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212|CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS
CAPTULO10VALORESESPERADOS,FUNCIONESGENERADORASDEMOMENTOSYMOMENTOS
10.1Introduccin
Despusde
haber
estudiado
las
bases
de
la
teora
de
la
probabilidad,
las
variables
aleatorias,lasfuncionesdeprobabilidadylasfuncionesdedensidad,enestecaptuloestudiaremos la otra forma de caracterizar a dichas distribuciones a partir de susparmetros mediante los cuales es posible representar la localizacin de ladistribucin, la dispersin de la variable aleatoria, el sesgo y el aplanamiento; estosparmetros que pueden encontrarse si se conocen las funciones generadoras de losmomentos. Iniciaremos este captulo con un concepto central de la teora de laprobabilidad conocido como la esperanza matemtica o el valor esperado de lavariable aleatoria. Conviene indicar desde ahora que distinguiremos dos tipos deparmetros; a los primeros las llamaremos los parmetros particulares que estn
comprendidosdentro
de
las
funciones
de
probabilidad
osea
que
forman
parte
de
ella
lo que hace ver que son familias de distribuciones y cada conjunto de valores, quepuedeserunoovarios,seleccionanunmiembrodelafamilia.
Porotrolado,lossegundosparmetros,sonlosparmetrosgeneralescaracterizanlasmedidasdelocalizacin,dispersin,sesgoyaplanamiento;debencalcularseapartirde los momentos y contienen a los parmetros particulares, como se ver en eldesarrollodelostemasdeestecaptulo.
10.2Valores Esperadoso EsperanzasdeVariablesAleatorias yde FuncionesdeVariablesAleatorias
En general, el valor esperado es una suma pesada de los valores de la variablealeatoria o de una funcin de variables aleatorias, por las probabilidades de dichasvariableso de las funcionesver figura10.1; quese denota por,significa que ES UN OPERADOR que acta sobre la VA o sobre la funcin de la VA y,dependiendodeltipodevariablealeatoria,sedefinecomo:
,paralasVAsdiscretas;y (10.1)
,paralasVAscontinuas. (10.2)
Desde el punto de vista matemtico es necesario tener presente que: a) lasumatoria o la integral puede no converger a un valor finito, en cuyo caso, el valoresperadonoexiste;sinembargo,paralospropsitosdeeste libro,siempreexistir laconvergencia y b) el valor esperado es un operador que acta sobre variablesaleatoriasofuncionesdevariablesaleatorias.
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Figura10.1 DistribucindeprobabilidaddeunaVAdiscreta
Una primera interpretacin del valor esperado se ilustra con los siguientesejemplos.
Ejemplo10.1 SupngasequeelDirectordePEMEXExploracinProduccindebedecidirsiendeterminadaregin,debeonoperforarunpozo.LoseventosposiblessinA={sexistepetrleo} yB={noexistepetrleo},sinimportarelvolumen.Sitomaladecisindeperforaryencuentra petrleoelvalordelpetrleoobtenidoserde$250,elcostodelaperforacincostar$50yelbeneficionetoserentoncesde$200.Porelcontrario, si decide no perforar, puede someter a concurso con las compaaspetroleraslaperforacinconlassiguientesbases:$25porlosderechosdeperforacinms otros $25 si se descubre petrleo. El Director tiene la incertidumbre sobre el
hallazgodel
petrleo
por
lo
que
se
asesora
del
grupo
de
gelogos
de
PEP
que
son
ms
expertosquelen laexploracinquienes,basadosen la informacinexistente y laspruebas geolgicas que practican, asignan la probabilidad de 0.25 de que s seencontrar petrleo en dicha regin (todos los precios son figurados y estn enmillonesdepesos).
Conestainformacinseobtienelasiguientetabladepagos,comnmenteutilizadaenlateoradedecisiones:
TablaX.matrizdepagos
Estadode
la
naturaleza
( )
I:Sexistepetrleo
II:NOexistepetrleo
Decisinportomar
Sperforar
200 50
Noperforar
50 25
Paraevaluarestasituacin,seaplicaelvaloresperadopara lasdosalternativasdedecisin:
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Sidecideperforar:/I 2000.25 500.75 12.50Sidecidenoperforar:/II 500.25 250.75 31.25Por lo tanto, a la luz de estos resultados, la decisin debe ser No perforar. Cabe
observarque unacosaeselvaloresperadoyotraeselvalordeseado.
Ejemplo 10.2 La proporcin de impurezas de una muestra de petrleo crudo semodelaporlafuncindedensidad:
, 0 10 Para poder determinar el valor esperado de X, necesitamos primeramente
encontrarelvalordec.
Sabemosque
1
Conlo
cual,
para
nuestro
caso:
0 1 ,entonces .Sustituyendoelvalordecenlafuncindedensidad,calculemoselvaloresperado:
32
32
32 4
3 10 38 13 1724 0.71
Que corresponde a la proporcin de impurezas esperadas, que en la estadsticamatemtica significa el valor promedio de cualquier variable aleatoria sobre unnmeroindefinidodemuestreos,comosevermsadelante.
10.2.1Ellgebradelosvaloresesperados
Comoseobservaen(10.1)y(10.2),elvaloresperadoEesunasumaponderadadelos valores de X por sus probabilidades correspondientes, por lo que las reglasalgebraicasde losvaloresesperadossonextensionesdelasreglasde lassumatorias lasintegralessonsumas queseaplicanalasVAdiscretasycontinuas.Porlautilidadque tienen en la probabilidad, es altamente recomendable que se familiaricen con
ellas.
Regla1Si c es una constante real, entonces, el valor esperado de la constante es la
constantemisma:
(10.3)Demostracin:
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Usando (10.2), 1 , puesto que 1. Ejemplo 10.3 Si se ganar $10 independientemente del evento que ocurra, la
gananciaesperada
es
$10.
Regla2Sicesunaconstanterealyelvaloresperadode Xes,entonces: (10.4)
Demostracin:
Usando(10.2),
Ejemplo10.4 SielvaloresperadodeltiempodearribodelosavionesalaeropuertodelaCiudaddeMxicoesysesabequeunapersonaarribarelquintoaterrizaje,entonceselvaloresperadodeltiempodeesperaes5.
Regla3SicesunaconstanterealyXesunavariablealeatoria,entonces:
(10.5)Demostracin:
Usando(2)ylaRegla1:
Ejemplo10.5 Sielcostode laproduccindeunartculodependedelcostode losartculos fabricados X y de un costo fijo, representado por 2, se tiene 2 2
;esdecir,elvaloresperadodelcostodependedelvalor
esperado
de
los
artculos
fabricados
ms
el
costo
fijo
de
los
indirectos
que
para
nuestrocasoes2.
Las siguientes reglas devienen de uso del valor esperado como operador que seaplica sobre su argumento una prueba ms formal implica la transformacin devariables.
Regla4Si X e Y son variables aleatorias y sus valores esperados son y ,
respectivamente,entonces:
(10.6)
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Ejemplo 6. Si un caballero invita a su novia a comer en un restaurante, y si lasfunciones dedistribucindelpreciodelosplatillosson:
Costodelosplatillos Paraelcaballero: Parasunovia:Y
120
0.2
0.1
150 0.5 0.35200 0.3 0.55
Elvaloresperadodeloquetendrquepagarelcaballeroes
120 0.2 150 0.5 200 0.3 159 120 0.1 150 0.35 200 0.55 174.5 ,conlocual: 159 174.5
333.5
Si,ademspaga10%depropina,entonces:
1.1 1.1 1.1 1.1 159174.5 1.1 333.5 366.85Cabe observar dos cosas: a) que porque las distribuciones de X e Y
sondiferentesyb)laregla4semantieneparacualquierrelacinentreXeY.
Ejemplo10.7LafuncindecostosdelejemplodelaRegla3fuera
5,entonces
5 5 5DebetenersecuidadoalaplicareloperadorvaloresperadoE asuargumento,pues
en el ejemplo anterior5 5, igual sucede con funciones tales como 5 5y .Regla5SiesunafuncindeX,entonces,paravariablesaleatoriasdiscretas
(10.7)yparalascontinuas,
(10.8)Ejemplo 10.8 Si la funcin de costos del ejemplo anterior es 2 ,
entonces:
2 2 2Regla6
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|217Dadounnmerofinitodevariablesaleatorias,elvaloresperadode lasumade las
variablesaleatoriasesigualalasumadesusvaloresesperados,osea,
(10.9)Engeneral,paracualquiercombinacinlinealdevariablesaleatorias ,dondelas sonconstantes,setiene (10.10)
Ejemplo10.9
Si
4, 3 2setiene 4 3 2 4 3 2.ObsrveselaaplicacindeEcomooperadormatemtico.
10.3FuncionesGeneradorasdeMomentos
Lametodologaparagenerarmomentosesunaherramientapotentedelateoradela probabilidad, porque es menos complicada que el clculo directo a partir de las
funcionesde
probabilidad.
Existenmuchosmtodosparagenerar losmomentosquesontilesparadiversastiposdevariablesaleatorias;as, laFuncinGeneradoradeMomentosFactorialesestil para las variables aleatorias no negativas y enteras; a su vez, la FuncinGeneradoradeMomentosseusaparalasvariablesaleatorias discretasocontinuasynegativasononegativas,paralascualessepuededefinirestafuncin;entantoquelaFuncin Caracterstica est definida para todas las variables aleatorias. Todas estasFunciones son tiles para encontrar la distribucin y los momentos de sumas ypromedios pesados de variables aleatorias independientes; finalmente, con laTransformada de Mellin es posible determinar la distribucin y los momentos de
productosorazones
de
variables
aleatorias
no
negativas
oindependientes.
Por
otro
lado. Aqu presentaremos la Funcin Generadora de Momentos Factoriales y laFuncinGeneradoradeMomentosporsusbastasaplicaciones.
10.3.1LaFuncinGeneradoradeMomentosFactoriales(FGMF) Comoyaseanticip,silavariablealeatoria(VA)X esdiscretacuyosvaloresposibles
son enteros y no negativos, como sucede con las distribuciones binomial, binomialnegativa,geomtrica,hipergeomtrica,Poissonyotras todaslasculesseestudiarnen otro captulo posterior; entonces, para cualquier nmero real
para el cual
0 1, se define la Funcin Generadora de Momentos Factoriales de ladistribucindelaVAXcomo:
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(10.11)Como
0 1,
0
1 y
0 ; con lo cual
0 1 es una
funcin
bien
definida.
Cabe
observar
el
valor
esperado opera sobre . A losmomentosgeneradosporestafuncinselesrepresentancon .
Ejemplo10.10CalculemoslaFGMFdeladistribucinBinomial.
Si/, 1esladistribucinBinomialconparmetrosnyp,al sustituirlaen(3):
1 = 1
1 (10.11)
Ejemplo10.11Calculemos laFGMFde ladistribucinde ladistribucindePoisson
! .Alsustituirlaen(10.3)tenemos: ! ! ! (10.12)10.3.1.1Propiedades
Propiedad 1:Unicidad
La Funcin Generadora de Momentos Factoriales determina unvocamente lafuncinmasadeprobabilidaddecualquierVAdefinidasobre losnmerosenterosnonegativos:
0 Si 0, 0 0ypuededemostrarseque:
! 0, 1,2,3;Donde 0 0; es decir, se encuentra calculando la
derivadadeordenk derespectoaevalundolapara 0ymultiplicndolapor
!.
Ejemplo10.12Paraladistribucinbinomial(4)encontremossuFMP.
Vimosde(10.4) que
1
Calculandolaprimeraderivadadeyavalundolaen 0setiene:
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0 0 1 | 1 |
1
Conlocual: 1 !0 !1 1 .0 0 1 | 1 1
220
0 1 1,conlocual:
2 !0 11 .Siguiendoelmismoprocedimiento:
3 !0 1 21Engeneral:
!
0
!
!
!
1
(10.13)
Propiedad2:Losmomentosfactoriales
Si X es una VA entera no negativa con FMP cuya Funcin Generadora deMomentosFactorialeses ,ysielrmomentofactorialdeX
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
esfinito,
entonces:
1 2 1Ejemplo 10.13 Para la distribucin de Poisson se obtuvo
ecuacin(10.5) setiene:
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Y,engeneral:
Entonces1 1 2 1 y
1 1 1 1 1 2 ;y 1 Propiedad3:Combinacioneslineales
Siaybsonconstantesenteraspositivas,entonces:
(10.14)Ejemplo 10.14 Si X se distribuye conforme una distribucin geomtrica con
parmetrop, su FGMF es ; ahora bien, SI 1 tiene unadistribucinbinomialnegativaconparmetros 1y,setiene
YlaFGMFdeladistribucinBinomialNegativacondichosparmetroses:
(10.15)
Propiedad4:Convolucin
Dadas las VAs X e Y independientes, enteras y no negativas con FuncionesGeneradorasdeMomentosFactorialesy,respectivamente,entoncessesatisface:
(10.16)Ejemplo 10.15 Si, , , , son VAs mutuamente independientes que se
distribuyenconformeaunadistribucindePoissonconparmetros
, 1,2,3. . ; y
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|221FGMFs , , , respectivamente; la suma de las VAs es ;aplicandolapropiedaddelaConvolucinsetiene:
La VA Y se distribuye conforme la distribucin de Poisson con parmetro Propiedad5:Preservacindeloslmites
Paracada 1,2,3,sea/lafuncinmasadeprobabilidaddelosenterosnonegativosdeky/sucorrespondienteFGMF;entonces,si
lim /
(10.17)
Donde eslaFGMFcorrespondientea laFMP,secumpleque:lim / , 0,1,2,Ejemplo 10.16 Ya vimos arriba que para la distribucin Binomial 1 ecuacin (10.4) y, para la de Poisson ecuacin
(10.5); aplicando esta propiedad de preservacin de los lmites demostremos que,cuando es muy grande, entonces la probabilidad Binomial |, conparmetros
ny seaproximaa lasprobabilidadesde ladistribucindePoisson ! conparmetro .
ParalaBinomial,/ 1 1 1 Cuando| 1| 1,/ 1 1
1 1
2 1
3
Comolim ,lim 0 1 : lim/ 1,dedonde:
lim
y,comoconsecuenciadeestapropiedad:
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lim/, !
Lo que muestra que las probabilidades Binomiales /,para n grandes seaproximanalasdePoisson
.Cabeobservarqueestapruebanousaelhechoque
, sinosolamentelaconsideracin lim .10.3.2FuncinGeneradoradeMomentosOrdinarios (FGM)AdiferenciadelaFGMF,estafuncingeneralosmomentosordinariosdecualquier
variablealeatoriaX,yaseadiscretaocontinua,quesondesumautilidadparacalcularlosparmetroscaractersticosdelasdistribuciones;ysedefinecomosigue:
(10.18)ParatodoslosvaloresdeenlosqueexistelaFGM.AplicandoeloperadorvaloresperadoE:
SiXesunaVAdiscreta: (10.19)SiXesunaVAcontinua: (10.20)LosmomentosordinariosgeneradosporestaFGMsellamanmomentosrespectoal
origen yserepresentancon
Obsrvesequepara 0: 0
1 1
Y,cuandoestdefinidaenelintervaloabierto, quecontiene 0,la FGM tiene las propiedades que describen la distribucin de X, similares a lasdescritaspara laFGMF;cuandoXesunaVAenteranonegativa,entonces existepara
0,y
(10.21)Laprincipalventajade laFGMsobrelaFGMFeselsignificadoquetienesobreuna
ampliagama devariablesaleatorias, en tanto quesu desventajaconsisteen quenosiempre existe en el intervalo abierto , de valores que contiene a ; sinembargo, esto no sucede en las distribuciones de probabilidad que analizaremos enestetexto.
Ejemplo10.17CalculemoslasFGMdelasdistribucionesBinomial,dePoissonydelaGeomtrica.
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|223ComosevioenelEjemplo10.12,laFGMFdeladistribucinBinomiales(10.4):
1 ;Entonces,aplicando(10.9)setiene:
1
(10.22)
De igual forma, en el Ejemplo 10.12 se demostr que, para la distribucin dePoisson:
ysuFGMes aplicando(10.9) (10.23)
Ypara ladistribucinGeomtrica
,con lacual aplicando(10.9)
nuevamente:
(10.24)Ejemplo10.18SiZesunavariablealeatoriacontinuacon funcindedensidadde
probabilidad
;entonces,sufuncingeneradorademomentoses:
(10.25)Al igual que para la FGMF, la FGM tambin tiene propiedades similares que se
enunciarnacontinuacin.
10.3.2.1PropiedadesdelaFGM
Propiedad1:Unicidad
A lecorrespondeunaysolounadistribucin;esdecir,laFGMcaracterizaaunaysolounadistribucin.Puestoque laFuncindeDistribucinAcumulativadetermina la distribucin de cualquier VA, a le corresponde una y solo una.
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Ejemplo 10.19 A la distribucin Binomial /, 1 , lecorresponde nicamente la FGM: 1 . Y para ladistribucin
,sunicaFGMes
.
Propiedad2:Momentos
(10.26)Donde .Enefecto, Para
0 Propiedad2LosMomentosrespectoalorigen
Adems de las funciones de distribucin de las VAs, los momentos de unadistribucin de probabilidades son extremadamente tiles para encontrar losparmetros que la caracterizan conocidos como medidas de localizacin, dispersin,sesgoyaplanamiento.Losmomentossedefinenentrminosdelosvaloresesperados
de
las
diferentes
potencias
de
las
distancias
al
origen
de
los
valores
de
la
variablealeatoriaX,encuyocasoselesllaman losmomentosrespectoalorigenverlaTabla
1; o bien, con respecto a otro punto c diferente del origen, conocidos comomomentos respecto a c o momentos centrales. La siguiente tabla muestra losmomentosrespectoalorigendelasVAsdiscretasycontinuas.
Cabe observar que la dificultad en el clculo de los momentos estriba en lacomplejidaddelasfuncionesdedensidad, queciertamentenosonsencillas olocomplicado de los clculos de las sumatorias, por lo cual muchas veces se prefiereutilizar las funciones generadoras de momentos de las distribuciones que lascaracterizan; es decir, para cada Funcin Masa de Probabilidad FMP o Funcin de
Densidad
de
Probabilidad
FDP
le
corresponde
una
y
solo
una
Funcin
Generadora
de
Momentos.Antesdedefinirdichasfuncionespresentamosalgunosejemplos.
Tabla10.1Momentosrespectoalorigen
Momento Notacin ParaVAsdiscretas ParaVAscontinuas
primer
segundo
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tercer
Deordenr
Ejemplo 10.20 Para el ejercicio del caballero que invita a comer a su novia, setienenlos segundosmomentos:
Paralanovia: / 120 0.1 150 0.35 200 0.55 26,130 Parael novio: / 120 0.2 150 0.5 200 0.3 31,315 Ejemplo10.21Paraelejemplode laproporcinde impurezasenunamuestrade
petrleocrudo,
el
tercer
momento
es:
32
32
32 6
5 10 14 15
920Ejemplo10.22 EnelEjemplo10.20demostramosquesiZesunavariablealeatoria
continuacon funcindedensidaddeprobabilidad
quees la funcindedensidad normal estndar; su funcin generadora de momentos es
, calculemossus cuatroprimerosmomentos: |
| 0
|
| | 1
|
| 2 | 0
| 2 | 33 3 | 3 6 | 3 Propiedad3:TransformacinLineal
Si esunatransformacinlinealdeX,
(10.27)
Enefecto,
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Propiedad4:Convolucin
ParalasVAsXeYconFGMs
setiene:
(10.28)Enefecto,siXeYsoncontinuaseindependientes:
;obien:
Y, en general, para , , , , variables aleatorias mutuamente
independientesy, , , , constantes, setieneque
Ejemplo 10.23 Sean X y Z VAs que se distribuyen normalmente con medias y
varianzas~, y ~0,1 ;comovimosenelejemplo10.20expresin(10.19)
y,adems, ;entonces,porlapropiedad3:
Ejemplo10.24CalculemosloscuatroprimerosmomentosdelavariablealeatoriaX
quesedistribuyeconformeladistribucinNormal~, ,apartirdefuFGM.
,avaluandoen 0, 0 ;
;evaluandoen
0,
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0 Deigualforma,
3 ;y
0 3 Finalmente:
3 6 ;evaluandoen 0,
0 3 6 Ejemplo10.25Sean X e YdosVAsquese distribuyen conformea ladistribucin
Normal, con medias y varianzas~ , y ~ , ; por la propiedad deconvolucin:
Porlapropiedad1setiene,
~ , La propiedad 4 puede generalizarse para , , , , VAs mutuamente
independientes y
, , , , constantes, para la combinacin lineal
setiene: (10.29)Ejemplo10.26.SilasVAs, , , , sonmutuamenteindependientesconla
mismadistribucindeprobabilidades,entonces,porlapropiedaddeunicidadtienenla
mismaFGM ;ylaFGMdelamedia ,porlapropiedad4,es:
YlaFuncingeneradoradeMomentosparalapoblacintotal es:
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Propiedad5:Preservacindelmites
Paracada
1,2,3,sea/laFuncindeDistribucinAcumulada(FDA)consu correspondiente FGM / definida sobre un intervalo abierto , quecontienea,paralacual:
lim , paratodocontenidoen , ;entonces: (10.30)lim / paratoda |escontinuaenx} (10.31)eslaFDAcorrespondientea.10.4FuncionesCaractersticas
HemosvistoquetantolaFGMFylaFGMnoestndefinidasparatodaslas variablesaleatorias;situacinquenosucedeconlaTransformadadeFourier,conocidatambincomolaFuncinCaracterstica,lacualsedefine paralasvariablesaleatoriasdiscretascomo
(10.32)O
para
variables
aleatorias
continuas
(10.33)En las cules 1 es la unidad imaginaria, de donde se desprende que los
valoresdelafuncincaractersticapuedensernmerocomplejosy,parasuestudio,serequieredelconocimientodelasvariablescomplejas;porellonoseestudiarnaqu.
10.5Momentosconrespectoaunpuntoylavarianza
Los momentos que hasta ahora hemos estudiado, corresponden a los momentosrespectoalorigenverFigura1.1;Ahorageneralizaremosestosconceptosestudiandolos momentos con respecto a un punto c diferente del origen, tambin conocidoscomomomentoscentralesparacuando .
Ya vimos como calcular el valor esperado de las variables aleatorias discretas ycontinuas respecto al origen; ahora ampliemos estos conceptos para el caso de lafuncin particular , donde a y r son constantes, entonces a laexpresin:
(10.34)
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Enefecto:
Si 1 ,
y,porlaspropiedadesdelosvaloresesperados: 0 ;Cuando 2: (10.35)Esta expresin se conoce como la varianza de la VA , que se simboliza con ,,, o , y es la desviacin esperada al cuadrado de con
respecto a la media, o el promedio de las desviaciones con respecto a lamedia;constituye uno de los parmetros de dispersin de dicha variable porque es ladesviacinmspequeaqueseobtiene,cuandosecalculaapartirdelamedia .
Enefecto,siseeligeunvalorarbitrarioycalculamosunapseudovarianza/ /
2 2 0
/ Porloque
/
.
Ycuando setiene / Loquedemuestraquelavarianzarespectoalamediasiempreesmspequeaque
lapseudovarianzarespectoacualquierotropunto.10.6lgebradelasVarianzas
Al igual que para los valores esperados, es de mucha utilidad establecer algunasreglasparalavarianzaqueseaplicanalasvariablesaleatoriasdiscretasycontinuas,a
partirde
la
aplicacin
del
valor
esperado.
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|231Regla1.Lavarianzaentrminosdelosvaloresesperados
La varianza de una variable aleatoria es igual al segundo momento ordinariorespecto al origen al cuadrado menos el cuadrado del primer momento ordinariorespecto al origen; es decir, es igual al valor esperado del cuadrado de la variable
aleatoria
menos
el
cuadrado
del
valor
esperado
de
la
variable
aleatoria.
(10.36)Enefecto:
2 2 2
Regla2.LaVarianzadeunaconstante
Comounaconstantenovara,suvarianzaescero;esdecirsi ,entonces: 0 (10.37)Enefecto:
0
Regla3.LaVarianzadeunaconstanteporunavariablealeatoria
Si yesunavariablealeatoriaconvarianza,entonces lavarianzade lavariablealeatoriaes
(10.38)Enefecto:
Lo que significa que al multiplicar cada valor de la variable aleatoria por una
constantesemultiplicalavarianzaporelcuadradodelaconstante,yactacomounfactordeescalayporlotantouncambioenladispresin.
Regla4.LaVarianzadeunacombinacinlineal
Si y es una variable aleatoria con valor esperado y varianza ,entonceslavarianzadelavariablealeatoria es:
(10.39)
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232|CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS
Enefecto:
Loquesignificaquealaadirunaconstanteacadavalordelavariablealeatoriasuvarianzapermanecesincambioyactacomounaconstantededesplazamientodeladistribucindelavariablealeatoriaalolargodelejex.
Ahorabien,Para 3tenemos: 3 3
Aplicandolaspropiedadesdelvaloresperado:
3 3 3 2
Siguiendoelmismoprocedimientopara
4seobtiene:
4 6 3 Ejemplo 10.29 Para Ejemplo 10.1 calculemos los cuatro momentos centrales,
recordandoqueelsegundomomentocentraleslavarianza.Conestainformacinseobtienelasiguientetabladepagos,comnmenteutilizada
enlateoradedecisiones:
Tabla10.1.matrizdepagos
Estadode
la
naturaleza
( )
I:Sexistepetrleo
II:NOexistepetrleo
Decisinportomar
Sperforar
200 50
Noperforar
50 25
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|233
Paraevaluar
esta
situacin,
se
aplica
el
valor
esperado
para
las
dos
alternativas
de
decisin:Sidecideperforar:/I 2000.25 500.75 12.50Sidecidenoperforar:/II 500.25 250.75 31.25E[X/I] E[X/II] E[/I] E[/II] E[/I] E[/II] E[/I] E[/II
]
12.5
1187 1906250
404687500
31.251093.75
42968.7 1855468.7
5
/ / / / / /11718.7
51464843.75 19818627930
117.1875
1464.84375 32043.457
Ejemplo10.30
Para
el
Ejemplo
10.2
La
proporcin
de
impurezas
de
una
muestra
de
petrleocrudosemodelaporlafuncindedensidad:
, 0 10 0.71 ;
0.55
0
0.2
0.4
0.6
0.8
100 50 0 50 100 150 200
p(x)
x
Distribucindepagos/perfora
probabilidades
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234|CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS
0.45 0.38
0 ; 0.55 0.71 .046 3 2 3 2 0.45 30.710.55 20.45 0.32 4 6 3 4 6 3
0.38 40.710.45 6 0.710.55 3 0.71 0.33
La potencialidad de los momentos se ver con claridad cuando estudiemos lasdistribucionesdeprobabilidaddelasvariablesaleatoriascontinuasydiscretas.
10.7MomentosdeDistribucionescondicionalesyconjuntas
Losmomentosde lasdistribucionescondicionales sebasanen losconceptosdevaloresperadoydeladistribucincondicional.
ParalasVAdiscretas
| | o | | (10.40)ParalasVAcontinuas
| | o | | (10.41)Y,porelconceptodevariablesaleatorias independientes,setienequesiXyY
sonindependientessedebercumplirque
| o | (10.42)Esteconceptodemomentospuedeextendersealasfuncionesconjuntasdedoso
ms variables; SI Y son VA conjuntas con funcin de probabilidad conjunta, paraelcasodiscretoofuncindedensidad , paraelcasocontinuoysi, esunafuncindeY,setieneParaelcasodiscreto
, , , (10.43)
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|235Yparaelcasocontinuo
, , , (10.44)As,
para
una
distribucin
conjunta
de
dos
variables
aleatorias
y,parayenterosnonegativoslosvaloresesperadosdeproductosdepotenciassonEnparticular,siY sonindependientes
, (10.45)Yporextensinparaelcasode , 1,2,3, , VAindependientessetiene
(10.46)
10.8Lacovarianza
ElmomentodeladistribucinconjuntadelasvariablesYquereflejelafuerzadeladireccindelarelacineslacovarianza,quesedefinecomo
, (10.47)Cuando
Y
sondiscretassetiene
, (10.48)Ysisoncontinuas
, (10.49)
Como Por
las
propiedades
de
los
valores
esperados,
se
tiene
, (10.50)CuandoYsondiscretassetiene , (10.51)Yparacuandosoncontinuas
, (10.52)
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236|CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS
YsiYsonindependientes , 0 (10.53)Loquesignificaque ladireccinde la interrelacinde lasvariables
Y
notiene
ningnpatrn
positivo
onegativo.
Si
Yestnpositivamenterelacionadasentoncesvalores mayores de tienden a corresponder con valores mayores de y la, es positiva; en cambio, si valores menores de se corresponden convaloresmenoresdesetieneque la, esnegativa.Ensuma,elsignodelacovarianzanosproporciona informacina cercade ladireccinde la interrelacinexistenteentreY.
La covarianza es particularmente til en la determinacin de la suma, de ladiferenciaoelcoeficientedecorrelacindedosvariablesaleatorias.As,si ,
Conformea(10.35)
se
tiene
Como ,setiene
2 Por
las
propiedades
de
valor
esperado
2 2 (10.54)Siahora ,porelmismoprocedimientosetiene 2 (10.55)Y,
si
las
VA
son
independientes
se
tiene
(10.56)Esconvenienteobservarlainfluenciadelacovarianzasobrelavarianzadelasumao
diferenciadelasvariablesaleatorias,salvocuandosonindependientes;silarelacinespositivalavarianzadelasumaesmayorylavarianzadeladiferencia esmenorquesifueran independientes.Encontrapartesi larelacinentreyesnegativa,setienequelavarianzadelasumaesmenorylavarianzadeladiferenciaesmayorquesilasvariablesquesiellasfueranindependientes.
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|23710.9ElCoeficientedeCorrelacin
Siseobserva,lacovarianzatienecomounidadeslascorrespondientesaY;porejemplosiestmedidaenmetrosyenkgsusunidadessonmkgyesdifcildeinterpretar
la
fuerza
de
la
relacin
entre
Y
.
Esta
dificultad
se
resuelve
dividiendo
la
covarianza por el producto de las desviaciones estndar de estas variables y dando por resultado un parmetro adimensional, que es uno de los parmetrosgeneralesdelasFuncionesdeprobabilidadconjuntas,yseconocecomoelcoeficientedecorrelacinysedefinecomo
, (10.57)Puededemostrarseque1 1 As
pues,
el
coeficiente
de
correlacin
corrige
el
escalamiento
de
Yyrepresentaapropiadamente la fuerza de y la direccin de la relacin que existe entre dichasvariables. Si 1 los valores de las variables estn perfectamentecorrelacionadaspositivamentecomosemuestraen lafigura10.2(a);encambiopara 1 los valores de las variables estarn perfectamente correlacionadasnegativamente como se indica en la figura 10.2 (b); y si 0 se dice que lasvariablesNOestncorrelacionadascomoseilustraen(c)delafigura.Paralosdemsvaloressiestcercanoa1oa1setieneunainterrelacinfuerte,encambiosiestcercanoa 0implicaunarelacinmuydbil.
Ennecesario
tener
en
cuenta
que
el
coeficiente
de
correlacin
midelafuerzadelarelacinlinealentrelasvariables bajoestudioY;porejemplo,si 3 1 las variables estn perfectamente correlacionadas positivamente, en cambio para . lasvariablesnoestnperfectamenterelacionadasporque larelacinnoeslineal,comoseilustraenlafigura10.2.
Y=3X+1; XY= +1
X
0 1 2 3 4 5 6
Y
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Y=-3X+1; XY = -1
X
0 1 2 3 4 5 6
Y
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
(a) (b)
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238|CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS
XY
= 0.0174
X
0 1 2 3 4 5 6 7
Y
0
1
2
3
4
5
6
Y=e0.5X
X
0 2 4 6 8 10 12
Y
0
20
40
60
80
100
120
140
160
(c) (d)Figura10.2Relacioneslinealynolineal
Ejemplo10.31SieselnmerodelibrosdeTeoradelaProbabilidadquesetienenenunabibliotecayeldelibrosdeEstadsticaAplicada,yladistribucinconjuntadela seleccin de un estudiante es la que aparece en el cuadro interior con la cual setienelosiguiente:
a) Lasdistribucionesmarginalesdeyqueson losvaloresde lasvariablesconjuntamenteconlasprobabilidadesqueaparecenenelmargenderechopara yenelinferiorpara.
X
1
2
3
p(y)
1 0.000 0.167 0.083 0.250Y 2 0.200 0.111 0.000 0.311
3 0.133 0.250 0.056 0.439
p(x) 0.333 0.528 0.139 1.000
b) Laprobabilidad 3| 2 , .. 0.474 c) Lacovarianzadey Y , E X, Y
, 110 120.167 13 0.083 33 0.056 3.828 1 0.333 20.528 30.139 1.806 Conelmismoprocedimiento 2.189 .Porlotanto, 3.828 1.8062.189 0.124
d) Para calcular el coeficiente de correlacin necesitamos calculas las
desviacionesestndar
de
las
variables,
lo
que
asu
vez
requiere
del
clculo
delasvarianzas.
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240|CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS
I. Con las densidades marginales podemos calcular las medias y lasdesviacionesestndardey.LaFDMde
es
150
150 3 4 1 150 3 21
Calculemoslamediade 150 3 21
150 1242 1.08 Ahora
150 3 21
150 3 21 2.08
Lavarianzavale 2.08 1.08 0.9136
Y
0.9136 0.9558
II. SiguiendolosmismosprocedimientosparalavariablealeatoriatenemosLaFDMdees 2 Calculemoslamediade
1
50 2 8
3
1
50147.5 2.95
Ahora 150 2 83
150 2 83 9.304
Lavarianzavale 9.304 2.95 0.6015
Yladesviacinestndar
0.6015 0.7755
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|241
III. Lavarianzaconjuntavale
IV.
3150027.5363.753.15Conlosvaloresanteriorestenemos
V. , ..... 0.0485 Lo que indica que prcticamente no existe correlacin lineal entre las variables
aleatoriasy.10.10
La
curva
de
regresin
yel
Coeficiente
de
Determinacin
Comosevioenlaseccinanterior,elcoeficientedecorrelacindaunamedidadelafuerzadeasociacinlinealentrelasvariablesaleatoriasy;porlotanto,sidichocoeficiente de correlacin es satisfactorio, entonces es deseable buscar unprocedimiento para poder pronosticar el valor de suponiendo que sta es lavariabledependiente entrminosde losvaloresde queparanuestrocasoes lavariableindependiente.Puestoqueesunvalorconocido,paralaprediccinde seutilizaladistribucincondicionaldedadoelvalorde;esdecir,|o|segnsetratedeunaVAdiscretaocontinua,cuyovaloresperado| | eselmejor
estimador
oel
ms
razonable
predictor
de
.Como el valor esperado| | vara para los diferentes valores de, lafuncinformadaporlasparejasdevalores ,|sellamalacurvaderegresinde ;lacualserepresentaenlafigura10.3.
0
20
40
60
80
100
-5
0
5
10
15
-5
0
510
f(y|x)
X
E[Y|x]
FDP Normal Bivariable
f(y|x1)
f(y|x2)
f(y|x3)
Curva de regresin
x3x2
x1
E[Y|x]
Figura10.3CurvadeRegresinE[Y|X=x]
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242|CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS
En este caso muy particular | 5 ; lo que significa que y sonindependientesoseaquenopredicea,noobstante, lassiguienteexplicacionesson vlidas. En la figurase observa que lasuperficie correspondea una distribucinconjunta normal bivariable generada por un nmero infinito de FDP condicionales
| unaparacadavalorde; paraestecasoparticular lacurvaderegresinesunarectaderegresinsobreelplanoXE[Y|x];estacurvaseencuentragraficandolasparejasdevalores ,|,donde|son losvaloresesperadoso lasmediasde laFDPcondicionales|;sehan dibujadosolamente3valoresdeXpara loscualessetienen las3FDPcondicionales| 1,2,3;y cadaunatienesuvalor esperado | sobre el plano |; la infinidad de estos puntos,|definelacurvaderegresincomoseilustraenlafigura10.4.
E[y |x]= 5
X
0 1 2 3 4 5 6
y = E[Y|x]
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
Figura10.4laRectadeRegresin| 5 Caberecordarqueeslavariabledependientede lavariableindependiente y
lacurvaderegresinde sobreesdiferentealacurvaderegresindesobre.Ejemplo10.33Conrelacinalejemploanteriordeterminemoslacurvaderegresin|.Sabemosque
, 0 2; 1 40 Yencontramosque
3 21 0 2 ConestasFDPencontremoslaFDPcondicional|.
| , 150 150 3 21 3 21
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|243Comoyavimos, lacurvaderegresindesobreeselvaloresperadode laFDP
condicional|.|
|
3
21
13 21
13 21 2
4 4 1 7.5
63.753 21 Lacurvaderegresinsemuestraenlafigura10.5
E[Y|x]=(7.5x2+63.75)/(3x
2+21)
X0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
E[Y|x]
0
1
2
3
4
5
6
Figura10.5CurvaderegresindeYsobrex:
|
El clculo de la curva de regresin de | se hace siguiendo el mismoprocedimiento.
| , 150 150 2 83
2 83
|
|
2 83
=
| 2 42 83
La representacin grfica de esta curva de regresin aparece en la figura 10.6 y,
similar
a
la
anterior,
no
es
til
para
predecir
los
valores
de
X
dado
los
diferentes
valoresqueYpuedetomar.
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244|CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS
E[X|y]=2(y2+4)/(2y
2+8/3)
Y
0 1 2 3 4 5
E[X/y]
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura10.6CurvaderegresinXsobre |10.11 ElCoeficientedeDeterminacin
Elcoeficientedecorrelacinnosdaunvalordelafuerzadeasociacinlinealentrelasvariablesy,entantoque lacurvaderegresineselmodelomatemticoo lafuncin
de
la
relacin
entre
las
variables,
que
puede
o
no
ser
lineal,
y
otro
parmetro
querelacionatantoalapotenciadeasociacincomoalaregresineselcoeficientededeterminacin que nos da una medida de la varianza explicada por la curva deregresinysedefinecomoelcuadradodelcoeficientedecorrelacin.
(10.58)Ejemplo10.34Comoeradeesperarse,lascurvasderegresindelejemploanteriorno
sontilesparapredecirlosvaloresdeYconlosdiferentesvaloresquepuedetomar,nilos de los valores deY;yaque,delejemploanterior, elcoeficiente decorrelacin
resultiguala
0.0485yelcoeficientededeterminacines
0.0485 0.0024Loquesignificaqueel0.24%delavarianzadeodeesexplicadaporlascurvas
deregresin.
Enlapartedeestadsticaaplicaremosestosconceptosalosdatosdelasmuestrasydedicaremosuncaptuloaellos.
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CAPTULO 10 VALORES ESPERADOS, FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS Y MOMENTOS|245
10.12BibliografayReferencias
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