TURUNAN / DIFERENSIAL - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43817/Turunan.pdf · 4.1 Devinisi Turunan (Derivatif) Turunan fungsi f adalah f ...

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN / DIFERENSIAL

4.1 Devinisi Turunan (Derivatif)

Turunan fungsi f adalah f ’ yang nilainya padabilangan x dan didefinisikan oleh :

untuk semua x dengan limit tersebut ada.

hxfhxfxf

)()()(' lim0

ContohAndaikancari f ‘ (4) ?Penyelesaian :

]6)4(13[]6)4(13[)4()4()4(' limlim00

613)( xxf

131313 limlim00

Keterdiferensial MenunjukkanKekontinuan

Teorema A

Jika f ‘(c) ada, maka f kontinu di c

Kita perlu menunjukkan )()(lim0

),()()()()( cxcx

cfxfcfxf

Karenanya

)()()()()( limlim cxcx

cfxfcfxfchcx

)()()()( limlimlim cxcx

cfxfcfcxcxcx

)(0).(')(

cfcfcf

Persamaan f’(x) didefinisikan oleh aturan

x)x(f-)x+x(fmil=)x('f

ymil=x 0 x

Karena y = f(x) maka persamaan itu dapatpula dinyatakan dalam bentuk:

mil=)x('fx 0

ymilx 0 x

milx 0

fxBentuk-bentuk serta

Lazim dinotosikan dengan yangdfdx

disebut dengan notasi leibniz

Jadi untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) = y dapat digunakan notasi-notasi berikut:

)x('f atau

Notasi dapat juga ditafsirkan sebagai:

dydx)f(xd

d )y(xdd= dan =

dimanaxdd

menyatakan operasi turunan

terhadap x. Jadi dibaca turunan dari y

terhadap x dan dibaca turunan f terhadap

Jadi apabila ada persamaan , maka

adalah 2X

4.2 Aturan Pencarian Turunan

Proses pencarian turunan suatu fungsilangsung dari definisi turunan, yakni denganmenyusun hasil bagi selisih dan menghitunglimitnya.

hxfhxf )()(

Teorema A

(Aturan Fungsi Konstanta)Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuksembarang x, f’(x)=0

0)( kD

00)()()(' limlimlim000

xfhxfxf

Teorema B

(Aturan Fungsi Identitas)Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f’(x)=1

1)( kD

1)()()(' limlimlim000

xfhxfxfhhh

Teorema C

(Aturan Pangkat), dengan n bilangan bulat positif,

makanxxfJika )(.

1)(' nnxxf

1)( nn nxxD

hxfhxfxf

)()()()(' limlim00

xhnxhhxnnhnxx nnnnnn

hnxhhxnnhnxh nnnn

Di dalam kurung siku , semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor,sehinggamasing-masing suku ini mempunyai limit nol bilah mendekati nol, jadi

Ilustrasi Teorema C

1)(' nnxxf

23 3)( xxD

Teorema D

(Aturan Kelipatan Konstanta)Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsiyang terdefinisikan, maka )('.)()'( xfkxkf

)(.)](.[ xDfkxfkD

BuktiAndaikan makaxfkxF ),(.)(

hxfkhxfk

hxFhxFxF

)(.)('.)()()( limlim00

hxfhxfk

)()(.)()( limlim00

)('. xfk

Teorema E

(Aturan Jumlah)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka )()()()'( xgxfxgf

)()()]()([ xDgxDfxgxfD

BuktiAndaikan makaxgxfxF ),(/)()(

hxgxfhxghxfxF

)]()([)()([)( lim0

xghxgh

xfhxfh

)()()()(lim0

hxghxg

hxfhxf

)()()()( limlim00

)(')(' xgxf

Teorema F

(Aturan Selisih)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka )()()()'( xgxfxgf

)()()]()([ xDgxDfxgxfD

)]()1()([)]()([ xgxfDxgxfD

)]()1[()( xgDxDf )()1()( xDgxDf

)()( xDgxDf

Contoh

)6()7()5( 2 DxDxD )6()75()675( 22 DxxDxxD

)6()(7)(5 2 DxDxD

01.72.5 x

Teorema G

(Aturan Perkalian)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka )(')()()()()'*( xfxgxgxfxgf

)()()()()]()([ xDfxgxDgxfxgxfD

Contohcari turunan dari )2)(53( 42 xxx

)53()2()2()53()]2)(53[( 244242 xDxxxxDxxxxD)6)(2()18)(53( 432 xxxxx

25325 612540324 xxxxx

594036 235 xxx

Teorema H

(Aturan Hasilbagi)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkandengan

Yaitu,

makaxg ,0)(

)()(')()(')()( 2

xgxgxfxfxgx

)()()()()(

2 xgxDgxfxDfxg

Contoh 1Cari turunan dari

)7()2)(53()3)(7(

)7()53(

2 )7()7()53()53()7(

)7()53(

xxDxxDx

)7(21103

Contoh 2Buktikan aturan Pangkat berlaku untukpngkat integral negatif; yaitu

Penyelesaian

1)( nn nxxD

1.10.1)(

4.3 Turunan Sinus dan Kosinus

Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanyadapat didiferensialkan.

xxD cos)(sin

xxD sin)(cos

ContohCariPenyelesaian

)cos2sin3( xxD

)(cos2)(sin3)cos2sin3( xDxDxxD

xx sin2cos3

Pembuktian Dua Pernyataan Limit

1sinlim0

0cos1lim0

Contoh

?.....sin

cos1lim0

sincos1 limlim

4.4 Aturan Rantai

(Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan u=g(x) menentukan fungsi komposit

. Jika g terdiferen-sialkan di x dan f terdiferensialkan di u=g(x), maka terdiferensialkan di x dan

yakni,

))(())(( xgfxgfy

)('))((')()'( xgxgfxgf

uyDDyD xux

ContohJikaPenyelesaian : kita pikirkan ini sebagai

danJadi,

yDxcarixxy ,)142( 602

60uy 142 2 xxu

uDyDyD xux .)44)(60( 59 xu

)44()142(60 592 xxx

4.5 Turunan Tingkat Tinggi

Operasi pendiferensialan mengambil sebuahfungsi f dan menghasilkan sebuah fungsibaru f ‘. Jika f ‘ kita diferensialkanmenghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh f ‘’dan disebut turunan kedua dari f, danseterusnya.

Contoh

0)(""12)('''

812)(''786)('

:8742)(

xxfxxxf

makaxxxxf

4.6 Diferensial Terdefinisi

Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x danandaikan bahwa dx, diferensilkan dari peubahbebas x, menyatakan pertambahansembarang dari x. Diferensil yang bersesuaian dengan dy dari peubah takbebas y didefinisikan oleh :

dxxfdy )('

Aturan PangkatAndaikan r bilangan rasional sembarang, maka

1)( rrx rxxD

ContohCari dy jika 133 xxy

dxxdy )33( 2

Rumus turunan

RUMUS-RUMUS TURUNAN

TRIGONOMETRI

Soal ke-1

Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang

mungkin adalah ….

A. 3x C. 9x2 E. 12x2

B. 6x D. 10x2

Pembahasan

f(x) = 3x2 + 4

f1(x) = 6x

Jawaban soal ke-1

Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang

mungkin adalah ….

A. 3x C. 9x2 E. 12x2

B. 6x D. 10x2

Soal ke-2

Nilai turunan pertama dari:

f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah …

A. x2 – 8x + 5 D. 6x2 + 24x + 8

B. 2x2 – 24x – 2 E. 6x2 + 24x – 8

C. 2x2 + 24x – 1

Pembahasan

f(x) = 2x3 + 12x3 – 8x + 4

f1(x) = 6x2 + 24x – 8

Jawaban soal ke-2

Nilai turunan pertama dari:

f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah …

A. x2 – 8x + 5 D. 6x2 + 24x + 8

B. 2x2 – 24x – 2 E. 6x2 + 24x – 8

C. 2x2 + 24x – 1

Soal ke-3

Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)

Adalah …

A. 24x + 5 D. 12x – 5

B. 24x – 5 E. 12x – 10

C. 12x + 5

Pembahasan

f(x) = (3x-2)(4x+1)

f1(x) = 12x2 + 3x – 8x – 2

f(x) = 12x2 – 5x – 2

f1(x) = 24x – 5

Jawaban soal ke-3

Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)

Adalah …

A. 24x + 5 D. 12x – 5

B. 24x – 5 E. 12x – 10

C. 12x + 5

Soal ke- 4

2-51-5

2x 4x C.

2x 4x E. 2x 2x B.

2x 4x D. 2x 2x A.

adalah... 2x x32 f(x) dari (x)f Nilai

Pembahasan

22x - 4x (x)f

(-1).x 2 x326. (x)f

2x x32 f(x)

1-1-1-61

Jawaban Soal ke- 4

2-51-5

2x 4x C.

2x 4x E. 2x 2x B.

2x 4x D. 2x 2x A.

adalah... 2x x32 f(x) dari (x)f Nilai

Soal ke- 5

3 3x D. 3x B.

1 x3 E. 2 x3 C. x3 A.

... adalah 3 x y dari 1-ke Turunan

Pembahasan

Jawaban Soal ke- 5

3 3x D. 3x B.

1 x3 E. 2 x3 C. x3 A.

... adalah 3 x y dari 1-ke Turunan

Soal ke- 6

Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah …

A. 12x2 – 3x + 12 D. 24x2 – 12x + 6

B. 12x2 – 6x – 3 E. 24x2 – 24x + 6

C. 12x2 – 6x + 3

Pembahasan

f(x) = (2x – 1)3

f1(x) = 3(2x – 1)2 (2)

f1(x) = 6(2x – 1)2

f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1)

f1(x) = 6(4x2 – 4x+1)

f1(x) = 24x2 – 24x + 6

Jawaban Soal ke- 6

Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah …

A. 12x2 – 3x + 12 D. 24x2 – 12x + 6

B. 12x2 – 6x – 3 E. 24x2 – 24x + 6

C. 12x2 – 6x + 3

Soal ke- 7

Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2

adalah …

A. 20x3 – 20x D. 5x4 – 10x2 + 1

B. 100x3 – 10x E. 25x4 – 10x2 + 1

C. 100x3 – 20x

Pembahasan

f(x) = (5x2 – 1)3

f1(x) = 2(5x2 – 1) (10x)

f1(x) = 20x (5x2 – 1)

f1(x) = 100x3 – 20x

Jawaban Soal ke- 7

Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2

adalah …

A. 20x3 – 20x D. 5x4 – 10x2 + 1

B. 100x3 – 10x E. 25x4 – 10x2 + 1

C. 100x3 – 20x

Soal ke- 8

3x) - (4x )23 -(4x C.

3x) - (4x )23 (4x E. 3) (2x 4x)-

32( B.

3x) (4x )23 -(4x D. 8) (2x 4)-x

32( A.

adalah... 3x 4x f(x) dari pertama Turunan

Pembahasan

3x)2)(4x23(4x (x)f

3)(8x 21

3x)2(4x21 (x)f

3x) (4x f(x)

3x4x f(x)

Jawaban Soal ke- 8

3x) - (4x )23 -(4x C.

3x) - (4x )23 (4x E. 3) (2x 4x)-

32( B.

3x) (4x )23 -(4x D. 8) (2x 4)-x

32( A.

adalah... 3x 4x f(x) dari pertama Turunan

Soal ke- 9

Turunan pertama dari

f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)

adalah …

A. 3x2 – 12 D. 9x2 – 12

B. 6x2 – 12 E. 9x2 + 12

C. 6x2 + 12

Pembahasan

f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)

Cara 1:

Misal : U = 3x2 – 6x

U1 = 6x – 6

V = x + 2

V1 = 1

Pembahasan

Sehingga:

f1(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x2+6x).1

f1(x) = 6x2+12x – 6x – 12+3x2 – 6x

f1(x) = 9x2 – 12

Pembahasan

f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)

Cara 2:

f1(x) = 3x-3+6x2 – 6x3 – 12x

f1(x) = 9x2+12x –12x – 12

f1(x) = 9x2 – 12

Jawaban Soal ke- 9

Turunan pertama dari

f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)

adalah …

A. 3x2 – 12 D. 9x2 – 12

B. 6x2 – 12 E. 9x2 + 12

C. 6x2 + 12

Soal ke- 10

1-8x-24x C.

18x-16x

11- E. 18x16x B.

1-8x-24x D. 18x-16x A.

... adalah 1-4x2)(3xf(x) dari pertama Turunan

Pembahasan

1 -4x V 3 U

23x U :Misal

1-4x23x f(x)

Pembahasan

2)4(3x1)3(4x(x)f

UV -VU(x)f

Pembahasan

18x16x

11(x)f

18x16x

812x312x(x)f

Jawaban Soal ke- 10

1-8x-24x C.

18x-16x

11- E. 18x16x B.

1-8x-24x D. 18x-16x A.

... adalah 1-4x2)(3xf(x) dari pertama Turunan

Soal ke- 11

31 E. 1 C.

... adalah mungkin yangNilai 4. (x)1f Jika

6 4x -23xf(x) Diketahui

Pembahasan

f(x) = 3x2 – 4x + 6

f1(x) = 6x – 4

Jika f1(x) = 4

Pembahasan

86x6x86x44

46x4:Maka

Jawaban Soal ke- 11

31 E. 1 C.

... adalah mungkin yangNilai 4. (x)1f Jika

6 4x -23xf(x) Diketahui

Soal ke- 12

Diketahui f(x) = 5x2+3x+7. Nilai f1(-2)

Adalah ….

A. -29 D. -7

B. -27 E. 7

C. -17

Pembahasan

f(x) = 5x2 – 3x + 7

f1(x) = 10x – 3

Maka untuk f1(-2) adalah…

f1(-2) = 10(-2)+3

f1(-2) = -20+3

f1(-2) = -17

Jawaban Soal ke- 12

Diketahui f(x) = 5x2+3x+7. Nilai f1(-2)

Adalah ….

A. -29 D. -7

B. -27 E. 7

C. -17

Soal ke- 13

3 D. 3 - B.

6 E. 0 C. 6 - A.

... adalah 211f Nilai

16 5x 24x -32xf(x) Diketahui

Pembahasan

... adalah 21f untuk Maka

12-12x(x)f

512x-6x(x)f

16-5x6x-2xf(x)

Pembahasan

6- 21f

12- 6 21f

12 - 21 12

Soal ke- 14

34x)-2(2x 12)-(18x (x)1f E.

34x)-2(3x 12)-(18x (x)1f D.

34x)-2(3x 12)-(18x (x)1f C.

52)2(3x 2)-(18x (x)1f B.

51)-2(3x 12)-(18x (x)1f A.

62 adalah... 4x3x21 f(x) dari pertama Turunan

Pembahasan

4x)12)(3x(18x(x)1f

4)(6x4x)3(3x(x)1f

4)(6x4x)(3x216.(x)1f

4x)(3x21f(x)

Jawaban Soal ke- 14

54x)-212)(2x-(18x (x)1f E.

54x)-212)(3x-(18x (x)1f D.

54x)-212)(3x-(18x (x)1f C.

52)22)(3x-(18x (x)1f B.

51)-212)(3x-(18x (x)1f A.

62 adalah... 4x3x21 f(x) dari pertama Turunan

Soal ke- 15

E.1 C.31

adalah... mungkin x yangnilai maka

)21(f untuk 1 3x 6x f(x) Diketahui

Pembahasan

3-12x 21

:maka21 (x)f untuk

3-12x (x)f

13x 26xf(x)

Pembahasan

8 24x 24x 8

24x 62

624x 2

Jawaban Soal ke- 15

E.1 C.31

adalah... mungkin x yangnilai maka

)21(f untuk 1 3x 6x f(x) Diketahui

Soal ke- 16

4-8x D.28x B.

48x E. 2-8x C.1x A.

adalah... 1-2x f(x)

:dari pertama Turunan4

Pembahasan

1)-(2xf(x)

1)-(2xf(x) 4 8

Pembahasan

48x(x)f

1)4(2x(x)f

1)(2)2(2x(x)f

Jawaban Soal ke- 16

4-8x D.28x B.

48x E. 2-8x C.1x A.

adalah... 1-2x f(x)

:dari pertama Turunan4

Soal ke- 17

1 D. 1 - B.2531 E. 0 C.

adalah... mungkin x yangnilai Maka 2. yuntuk

1-2x y dari pertama Turunan1

Pembahasan

6)-10(5xy

(5) 6)-2(5xy6)-(5xy

6)-(5xy

6)(5x y

Pembahasan

6250x50x60260-50x2

:maka 2, yUntuk 1

Jawaban Soal ke- 17

1 D. 1 - B.2531 E. 0 C.

adalah... mungkin x yangnilai Maka 2. yuntuk

1-2x y dari pertama Turunan1

SELAMAT BELAJAR

LATIHAN TUGAS 3

TRIGONIMETRI

TURUNAN / DIFERENSIAL - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43817/Turunan.pdf · 4.1 Devinisi Turunan (Derivatif) Turunan fungsi f adalah f ...

Documents

7. Turunan

Definisi Turunan

Turunan Slide

Pengukuran - · PDF fileb. Besaran Turunan Besaran turunan...

Kebahagiaan akan tumbuh berkembang manakala Anda...

Matematika FUNGSI-DAN-TURUNAN.pdf

Turunan (diferensial)

TURUNAN IMPLISIT

4. turunan

TURUNAN FUNGSI 1. Turunan Fungsi -...

BAB 5. TURUNAN - ilhamsaifudin12.files.wordpress.com ·...

TURUNAN - randidea.files.wordpress.com · Topik Bahasan 1.....

terapan turunan

FUNGSI PEUBAH BANYAK - WordPress.comPada fungsi satu peubah,...

turunan (kalkulus)

BAB 3 Turunan.pdf