12 25

Varijanca, standardna devijacija, koeficijent varijacije

Varijanca: σ2 =1

k∑i=1

(xi − x)2fi =1

k∑i=1

x2i fi − x2. Koeficijent

varijacije ρ =σ

Zadatak

Dani su podaci o broju prekrsaja koje su u mjesec dana evidentiralipripadnici patrole prometne policije:

21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39

Odredite standardnu devijaciju i koeficijent varijacije statistickogskupa.

Varijanca: σ2 =1

k∑i=1

(xi − x)2fi =1

k∑i=1

varijacije ρ =σ

Zadatak

21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39

Varijanca: σ2 =1

k∑i=1

(xi − x)2fi =1

k∑i=1

varijacije ρ =σ

Zadatak

21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39

Varijanca: σ2 =1

k∑i=1

(xi − x)2fi =1

k∑i=1

varijacije ρ =σ

Zadatak

21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39

Momenti oko nule

Neka je N broj podataka.

1 Aritmeticka sredina: x =

N∑i=1

2 Aritmeticka sredina kvadrata: (x2) =

N∑i=1

x2i fi

3 Aritmeticka sredina kubova: (x3) =

N∑i=1

x3i fi

4 Aritmeticka sredina cetvrtih potencija: (x2) =

N∑i=1

x4i fi

Momenti oko nule

N∑i=1

x2i fi

N∑i=1

x3i fi

N∑i=1

x4i fi

Momenti oko nule

N∑i=1

x2i fi

N∑i=1

x3i fi

N∑i=1

x4i fi

Momenti oko nule

N∑i=1

x2i fi

N∑i=1

x3i fi

N∑i=1

x4i fi

Momenti oko nule

N∑i=1

x2i fi

N∑i=1

x3i fi

N∑i=1

x4i fi

Momenti oko nule

N∑i=1

x2i fi

N∑i=1

x3i fi

N∑i=1

x4i fi

Mjere oblika

Centralni moment r -tog reda µr = 1N

∑ki=1(xi − x)r fi

Centralni moment drugog reda µ2 = σ2 = (x2)− (x)2

Centralni moment treceg reda µ3 = (x3)− 3(x2)(x) + 2(x)3

Centralni moment cetvrtog redaµ4 = (x4)− 4(x3)(x) + 6(x2)(x)2 − 3(x)4

Mjere oblika

Koeficijent asimetrije

Racuna se po formuli γ =µ3

Zadatak

Statisticki skup cini 30 studenata koji su na izvanrednom rokupolucili slijedeci uspjeh:

4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5

Odredite koeficijent asimetrije.

Zadatak

4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5

Zadatak

4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5

Zadatak

4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5

Koeficijent spljostenosti

Ili eksces: ε =µ4

σ4− 3.

Zadatak

Kontrolor pregledava sjedala u autobusima i zapisuje broj ostecenihsjedala u svakom:

0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3

Izracunajte koeficijent spljostenosti.

Ili eksces: ε =µ4

σ4− 3.

Zadatak

0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3

Ili eksces: ε =µ4

σ4− 3.

Zadatak

0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3

Ili eksces: ε =µ4

σ4− 3.

Zadatak

0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3

Uvod u teoriju uzoraka

1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)

2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ

3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn

novisi o

uzorku, ali je E (X ) = µ.

4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ

5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:

n − 1σ2.

novisi o

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

n − 1σ2.

novisi o

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

n − 1σ2.

novisi o

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

n − 1σ2.

novisi o

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

n − 1σ2.

novisi o

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

n − 1σ2.

novisi o

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

n − 1σ2.

novisi o

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

n − 1σ2.

Statisticka procjena aritmeticke sredine

Uzorak treba imati barem 30 elemenata populacije.

1 Varijanca aritmeticke sredine

V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2≈ S2

2 VarijablaX − µ

ima standardnu normalnu razdiobu.

V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2≈ S2

2 VarijablaX − µ

V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2≈ S2

2 VarijablaX − µ

V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2≈ S2

2 VarijablaX − µ

V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2≈ S2

2 VarijablaX − µ

V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2≈ S2

2 VarijablaX − µ

Primjer

Duljina putovanja na posao izmjerena na 100 gradana iznosila je15± 2 minute. Izracunajte interval duljine moguceg putovanja naposao koji vrijedi u 95% slucajeva.

Rijesiti jednadzbu c =?

P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

(cσ√n

)= 0.95

Primjer

P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

(cσ√n

)= 0.95

Primjer

P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

(cσ√n

)= 0.95

Primjer

P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

(cσ√n

)= 0.95

Primjer

P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

(cσ√n

)= 0.95

Primjer

P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

(cσ√n

)= 0.95

Primjer

P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

(cσ√n

)= 0.95

Zadaci

Zadatak

Odredite interval moguceg putovanja na posao koji bi vrijedio u60% slucajeva?

Trik: uzeti z =x − µ

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak

Broj popusenih cigarettesa dnevno kod teenagersa nakon anketedan je u tablici

teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2

cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.

Zadaci

Zadatak

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak

teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2

Zadaci

Zadatak

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak

teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2

Zadaci

Zadatak

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak

teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2

Zadaci

Zadatak

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak

teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2

Zadaci

Zadatak

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak

teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2

cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.

Zadaci

Zadatak

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak

teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2

Sirovi uzorak

Zadatak

Uzorak se sastoji od podataka o prodaji goriva (supera95) poputnickom automobilu na benzinskoj postaji.

35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7

24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15

39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9

14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23

10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27

Procijenite prosjecnu prodaju benzina po automobilu. Odreditegranice intervala procjene prosjecne prodaje benzina po automobiluuz razinu pouzdanosti od 95%, odnosno 90%.

Sirovi uzorak

Zadatak

35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7

24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15

39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9

14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23

10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27

Sirovi uzorak

Zadatak

35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7

24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15

39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9

14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23

10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27

Sirovi uzorak

Zadatak

35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7

24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15

39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9

14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23

10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27

Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.

Gama funkcija: Γ(n) =

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).

Interesantno: Γ(

)=√π.

Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

Funkcija distribucije F (x) je

tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati

Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).

Gama funkcija:

Γ(n) =

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

tabelirana u knjizi

tabelirana u Excel-programu - ispitati

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu -

ispitati

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Interesantno: Γ(

)=√π.

f (x) =

2n2 Γ( n

2 )e−

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

Procjena varijance. Praksa

Teorem

Neka je S standardna devijacija uzorka od n elemenata. Neka je σ

standardna devijacija populacije. Tada je X =S2

σ2(n − 1) slucajna

varijabla χ2 distribucije s n − 1 stupnjem slobode.

Primjer

U slucajnom uzorku 20 kucanstava ustanovljen je sljedeci brojclanova po kucanstvu:

4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%

pouzdanosti interval standardne devijacije populacije.

c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)

Teorem

Primjer

4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%

c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)

Teorem

Primjer

4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5

Procjenite uz 90%

c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)

Teorem

Primjer

4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%

c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)

Teorem

Primjer

4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%

c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)

Procjena varijance za veliki uzorak

Zadatak

U slucajni uzorak izabrana su 64 studenta. Izmjerena im je visina iustanovljeno je prosjecno odstupanje od 2.5 cm.

a) Odredite granice 95% - tnog intervala procjene standardnedevijacije u populaciji.

b) Kolike su granice ako je visina mjerena na 640 studenata prvegodine?

Procjena varijance za veliki uzorak

Zadatak

U slucajni uzorak izabrana su 64 studenta. Izmjerena im je visina iustanovljeno je prosjecno odstupanje od 2.5 cm.

a) Odredite granice 95% - tnog intervala procjene standardnedevijacije u populaciji.

b) Kolike su granice ako je visina mjerena na 640 studenata prvegodine?

Procjena udjela u populaciji

Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)

Neka je n brojnost uzorka iz populacije

Neka je Y broj odabranih u uzorku

Tada je p∗ =Y

npostotak odabranih u uzorku.

Nadalje:

E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

E (p∗) =1

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np =

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1)

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗)

∼ σ2.

Tada je p∗ =Y

Nadalje:

Zbog linearnosti: E

)= E (p∗) =

nE (Y ) =

n· np = p

Analogno: V

n2V (Y ) =

p(1− p)

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

∼ N(0, 1) (Φ).

Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika

Anketa

Primjer

Ispitivanjem javnog miljenja utvrdeno je da ulazak u EU opravdava44% anketiranih. Ispitati toleranciju standardne devijacije. Za kojiinterval procjene je moguce garantirati uz vjerojatnost pogreske5%, ako je broj ispitanih bio

2 1300

3 13000

Anketa

Primjer

2 1300

3 13000

Anketa

Primjer

2 1300

3 13000

Anketa

Primjer

2 1300

3 13000

Anketa

Primjer

2 1300

3 13000

Anketa

Primjer

2 1300

3 13000

Testiranje statistickih hipoteza

Pogreske prilikom testiranja

1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste

2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste

Konstrukcija testa

1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti

2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β

3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β

Konstrukcija testa

1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku -

manja greska - druge vrste

Konstrukcija testa

1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska -

druge vrste

Konstrukcija testa

2 Odbaciti dobru pretpostavku -

veca greska - prve vrste

Konstrukcija testa

2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska -

prve vrste

Konstrukcija testa

1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste -

α - nivosignifikantnosti

Konstrukcija testa

1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α -

nivosignifikantnosti

Konstrukcija testa

2 konstruirati test -

minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β

Konstrukcija testa

2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -

Konstrukcija testa

3 pouzdanost testa:

1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β

Konstrukcija testa

3 pouzdanost testa: 1− α

4 jakost ili ostrina testa: 1− β

Konstrukcija testa

3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa:

1− β

Konstrukcija testa

Hipoteza o vjerojatnosti

Neka je p∗ empirijska vjerojatnost za uzorak velicine n. Neka je p

hipotetska vjerojatnost. Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,

dok s vjerojatnosti α nalazimo uzorak s bitnim p∗ 6= p.

hipotetska vjerojatnost.

Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,

Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,

Primjer

Celnici stranke A tvrde da njihovu stranku podupire barem 22%biraca. Ispitivanje se provodi na uzorku od 1 000 ljudi.

1 Formirajte test koji ce s greskom 1. vrste α = 0.05 odbacivatiili prihvacati gornju tvrdnju.

2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti tek 18% biraca podrzava stranku A?

Primjer

Zadatak

Celnici jedne stranke tvrde da vladu podupire najvise 40% biraca.Ispitivanje se provodi na uzorku od 500 ljudi.

1 Formirajte test koji ce s greskom prve vrste α = 2% prihvatitiili odbaciti gornju tvrdnju.

2 Kolika je vjerojatnost da ce vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti 50% biraca podrzava vladu?

Zadatak

Vlada tvrdi da je protiv ulaska Hrvatske u EU manje od 50%gradana.

1 Formirajte test na uzorku od 500 ljudi koji ce uz gresku prvevrste α = 0.05 prihvatiti ili odbaciti tvrdnju Vlade.

2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti tvrdnju Vladeako je u stvarnosti 55% gradana protiv?

Zadatak

χ2 test

Testiranje podudarnosti empirijskih frekvencija fi i teoretskihfrekvencija f ∗i vrsi se pomocu velicine

χ2 =k∑

(fi − f ∗i )2

f ∗i.

i hipoteza o podudarnosti se odbacuje ako je χ2 > c savjerojatnosti

F (c) = 1− α

da se frekvencije zaista ne podudaraju.

Zadatak

Mjerenjem vijeka trajanja transformatora u mjesecima za 5000transformatora dobiveni su slijedeci rezultati.

trajanje 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70transformatori 1825 1225 950 600 250 100 25

Uz razinu pouzdanosti 1% testirajte hipotezu da je vijek trajanjatransformatora velicina eksponencijalne distribucije.

Zadatak

Dani su podaci pruzatelja internet usluga o sekundama trajanjaprekida veze (linka):

sekunde 0-0.1 0.1-0.2 0.2-0.3 0.3-0.4 0.4-0.5prekidi 4 83 281 79 3

Testirajte hipotezu o normalnoj razdiobi uz nivo signifikantnoati5% .

Korelacija i regresija

Koeficijent korelacije dvaju obiljezja mjerenih na istih n statistickihjedinica jednak je

r =Sxy

gdje je

Sxy =1

n − 1

(xi − x)(yi − y), kovarijanca

n − 1

(xi − x)2

n − 1

(yi − y)2

Koeficijent operativno

Razradena formula zax x1 x2 · · · xny y1 y2 · · · yn

∑i xiyi − nx y√

i x2i − nx2) · (

∑i y 2

i − ny 2).

Zadatak

Odredite koeficijent korelacije potrosnje vina i pive kroz godine utisucama litara

god 1995. 1996. 1997. 1998. 1999.

vino 13297 12197 11769 10659 10489

pivo 2943 2671 2652 2385 2353

Pravac regresije za uzorak

U slucaju apsolutno velikih r -ova, isplati se pisati pravac regresijey = a + bx o ovisnosti y -a o x-u:

∑i yi ·

∑i x2

i −∑

i xi ·∑

i xiyin ·∑

i x2i − (

∑i xi )2

b =n ·∑

i xiyi −∑

i xi ·∑

i yin ·∑

i x2i − (

∑i xi )2

Pravac regresije za uzorak

Odredite jednadzbu pravca regresije ovisnosti potrosnje piva opotrosnji vina

Korelacija na uzorku s visestrukim parovimapodataka

Ako parovi imaju visestruke frekvencije, zapis se komplicira:

xy y1 y2 · · · ynx1 f11 f12 · · · f1n

x2 f21 f11 · · · f11...

......

xm fm1 fm1 · · · fmn

Formula nije jednostavna

r =n ·∑∑

xiyj fij − (∑

xi fi )(∑

yj fj)√[n ·∑

x2i fi − (

∑xi fi )2][n ·

∑y 2j fj − (

∑yj fj)2]

Zadatak

Izracunajte koeficijent korelacije izmedu place u tisucama kuna ibroja automobila koje su razbili za nekoliko ispitanih osoba.

placa\auti 5 4 3 2

4 2 38 5 2 2

12 4 3

Dopunski zadaci

1 Broj zaposlenih i ukupan prihod zadani su u tablici:

zaposleni 22 31 90 82 43

prihod 250 300 920 850 410

Izracunajte koeficijent korelacije i napisite pravac regresije po kojemprihod ovisi o broju zaposlenih.

2 Testirajte hipotezu Poissonove distribucije uz nivo signifikantnosti 0.05 zakontrolu 200 serija nekog proizvoda:

neispravnih u seriji 0 1 2 3 4

broj serija 112 54 28 4 2

3 Izracunajte koeficijent korelacije za parove podataka cije su frekvencijedane u tablici

X/Y 10 8 6 4

4 4 1 1

4 Mjerenjem vijeka trajanja akumulatora u godinama dobiveni su podaci:

trajanje 0-1 2-3 3-4 4-5 5-6

broj akumulatora 150 100 70 45 25

Testirajte hipotezu o eksponencijalnoj distribuciji.

Rjesenja dopunskih zadataka

1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.

1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.

1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.

1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.

1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.

Ispit iz vjerojatnosti ...

1 U plavoj kutiji su cetiri crne i tri bijele kuglice, a u zutoj kutijisu tri crne i cetiri bijele kuglice. Martin je iz plave u zutukutiju prebacio jednu kuglicu. Koliko je vjerojatno da ceAdam iz zute kutije nakon toga izvuci crnu kuglicu?

2 Mjesecni broj prometnih nesreca u Republici Hrvatskojslucajna je varijabla normalne razdiobe s ocekivanim brojemod 350 i standardnim odstupanjem od 70 prometnih nesreca.

1 Koliko je vjerojatno da u lipnju bude najvise 400 prometnihnesreca?

2 Do danas je zabiljezeno 150 prometnih nesreca. Koliko jevjerojatno da ih do kraja mjeseca nece biti vise od 150?

... i statistike

1 Broj neispravnih autobusa po danima zabiljezen je u tablici:neispr. bus. 0 1 2 3

dani 10 12 6 2Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?

2 Izracunajte koeficijent korelacije za visinu mladenca imladenke u sljedecim vjencanjima, a u cm:

mladenka 162 164 158 170 160

mladenac 172 175 178 168 182Nacrtajte pravac regresije.

... i statistike

dani 10 12 6 2

Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?

mladenka 162 164 158 170 160

... i statistike

mladenka 162 164 158 170 160

... i statistike

mladenka 162 164 158 170 160

... i statistike

mladenka 162 164 158 170 160

mladenac 172 175 178 168 182

Nacrtajte pravac regresije.

... i statistike

mladenka 162 164 158 170 160

Vjerojatnost i statistika - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/V/Vjerojatnost_i_statistika/...3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog Bo zidar Ivankovi c Vjerojatnost i statistika

Documents

MANUALIA POLYTECHNICI STUDIORUM ZAGRABIENSIS BOJAN...

[Neven Elezović] Vjerojatnost i Statistika -...

Vjerojatnost i Statistika - Pitanja i Odgovori - Seminar...

Grafički fakultet Sveučilište u Zagrebu - JMBAG -...

vjerojatnost i statistika[1]

VJEROJATNOST I STATISTIKA - Weboteka.net i...

Elezovic - Vjerojatnost

Vjerojatnost i statistika - grad.unizg.hr · Poglavlje 1...

VJEROJATNOST - unizd.hr - Vjerojatnost.pdf · Vjerojatnost....

Vjerojatnost i statistika - Weboteka.net i...

Bo zidar Ivankovi c Tomislav Fratrovi c Studijska godina...

dr. sc. Martin Lazar - ucg.ac.me · Regresijska analiza M.....

Aktuarska Matematika 2 - Naslovnica |...

Modeliranje Statistika i vjerojatnost - mioc.hr · 2.244,27...

Vjerojatnost i statistika -...