Vjerojatnost i statistika - e-student.fpz.hre-student.fpz.hr/Predmeti/V/Vjerojatnost_i_statistika/Novosti/redovna... · Vjerojatnost i statistika Bo zidar Ivankovi c Prolje ce, 2012

Vjerojatnost i statistika

Bozidar Ivankovic

Proljece, 2012

Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika

Ukratko

Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:

1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost

3 Slucajne varijable

4 Statistika

Literatura:E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa


Ukratko


1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost


4 Statistika



Ukratko


1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost


4 Statistika



Ukratko


1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost


4 Statistika



Ukratko


1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost


4 Statistika



Ukratko


1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost


4 Statistika



Ukratko


1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost


4 Statistika

Literatura:

E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa


Ukratko


1 Kombinatorika

2 Vjerojatnost


4 Statistika



Rjesavanje ispita

1 Potpis:1 Domace zadace2 Laboratorijske vjezbe.

2 Prolaz:1 najmanje 4 boda ukupno iz oba kolokvija od po 5 bodova2 ili najmanje dva boda iz pismenog. Koji se sastoji od 5

nejednako bodovanih zadataka.


Rjesavanje ispita

1 Potpis:

1 Domace zadace2 Laboratorijske vjezbe.




Rjesavanje ispita

1 Potpis:1 Domace zadace

2 Laboratorijske vjezbe.




Rjesavanje ispita





Rjesavanje ispita


2 Prolaz:

1 najmanje 4 boda ukupno iz oba kolokvija od po 5 bodova2 ili najmanje dva boda iz pismenog. Koji se sastoji od 5



Rjesavanje ispita


2 Prolaz:1 najmanje 4 boda ukupno iz oba kolokvija od po 5 bodova

2 ili najmanje dva boda iz pismenog. Koji se sastoji od 5nejednako bodovanih zadataka.


Rjesavanje ispita


2 Prolaz:1 najmanje 4 boda ukupno iz oba kolokvija od po 5 bodova2 ili najmanje dva boda iz pismenog.

Koji se sastoji od 5nejednako bodovanih zadataka.


Rjesavanje ispita





2. Vjerojatnost. 2.1. Uvod

Slucajan pokus je pokus s vrlinama

- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanja po volji.

Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.

1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?

2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?

3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod njih 32 biti izvucena karta boje ”karo”?

4 Ako na sistemskom listicu Lota 7/39 odigramo 23 broja,kolika je vjerojatnost dobitka ”sedmice”?













- nepoznat ishod

- poznati svi ishodi- ponavljanja po volji.









- nepoznat ishod- poznati svi ishodi

- ponavljanja po volji.





























































Algebra skupova

Skup - zatvorena cjelina

Element skupa - tocka unutar zatvorene cjeline

Vennovi dijagrami - nedvosmisleno isticanje pripadnosti

Disjunktni skupovi - nemaju zajednickih elemenata

Presjek skupova - skup zajednickih elemenata zadanih skupova

Prazan skup - skup zajednickih elemenata disjunktnih skupova

Unija skupova - skup s elementima svakog od zadanih skupova

Univerzalni skup - sve sto se moze uzeti u obzir

Komplement skupa - sve sto nije u skupu

Razlika dva skupova -skup elemenata prvog koji nisu u drugom

Simetricna diferencija - unija dviju mogucih razlika dvaju skupova

Podskup - nuzno svi elementi prvog u drugom

Algebra - jer je moguce racunanje


Algebra skupova

Skup -

zatvorena cjelina














Algebra skupova















Algebra skupova


Element skupa -

tocka unutar zatvorene cjeline













Algebra skupova















Algebra skupova



Vennovi dijagrami -

nedvosmisleno isticanje pripadnosti












Algebra skupova















Algebra skupova




Disjunktni skupovi -

nemaju zajednickih elemenata











Algebra skupova















Algebra skupova





Presjek skupova -

skup zajednickih elemenata zadanih skupova










Algebra skupova















Algebra skupova






Prazan skup -

skup zajednickih elemenata disjunktnih skupova









Algebra skupova















Algebra skupova







Unija skupova -

skup s elementima svakog od zadanih skupova








Algebra skupova















Algebra skupova








Univerzalni skup -

sve sto se moze uzeti u obzir







Algebra skupova















Algebra skupova









Komplement skupa -

sve sto nije u skupu






Algebra skupova















Algebra skupova










Razlika dva skupova -

skup elemenata prvog koji nisu u drugom





Algebra skupova















Algebra skupova











Simetricna diferencija -

unija dviju mogucih razlika dvaju skupova




Algebra skupova















Algebra skupova












Podskup -

nuzno svi elementi prvog u drugom



Algebra skupova















Algebra skupova













Algebra -

jer je moguce racunanje


Algebra skupova















Vennovi dijagrami

Zadatak

Prikazati Vennovim dijagramima identitete:

A \ B = A ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )


Vennovi dijagrami

Zadatak


A \ B = A ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )


Vennovi dijagrami

Zadatak


A \ B = A ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )


Vennovi dijagrami

Zadatak


A \ B = A ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )


Vennovi dijagrami

Zadatak


A \ B = A ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )


Vennovi dijagrami

Zadatak


A \ B = A ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )


Vennovi dijagrami

Zadatak


A \ B = A ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )


Algebra dogadaja

Elementarni dogadaj - element skupa ishod slucajnog pokusa (ω)

Prostor elementarnih dogadaja - univerzalni skup Ω

Dogadaj - skup, A,B,C , . . .

Operacije s dogadajima - ili ∨ (unija); i ∧ (presjek); ne(komplement)

Zadatak

U sljedecim slucajnim pokusima izracunajte osnovne racunskeoperacije s navedenim dogadajima:

U bacanju novcica dvaput A je kad pismo padne prvi put, a Bje kad pismo padne drugi put.

U bacanju dviju kocaka A je zbroj 7 na kockama, a B je kadpadnu isti brojevi.

U izvlacenju karte iz talijanskog spila, A je kad se izvucecaval, a B je izvucena kupa.


Algebra dogadaja

Elementarni dogadaj -

element skupa ishod slucajnog pokusa (ω)




Zadatak






Algebra dogadaja

Elementarni dogadaj - element skupa

ishod slucajnog pokusa (ω)




Zadatak






Algebra dogadaja





Zadatak






Algebra dogadaja


Prostor elementarnih dogadaja -

univerzalni skup Ω



Zadatak






Algebra dogadaja





Zadatak






Algebra dogadaja



Dogadaj -

skup, A,B,C , . . .


Zadatak






Algebra dogadaja





Zadatak






Algebra dogadaja




Operacije s dogadajima -

ili ∨ (unija); i ∧ (presjek); ne(komplement)

Zadatak






Algebra dogadaja




Operacije s dogadajima - ili

∨ (unija); i ∧ (presjek); ne(komplement)

Zadatak






Algebra dogadaja




Operacije s dogadajima - ili ∨

(unija); i ∧ (presjek); ne(komplement)

Zadatak






Algebra dogadaja




Operacije s dogadajima - ili ∨ (unija);

i ∧ (presjek); ne(komplement)

Zadatak






Algebra dogadaja




Operacije s dogadajima - ili ∨ (unija); i

∧ (presjek); ne(komplement)

Zadatak






Algebra dogadaja




Operacije s dogadajima - ili ∨ (unija); i ∧

(presjek); ne(komplement)

Zadatak






Algebra dogadaja




Operacije s dogadajima - ili ∨ (unija); i ∧ (presjek);

ne(komplement)

Zadatak






Algebra dogadaja




Operacije s dogadajima - ili ∨ (unija); i ∧ (presjek); ne

(komplement)

Zadatak






Algebra dogadaja





Zadatak






Algebra dogadaja





Zadatak






Algebra dogadaja





Zadatak






Algebra dogadaja





Zadatak






Algebra dogadaja





Zadatak






Velicina skupa

Velicina skupa moze biti

- prirodan broj

- neogranicena ali prebrojiva

- neogranicena ali neprebrojiva

- ogranicena ali neprebrojiva

Zadatak

Odredite velicine vjerojatnosnih prostora

1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.

2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.

3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.

4 Mjerenje vrelista vode


Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Velicina skupa


- prirodan broj




Zadatak







Intuitivna definicija vjerojatnost

Vjerojatnost dogadjaja : p(A) =k(A)

k(Ω), k(A) = |A| je velicina

skupa elementarnih dogadaja A.

Zadatak

Izracunajte vjerojatnost da

- u bacanju dviju novcica na oba padne glava

- u bacanju kocke padne prost broj

- u izvlacenju karte iz spila 52 ne bude izvucen tref.



Vjerojatnost dogadjaja :

p(A) =k(A)



Zadatak








k(Ω),

k(A) = |A| je velicina


Zadatak










Zadatak










Zadatak










Zadatak










Zadatak










Zadatak






Tri zadatka

Zadatak

Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odreditevjerojatnost da zbroj na kockama bude veci od 9? 6

36 .

Zadatak

Na zidu 10× 5 metara je prozor 1× 1.20 metra. Koliko jevjerojatno da djecak po noci pogodi loptom prozor?

Zadatak

Policiji dojave da svaku noc izmedu dva i tri poslije ponoci jedan teisti manijak prolazi kroz crveno punom brzimon. Kolika jevjerojatnost da patrola uhvati pocinitelja ako

ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri?

u dva i petnaest prode raskrscem?


Tri zadatka

Zadatak

Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odreditevjerojatnost da zbroj na kockama bude veci od 9?

636 .

Zadatak


Zadatak





Tri zadatka

Zadatak


36 .

Zadatak


Zadatak





Tri zadatka

Zadatak


36 .

Zadatak


Zadatak





Tri zadatka

Zadatak


36 .

Zadatak


Zadatak





σ algebra dogadaja

Nemogucim dogadajem naziva se

prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅

Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.

σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja

sadrzi ∅,sadrzi Ω,sadrzi komplement svakog svojeg clanaAc = Ω \ Azatvorena je na prebrojivu uniju.

Tada je zatvorena i na presjek.


σ algebra dogadaja








σ algebra dogadaja


prazan skup ∅ ⊂ Ω

bilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.





σ algebra dogadaja








σ algebra dogadaja








σ algebra dogadaja








σ algebra dogadaja





sadrzi ∅,

sadrzi Ω,sadrzi komplement svakog svojeg clanaAc = Ω \ Azatvorena je na prebrojivu uniju.



σ algebra dogadaja





sadrzi ∅,sadrzi Ω,

sadrzi komplement svakog svojeg clanaAc = Ω \ Azatvorena je na prebrojivu uniju.



σ algebra dogadaja





sadrzi ∅,sadrzi Ω,sadrzi komplement svakog svojeg clanaAc = Ω \ A

zatvorena je na prebrojivu uniju.



σ algebra dogadaja








σ algebra dogadaja








Vjerojatnostni prostor

Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:

p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).

Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).

Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.

Zadatak

Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?







Zadatak





p(A) ≥ 0

p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).



Zadatak





p(A) ≥ 0p(Ω) = 1

p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).



Zadatak





p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)

p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).



Zadatak








Zadatak








Zadatak








Zadatak








Zadatak



Konacan vjerojatnosni prostor

Zadatak (Chevalier de Mere, oko 1655.godine)

Koliko je vjerojatno da se u 4 bacanja jedne kocke bar jednompojavi broj 6?

Zadatak (Chevalier de Mere, iduce godine)

Kolika je vjerojatnost da se u 24 bacanja dviju kocaka baremjednom pojavi zbroj 12?














Prebrojiv vjerojatnostni prostor

Zadatak

Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju? 1

32 .

Zadatak

Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13, p = 0, 906536.



Zadatak

Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju?

132 .

Zadatak




Zadatak


32 .

Zadatak




Zadatak


32 .

Zadatak

Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6?

13, p = 0, 906536.



Zadatak


32 .

Zadatak

Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13,

p = 0, 906536.



Zadatak


32 .

Zadatak



Geometrijska vjerojatnost

Zadatak

Decko i cura dogovore susret izmedu 7 : 00 i 8 : 00 na trgu.Dogovore se, da ono koje dode prvo, ceka drugo 20min. Kolika jevjerojatnost da ce se ipak susresti?

Zadatak

Iz intervala [0, 2] biraju se na slucajan nacin dva broja. Kolika jevjerojatnost da umnozak brojeva bude manji od 1?



Zadatak


Zadatak




Zadatak


Zadatak



Domaca zadaca

1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).

2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8

3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se samo najednom pojavi pismo? 37.5%

4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%

5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kvadrata unutar kruga? 78.5%


Domaca zadaca







Domaca zadaca


2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski?

8





Domaca zadaca







Domaca zadaca



3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se samo najednom pojavi pismo?

37.5%




Domaca zadaca







Domaca zadaca




4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9?

88.9%



Domaca zadaca







Domaca zadaca





5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kvadrata unutar kruga?

78.5%


Domaca zadaca







Domaca zadaca







Uvjetna vjerojatnost

Vjerojatnost da se dogodi A uz uvjet da se dogodio dogadaj B:

p(A/B) =p(A ∩ B)

p(B)

Primjer

Kocka je bacena i pao je neparan broj. Kolika je vjerojatnost da jepao tri? Kolika je vjerojatnost da je pao broj dva?

Primjer

Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec kartaju belu. Andrija nema nitijednog herca. Kolika je vjerojatnost da Cvetko ima tri?

Zadatak

Mirko je zvao trefa iako u prvih sest madarskih karata nije imao nitijednog. Kolika je vjerojatnost da u talonu obje karte budu trefovi?




p(A/B) =p(A ∩ B)

p(B)

Primjer


Primjer


Zadatak





p(A/B) =p(A ∩ B)

p(B)

Primjer


Primjer


Zadatak





p(A/B) =p(A ∩ B)

p(B)

Primjer


Primjer


Zadatak





p(A/B) =p(A ∩ B)

p(B)

Primjer


Primjer


Zadatak





p(A/B) =p(A ∩ B)

p(B)

Primjer


Primjer


Zadatak



Nezavisni dogadaji

Dogadaji A i B su nezavisni, ako informacija o dogadaju B nemijenja vjerojatnost dogadaja A. Tada je p(A ∩ B) = p(A) · p(B).

Primjer

Dobar, los i zao strijelac gadaju vepra. Dobar strijelac na streljanipogada u 80% gadanja, los u 60% i zao u 90% gadanja. Koliko jevjerojatno da vepar pogode samo jednim metkom, ako sva trojicagadaju s po jednim metkom? Ako su utvrdili samo jedan pogodak,koliko je vjerojatan pogodak dobrog strijelca?


Nezavisni dogadaji

Dogadaji A i B su nezavisni, ako informacija o dogadaju B nemijenja vjerojatnost dogadaja A.

Tada je p(A ∩ B) = p(A) · p(B).

Primjer



Nezavisni dogadaji


Primjer



Nezavisni dogadaji


Primjer

Dobar, los i zao strijelac gadaju vepra. Dobar strijelac na streljanipogada u 80% gadanja, los u 60% i zao u 90% gadanja. Koliko jevjerojatno da vepar pogode samo jednim metkom, ako sva trojicagadaju s po jednim metkom?

Ako su utvrdili samo jedan pogodak,koliko je vjerojatan pogodak dobrog strijelca?


Nezavisni dogadaji


Primjer



Nezavisni dogadaji


Primjer



Zadaci

1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnosti pogotkakod svakog strijelca iznose redom 40%, 50% i 60%. Kolika jevjerojatnost

1 tocno jednog pogotka u metu 38%2 bar jednog pogotka u metu 88%3 najvise dva pogotka u metu 88%

2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisti cilj?0, 38

3 Vjerojatnost rodenja sina je 0.502. Koliko bi djece moraliplanirati roditelji da bi s 99% sigurnosti dobili sina? (7)


Zadaci

1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnosti pogotkakod svakog strijelca iznose redom 40%, 50% i 60%.

Kolika jevjerojatnost





Zadaci






Zadaci


1 tocno jednog pogotka u metu

38%2 bar jednog pogotka u metu 88%3 najvise dva pogotka u metu 88%




Zadaci


1 tocno jednog pogotka u metu 38%

2 bar jednog pogotka u metu 88%3 najvise dva pogotka u metu 88%




Zadaci


1 tocno jednog pogotka u metu 38%2 bar jednog pogotka u metu

88%3 najvise dva pogotka u metu 88%




Zadaci


1 tocno jednog pogotka u metu 38%2 bar jednog pogotka u metu 88%

3 najvise dva pogotka u metu 88%




Zadaci


1 tocno jednog pogotka u metu 38%2 bar jednog pogotka u metu 88%3 najvise dva pogotka u metu

88%




Zadaci






Zadaci



2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisti cilj?

0, 38



Zadaci






Zadaci




3 Vjerojatnost rodenja sina je 0.502. Koliko bi djece moraliplanirati roditelji da bi s 99% sigurnosti dobili sina?

(7)


Zadaci






Zadaci






Potpuna vjerojatnost

Potpun sistem dogadaja cine dogadaji - hipoteze

H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω

ako vrijedi slijedece:

H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω

Hi ∩ Hj = ∅

Formula potpune vjerojatnosti dogadaja A ⊂ Ω jeformula:p(A) =

∑ni=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak

Zarulje se proizvode u tri pogona. Prvi pogon daje 50%proizvodnje, drugi 30% i treci 20%. Postotak neispravnih zarulja izprvog pogona je 10%, iz drugog 15%, a iz treceg 8%. Kolika jevjerojatnost da je slucajno izabrana zarulja neispravna?



Potpun sistem dogadaja cine dogadaji -

hipoteze

H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω


H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω

Hi ∩ Hj = ∅


∑ni=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak





H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω


H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω

Hi ∩ Hj = ∅


∑ni=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak





H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω


H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω

Hi ∩ Hj = ∅


∑ni=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak





H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω


H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω

Hi ∩ Hj = ∅


∑ni=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak





H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω


H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω

Hi ∩ Hj = ∅

Formula potpune vjerojatnosti dogadaja A ⊂ Ω jeformula:

p(A) =∑n

i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak





H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω


H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω

Hi ∩ Hj = ∅


∑ni=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak





H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω


H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω

Hi ∩ Hj = ∅


∑ni=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).

Zadatak



Bayesova formula

Bayesova formula sluzi za aposteriorno izracunavanje vjerojatnostipojedinih hipoteza ako je poznato da se dogodiodogadaj A: p(Hi/A) = p(Hi )·p(A/Hi )

p(A)

Zadatak

Kolika je vjerojatnost da je neispravna zarulja proizvedena naprvom stroju?

Zadatak

Na avion se ispaljuju tri projektila. Vjerojatnost pogotka prvim je50%, vjerojatnost pogotka drugim je 60%, a trecim 80%. Jedanpogodak avion obara s vjerojatnosti 30%, dva pogotka sa 60%, aod tri pogotka je sigurno oboren. Koliko je vjerojatno da je avionoboren prvim projektilom koji je ispucan?


Bayesova formula

Bayesova formula sluzi za aposteriorno izracunavanje vjerojatnostipojedinih hipoteza ako je poznato da se dogodiodogadaj A:

p(Hi/A) = p(Hi )·p(A/Hi )p(A)

Zadatak


Zadatak



Bayesova formula


p(A)

Zadatak


Zadatak



Bayesova formula


p(A)

Zadatak


Zadatak



Bayesova formula


p(A)

Zadatak


Zadatak



Zadaci

1 Na pismenom ispitu 20% studenata dobije dovoljan, 10%dobar, 5% vrlo dobar i 2% izvrstan. Prolaznost na usmenomje redom: 60% za studente s dovoljnim iz pismenog, 80% zaone s dobrim, 90% s vrlo dobrim i 95% za one s izvrsnim.Kolika je vjerojatnost da student:

1 ne polozi ispit2 koji je polozio ispit ima iz pismenog vrlo dobar?

2 Strijelci Mate i Ante, svaki sa po jednim metkom, gadaju cilj.Mate pogada s vjerojatnosti 0, 8, a Ante s 0, 4. Utvrdeno jeda je meta pogodena jednim metkom. Kolika je vjerojatnostda je metu pogodio Mate?

3 U uzorku ispitanika, u kojem je dio muskaraca 55%, 70%muskaraca i 60% zena su vozaci. Kolika je vjerojatnost daslucajno odabrana osoba ima vozacku dozvolu? Kolika jevjerojatnost da je slucajno odabrani vozac muskarac?


Zadaci






Zadaci


1 ne polozi ispit

2 koji je polozio ispit ima iz pismenog vrlo dobar?




Zadaci






Zadaci






Zadaci






Uvjetni zadaci s pismenih

1 Statisticki podaci govore da autobus kasni u 10% slucajeva, avlak u 35% slucajeva. Ako putnici u javnom prijevozu tri putacesce biraju autobus od vlaka,

1 izracunajte kolika je vjerojatnost da slucajno odabrani putnikzakasni na odrediste?

2 Ako znamo da je odredeni putnik zakasnio, kolika jevjerojatnost da je isao vlakom?

2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?
























2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%.

Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?






2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca.

Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?








Nezavisni zadaci s pismenih

1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da

1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?

2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student

1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?

3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat

1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?












1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?

2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?


























1 polozi sve ispite?

2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?








1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?

3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?


























1 ostvari sve svoje ciljeve?

2 polovicno ostvari svoje ciljeve?










Kombinatorni zadaci s pismenih

1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da

1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?

2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da

1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?

3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da

1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?












1 u prvi vagon udu cetiri putnika?

2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?








1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?

3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?


























1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?

2 svih pet izadu kroz isti izlaz?


























1 sve ispite polaze isti dan?

2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?








1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?

3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?










Razni zadaci s pismenih

1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?

2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena. Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?

3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?

4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:

1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.











2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena.

Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?































1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti

2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.









Slucajne varijable

Primjer

Pri svakom bacanju novcica za pismo se dobiva kuna, a za glavu segubi pola kune. Da li je igra postena?

Primjer

U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj na kockama.Koji je dobitak najvjerojatniji?

Primjer

Pogada se broj bacanja kocke dok se ne dobije sestica. Koji se brojbacanja ocekuje?


Slucajne varijable

Primjer


Primjer


Primjer



Slucajne varijable

Primjer


Primjer


Primjer



Slucajne varijable

Primjer


Primjer


Primjer



Vrijednosti slucajne varijable

Primjer

Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu biti oklade?

Primjer

Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga, kakvesu oklade moguce?

Napomena

Uvijek je moguca oklada na najveci iznos.



Primjer


Primjer


Napomena




Primjer


Primjer


Napomena




Primjer


Primjer


Napomena



Definicija slucajne varijable

Definicija

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Neka je < −∞, x ] ⊆ R.Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) bez obzira na x ∈ R.

Zadatak

Definirati u prethodnim primjerima slucajne varijable.



Definicija

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor.

Neka je < −∞, x ] ⊆ R.Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) bez obzira na x ∈ R.

Zadatak




Definicija

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Neka je < −∞, x ] ⊆ R.

Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) bez obzira na x ∈ R.

Zadatak




Definicija


Zadatak




Definicija


Zadatak



Diskretne i kontinuirane slucajne varijable

Vrijednosti slucajne varijable mogu biti diskretne ili neprekinute.

Zadatak

Navedite po jedan primjer diskretne i kontinuirane slucajnevarijable.




Zadatak





Zadatak



Funkcija razdiobe

Definicija

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i neka je X slucajnavarijabla. Funkcija razdiobe F : R→ [0, 1] definirana jevjerojatnosti F (x) = P(X ≤ x).

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije razdiobe ako je u bacanju dviju kocakaslucajna varijabla jednaka zbroju brojeva na kockama.

Svojstva funkcije razdiobe:

- neopadajuca: x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)

- neprekidna sdesna limε→0

F (x + ε) = F (x)

- vrijedi: limx→−∞

F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.


Funkcija razdiobe

Definicija


Zadatak





F (x + ε) = F (x)


F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.


Funkcija razdiobe

Definicija


Zadatak





F (x + ε) = F (x)


F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.


Funkcija razdiobe

Definicija


Zadatak





F (x + ε) = F (x)


F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.


Funkcija razdiobe

Definicija


Zadatak





F (x + ε) = F (x)


F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.


Funkcija razdiobe

Definicija


Zadatak





F (x + ε) = F (x)


F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.


Funkcija razdiobe

Definicija


Zadatak





F (x + ε) = F (x)


F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.


Diskretna slucajna varijabla

Zadatak

U kutiji su tri crne i pet bijelih kuglica. Kuglice se mogu izvlacitidok se ne izvuce bijela. Slucajna varijabla je broj izvlacenja.

1 Koliko vrijednosti moze imati slucajna varijabla?

2 Odredite pripadne vjerojatnosti za svaku vrijednost slucajnevarijable.

Definicija

Skup parova (xi , pi ) gdje je xi ∈ X (Ω) vrijednost slucajne varijable,a pi = X−1(xi ) vjerojatnost pripadne vrijednosti, naziva sediskretnom razdiobom ili diskretnom distribucijom vjerojatnosti.Funkcija f : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) nazivase funkcijom (gustoce) vjerojatnosti.



Zadatak




Definicija




Zadatak




Definicija




Zadatak




Definicija




Zadatak




Definicija

Skup parova (xi , pi ) gdje je xi ∈ X (Ω) vrijednost slucajne varijable,a pi = X−1(xi ) vjerojatnost pripadne vrijednosti, naziva sediskretnom razdiobom ili diskretnom distribucijom vjerojatnosti.

Funkcija f : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) nazivase funkcijom (gustoce) vjerojatnosti.



Zadatak




Definicija



Funkcija distribucije diskretne slucajne varijable

Teorem

Neka je (Ω,F , p) vjerojatnosti prostor. Neka je f : X (Ω)→ [0, 1]funkcija vjerojatnosti slucajne varijable X : Ω→ R. Tada sefunkcija distribucije racuna po formuli

F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x

p(X = xi ) =∑xi≤x

f (xi )

Zadatak

Novcic se baca sve dok ne padne glava ili cetiri pisma zaredom.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja novcica. Odrediterazdiobu vjerojatnosti. Zapisite funkciju distribucije F (x).Nacrtajte funkciju razdiobe.



Teorem


F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x


f (xi )

Zadatak




Teorem


F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x


f (xi )

Zadatak

Novcic se baca sve dok ne padne glava ili cetiri pisma zaredom.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja novcica. Odrediterazdiobu vjerojatnosti.

Zapisite funkciju distribucije F (x).Nacrtajte funkciju razdiobe.



Teorem


F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x


f (xi )

Zadatak

Novcic se baca sve dok ne padne glava ili cetiri pisma zaredom.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja novcica. Odrediterazdiobu vjerojatnosti. Zapisite funkciju distribucije F (x).

Nacrtajte funkciju razdiobe.



Teorem


F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x


f (xi )

Zadatak



Matematicko ocekivanje

Definicija

Matematicko ocekivanje diskretne slucajne varijable X je broj

E (X ) =∑i

xi f (xi )

gdje su f (xi ) vrijednosti funkcije vjerojatnosti za vrijednostislucajne varijable xi .

Zadatak

Odredite ocekivani zbroj koji padne pri bacanju dviju kocaka. Akoigrac dobiva onoliko kuna koliki je zbroj na kockama, koliki trebabiti upad u igru, pa da igra bude fer?



Definicija


E (X ) =∑i

xi f (xi )


Zadatak




Definicija


E (X ) =∑i

xi f (xi )


Zadatak

Odredite ocekivani zbroj koji padne pri bacanju dviju kocaka.

Akoigrac dobiva onoliko kuna koliki je zbroj na kockama, koliki trebabiti upad u igru, pa da igra bude fer?



Definicija


E (X ) =∑i

xi f (xi )


Zadatak



Ocekivanje beskonacne diskretne slucajne varijable

Programirajte u EXCEL-u.

Zadatak

Novcic se baca dok se ne dobije pismo. Po svakoj dobivenoj glaviigrac ima pravo na 10 kuna. Koliki bi morao biti upad u fer-play?

Zadatak

Po svakom bacanju kocke na kojem ne padne 6 igrac ima pravo najos jedno bacanje. Ako ne padne 6 dobiva 10 kn. Koliki bi trebaobiti ulaz u igru?

Zadatak

Automobil na raskrsce ulazi iz sporedne ulice u 20% slucajeva.Marko daje Slavenu 10 kuna po svakom autu koji dolazi izsporedne ulice sve dok se ne pojavi auto koji u raskrsce dolazi izglavne. Koliko bi novaca trebao Slaven dati Marku na pocetkuigre, pa da igra bude postena?




Zadatak


Zadatak


Zadatak





Zadatak


Zadatak


Zadatak





Zadatak


Zadatak


Zadatak



Varijanca i standardna devijacija

Definicija

Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje: V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.

Definicija

Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:σX =

√V (X ).

Primjer

Vjerojatnost da se na sajmu proda auto je 15%. Covjek odluci icina sajam dok ne proda auto, ali najvise cetiri puta. Izracunajteocekivani broj odlazaka na sajam i standardnu devijaciju.



Definicija

Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje:

V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.

Definicija


√V (X ).

Primjer




Definicija


Definicija


√V (X ).

Primjer




Definicija


Definicija

Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:

σX =√

V (X ).

Primjer




Definicija


Definicija


√V (X ).

Primjer




Definicija


Definicija


√V (X ).

Primjer



Standardizirana varijabla

Standardizirana varijabla slucajne varijable X je varijabla

X ∗ =X − E (X )

σX.

Zadatak

Bracni par odluci raditi djecu dok ne dobije sina ili cetiri kceri.Napisite vrijednosti standardizirane varijable.

Zadatak

Osobni dohodak u Hrvatskoj je 4 000± 1 000 kn Prosjecnidohodak u Sloveniji je 2 000± 500 Eura. Janko dobije 6 600 kn, aMojca 2 800 Eura. Tko ima veci standard u svojoj zemlji?




X ∗ =X − E (X )

σX.

Zadatak


Zadatak





X ∗ =X − E (X )

σX.

Zadatak


Zadatak





X ∗ =X − E (X )

σX.

Zadatak


Zadatak



Centralni momenti. Asimetrija. Eksces.

Centralni moment r -tog reda: µr = Mr (X ) = E [(X − E (X ))r ]

Koeficijent asimetrije je broj γ =µ3

σ3. Ako je γ = 0, razdioba je

simetricna obzirom na E (X ).

Koeficijent spljostenosti ili eksces postoji ako je broj ε =µ4

σ4− 3

pozitivan.

Zadatak

Protuzracna obrana otvara vatru na neprijateljski zrakoplov dok gane srusi. Vjerojatnost da projektil pogodi rep je 0.1, krilo 0.2 i trup0.7. Ako pogodi krilo ili rep, zrakoplov se odmah rusi, dok za truptreba tri pogotka da se srusi. Ako se broje ispaljeni projektili,izracunajte koeficijent asimetrije i eksces.








σ4− 3

pozitivan.

Zadatak






σ3.

Ako je γ = 0, razdioba je



σ4− 3

pozitivan.

Zadatak









σ4− 3

pozitivan.

Zadatak









σ4− 3

pozitivan.

Zadatak









σ4− 3

pozitivan.

Zadatak



Zadaci

Zadatak

Bezicni modem pokusava uspostaviti vezu sest puta dnevno. Akoje vjerojatnost uspostave veze pri svakom pokusaju 70%, odrediteocekivani broj uspjesnih spajanja toga dana. Da li je uspostavaveze simetricna? Da li je sklona ekscesu?

Zadatak

Igra na srecu sastoji se u bacanju cetiri novcica jednog za drugim,ali se prekida ako padne glava. Za svaki baceni novcic dobivaju se2 kn, a za svaki koji nije bacen gube se 2 kn. Da li je igra postena?

Zadatak

Izrac ima pravo izvlaciti karte sve dok izvlaci herceve. U Spilu od32 karte ima 8 herceva. Ako po svakom hercu koji nasumce izvucedobiva po 20 kn, koliko mora biti ucesce igraca?


Zadaci

Zadatak


Zadatak


Zadatak



Zadaci

Zadatak


Zadatak


Zadatak



Zadaci

Zadatak


Zadatak


Zadatak



Pikado

Zadatak

Meta za pikado izgleda kao na slici. Sredisnji krug nosi 10 bodova,prvi srednji 5, a vanjski vijenac 1 bod. Igrac gada metu s tri pikadostrelice. Pod pretpostavkom da metu ne promasuje, izracunajteocekivani broj bodova, varijancu i koeficijent asimetrije. Da lirazdioba ima eksces?

25cm

25cm

30cm

25cm

25cm


Pikado

Zadatak

Meta za pikado izgleda kao na slici. Sredisnji krug nosi 10 bodova,prvi srednji 5, a vanjski vijenac 1 bod. Igrac gada metu s tri pikadostrelice. Pod pretpostavkom da metu ne promasuje, izracunajteocekivani broj bodova, varijancu i koeficijent asimetrije. Da lirazdioba ima eksces?

25cm

25cm

30cm

25cm

25cm


Binomna razdioba

Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:

- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p

- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p

Slucajna varijabla X broji uspjehe.

Funkcija gustoce vjerojatnosti f (x) = P(X = x) =(

nx

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n

Funkcija distribucije vjerojatnosti:

F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

(nk

)· pk · qn−k .

Matematicko ocekivanje: E (X ) = np

Varijanca: V (X ) = npq


Binomna razdioba






nx

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n


F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

(nk

)· pk · qn−k .




Binomna razdioba






nx

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n


F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

(nk

)· pk · qn−k .




Binomna razdioba






nx

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n


F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

(nk

)· pk · qn−k .




Binomna razdioba






nx

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n


F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

(nk

)· pk · qn−k .




Binomna razdioba






nx

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n


F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

(nk

)· pk · qn−k .




Binomna razdioba






nx

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n


F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

(nk

)· pk · qn−k .




Binomna razdioba






nx

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n


F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

(nk

)· pk · qn−k .




Binomna razdioba






nx

)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n

0, x 6= 0, 1, . . . n


F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x

(nk

)· pk · qn−k .




Zadatak

Zadatak

Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2

5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?


Zadatak

Zadatak


5 faze.

Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?


Zadatak

Zadatak


5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz.

Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?


Zadatak

Zadatak


5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza?

Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?


Zadatak

Zadatak


5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja?

Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?


Zadatak

Zadatak


5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza?

Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?


Zadatak

Zadatak


5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja?

Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?


Zadatak

Zadatak


5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza?

Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?


Zadatak

Zadatak


5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?


Ispitni zadaci

Zadatak

Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplova je30%. Odredite vjerojatnos da pri slijetanju:

a) u nizu od 10 letova nastupi 3 uvjeta smanjene vidljivosti.

b) u nizu od 6 letova dobra vidljivost bude u vise od poloviceslucajeva?

Zadatak

Vjerojatnost da se postigne dogovor vlade i opozicije je 0.25.Kolika je vjerojatnost da u cetiri sastanka do dogovora

uopce dode.

Koji je ocekivani broj plodnih sastanaka i kolika je standardnadevijacija?


Ispitni zadaci

Zadatak




Zadatak


uopce dode.



Ispitni zadaci

Zadatak




Zadatak


uopce dode.



Ispitni zadaci

Zadatak




Zadatak


uopce dode.



Ispitni zadaci

Zadatak




Zadatak


uopce dode.



Ispitni zadaci

Zadatak




Zadatak


uopce dode.



Ispitni zadaci

Zadatak




Zadatak


uopce dode.



Poissonova distribucija

Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost

”uspjeha” je mala: limn→∞

(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:

f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ




”uspjeha” je mala:

limn→∞

(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .


f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ





(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!,

gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .


f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ





(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .


f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ





(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .


f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ





(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .

Dobri rezultati za np ≤ 10.

Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:

f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ





(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .


f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ





(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .


f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ





(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .


f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ





(nx

)· px · qn−x = e−λ · λ

x

x!, gdje je

λ = np

x = 0, 1, 2, . . .


f (x) = e−λ · λx

x!

F (x) =∑y≤x

e−λ · λy

y !

E (X ) = λ

V (X ) = λ


Ispitni zadaci

Zadatak

Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana

1 kasni manje od 4 autobusa

2 kasni vise od 3 autobusa

3 kasni samo jedan autobus.

Zadatak

Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.

1 Izracunajte standardnu devijaciju.

2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?


Ispitni zadaci

Zadatak





Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak





Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak





Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak





Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak





Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak





Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak





Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak

Prosjecni vremenski interval izmedu dva poziva u centrali taxisluzbe je 20 sekundi. Ako se broj poziva u minuti ravna poPoissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost da u minuti bude:

1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak

Centrala taxi sluzbe primi prosjecno 120 poziva na sat, a moguobraditi u minuti najvise 3 zahtjeva. Ako se broj poziva u minutiravna po Poissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost:

1 preopterecenja centrale

2 da u minuti bude samo jedan poziv?


Ispitni zadaci

Zadatak


1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak


1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak


1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak


1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak


1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak





Ispitni zadaci

Zadatak


1 barem 4 poziva

2 samo jedan poziv?

Zadatak





Geometrijska razdioba

Beskonacna diskretna razdiba

Slucanji pokus se ponavlja do zadanog rezultata

Slucajna varijabla je broj ponavljanja

Vjerojatnost prekida p

Vjerojatnost nastavka pokusa q = 1− p

Funkcija gustoce vjerojatnosti f (x) = p(X = x) = qx−1p

Zadatak

Vjerojatnost otkaza akumulatora preko noci je 0.1%. Kolika jevjerojatnost da akumulator izdrzi godinu dana?

Zadatak

Dijete baca kocku dok ne dobije sest. Kolika je vjerojatnost da

1 dijete baca kocku vise od triput

2 dijete baca kocku najvise triput?









Zadatak


Zadatak












Zadatak


Zadatak












Zadatak


Zadatak












Zadatak


Zadatak












Zadatak


Zadatak












Zadatak


Zadatak












Zadatak


Zadatak












Zadatak


Zadatak












Zadatak


Zadatak












Zadatak


Zadatak





Hipergeometrijska razdioba

izvlacenje uzorka velicine m izmedu n > m objekata

ukupno d < n od n objekata je povoljne vrste

slucajna varijabla X broji povoljne objekte u uzorku.

gustoca vjerojatnosti f (x) = P(X = x) =

(dx

)(n − dm − x

)(

nm

)matematicko ocekivanje E (X ) = d

n ·m.







(dx

)(n − dm − x

)(

nm


n ·m.







(dx

)(n − dm − x

)(

nm


n ·m.







(dx

)(n − dm − x

)(

nm


n ·m.







(dx

)(n − dm − x

)(

nm


n ·m.







(dx

)(n − dm − x

)(

nm

)

matematicko ocekivanje E (X ) = dn ·m.







(dx

)(n − dm − x

)(

nm


n ·m.


Zadaci

Zadatak

U spilu od 52 karte ima 4 asa. U pokeru se dijeli pet karata.Slucajna varijabla je broj dobivenih aseva. Kolika je vjerojatnostpara aseva? Koliki je ocekivani broj aseva? Koliko bi se karatamoralo udijeliti, pa da broj dobivenih karata u uzorku bude 2?

Zadatak

U spilu od 20 karata ima 4 decka. Igrac dobiva 5 karata. Kolika jevjerojatnost da u dobivenim kartama ima

1 dva decka

2 barem dva decka

3 najvise dva decka?


Zadaci

Zadatak


Zadatak


1 dva decka

2 barem dva decka



Zadaci

Zadatak


Zadatak


1 dva decka

2 barem dva decka



Zadaci

Zadatak


Zadatak


1 dva decka

2 barem dva decka



Zadaci

Zadatak


Zadatak


1 dva decka

2 barem dva decka



Zadaci

Zadatak


Zadatak


1 dva decka

2 barem dva decka



Neprekinuta slucajna varijabla

Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da

P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.

Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :

(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.

Primjer

Konstruirati funkciju gustoce vjerojatnosti za trenutak zavrsetkadanasnje nastave.



Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor.

Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da

P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer




Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi

P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da

P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer




Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0

i ako postojif : R→ R tako da

P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer




Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postoji

f : R→ R tako da

P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer





P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer





P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer





P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer





P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer





P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer





P(a < X < b) =

∫ b

af (t)dt.


(i)

∫ +∞

−∞f (t)dt = 1


Primjer



Funkcija distribucije neprekinute slucajnevarijable

Kljucna za racunanje vjerojatnosti:

F (x) =

∫ x

−∞f (t)dt,

zbog P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a).

Zadatak

Zapisati formulama F (x) za primjer funkcije gustoce vjerojatnosti.Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsi najkasnije 5 min poslijenajranijeg zavrsetka.




F (x) =

∫ x

−∞f (t)dt,


Zadatak





F (x) =

∫ x

−∞f (t)dt,


Zadatak





F (x) =

∫ x

−∞f (t)dt,


Zadatak





F (x) =

∫ x

−∞f (t)dt,


Zadatak

Zapisati formulama F (x) za primjer funkcije gustoce vjerojatnosti.

Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsi najkasnije 5 min poslijenajranijeg zavrsetka.




F (x) =

∫ x

−∞f (t)dt,


Zadatak



Numericke karakteristike

Matematicko ocekivanje µ = E (X ) =

∫ +∞

−∞tf (t)dt.

Standardna devijacija σ =√

V (X ), gdje jeV (X ) = E

[(X − E (X ))2

]= E (X 2)− E (X )2.

Koeficijent asimetrije γ =E[(X − E (X ))3

]σ3

=

E (X 3)− 3E (X 2)E (X ) + 2E (X )3

σ3.

Eksces ili koeficijent spljostenosti:

ε =E[(X − E (X ))4

]σ4

− 3 =

E (X 4)− 4E (X 3)E (X ) + 6E (X 2)E (X )2 − 3E (X )4

σ4− 3 (ima smisla

ako je pozitivan).

Zadatak

Izracunati ocekivanje, standardnu devijaciju, koeficijent asimetrije ieksces za primjer kontinuirane razdiobe.




∫ +∞

−∞tf (t)dt.



[(X − E (X ))2

]= E (X 2)− E (X )2.


]σ3

=

E (X 3)− 3E (X 2)E (X ) + 2E (X )3

σ3.


ε =E[(X − E (X ))4

]σ4

− 3 =

E (X 4)− 4E (X 3)E (X ) + 6E (X 2)E (X )2 − 3E (X )4


ako je pozitivan).

Zadatak





∫ +∞

−∞tf (t)dt.



[(X − E (X ))2

]= E (X 2)− E (X )2.


]σ3

=

E (X 3)− 3E (X 2)E (X ) + 2E (X )3

σ3.


ε =E[(X − E (X ))4

]σ4

− 3 =

E (X 4)− 4E (X 3)E (X ) + 6E (X 2)E (X )2 − 3E (X )4


ako je pozitivan).

Zadatak





∫ +∞

−∞tf (t)dt.



[(X − E (X ))2

]= E (X 2)− E (X )2.


]σ3

=

E (X 3)− 3E (X 2)E (X ) + 2E (X )3

σ3.


ε =E[(X − E (X ))4

]σ4

− 3 =

E (X 4)− 4E (X 3)E (X ) + 6E (X 2)E (X )2 − 3E (X )4


ako je pozitivan).

Zadatak





∫ +∞

−∞tf (t)dt.



[(X − E (X ))2

]= E (X 2)− E (X )2.


]σ3

=

E (X 3)− 3E (X 2)E (X ) + 2E (X )3

σ3.


ε =E[(X − E (X ))4

]σ4

− 3 =

E (X 4)− 4E (X 3)E (X ) + 6E (X 2)E (X )2 − 3E (X )4

σ4− 3

(ima smisla

ako je pozitivan).

Zadatak





∫ +∞

−∞tf (t)dt.



[(X − E (X ))2

]= E (X 2)− E (X )2.


]σ3

=

E (X 3)− 3E (X 2)E (X ) + 2E (X )3

σ3.


ε =E[(X − E (X ))4

]σ4

− 3 =

E (X 4)− 4E (X 3)E (X ) + 6E (X 2)E (X )2 − 3E (X )4


ako je pozitivan).

Zadatak



Uniformna razdioba

Zadana je funkcijom gustoce vjerojatnosti

f (x) =

k , a ≤ x ≤ b0, ostalo

Zadatak

Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b]. Zapisatifunkciju distribucije. Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.


Uniformna razdioba


f (x) =


Zadatak



Uniformna razdioba


f (x) =


Zadatak



Uniformna razdioba


f (x) =


Zadatak

Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b].

Zapisatifunkciju distribucije. Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.


Uniformna razdioba


f (x) =


Zadatak

Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b]. Zapisatifunkciju distribucije.

Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.


Uniformna razdioba


f (x) =


Zadatak



Eksponencijalna razdioba

Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:

f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak

Odrediti λ tako da bude zadovoljen uvjet normiranosti. Napisatiformulu funkcije distribucije. Izracunati matematicko ocekivanje istandardnu devijaciju. Izracunati eksces i asimetricnost.

Zadatak

Prosjecan dnevni promet na autocesti sirokoj 30 m u spici sezoneiznosi 24000 automobila. Medvjed trci 54 km/h. Koliko jevjerojatno da nece biti udaren onaj medo koji preskoci zicu ipretrcava autocestu?



Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.

Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:

f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak


Zadatak





f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak


Zadatak





f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak


Zadatak





f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak


Zadatak





f (t) =

λe−λt , t ≥ 0

0, ostalo

Zadatak


Zadatak



Normalna razdioba

Normalna razdioba X ∼ N(µ, σ2)parametri: µ ∈ R i σ > 0.

Funkcija gustoce vjerojatnosti: f (t) =1

σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2

Graf funkcije: Gaussovo zvonoMatematicko ocekivanje: EX = µ.Varijanca: V (X ) = σ2.

Funkcija razdiobe: F (x) =1

σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba



σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2



σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba


Funkcija gustoce vjerojatnosti:

f (t) =1

σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2



σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba



σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2



σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba



σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2

Graf funkcije: Gaussovo zvono

Matematicko ocekivanje: EX = µ.Varijanca: V (X ) = σ2.


σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba



σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2

Graf funkcije: Gaussovo zvonoMatematicko ocekivanje: EX = µ.

Varijanca: V (X ) = σ2.


σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba



σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2

Graf funkcije: Gaussovo zvonoMatematicko ocekivanje: EX = µ.Varijanca:

V (X ) = σ2.


σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba



σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2



σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba



σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2


Funkcija razdiobe:

F (x) =1

σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba



σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2



σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Normalna razdioba



σ√

2πe−

(t − µ)2

2σ2



σ√

2π

∫ x

−∞e−

(t − ν)2

2σ2 dt

tabelirana.


Standardna normalna razdioba

Standardna normalna razdioba Z ∼ N (0, 1). Funkcija gustoce

vjerojatnosti ϕ(z) =1√2π

e−z2

2 .

Funkcija distribucije Φ(z) =1√2π

∫ z

−∞e−

u2

2 du tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.

Supstitucija z =x − νσ

daje F (x) = Φ(z)

Racunanje vjerojatnosti:

p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)



Standardna normalna razdioba Z ∼ N (0, 1).

Funkcija gustoce


e−z2

2 .


∫ z

−∞e−

u2

2 du tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.


daje F (x) = Φ(z)


p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)





e−z2

2 .


∫ z

−∞e−

u2

2 du tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.


daje F (x) = Φ(z)


p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)





e−z2

2 .


∫ z

−∞e−

u2

2 du

tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.


daje F (x) = Φ(z)


p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)





e−z2

2 .


∫ z

−∞e−

u2

2 du tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.


daje F (x) = Φ(z)


p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)





e−z2

2 .


∫ z

−∞e−

u2

2 du tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.


daje F (x) = Φ(z)


p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)





e−z2

2 .


∫ z

−∞e−

u2

2 du tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.


daje F (x) = Φ(z)


p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)





e−z2

2 .


∫ z

−∞e−

u2

2 du tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.


daje F (x) = Φ(z)


p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)





e−z2

2 .


∫ z

−∞e−

u2

2 du tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.


daje F (x) = Φ(z)


p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)





e−z2

2 .


∫ z

−∞e−

u2

2 du tabelirana.

Uociti: Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.


daje F (x) = Φ(z)


p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)


Primjena standardne normalne razdiobe

Zadatak

Maksimalna dnevna temperatura zraka u sijecnju je slucajnavarijabla normalne razdiobe s ocekivanih −20C ± 50C . Odredite

1 vjerojatnost da dnevna temperatura bude u minusu.

2 vjerojatnost da maksimalna dnevna temperatura bude iznad−100C .

3 najvecu maksimalnu temperaturu koja se postize svjerojatnoscu od 70%.


Primjena standardne normalne razdiobe

Zadatak

Maksimalna dnevna temperatura zraka u sijecnju je slucajnavarijabla normalne razdiobe s ocekivanih −20C ± 50C . Odredite

1 vjerojatnost da dnevna temperatura bude u minusu.

2 vjerojatnost da maksimalna dnevna temperatura bude iznad−100C .

3 najvecu maksimalnu temperaturu koja se postize svjerojatnoscu od 70%.


Poissonov proces

Za niz od k slucajnih istih eksponencijalnih varijabli vrijedi funkcijagustoce vjerojatnosti ili Poissonov tok

P(X (t) = n) =(λt)k

k!e−λt ,

gdje je λ njihov prosjecan broj u jedinici vremena. t mora bitiizrazen u istim jedinicama vremena.

Primjer

Postar dijeli penzije. Vrijeme zadrzavanja kod svakog umirovljenikaravna se po eksponencijalnoj razdiobi. Poznato je da za tri satapodijeli u prosjeku 9 mirovina.

a) Napisite formulu Poissonovog procesa.

b) Kolika je vjerojatnost da u pola sata podijeli dvije mirovine?

c) U torbi su mu ostale tri mirovine. Do kraja radnog vremenaima jedan sat. Kolika je vjerojatnost da ce morati ostati duljena terenu?


Poissonov proces


P(X (t) = n) =(λt)k

k!e−λt ,


Primjer






Poissonov proces


P(X (t) = n) =(λt)k

k!e−λt ,


Primjer






Poissonov proces


P(X (t) = n) =(λt)k

k!e−λt ,

gdje je λ njihov prosjecan broj u jedinici vremena.

t mora bitiizrazen u istim jedinicama vremena.

Primjer






Poissonov proces


P(X (t) = n) =(λt)k

k!e−λt ,


Primjer






Poissonov proces


P(X (t) = n) =(λt)k

k!e−λt ,


Primjer






Poissonov proces


P(X (t) = n) =(λt)k

k!e−λt ,


Primjer






Poissonov proces


P(X (t) = n) =(λt)k

k!e−λt ,


Primjer






Poissonov proces


P(X (t) = n) =(λt)k

k!e−λt ,


Primjer






Korelacija

Zadatak

Neka je fomulom f (t) =3

32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon

vjerojatnosti vremena pranja automobila u minutama.

1 Odredite najkrace i najdulje vrijeme pranja automobila.

2 Provjerite da se radi o funkciji gustoce vjerojatnosti.

3 Izracunajte matematicko ocekivanje vremena pranjaautomobila.


5 Napisite formulu funkcije distribucije.6 Kolika je vjerojatnost da automobil peru:

1 manje od pola sata?2 od 40 do 45 minuta?3 dulje od sata?4 Odredite gornju granicu duljine pranja za koju je vjerojatnost

75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon








75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon








75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon








75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon








75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon








75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon






5 Napisite formulu funkcije distribucije.

6 Kolika je vjerojatnost da automobil peru:1 manje od pola sata?2 od 40 do 45 minuta?3 dulje od sata?4 Odredite gornju granicu duljine pranja za koju je vjerojatnost

75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon








75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon







1 manje od pola sata?2 od 40 do 45 minuta?

3 dulje od sata?4 Odredite gornju granicu duljine pranja za koju je vjerojatnost

75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon







1 manje od pola sata?2 od 40 do 45 minuta?3 dulje od sata?

4 Odredite gornju granicu duljine pranja za koju je vjerojatnost75%.


Korelacija

Zadatak


32 000

(80t − t2 − 1200

)zadan zakon








75%.


Korelacija

Zadatak

Mjerenjem vremena cekanja na kiosku McDrivea utvrdena jefunkcija razdiobe F (t) =

[t3 − 3t2 + 4t − 32

]%.

1 Odredite koliko je najmanje, a koliko je najvece vrijemecekanja?

2 Koliko je ocekivano cekanje?

3 Kolika je standardna devijacija?


Korelacija

Zadatak


[t3 − 3t2 + 4t − 32

]%.





Korelacija

Zadatak


[t3 − 3t2 + 4t − 32

]%.





Korelacija

Zadatak


[t3 − 3t2 + 4t − 32

]%.





Korelacija

Zadatak


[t3 − 3t2 + 4t − 32

]%.





Kolokvij...

1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.

1 Izracunajte standardnu devijaciju.2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilo

dode na servis?

2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?

3 Funkcija je zadana formulom

f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5

Odredite a tako da f

bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).


Kolokvij...



dode na servis?



f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5




Kolokvij...



2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilodode na servis?



f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5




Kolokvij...



dode na servis?



f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5




Kolokvij...



dode na servis?



f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5




Kolokvij...



dode na servis?



f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5


bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .

Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).


Kolokvij...



dode na servis?



f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5


bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x).

IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).


Kolokvij...



dode na servis?



f (x) =

0 za x < 3

a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5




... s nastavkom

1 Tri izlaza s autoputa koriste se jednako cesto. Kolika jevjerojatnost da od pet vozila

1 tri vozila izadu na isti izlaz2 svi izadu kroz isti izlaz?

2 Ante pogodi vuka u 60%, Brane u 70%, a Caruga u 90%slucajeva. Ako sva trojica zapucaju s po jednim metkom, a uvuku nadu dva metka, koliko je vjerojatno da Brane nijepogodio?

3 Meta za pikado izgleda kao na slici. Ako pogodak u centarnosi 100 kn, srednji vijenac 50 kn, a vanjski 20 kn, koliki trebabiti ulaz u igru. Pretpostavimo da svi potencijalni igraci mogupogoditi metu.

25cm

25cm

30cm

25cm

25cm


... s nastavkom


1 tri vozila izadu na isti izlaz

2 svi izadu kroz isti izlaz?2 Ante pogodi vuka u 60%, Brane u 70%, a Caruga u 90%

slucajeva. Ako sva trojica zapucaju s po jednim metkom, a uvuku nadu dva metka, koliko je vjerojatno da Brane nijepogodio?


25cm

25cm

30cm

25cm

25cm


... s nastavkom





25cm

25cm

30cm

25cm

25cm


... s nastavkom





25cm

25cm

30cm

25cm

25cm


... s nastavkom





25cm

25cm

30cm

25cm

25cm


Kolokvij...

1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:

a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)

b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.

Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?

2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno

1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?

3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?


Kolokvij...









Kolokvij...









Kolokvij...









Kolokvij...




Koliko je vjerojatno

1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?





Kolokvij...




Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?

2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.

30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno




Kolokvij...









Kolokvij...









Kolokvij...






1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?

2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Koliko

je vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?


Kolokvij...









Kolokvij...









...s nastavkom

1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:

1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.

2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.

3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?


...s nastavkom






...s nastavkom






...s nastavkom


1 postotak zena koje su vise od 1.8m

2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.




...s nastavkom


1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine

3 donju granicu ispod koje je 10% zena.




...s nastavkom






...s nastavkom






...s nastavkom






Statistika

State=drzava: vjestina upravljanja drzavom

temelj: Teorija vjerojatnosti


Statistika




Statistika




Osnovni pojmovi. Vrste statistika

Deskriptivna statistika: prikupljanje, selekcija, grupiranje,graficka prezentacija, kvalitativna analiza.

Inferencijalna statistika: zakljucci na temelju Teorijevjerojatnosti, induktivni pristup










Statisticki skup. Modaliteti

Skup statistickih jedinica

Pojmovna definicija: jednoznacna odredenost elemenata

Prostorna definicija: pripadnost podrucju

Vremenska definicija: trenutak ili interval prikupljanja

Populacija je osnovni skup podataka o promatranom svojstvu zasvaku jedinicu statistickog skupa.





































Obiljezje (kvalitativno)

Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.

nominalno obiljezje:

atributno, geografsko, alternativnonisu dopustene brojcane operacije

ordinalno ili redosljedno obiljezje

strucna sprema, ekonomska razvijenostosim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene



















atributno, geografsko, alternativno

nisu dopustene brojcane operacije























strucna sprema, ekonomska razvijenost

osim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene









Obiljezje (kvantitativno)

Intervalno obiljezje

temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)

Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano





Numericko obiljezje





temperatura, ocjena

sve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)

Numericko obiljezje






Numericko obiljezje






Numericko obiljezje






Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanja

diskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano





Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrsce

sve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano





Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacije

diskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano





Numericko obiljezje

neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta

- kontinuirano





Numericko obiljezje



Primjer prvi

Tabela 1.8 Struktura zaposlenih u grani Proizvodnja obojenihmetala u Republici Hrvatskoj u rujnu 1990 godine

Placa u HRD Struktura zaposlenih u %

HRD Pi

1 2

4000.5-5000.5 8.85000.5-6000.5 17.16000.5-8000.5 50.7

8000.5-10000.5 20.010000.5-12000.5 3.0

12000.5-(20000.5) 0.4

UkupnoNapomena: U izvoru su dane nominalne granice razreda.Izvor: Statisticki godisnjak Republike Hrvatske, 1991


Primjer prvi



HRD Pi

1 2

4000.5-5000.5 8.85000.5-6000.5 17.16000.5-8000.5 50.7

8000.5-10000.5 20.010000.5-12000.5 3.0

12000.5-(20000.5) 0.4



Primjer prvi



HRD Pi

1 2

4000.5-5000.5 8.85000.5-6000.5 17.16000.5-8000.5 50.7

8000.5-10000.5 20.010000.5-12000.5 3.0

12000.5-(20000.5) 0.4



Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca

brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima

izvor

Tablica moze imati

oznaku retka

zbirni redak, odnosno stupac


Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca


izvor

Tablica moze imati

oznaku retka



Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca


izvor

Tablica moze imati

oznaku retka



Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca


izvor

Tablica moze imati

oznaku retka



Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca


izvor

Tablica moze imati

oznaku retka



Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca


izvor

Tablica moze imati

oznaku retka



Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca


izvor

Tablica moze imati

oznaku retka



Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca


izvor

Tablica moze imati

oznaku retka



Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca


izvor

Tablica moze imati

oznaku retka



Standardi

Tablica mora imati

naslov

zaglavlje

oznaku stupca


izvor

Tablica moze imati

oznaku retka



Nejasnoca nominalne granice

Ako su podaci grupirani tako da se gornja i donja granica razlikuju,onda se radi o nominalnim granicama. Tako je moguce naslutiti dasu u godisnjaku podaci dani na slijedeci nacin:


HRD Pi

1 2

4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7

8001-10000 20.010001-12000 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno



Ako su podaci grupirani tako da se gornja i donja granica razlikuju,onda se radi o nominalnim granicama.

Tako je moguce naslutiti dasu u godisnjaku podaci dani na slijedeci nacin:


HRD Pi

1 2

4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7

8001-10000 20.010001-12000 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno





HRD Pi

1 2

4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7

8001-10000 20.010001-12000 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno





HRD Pi

1 2

4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7

8001-10000 20.010001-12000 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno


Granice u primjeru

granice u primjeru su prave i mogu se dobiti izjednacavanjem


HRD Pi

1 2

4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7

8001-10001 20.010001-12001 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

UkupnoKada se sirovi podaci trpaju u razrede, onda se granicna vrijednostuvijek stavlja u veci razred ai ≤ xi < b.


Granice u primjeru



HRD Pi

1 2

4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7

8001-10001 20.010001-12001 3.0

12001 -(20000 ) 0.4



Granice u primjeru



HRD Pi

1 2

4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7

8001-10001 20.010001-12001 3.0

12001 -(20000 ) 0.4

Ukupno

Kada se sirovi podaci trpaju u razrede, onda se granicna vrijednostuvijek stavlja u veci razred ai ≤ xi < b.


Granice u primjeru



HRD Pi

1 2

4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7

8001-10001 20.010001-12001 3.0

12001 -(20000 ) 0.4



Prirodne granice

U slucaju inferencijalne statistike, granice u primjeru mogu sekorigirati bez vece stete na konacan rezultat


HRD Pi

1 2

4000-5000 8.85000-6000 17.16000-8000 50.7

8000-10000 20.010000-12000 3.0

12000 -(20000 ) 0.4

Ukupno


Prirodne granice



HRD Pi

1 2

4000-5000 8.85000-6000 17.16000-8000 50.7

8000-10000 20.010000-12000 3.0

12000 -(20000 ) 0.4

Ukupno


Prirodne granice



HRD Pi

1 2

4000-5000 8.85000-6000 17.16000-8000 50.7

8000-10000 20.010000-12000 3.0

12000 -(20000 ) 0.4

Ukupno


Pitanja

Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:

Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija

Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale

Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram

Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?


Pitanja



Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale




Pitanja



Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale




Pitanja



Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale




Pitanja



Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale




Pitanja



Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale




Pitanja



Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale




Pitanja



Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale




Pitanja



Populacija

Obiljezje

Modaliteti

Vrstu skale




Prikupljanje statistickih podataka

Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...

Primarni podaci - promatranja

jednokratnaperiodicnatekuca

Pogreske u promatranju

sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno



Sekundarni podaci -

statisticki ljetopisi...
















jednokratna

periodicnatekuca







jednokratnaperiodicna

tekuca























sistemske

- svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno







sistemske - svaki podatak -

ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno







sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju se

slucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno







sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna

- svaki podatak - ponistavaju se medusobno







sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak

- ponistavaju se medusobno









Grupiranje

Metodom steam and leaf poredajte podatke o racunima kupnje(kn)

600 100 500 100 150 400 170 2000 100 400100 1300 500 100 200 250 400 500 800 700510 180 800 250 100 1500 380 2600 1000 800250 1000 1500 250 500 700 100 100 100 1500500 600 100 250 150 1000 500 1600 2000 350200 100 100 150 500 100 2000 150 1500 100

1100 400 700 300 200 2400 100 1500 600 200400 300 300 500 200 600 500 800 100 200500 800 200 300 300 800 1000 1500 1800 200200 2000 100 200 100 260 500 500 150 1000300 1400 250 200 100 200 200 300 250 1250


Grupiranje


600 100 500 100 150 400 170 2000 100 400100 1300 500 100 200 250 400 500 800 700510 180 800 250 100 1500 380 2600 1000 800250 1000 1500 250 500 700 100 100 100 1500500 600 100 250 150 1000 500 1600 2000 350200 100 100 150 500 100 2000 150 1500 100

1100 400 700 300 200 2400 100 1500 600 200400 300 300 500 200 600 500 800 100 200500 800 200 300 300 800 1000 1500 1800 200200 2000 100 200 100 260 500 500 150 1000300 1400 250 200 100 200 200 300 250 1250


Grupiranje


600 100 500 100 150 400 170 2000 100 400100 1300 500 100 200 250 400 500 800 700510 180 800 250 100 1500 380 2600 1000 800250 1000 1500 250 500 700 100 100 100 1500500 600 100 250 150 1000 500 1600 2000 350200 100 100 150 500 100 2000 150 1500 100

1100 400 700 300 200 2400 100 1500 600 200400 300 300 500 200 600 500 800 100 200500 800 200 300 300 800 1000 1500 1800 200200 2000 100 200 100 260 500 500 150 1000300 1400 250 200 100 200 200 300 250 1250


Mjere centralne tendencije. Mod i medijan

Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka

Zadatak

Odredite mod i medijan za sirove podatke.



Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.

Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka

Zadatak




Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.

Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka

Zadatak




Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.

Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka

Zadatak





Zadatak





Zadatak



Grupiranje podataka numerickih nizova

Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:

k = 1 + 3.3 · log N,

gdje je N ukupan broj podataka.

Zadatak

Svrstajte podatke u razrede s pravim granicama i izracunajtearitmeticku sredinu.



Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede.

Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:

k = 1 + 3.3 · log N,


Zadatak




Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno.

Sturgerovo pravilo:

k = 1 + 3.3 · log N,


Zadatak





k = 1 + 3.3 · log N,


Zadatak





k = 1 + 3.3 · log N,


Zadatak





k = 1 + 3.3 · log N,


Zadatak





k = 1 + 3.3 · log N,


Zadatak



Osnovne vrijednosti

Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑

fi = N.

Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N

Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =

∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi

=n∑

i=1

xipi .

Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija


Osnovne vrijednosti

Apsolutna frekvencija:

fi intenzitet pojavnosti∑

fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti

Apsolutna frekvencija: fi

intenzitet pojavnosti∑

fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti

Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti

∑fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.

Kumulativna frekvencija:

Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N


podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.

Kumulativna frekvencija: Fi ,

zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N


podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.

Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta

Fn = N


podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.


Relativna frekvencija

Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.


Relativna frekvencija Pi , pi ili fir ,

udio u ukupnom broju

podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.



podataka:

pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Osnovne vrijednosti


fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .

Statisticki niz:

parovi modalitet-frekvencija


Osnovne vrijednosti


fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .

Statisticki niz: parovi

modalitet-frekvencija


Osnovne vrijednosti


fi = N.



podataka: pi =fiN.

Aritmeticka sredina

x =


=n∑

i=1

xipi .



Primjer

Primjer

U mjesecnom statistickom izvjescu DSZ, br. 4, 2001, na str. 92.nalaze se podaci o mirovinama u Republici Hrvatskoj, stanjepotkraj travnja 2001. Podaci se odnose na umirovljenike bezzastitnog dodatka. Mirovina u kn, broj korisnika u (000),

Mirovina Broj korisnika Udio Kumulativno

xi fi pi Fi

(300)-500 95.4500-1000 215.3

1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4

UkupnoPopunite tablicu. Izracunajte prosjecnu mirovinu.


Primjer

Primjer



xi fi pi Fi

(300)-500 95.4500-1000 215.3

1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4



Primjer

Primjer



xi fi pi Fi

(300)-500 95.4500-1000 215.3

1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4

Ukupno

Popunite tablicu. Izracunajte prosjecnu mirovinu.


Primjer

Primjer



xi fi pi Fi

(300)-500 95.4500-1000 215.3

1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4



Geometrijska sredina

r1, r2, . . . , rN > 0Geometrijska sredina:

xG = N√

r1 · r2 · · · rN .

Tablica 2. zaposleni gradani Republike Hrvatske po godinama utisucama.

godina 1995 1996 1997 1998 1999

zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.



r1, r2, . . . , rN > 0

Geometrijska sredina:

xG = N√

r1 · r2 · · · rN .


godina 1995 1996 1997 1998 1999





xG = N√

r1 · r2 · · · rN .


godina 1995 1996 1997 1998 1999





xG = N√

r1 · r2 · · · rN .


godina 1995 1996 1997 1998 1999





xG = N√

r1 · r2 · · · rN .


godina 1995 1996 1997 1998 1999

zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.

Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.




xG = N√

r1 · r2 · · · rN .


godina 1995 1996 1997 1998 1999



Ponos i predrasude

Tijek broja nezaposlenih po mjesecima u tisucamamjesec I II III IV V VI

nezaposleni 254 186 203 316 196 198izvor: nepouzdanDa li u prosjeku broj nezaposlenih raste ili pada?


Ponos i predrasude


nezaposleni 254 186 203 316 196 198izvor: nepouzdan

Da li u prosjeku broj nezaposlenih raste ili pada?


Ponos i predrasude


nezaposleni 254 186 203 316 196 198izvor: nepouzdanDa li u prosjeku broj nezaposlenih raste ili pada?


Harmonijska sredina

x1, x2, . . . , xN 6= 0Harmonijska sredina:

xH =N

1x1

+ 1x2

+ · · ·+ 1xN

.

Zadatak

Do Splita smo vozili u prosjeku 160 km/h, a natrag 100 km/h.Kolika je bila prosjecna brzina tog putovanja?

Zadatak

Andrija iskopa kanal za kanalizaciju za 15 dana, Blaz za 20, dokCvetku treba 25 dana. Kolika im je prosjecna brzina kopanja?


Harmonijska sredina

x1, x2, . . . , xN 6= 0

Harmonijska sredina:

xH =N

1x1

+ 1x2

+ · · ·+ 1xN

.

Zadatak


Zadatak



Harmonijska sredina


xH =N

1x1

+ 1x2

+ · · ·+ 1xN

.

Zadatak


Zadatak



Harmonijska sredina


xH =N

1x1

+ 1x2

+ · · ·+ 1xN

.

Zadatak


Zadatak



Harmonijska sredina


xH =N

1x1

+ 1x2

+ · · ·+ 1xN

.

Zadatak


Zadatak



Harmonijska sredina


xH =N

1x1

+ 1x2

+ · · ·+ 1xN

.

Zadatak


Zadatak



Mjere rasprsenja. Raspon varijacije

Raspon varijacije je razlika najvece i najmanje vrijednostnumerickog obiljezja u numerickom nizu.

Zadatak

Potrosnja goriva biljezena na 30 kamiona voznog parka dana je utablici:

14 22 15 21 17 32 25 23 33 3112 13 12 31 12 13 14 25 24 1322 12 14 21 13 23 22 13 12 25

Odredite raspon varijacije.




Zadatak


14 22 15 21 17 32 25 23 33 3112 13 12 31 12 13 14 25 24 1322 12 14 21 13 23 22 13 12 25





Zadatak


14 22 15 21 17 32 25 23 33 3112 13 12 31 12 13 14 25 24 1322 12 14 21 13 23 22 13 12 25



Varijanca, standardna devijacija, koeficijent varijacije

Varijanca: σ2 =1

N

k∑i=1

(xi − x)2fi =1

N

k∑i=1

x2i fi − x2. Koeficijent

varijacije ρ =σ

x.

Zadatak

Dani su podaci o broju prekrsaja koje su u mjesec dana evidentiralipripadnici patrole prometne policije:

21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39

.

Odredite standardnu devijaciju i koeficijent varijacije statistickogskupa.



Varijanca: σ2 =1

N

k∑i=1

(xi − x)2fi =1

N

k∑i=1


varijacije ρ =σ

x.

Zadatak


21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39

.




Varijanca: σ2 =1

N

k∑i=1

(xi − x)2fi =1

N

k∑i=1


varijacije ρ =σ

x.

Zadatak


21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39

.




Varijanca: σ2 =1

N

k∑i=1

(xi − x)2fi =1

N

k∑i=1


varijacije ρ =σ

x.

Zadatak


21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39

.



Momenti oko nule

Neka je N broj podataka.

1 Aritmeticka sredina: x =

N∑i=1

xi fi

N.

2 Aritmeticka sredina kvadrata: (x2) =

N∑i=1

x2i fi

N.

3 Aritmeticka sredina kubova: (x3) =

N∑i=1

x3i fi

N.

4 Aritmeticka sredina cetvrtih potencija: (x2) =

N∑i=1

x4i fi

N.


Momenti oko nule



N∑i=1

xi fi

N.


N∑i=1

x2i fi

N.


N∑i=1

x3i fi

N.


N∑i=1

x4i fi

N.


Momenti oko nule



N∑i=1

xi fi

N.


N∑i=1

x2i fi

N.


N∑i=1

x3i fi

N.


N∑i=1

x4i fi

N.


Momenti oko nule



N∑i=1

xi fi

N.


N∑i=1

x2i fi

N.


N∑i=1

x3i fi

N.


N∑i=1

x4i fi

N.


Momenti oko nule



N∑i=1

xi fi

N.


N∑i=1

x2i fi

N.


N∑i=1

x3i fi

N.


N∑i=1

x4i fi

N.


Momenti oko nule



N∑i=1

xi fi

N.


N∑i=1

x2i fi

N.


N∑i=1

x3i fi

N.


N∑i=1

x4i fi

N.


Mjere oblika

Centralni moment r -tog reda µr = 1N

∑ki=1(xi − x)r fi

Centralni moment drugog reda µ2 = σ2 = (x2)− (x)2

Centralni moment treceg reda µ3 = (x3)− 3(x2)(x) + 2(x)3

Centralni moment cetvrtog redaµ4 = (x4)− 4(x3)(x) + 6(x2)(x)2 − 3(x)4


Mjere oblika







Mjere oblika







Mjere oblika







Mjere oblika







Koeficijent asimetrije

Racuna se po formuli γ =µ3

σ3.

Zadatak

Statisticki skup cini 30 studenata koji su na izvanrednom rokupolucili slijedeci uspjeh:

4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5

Odredite koeficijent asimetrije.




σ3.

Zadatak


4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5





σ3.

Zadatak


4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5





σ3.

Zadatak


4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5



Koeficijent spljostenosti

Ili eksces: ε =µ4

σ4− 3.

Zadatak

Kontrolor pregledava sjedala u autobusima i zapisuje broj ostecenihsjedala u svakom:

0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3

Izracunajte koeficijent spljostenosti.



Ili eksces: ε =µ4

σ4− 3.

Zadatak


0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3




Ili eksces: ε =µ4

σ4− 3.

Zadatak


0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3




Ili eksces: ε =µ4

σ4− 3.

Zadatak


0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3



Uvod u teoriju uzoraka

1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)

2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ

3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn

novisi o

uzorku, ali je E (X ) = µ.

4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ

5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:

S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2.

6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:

S2 =n

n − 1σ2.






novisi o




S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2.


S2 =n

n − 1σ2.






novisi o




S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2.


S2 =n

n − 1σ2.






novisi o




S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2.


S2 =n

n − 1σ2.






novisi o




S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2.


S2 =n

n − 1σ2.






novisi o




S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2.


S2 =n

n − 1σ2.






novisi o




S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2.


S2 =n

n − 1σ2.






novisi o




S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2.


S2 =n

n − 1σ2.


Statisticka procjena aritmeticke sredine

Uzorak treba imati barem 30 elemenata populacije.

1 Varijanca aritmeticke sredine

V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

)=

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2=

nσ2

n2≈ S2

n.

2 VarijablaX − µ

S√n

ima standardnu normalnu razdiobu.





V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

)=

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2=

nσ2

n2≈ S2

n.

2 VarijablaX − µ

S√n






V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

)=

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2=

nσ2

n2≈ S2

n.

2 VarijablaX − µ

S√n






V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

)=

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2=

nσ2

n2≈ S2

n.

2 VarijablaX − µ

S√n






V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

)=

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2=

nσ2

n2≈ S2

n.

2 VarijablaX − µ

S√n






V (X ) = V

(X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

)=

V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)

n2=

nσ2

n2≈ S2

n.

2 VarijablaX − µ

S√n



Primjer

Primjer

Duljina putovanja na posao izmjerena na 100 gradana iznosila je15± 2 minute. Izracunajte interval duljine moguceg putovanja naposao koji vrijedi u 95% slucajeva.

Rijesiti jednadzbu c =?

P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

P

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

Φ

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

D

(cσ√n

)= 0.95


Primjer

Primjer



P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

P

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

Φ

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

D

(cσ√n

)= 0.95


Primjer

Primjer



P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

P

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

Φ

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

D

(cσ√n

)= 0.95


Primjer

Primjer



P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

P

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

Φ

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

D

(cσ√n

)= 0.95


Primjer

Primjer



P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

P

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

Φ

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

D

(cσ√n

)= 0.95


Primjer

Primjer



P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

P

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

Φ

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

D

(cσ√n

)= 0.95


Primjer

Primjer



P(X − c < µ < X + c) = 95%

P(−c < µ− X < c

)= 0.95

P

(− c

σ√n

<µ− X

σ√n

<cσ√n

)= 0.95

Φ

(cσ√n

)− Φ

(− c

σ√n

)= 0.95

D

(cσ√n

)= 0.95


Zadaci

Zadatak

Odredite interval moguceg putovanja na posao koji bi vrijedio u60% slucajeva?

Trik: uzeti z =x − µ

S√n

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak

Broj popusenih cigarettesa dnevno kod teenagersa nakon anketedan je u tablici

teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2

cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.


Zadaci

Zadatak



S√n

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak


teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2



Zadaci

Zadatak



S√n

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak


teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2



Zadaci

Zadatak



S√n

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak


teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2



Zadaci

Zadatak



S√n

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak


teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2



Zadaci

Zadatak



S√n

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak


teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2

cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.


Zadaci

Zadatak



S√n

i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.

Zadatak


teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2



Sirovi uzorak

Zadatak

Uzorak se sastoji od podataka o prodaji goriva (supera95) poputnickom automobilu na benzinskoj postaji.

35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7

24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15

39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9

14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23

10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27

Procijenite prosjecnu prodaju benzina po automobilu. Odreditegranice intervala procjene prosjecne prodaje benzina po automobiluuz razinu pouzdanosti od 95%, odnosno 90%.


Sirovi uzorak

Zadatak


35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7

24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15

39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9

14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23

10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27



Sirovi uzorak

Zadatak


35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7

24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15

39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9

14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23

10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27



Sirovi uzorak

Zadatak


35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7

24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15

39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9

14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23

10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27



Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.

Gama funkcija: Γ(n) =

∫ ∞0

e−xxn−1dx .

Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).

Interesantno: Γ(

12

)=√π.

Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:

f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.

Funkcija distribucije F (x) je

tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati

Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).



Gama funkcija:

Γ(n) =

∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.







∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.







∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.







∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.







∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.







∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.







∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.







∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.


tabelirana u knjizi

tabelirana u Excel-programu - ispitati





∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.


tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu -

ispitati





∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.







∫ ∞0

e−xxn−1dx .


Interesantno: Γ(

12

)=√π.


f (x) =

1

2n2 Γ( n

2 )e−

x2 x

n2−1, x ≥ 0

0 x ≤ 0.





Procjena varijance. Praksa

Teorem

Neka je S standardna devijacija uzorka od n elemenata. Neka je σ

standardna devijacija populacije. Tada je X =S2

σ2(n − 1) slucajna

varijabla χ2 distribucije s n − 1 stupnjem slobode.

Primjer

U slucajnom uzorku 20 kucanstava ustanovljen je sljedeci brojclanova po kucanstvu:

4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%

pouzdanosti interval standardne devijacije populacije.

c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)



Teorem





Primjer


4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%


c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)



Teorem





Primjer


4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5

Procjenite uz 90%


c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)



Teorem





Primjer


4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%


c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)



Teorem





Primjer


4 5 3 3 2 1 3 2 2 2

4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%


c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz

P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2

σ2(n − 1)


Procjena varijance za veliki uzorak

Zadatak

U slucajni uzorak izabrana su 64 studenta. Izmjerena im je visina iustanovljeno je prosjecno odstupanje od 2.5 cm.

a) Odredite granice 95% - tnog intervala procjene standardnedevijacije u populaciji.

b) Kolike su granice ako je visina mjerena na 640 studenata prvegodine?


Procjena varijance za veliki uzorak

Zadatak

U slucajni uzorak izabrana su 64 studenta. Izmjerena im je visina iustanovljeno je prosjecno odstupanje od 2.5 cm.

a) Odredite granice 95% - tnog intervala procjene standardnedevijacije u populaciji.

b) Kolike su granice ako je visina mjerena na 640 studenata prvegodine?


Procjena udjela u populaciji

Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)

Neka je n brojnost uzorka iz populacije

Neka je Y broj odabranih u uzorku

Tada je p∗ =Y

npostotak odabranih u uzorku.

Nadalje:

E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe

Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).

Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.






Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)=

E (p∗) =1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np =

p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1)

(Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).







Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).

Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗)

∼ σ2.






Tada je p∗ =Y


Nadalje:


Zbog linearnosti: E

(Y

n

)= E (p∗) =

1

nE (Y ) =

1

n· np = p

Analogno: V

(Y

n

)=

1

n2V (Y ) =

p(1− p)

n

Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1) (Φ).

Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika

Anketa

Primjer

Ispitivanjem javnog miljenja utvrdeno je da ulazak u EU opravdava44% anketiranih. Ispitati toleranciju standardne devijacije. Za kojiinterval procjene je moguce garantirati uz vjerojatnost pogreske5%, ako je broj ispitanih bio

1 130

2 1300

3 13000

4 13


Anketa

Primjer


1 130

2 1300

3 13000

4 13


Anketa

Primjer


1 130

2 1300

3 13000

4 13


Anketa

Primjer


1 130

2 1300

3 13000

4 13


Anketa

Primjer


1 130

2 1300

3 13000

4 13


Anketa

Primjer


1 130

2 1300

3 13000

4 13


Testiranje statistickih hipoteza

Pogreske prilikom testiranja

1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste

2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste

Konstrukcija testa

1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti

2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β

3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β






Konstrukcija testa







1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku -

manja greska - druge vrste


Konstrukcija testa







1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska -

druge vrste


Konstrukcija testa









Konstrukcija testa








2 Odbaciti dobru pretpostavku -

veca greska - prve vrste

Konstrukcija testa








2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska -

prve vrste

Konstrukcija testa









Konstrukcija testa









Konstrukcija testa









Konstrukcija testa

1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste -

α - nivosignifikantnosti








Konstrukcija testa

1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α -

nivosignifikantnosti








Konstrukcija testa









Konstrukcija testa


2 konstruirati test -

minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β







Konstrukcija testa


2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -

β







Konstrukcija testa









Konstrukcija testa



3 pouzdanost testa:

1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β






Konstrukcija testa



3 pouzdanost testa: 1− α

4 jakost ili ostrina testa: 1− β






Konstrukcija testa



3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa:

1− β






Konstrukcija testa





Hipoteza o vjerojatnosti

Neka je p∗ empirijska vjerojatnost za uzorak velicine n. Neka je p

hipotetska vjerojatnost. Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,

dok s vjerojatnosti α nalazimo uzorak s bitnim p∗ 6= p.




hipotetska vjerojatnost.

Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)

n

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,






n

.

Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,






n

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,






n

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,






n

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,






n

. Testiranje

dileme

H0 : p∗ = p

H1 : p∗ < p

daje H0 ako je

P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,



Primjer

Primjer

Celnici stranke A tvrde da njihovu stranku podupire barem 22%biraca. Ispitivanje se provodi na uzorku od 1 000 ljudi.

1 Formirajte test koji ce s greskom 1. vrste α = 0.05 odbacivatiili prihvacati gornju tvrdnju.

2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti tek 18% biraca podrzava stranku A?


Primjer

Primjer





Primjer

Primjer





Zadatak

Zadatak

Celnici jedne stranke tvrde da vladu podupire najvise 40% biraca.Ispitivanje se provodi na uzorku od 500 ljudi.

1 Formirajte test koji ce s greskom prve vrste α = 2% prihvatitiili odbaciti gornju tvrdnju.

2 Kolika je vjerojatnost da ce vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti 50% biraca podrzava vladu?


Zadatak

Zadatak





Zadatak

Zadatak





Zadatak

Zadatak





Zadatak

Zadatak

Vlada tvrdi da je protiv ulaska Hrvatske u EU manje od 50%gradana.

1 Formirajte test na uzorku od 500 ljudi koji ce uz gresku prvevrste α = 0.05 prihvatiti ili odbaciti tvrdnju Vlade.

2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti tvrdnju Vladeako je u stvarnosti 55% gradana protiv?


Zadatak

Zadatak





Zadatak

Zadatak





Zadatak

Zadatak





Zadatak

Zadatak





χ2 test

Testiranje podudarnosti empirijskih frekvencija fi i teoretskihfrekvencija f ∗i vrsi se pomocu velicine

χ2 =k∑

i=1

(fi − f ∗i )2

f ∗i.

i hipoteza o podudarnosti se odbacuje ako je χ2 > c savjerojatnosti

F (c) = 1− α

da se frekvencije zaista ne podudaraju.


Zadatak

Mjerenjem vijeka trajanja transformatora u mjesecima za 5000transformatora dobiveni su slijedeci rezultati.

trajanje 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70transformatori 1825 1225 950 600 250 100 25

Uz razinu pouzdanosti 1% testirajte hipotezu da je vijek trajanjatransformatora velicina eksponencijalne distribucije.


Zadatak

Dani su podaci pruzatelja internet usluga o sekundama trajanjaprekida veze (linka):

sekunde 0-0.1 0.1-0.2 0.2-0.3 0.3-0.4 0.4-0.5prekidi 4 83 281 79 3

Testirajte hipotezu o normalnoj razdiobi uz nivo signifikantnoati5% .


Korelacija i regresija

Koeficijent korelacije dvaju obiljezja mjerenih na istih n statistickihjedinica jednak je

r =Sxy

SxSy,

gdje je

Sxy =1

n − 1

∑i

(xi − x)(yi − y), kovarijanca

S2x =

1

n − 1

∑i

(xi − x)2

S2y =

1

n − 1

∑i

(yi − y)2


Koeficijent operativno

Razradena formula zax x1 x2 · · · xny y1 y2 · · · yn

glasi

r =

∑i xiyi − nx y√

(∑

i x2i − nx2) · (

∑i y 2

i − ny 2).


Zadatak

Odredite koeficijent korelacije potrosnje vina i pive kroz godine utisucama litara

god 1995. 1996. 1997. 1998. 1999.

vino 13297 12197 11769 10659 10489

pivo 2943 2671 2652 2385 2353


Pravac regresije za uzorak

U slucaju apsolutno velikih r -ova, isplati se pisati pravac regresijey = a + bx o ovisnosti y -a o x-u:

a =

∑i yi ·

∑i x2

i −∑

i xi ·∑

i xiyin ·∑

i x2i − (

∑i xi )2

b =n ·∑

i xiyi −∑

i xi ·∑

i yin ·∑

i x2i − (

∑i xi )2


Pravac regresije za uzorak

Odredite jednadzbu pravca regresije ovisnosti potrosnje piva opotrosnji vina


Korelacija na uzorku s visestrukim parovimapodataka

Ako parovi imaju visestruke frekvencije, zapis se komplicira:

xy y1 y2 · · · ynx1 f11 f12 · · · f1n

x2 f21 f11 · · · f11...

......

......

xm fm1 fm1 · · · fmn


Formula nije jednostavna

r =n ·∑∑

xiyj fij − (∑

xi fi )(∑

yj fj)√[n ·∑

x2i fi − (

∑xi fi )2][n ·

∑y 2j fj − (

∑yj fj)2]


Zadatak

Izracunajte koeficijent korelacije izmedu place u tisucama kuna ibroja automobila koje su razbili za nekoliko ispitanih osoba.

placa\auti 5 4 3 2

4 2 38 5 2 2

12 4 3


Dopunski zadaci

1 Broj zaposlenih i ukupan prihod zadani su u tablici:

zaposleni 22 31 90 82 43

prihod 250 300 920 850 410

Izracunajte koeficijent korelacije i napisite pravac regresije po kojemprihod ovisi o broju zaposlenih.

2 Testirajte hipotezu Poissonove distribucije uz nivo signifikantnosti 0.05 zakontrolu 200 serija nekog proizvoda:

neispravnih u seriji 0 1 2 3 4

broj serija 112 54 28 4 2

3 Izracunajte koeficijent korelacije za parove podataka cije su frekvencijedane u tablici

X/Y 10 8 6 4

2 1 2

4 4 1 1

6 3 2

4 Mjerenjem vijeka trajanja akumulatora u godinama dobiveni su podaci:

trajanje 0-1 2-3 3-4 4-5 5-6

broj akumulatora 150 100 70 45 25

Testirajte hipotezu o eksponencijalnoj distribuciji.


Rjesenja dopunskih zadataka

1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.



1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.



1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.



1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.



1 y = 10.285x − 5.28

2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65

3 r = 0.8

4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.


Ispit iz vjerojatnosti ...

1 U plavoj kutiji su cetiri crne i tri bijele kuglice, a u zutoj kutijisu tri crne i cetiri bijele kuglice. Martin je iz plave u zutukutiju prebacio jednu kuglicu. Koliko je vjerojatno da ceAdam iz zute kutije nakon toga izvuci crnu kuglicu?

2 Mjesecni broj prometnih nesreca u Republici Hrvatskojslucajna je varijabla normalne razdiobe s ocekivanim brojemod 350 i standardnim odstupanjem od 70 prometnih nesreca.

1 Koliko je vjerojatno da u lipnju bude najvise 400 prometnihnesreca?

2 Do danas je zabiljezeno 150 prometnih nesreca. Koliko jevjerojatno da ih do kraja mjeseca nece biti vise od 150?


























... i statistike

1 Broj neispravnih autobusa po danima zabiljezen je u tablici:neispr. bus. 0 1 2 3

dani 10 12 6 2Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?

2 Izracunajte koeficijent korelacije za visinu mladenca imladenke u sljedecim vjencanjima, a u cm:

mladenka 162 164 158 170 160

mladenac 172 175 178 168 182Nacrtajte pravac regresije.


... i statistike


dani 10 12 6 2

Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?


mladenka 162 164 158 170 160



... i statistike




mladenka 162 164 158 170 160



... i statistike




mladenka 162 164 158 170 160



... i statistike




mladenka 162 164 158 170 160

mladenac 172 175 178 168 182

Nacrtajte pravac regresije.


... i statistike




mladenka 162 164 158 170 160



Vjerojatnost i statistika - e-student.fpz.hre-student.fpz.hr/Predmeti/V/Vjerojatnost_i_statistika/Novosti/redovna... · Vjerojatnost i statistika Bo zidar Ivankovi c Prolje ce, 2012

Documents