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I N T E G R A L T R A N S F O R M S I N T H E P R O B L E M S O F T H E

O F E L A S T I C I T Y F O R A N O N H O M O G E N E O U S W E D G E

G . B , K o l e h i n a n d V . V . L a p e n k o

T H O R Y

U D C 5 3 9 . 3

T h e p l a n e p r o b l e m s o f t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y f o r a h o m o g e n e o u s i n f in i t e w e d g e i n th e e a s e o f d i f f e r e n t

b o u n d a r y c o n d i t io n s h a v e b e e n s tu d i e d in d e t a i l [1 , 7 , 9 ] . I f t h e m e c h a n i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m a t e r i a la r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o f t h e c o o r d i n a t e s , i . e . t h e w e d g e i s n o n h o m o g e n e o u s , t h e n , f o r s o m e f o r m s o f

n o n h o m o g e n e i ty , t h e m e t h o d s u s e d i n c l a s s i c a l p r o b l e m s a r e f o u n d t o b e e f f e c ti v e .

w W e c o n s i d e r a n i n f i n i t e w e d g e ( 0 -< r -< oo; O -< 0 -< a ) , a c t e d u p o n a t o n e o f i t s b o u n d a r i e s ( f o r

e x a m p l e , 0 = 0) b y a c o n c e n t r a t e d f o r c e o f a n a r b i t r a r y d i r e c t i o n , a p p l i e d a t t h e p o in t r = a . T h e m a t e r i a l

o f t h e w e d g e is a s s u m e d t o b e c y l i n d r i c a l l y a n i s o t ro p i e , t h e m e c h a n i c a l c h a r a c t e r i s t i c s b e i n g g iv e n in

t e r m s o f t h e c o o r d i n a t e s i n t h e f o r m

= O~i k ~ (O , (1 .1),

w h e r e P Ij a r e c o n s t a n t s .

I n o r d e r t o s o l v e t h e p r o b l e m , w e m a k e u s e o f t h e M e l l in i n t e g r a l t r a n s f o r m , w i t h t h e a i d o f w h i c h

t h e s t r e s s e s c a n b e e x p r e s s e d i n th e f o r m [9]

0 0 1 . 2 )

r

~ o = ; ~rorPdr

w h e r e p i s a c o m p l e x n u m b e r c h o s e n i n a n a p p r o p r i a t e m a n n e r a n d i n o r d e r t o e n s u r e t h e c o n v e r g e n c e o f

t h e i n t e g r a l s ( 1. 2) th e v a r i a b l e p v a r i e s w i t h in t h e l i m i t s o f t h e s t r i p

~ - - 1 ~ R e p ~ 0 (e ~ 1). (1.3 )

A p p l y i n g t h e t r a n s f o r m s ( 1. 2) t o t h e e q u a t io n s o f s t a t i c s , w e o b t a in o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s

r e l a t i v e t o t h e t r a n s f o r m e d s t r e s s e s a t , a0, Wr0

- p ~ , - + ~ ; 0 = 0 ; ~ -0 + ( 1 - ; ) ~ 0 = 0 ( 1 . 4 )

T h e c o n t i n u i t y c o n d i t i o n f o r a n a n i s o t r o p i e w e d g e [ 6 ]

0 ~ tee) 1 0~ r7~o) jr I 02~, 0e, __ 0

O r~ r O r O 0 r a o ~ O r

a f t e r t h e t r a n s f o r m a t i o n s , m u l t i p l i c a t i o n b y r p+ 2 a n d i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t t o r b e t w e e n t h e l i m i t s O

a n d co g i v e s t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

~ l I ~ ; - ' { - Q I 2 ~ O ~ Q l ~ r 0 - j - [ ~ 1 6 k . .~ p ) - 2 q , I F ] ~ ; - [ - [ 0 ~ 6 k + p ) - - 2 o t 2 F ] ~ o q - [ 0 c ~ k q - p ) - 2 0 , 6 F ] ~ o

~L { 1 2 w _ _ ~i6 (~ -I- p) F + [(k - - S) + (p + 1)1} ~ + {02zw - 0~ (k + p) F + 0,2 [(k - - S) + (p + 1)1}~0

+ { ~ 2 6 w ~ 0 ~ 6 k + p ) F + 0 ~ 6 [ k - - S ) + p + 1 ) l } ~ s - -- O .

P P .

1.5)

K i s h i n e v P o l y t e e h n i c a l I ~ s t i t u t e , K i s h i n e v . T r a n s l a t e d f r o m P r i k l a d n a y a M e k h a n i k a , V o l . 7, N o . 1 1,

8 4 -8 9 , N o v e m b e r , 1 9 7 1 . O r i g i n a l a r t i c l e s u b m i t t e d D e c e m b e r 2, 1 9 70 .

9 1 9 7 4 C o n s u l t a n t s B u r e a u , a d i v i s i o n o f P l e n u m P u b l i s h i n g C o r p o r a t i o n , 2 2 7 W e s t 1 7 t h S t r e e t , N e w Y o r k , N . Y . i 0 0 1 1 .

N o p a r t o f t h i s p u b l i c a t i o n m a y b e r e p r o d u c e d , s t o r e d i n a r e t r i e v a l s y s t e m , o r t r a n s m i t t e d , i n a n y f o rm o r b y a n y m e a n s ,

e l e c t r o n i c , m e c h a n i c a l , p h o t o c o p y i n g , m i c r o f i l m i n g , r e c o r d i n g o r o t h e r w i s e , w i t h o u t w r i t te n p e r m i s s i o n o f t h e p u b l i s h e r . A

c o p y o f t h i s a r t i c l e i s a v a i l a b l e f r o m t h e p u b l i s h e r f o r $ 1 5 .0 0 .

1 2 4 6

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H e r e

~'tp -~ = F ; ~b ~2 ~ - 2F z = S;

~( k - - t ) + 2 ( ~ - t ) (p + 1) + (p + 2 ) (O + 1 ) = w .

W e r e p r e s e n t t h e s t r e s s e s ~ r a n d ~ r 0 i n t e r m s o f -~0 i n t h e f o r m

7 t p - 1 =

I n s e r t i n g t h e e x p r e s s i o n s 1 .6 ) a n d t h e i r d e r i v a t i v e s i n t o 1 , 5) , w e o b t a i n f o r t h e f u n c t i o n -@ a f o u r t h - o r d e r

d i f f e r e n t i a l e q u a ti o n , t h e s o lu t i o n o f w h i c h c o n t a i n s f o u r a r b i t r a r y f u n c t i o n s o f t h e p a r a m e t e r p . T h e s e

f u n c t i o n s c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , w h i c h i n t h e lV [ellin f o r m c a n b e e x p r e s s e d a s

< , - , i ~ = S t . < . ) , d , . < . o l o : o =

6 o l e = < , = ~ / 2 ( r ) / d r ; - 7 e l o = r

( :h7)

A f t e r th e d e t e r m i n a t i o n o f t h e a r b i t r a r y f u n c t io n s , t h e s t r e s s e s a r e c o m p u t e d u s i n g t h e i n v e r s i o n

f o r m u l a [ 9 ]

I o , r_~_ldp; Oe = ~ (~r -P- ldp;

----- 2~xi L) L)

Sr,,-o = ~ 7 m r - P - l d p .

~.8)

F o r t h e a n i s o t r o p i c h o m o g e n e o u s w e d g e , i n E q . ( 1 .5 ) w e m u s t p u t k = 0 a n d ~b 0 ) = c o a s t .

w W e c o n s i d e r a n i s o t r o p i c n o n h o m o g e n e o u s w e d g e , t h e m o d u l u s o f e l a s t i c i t y o f w h i c h is a f u n c t i o n

o f t h e p o l a r c o o r d i n a t e s . W e r e p r e s e n t t h e c o n t i n u i t y c o n d i t io n f o r a n i s o t r o p i c n o n _ ho m o ge n eo u s w e d g e i n

t h e f o r m [ 3 ]

E2 ~O + l r ~O= + rl -~-O (o,. + O'e) - [- -~ -r (~ + oe)

1 0 g o m , + ~ o ) - E ~ + r 00~ ] 7 - - N - a , - - ~ e )+ oo oo

- L - 0 - p/ - -2 \ - ~ - ) % - - I x a ' i + - - ( i r + b q E O r 0 0 7 0 0 - - 2 7 o o - j % o = 0 . ( 2 .1 )

W e t a k e E = E 0rk ~b (0 ) . T h e n t h e c o n t i n u i t y c o n d i ti o n , a f t e r t r a n s f o r m a t i o n s s i m i l a r t o t h o s e m a d e

i n t h e e a s e o f an a n i s o t r o p i o w e d g e , r e d u c e s t o th e f o l lo w i n g eq u a t i o n :

~, + e o - - 2F (o -~- o - o ) - { - [ p - 1 - 1 ) p J7 }, Jr- 2k) - - k k + 1 ) l a - - k + S ) ]

+ [ p + 1) p + 1 + 2k) + k ( k + 1) + ~ k + S ) l ~ e - - 2 , 1 + ~ , ) l + k ) F ~ , e = 0 . 2 .2 )

T a k i n g k = 0 a n d ~) ( 0) = c o a s t i n E q . ( 2 .2 ) , w e a r r i v e a t t h e c o n d i t i o n f o r a n i s o t r o p i c h o m o g e n e o u s w e d g e .

T h u s , f o r t h e n o n h o m o g e n e o u s i s o t r o p i c w e d g e w e h a v e t h r e e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 1.4 7,( 2 .2 ) . I n s e r ti x t g i n E q . ( 2. 2) f o r ~ r a n d- ~ r0 t h e e x p r e s s i o n s ( 1. 6) a n d t h e i r d e r i v a t i v e s , w e o b t a in f o r th e

f u n c t i o n ~ 0 a f o u r t h - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

~iv _ 2 F ~ ' + [ p + 1) p + 1 + 2k) -- k k + 1) ,u, - - (k + S ) l ~ ;

- - 2 F [ p - - 1 ) 2 + p 1 + ~ ) 1 + k) ve + { p - - 1 ) ~ p + I ) p + 1 + 2 k )

+ (p -- 1) k iF (P - - k - - 1) + k (p + 1) - - 1] + (p + 1) (~p - - 1) S}-~o = 0. (2. 3)

I n t h e g e n e r a l c a s e t h e s o l u t i o n o f t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ( 2 .3 ) , ( 1. 7) c a n b e o b t a i n e d b y a n y

n u m e r i c a l m e t h od , f o r e x a m p l e , b y t h e R u n g e - K u t t a m e t h o d , r e d u c i n g b e f o r e h a n d th e b o u n d a r y va l u e

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p r o b l e m t o t h e C a u c h y p r o b l e m b y t h e m e t h o d o f c o m b i n a t i o n o f s o l u t i o n s o r t r i a l s ; h e r e i t i s n e c e s s a r y t o

t a k e i n to a c c o u n t t h e p o s s i b i l i t y o f n u m e r i c a l i n s t a b i l it y o f t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s [ 2] . F o r s o m e t y p e s

o f n o n _ h o m o g e n e i t y E q u a t i o n ( 2 .3 ) h a s a n e x a c t s o l u t i o n .

W e c o n s i d e r a n o n _ ho m o g e n eo u s is o t r o p i e w e d g e f o r w h i c h

(0) = exp toO. 2.4)

T h e n f r o m E q . ( 2 .3 ) w e o b t a i n a n e q u a t i o n w i t h c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s , w h e r e F = m ; S = - m 2 .

P u t t in g , a c c o r d i n g t o H o r n e r ' s s c h e m e [ 8 ],

1= z + ~ - m . ( 2 .5 )

w e r e d u c e t h e p r o b l e m t o th e d e t e r m i n a t i o n o f t h e r o o t s o f t h e e q u a ti o n

z 4 A z ~ B z + C = 0 . ( 2 . 6 )

e r e

|A = 2 ( p ~ + 1) + k ( 2 p + 1 ) - - p~ k(k + 1 ) - - - ~ - m ;

B = m (k A- 2p) [ 1 - - p , (k + 1 :

C m * + m ~ i ~ - - ( p q - 1 ) = - - T ( p - - 1 ) = - - k ( 2 p - - 1 )

- - p , [ + k ( k - F I ) q - p ( p - F k ) ]} , - - }- p - - 1 ) ( p q - 1 ) ( p - F 1 --F 2 k )

- - ( p - - l ) k [(k + 1 ) p - - 1 - k ( p - 1 ) - - ( p - - k - - 1)in .

T h e s o l u ti o n of E q . ( 2. 6) is r e p r e s e n t e d b y v e r y c u m b e r s o m e e x p r e s s i o n s . T h e s i m p l e s t s o l u t i o n

i s f o r B = 0 . I n t h i s c a s e

i

1 / 1 = - - C . ( 2 . 7 )~ , = T r n - I- - - A 4 - V ~ A

T h e f o r m o f t h e f u n c t io n 5 0 d e p e n d s o n t h e q u a n t i t i e s m , k w h i c h c h a r a c t e r i z e t h e d e g r e e o f n o n h o m o -

g e n e i t y . F o r t h e c a s e m = 0 w e h a v e

A = 2 (p -k 1) -4- k (2p -+- 1) - - 9k(k -k 1);

C = ( p - - l ) ~ ( p - k l ) ( p - f - I . - k 2 k ) - - ( p - - l ) k , [ ( k + l ) p - - 1 ] - - k ( p - - 1 ) ( p - - k - - 1 ) ~ .

I t i s r e l a t i v e l y e a s y t o o b t a i n t h e s o l u t i o n o f E q . ( 2 .6 ) f o r m ~ 0 , b y p u t t i n g

k = ( l _ ~ ) p , - t (p, 4= 0 ), ( 2 . 8 )

w h e n

1A - = 2 ( p 2 - k 1 ) - k ( 1 - - F ) ~ - t 2 P - - - ~ - m 2 ;

C = m m I 39 - - T ( , o - - 1 )~ ' - k ~ ( p - k 1 ) z - - ( P - F 1 )

]

- - 2 ( l ~ ) p . - ' p q - F p ( 1 - - p ) J - }- (p - -l )~ ( p -} l ) 2 - - p ( p - 1) ( p -- ,1 - - ~ - ' ) ( 1 - - ~ ) ~ - ' .

w W e c o n s i d e r a s p e c i f i c c a s e i n w h i c h c o n d i ti o n ( 2. 8) h o l d s , t h e w e d g e i s u n d e r t h e a c t i o n of a n

a r b i t r a r y c o n c e n t r a t e d f o r c e a p p l i e d a t a n a r b i t r a r y p o i n t o f t h e b o u n d a r y 0 = 0 u n d e r c o n d i t i o n s o f p l a n e

d e f o r m a t i o n , a n d P o i s s o n ' s r a t i o i s v = 1 /2 ( ~ = 1) . W e a l s o l e t m = 2 a n d e x p r e s s t h e c o m p o n e n t s o f t h e

c o n c e n t r a t e d f o r c e a l o n g th e a x e s o f t h e p o l a r c o o r d i n a t e s 0 a n d r b y P a n d T . D i s t r i b u t i n g t h e c o n c e n t r a t e d

f o r c e o v e r t h e p o r t i o n a - e < r < a + ~ o f t h e b o u n d a r y , w e h a v e [ 9 ]

7 , = P a ; g , = a~ 7 ~ = g = = O . ( 3 . 1 )

1 2 4 8

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F r o m t h e c o n d i t i o n ( 2 .7 ) w e o b t a i n

L = 1 ~ _ ( _ p 2 • - 1 ) - - 1 ) T . ( 3 . 2 )

F o r p < - 0 . 3 6 6 w e h a v e t w o r e a l a n d t w o c o m p l e x r o o t s ; i n t h e c a s e p = - 0 . 3 6 6 w e h a v e f o u r c o m p l e x r o o t s ,

p a i r w i s e m u l t i p l e ; f o r p > - 0 . 3 6 6 w e h a v e f o u r d i s t i n c t c o m p l e x r o o t s .

S i n c e t h e p o i n t p = - 0 . 3 6 6 i s a s i n g u l a r p o i n t , i n t h e i n v e r s i o n f o r m u l a s ( 1 .8 ) w e t a k e a s t h e p a th o f

i n t e g r a t i o n a n i i n f i n i te l i n e , p a r a l l e l t o t h e i m a g i n a r y a x i s o f t h e p l a n e o f t h e c o m p l e x v a r i a b l e p , p a s s i n g ,

i n a c c o r d a n c e ' ~ t h t h e c o n d i t i o n ( 1 .3 ) , i n s i d e t h e s t r i p

0 , 3 6 6 ~ R e p < 0 . ( 3 . 3 )

w h e r e

W e o b t a i n th e s o l u t i o n f o r a 0 i n t h e f o l l o w i n g f o r m :

a0 = e '~ (C1 cos vO + C 2 s in vO) + e '~ (C3 cos vO + C4 s in vO),

F r o m E q s . ( 1 .6 ) w e o b t a i n

w h e r e

~ r e ~p (p - - 1) {e ~ ~?L CI cos vO + C 2 s invO) - - 2b 1 C t s in vO - - C 2 cos vO]

q - e - u ~ [ 7 2 (Ca cos vO -]- C 4 s in vO) - - 2b 2 (Cz s in vO -- C 4 cos vO)l};

e ou = p 60 - - 1) [e ~ [ul (C1 cos vO q- C~ s in vO) - - v (C1 s in vO - - C 2 cos vO)]

q_ r [uz (C3 cos vO q- C 4 s in vO) ~ v (C~ s in vO - - C4 cos vO)]},

3 . 4 )

3 . 5 )

71,2 = u~ ,2 - - v2 - - (P - - 1 ) ; b l ,2 -----% 2 v .

S o l v i n g t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r th e v a l u e s ( 3 .1 ) , w e

o b t a i n t h e f u n c t i o n s C l , C 2, C 3 , C ~ . I n s e r t i n g t h e l a t t e r i n t o E q s . ( 3 .4 ) a n d (3 . 5) a n d a p p l y i n g t h e i n v e r s i o n

f o r m u l a s ( 1 .8 ) , w e o b t a i n a f t e r s o m e t r a n s f o r m a t i o n s t h e e x p r e s s i o n s f o r ~ e s t r e s s e s i n t h e f o r m o f t h e

i n t e g r a l s

peo

a - - 2 ~ i r- - - ? [ (Dca + Msx) e"~ + (Nc~ + Qs2) e - .O l p (p - - 1 ) 2air [ (Rsx - - Kq ) e"~ § 2 W Us2)e - ' l [ - - / - -\ r ] pL) L)

a o = ~ [ (D c os v0 + M s in v0) e~0 + (N cos v0

L)

S1- Q s in v0) e - ~ dp + ~ --~ [ (R s in v0

L)

9 K c o s v O ) e ~ O + ( U s i n v O + K c o s v O ) e -"O l P ( p - - 1 ) d p ; ~ ,o =

L )

+ QY2) e--u~ o (p _ 1) dp + ~ f -A [ (Rg l - - Kx~) e"~ + (Uy 2 + K x I) e - ~ ~ - 7 - ]a ~p -e-'~

H e r e

D = h -}- 2052 cos~ va; K = 2u s in2 va;

M = v (bxSx s in 2on -- 2uric) + q + 4u2co;

N = v261 - n ; U -----v (v6x c os 2va - - ~ ) ; Q = 2uv~61 ~ b~v-lU;

R - -- v [2 u ( 6 = - - c o s 2 w ) - - v 6~ s i n 2 w l ;

c t. ~ = y l a e o s v 0 - - 2 b , a s i n v O ; s~ ,2 = yt ,2 s in v0 -{- 2bi ,2 cos re ;

1 2 4 9

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x ~ , 2 = u l . 2 c o s v O - - v s i n v O ; .t]~,2 = ul,2 si n vO + v cos vO;

n = u ( 2 u , s in ~ v a - - o si n 2 v a ) + v ̀ ; h = u ( 2 u ~ s i n ` v a - - v s i n 2 v a ) - - v ;

q = 2 u u l v c o s 2 v a ; X = usi n2 va q- v; 61,2 = c h 2 u a - - l - s h 2 u a ;

(o = u sin 2 v a - - v sin gva; A = 4 (v' sh '̀ ua - - u ~s in ' va).

T h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n

v'` sh'`ua - - u ̀ sin'`va = 0

c a n b e t a b u l a t e d , w h i c h a l l o w s o n e t o d e t e r m i n e t h e s t r e s s e s w i t h t h e a i d o f t h e r e s i d u e t h e o r e m . T h e c a s e o f a

c o n c e n t r a t e d f o r c e , a p p l i e d a t t h e v e r t e x o f t h e e d g e , i s c o n s i d e r e d i n [4 , 5 ] .

T h u s , t h e a p p l i c a t i o n o f t h e M e l l i n i n t e g r a l t r a n s f o r m i s a n e f f i c i e n t m e t h o d f o r th e s o l u t i o n o f a

s e r i e s o f p r o b l e m s o f t h e p l a n e t h e o r y o f e l a s t i c i t y f o r a n o n h o m o g e n e o u s w e d g e .

L I T E R A T U R E C I T E D

1 . V . M . A b r a m o v , ~ T h e d i s t ri b u t io n o f s t r e s s e s i n a p l a n e u n b o un d e d w e d g e u n d e r a n a r b i t r a r y l o a d ,

P r o c e e d i n g s o f t h e C o n f e r e n c e o n t h e O p t ic a l I n v e s ti g a t i o n o f S t r e s s e s [ in R u s s i a n ] , O N T I , M o s c o w

1937).2 . I . B a b u s k a , M . P r a g e r , a n d ]~ . V i t a s e k , N u m e r i c a l P r o c e s s e s i n D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s , I n t e r -

s c i e n c e , L o n d o n - N e w Y o r k - S y d n ey ( 19 6 6) .

3 . L . I . D y a t l o v i ts k i i a n d E . D . L e m b e r g , ~ T h e p l a n e p r o b l e m w it h c e n t r a l s y m m e t r y f o r a b u i l t- u p

b o d y w i t h a v a r i a b l e m o d u l u s o f e l a s t i c i t y , w P r i k l . M e k h a n . , 4 , N o . 8 ( 1 96 8 ).4 . G . B . K o l c h in , wT h e p l a n e p r o b l e m o f t h e t h e o r y o f e l a s t i e i t y T o r a n o n h o m o g e n e o u s w e d g e , w I z v .

A k a d . N a u k S S S R, M e k h a n i k a T v e r d o g o T e l a , N o . 3 , ( 1 9 7 1 ).

5 . G . B . K o l e h in a n d V . V . L a p e n k o , wT h e p l a n e p r o b l e m o f t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y f o r a w e d g e t h e

m o d u l u s o f e l a s t i c i t y o f w h i c h d e p e n d s o n t h e r a d i u s a n d on th e p o l a r a n g l e, ~ C o l l e c t e d W o r k s o f t h e

K i s h i n e v P o l y t e c h n i e a l I n s t i t u t e [ in R u s s i a n ] , N o . 2 1 ( 1 9 7 0 ).

6 . S , G . L e k h n i t s k i i , W T h e p l a n e p r o b l e m o f t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y f o r a m e d i u m p o s s e s s i n g c y l i n d r i c a l

a n i s o t r o p y a n d a v a r i a b l e m o d u l u s o f e l a s t i c i t y , n I n z h e n e r n y i Z h u r n a l , M e k h a n . T v e r d o g o T e l a , N o . 1

( 1 9 6 7 ) .

7 . A . I . L u r ' e a n d ] 3. Z . B r a c h k o v s k i i , n T h e s o l u t io n o f t h e p l a n e p r o b l e m o f t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y

f o r a w e d g e , n T r u d y L e n i n g r . P o l i t e k h n . I n s t . , N o . 3 ( 19 4 1} .

8 . A . P . M i s h i n a a n d I . V . P r o s k u r y a k o v , H i g h e r A l g e b r a . L i n e a r A l g e b r a, P o l y n o m i a l s , G e n e r a l

A l g e b r a [ in R u s s i a n ] , F i z m a t g i z , M o s c o w ( 19 6 2 ).

9 . Y a . S . U f l y a n d, I n t e g r a l T r a n s f o r m s in P r o b l e m s o f t h e T h e o r y o f E l a s t i c i t y [ in R u s s i a n ] , N a n k a ,

L e n i n g r a d ( 1 9 6 7 ) .

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