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UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA PROFESIONAL DE ING. DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
HESSIANA Y JACOBIANA
DOCENTE : Lic. MINAYA SALINAS SEGUNDO OSCAR
INTEGRANTES : HUAMAN CAMONES Clinton Yeferson
GARCIA LOYOLA Ibette Pamela
ALVA FLORES Roosbelth Eufrain
CICLO : III
AÑO ACADEMICO : 2014-II
HUARAZ 2014
ING. DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
HESSIANA Y JACOBIANA Página 2
ÍNDICE
CAPÍTULO I
HESSIANA
1.1. DEFINICIÓN………………………………………………………………….3
1.2. MATRIZ HESSIANA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES…..4
1.2.1. Observación…………………………………………………………..4
1.3. EJEMPLOS………………………………………………………….………..5
CAPÍTULO II
JACOBIANA
2.1. DEFINICIÓN………………………………………………………………….7
2.2. JACOBIANO DE UNA FUNCION DE n VARIABLES…………………….8
2.3. TRANSFORMACIONES………………………………………….…………..8
2.3.1. COORDENADAS CILINDRICAS……………………….…………..8
2.3.2. COORDENADAS ESFÉRICAS………………………..……………9
2.4. EJEMPLOS………………………………………………………………….10
BIBLIOGRAFÍA
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CAPÍTULO I
HESSIANA
1.1. DEFINICIÓN
Dado una función 3:f D definida en el conjunto
Abierta D de 3 , si las derivadas de segundo orden:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2, , , , , , , ,
f f f f f f f f f
x x y x z y y x y z z z x z y
Existen en el punto 0 0 0( , , )P X Y Z , a la matriz cuadrada de orden 3
definida por:
Se llama MATRIZ HESSIANA de una función f en P y se denota
( )H f
PROPIEDAD: La matriz Hessiana es simétrica.
( , , ) ( , , )x y z f x y z
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
( )
f f f
x y x z x
f f fH f
x y y z y
f f f
x z y z z
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1.2. MATRIZ HESSIANA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES
Una función cuadrática 𝐹 = 𝑅𝑛.
→ 𝑅 es una función cuyo valor en
1, , n es dado por 𝐹(𝛼) = 𝜋 ∑ ℎ𝑖𝑗𝑛𝑖=1 𝛼𝑖𝛼𝑗 donde 𝐻 =
[ℎ𝑖𝑗]𝑛𝑥𝑚
es una matriz simétrica de orden 𝑛𝑥𝑛, esto es:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ...
...
n
n
ij nxn
n n nn
h h h
h h hH h
h h h
y
En forma matricial la forma cuadrática está definida por:
11 12 1 1
21 22 2
1
1 1
1 2
...
...( ) . . ( ,..., )
... ...
...
n
n nnt
n ij i j
i j
n n nn n
h h h
h h hF H h
h h h
1.2.1. Observación: Se observa que el desarrollo de una forma
cuadrática, en términos de las variables 1( ,..., )nα α , corresponde
a un polinomio homogéneo de grado 2, donde los coeficientes de
los términos cuadráticos (𝑖2) son los elementos de la diagonal de
la matriz simétrica H, y cada coeficiente de un término,
rectangular es el doble de elemento ijh de la misma matriz( i j )
t tH H H transpuesta de H
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1.3. EJEMPLOS:
1.3.1. Hallar la matriz hessiana de la función 3 3( , ) 9 1f x y x y xy
Solución
Luego la matriz hessiana de f es 6 9
( ( , ))9 6
xH f x y
y
1.3.2. Dada la función 2 2 2( , , ) 2 5 3 6 2 1f x y z x y z xy xz yz ,
hallar la matriz Hessiana.
Solución
1.3.3. Identificar los puntos críticos de la función f(x, y) y determinar sus
tipos: f(x, y) = x + y2 bajo el vínculo son lineal representado por la
función: φ(x, y) = x2 + y2 − 25 = 0 Sea el lagrangiano asociado:
ζ(x, y,λ) = f(x, y) −λφ(x, y) = x + y2 − λ (x2 + y2 − 25)
𝜕ζ(x, y, λ)
𝜕𝑥= 1 − 2λx;
𝜕ζ(x, y, λ)
𝜕𝑦= 2𝑦 − 2λy;
𝜕ζ(x, y, λ)
𝜕λ
= −𝑥2 − 𝑦2 + 25
Los puntos críticos de ζ(x,y, λ) son las soluciones del sistema
siguiente:
2
2
2
2
3 9 , 6 , 9
3 9 , 6 , 9
f f fx y x
x y xx
f f fy x y
y x yy
' ' ' 4 1 6
( ) ' ' ' 1 10 2
' ' ' 6 2 6
xx yx zx
xy yy zy
xz yz zz
f f f
H J f f f
f f f
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Solución
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CAPÍTULO II
JACIBIANO
2.1. DEFINICION:
Sea 2 2:T E D una función (transformacional) biunívoca,
Continua y diferenciable, definida por ( , ) ( , ),T u v x y donde
Que lleva una región E del plano UV en la región D del plano XY .
El Jacobiano de T está dado por
Si m y n (esto es, si la matriz Jacobiana es cuadrada), a la
determinante de la matriz se le llama Jacobiana de f.
El valor absoluto del Jacobiano de f es de aplicación muy importante
en las transformaciones (Cambio de Variable) que se hacen en las
integrales dobles y triples.
( , ) ( ( , ), ( , ))u v x u v y u v
( , ){
( , )
x x u v
y y u v
( , )( , )
( , )
x x
x y u vJ u v
y yu v
u v
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2.2. JACOBIANO DE UNA FUNCION DE n VARIABLES
Sea : ,n mf D D conjunto abierto, y a D .Se llama matriz
Jacobiano de f en a, (denotando por Jf a ) en la matriz mxn :
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 1
...
...( )
...
n
n
m m m
n
f f f
x x x
f f f
x x xJf a
f f f
x x x
2.3. TRANSFORMACIONES
2.3.1. COORDENADAS CILINDRICAS
3 3
( , , ) ( , , ) ( , , )
F
r z F r z x y z
( , , ) cos
( , , )
( , , )
x x r z r
y y r z rsen
x x r z z
[0,2 ]
0r
z
cos 0( , , )
( , , ) cos 0( , , )
0 0 1
rsenx y z
J r z sen rr z
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2.3.2. COORDENADAS ESFÉRICAS
3 3
( , , ) ( , , ) ( , , )
F
F x y z
( , , ) cos
( , , )
( , , ) cos
x x sen
y y sen sen
x x
cos cos cos( , , )
( , , ) cos cos( , , )
cos 0
sen sen senx y z
J sen sen sen sen
sen
desarrollando 2( , , )
( , , )( , , )
x y zJ sen
cos 0 0 coscos ( ) 0
0 1 0 1 0 0
r sen sen rrsen
cos ( cos 0) ( 0)r rsen sen r
[0,2 ]
[0, ]
0
cos cos coscos
cos cos cos
sen sen sen sen sensen
sen sen sen sen sen
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2.4. EJEMPLOS:
2.4.1. Dado una función 2 2:f D definido por
( , ) ( cos , )f r r rsen donde { , / 0 , 2 }.D r r α α
Hallar el Jacobiano de f.
Solución
El Jacobiano de f es la determinación de la matriz Jacobiana de f en
( , )r .
1 1
2 2
2 2
coscos
cos
f f
rsenrJf r rsen r
f f sen r
r
2.4.2. Sea 3 3 una transformación definida por
Donde: 1 1 23X Y Y , 2 22X Y y 3 3X Y
Solución
1 1 1
1 2 3
1 2 3 2 2 21 2 2
1 2 2 1 2 3
3 3 3
1 2 3
3 1 0( , , )
( , , ) 0 2 0 6( , , )
0 0 1
X X X
Y Y Y
X X X X X XJ Y Y Y
Y Y Y Y Y Y
X X X
Y Y Y
1 2 2 1 2 3( , , ) ( , , )Y Y Y X X X
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2.4.3. La matriz jacobiana de la función 3 3F definida como:
Solución
Nota: Al hallarse la matriz jacobiana queda en una matriz como
se muestra en el ejemplo 2.4.3. , pero es posible hallar su
módulo o determinante, en cambio en un siguiente ejemplo que
se muestra no sucede lo mismo.
2.4.4. Supóngase la función 3 4F , cuyas componentes son:
Solución
Aplicando la definición de matriz jacobiana:
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BIBLIOGRAFÍA
MOISES LAZARO C. (2009), “ANALISIS MATEMÁTICO III” Lima,
Editorial MOSHERA.
MÁXIMO MITAC M. (2009), “CÁLCULO III” Lima, Editorial THALES
VENERO. A. (1998), “MATEMATICAS III” Lima, Editorial
GEMAR
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