TEOREMA-TEOREMA LINGKARAN

WELCOME TO OUR PRESENTATION

GEOMETRI BIDANG DAN RUANG

CIRCLE(LINGKARAN)

WE ARE FROM 5 GROUP

HANIFAH MUSLIMAH

NUR HAFIZAH

VEBY ANGGRIANI

PENDIDIKAN MATEMATIKA

KOMPETENSI BAB 7(CIRCLE)

A. BASIC TERM(SYARAT DASAR LINGKARAN)

B. TANGENTS(GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN)

C. ARC AND CENTRAL ANGLES(BUSUR DAN SUDUT PUSAT)

D. ARC AND CHORD(BUSUR DAN TALI BUSUR)

E. INSCRIBED ANGLES(MENENTUKAN SUDUT PADA LINGKARAN)

F. OTHER ANGLES(SUDUT LAIN)

G. CIRCLE AND LENGTHS OF SEGMENT(LINGKARAN DAN PANJANG TEMBERENG)

CIRCLE(LINGKARAN)

LINGKARAN ADALAH HIMPUNAN SEMUA TITIK DALAM BIDANG YANG DIBERI JARAK DARI TITIK TERTENTU DALAM SUATU BIDANG.

A.BASIC TERMS(SYARAT DASAR)

1. TITIK O DISEBUT PUSAT LINGKARAN

2. JARI-JARI LINGKARAN

3. DIAMETER ATAU GARIS TENGAH

4. BUSUR LINGKARAN

5. TALI BUSUR

6. APOTEMA

7. JURING ATAU SECTOR

8. TEMBERENG

B.TANGENT(GARIS SINGGUNG)

SEBUAH GARIS SINGGUNG LINGKARAN ADALAH GARIS YANG TERLETAK PADA BIDANG LINGKARAN DAN MENYINGGUNG LINGKARAN DI TEPAT SATU TITIK YANG DISEBUT TITIK SINGGUNG

A BC

TEOREMA 1

• JIKA GARIS BERSINGGUNGAN DENGAN LINGKARAN, DAN KEMUDIAN GARIS TEGAK LURUS DENGAN JARI-JARI DITARIK KE TITIK SINGGUNG.

• DIBERIKAN: GARIS T BERSINGGUNGAN DENGAN LINGKARAN O PADA TITIK X.

• MEMBUKTIKAN: OX TEGAK LURUS DENGAN T.

t

O

X Y

KONSEKUENSI: GARIS SINGGUNG LINGKARAN DARI TITIK YANG SAMA

KONSEKUENSI MEMBERITAHU KITA BAHWA JIKA PX AND PY ADALAH GARIS SINGGUNG UNTUK LINGKARAN O PADA X DAN Y,KEMUDIAN PX=PY.UNTUK MEMBUKTIKAN KONSEKUENSI,LIHAT LATIHAN 7.

. O

Y

X

P

TEOREMA 2

• .

JIKA GARIS PADA BIDANG LINGKARAN TEGAK LURUS TERHADAP JARI-JARI PADA TITIK AKHIR LUARNYA, MAKA GARIS BERSINGGUNGAN DENGAN LINGKARAN.

DIBERIKAN:GARIS M TERLETAK PADA BIDANG LINGKARAN P.M GARIS SINGGUNG UNTUK LINGKARAN P.

MEMBUKTIKAN:M ADALAH GARIS SINGGUNG UNTUK LINGKARAN P.

P Z

m

BARIS YANG BERSINGGUNGAN DENGAN MASING-MASING DUA LINGKARAN COPLANAR DISEBUT GARIS SINGGUNG

UMUM.

GARIS SINGGUNG INTERNAL YANG UMUM MEMOTONG RUAS GARIS YANG MENGHUBUNGKAN PUSAT-PUSAT

• .

GARIS SINGGUNG EKSTERNAL UMUM TIDAK MEMOTONG RUAS GARIS YANG MENGHUBUNGKAN PUSAT-PUSAT.

• .

3.BUSUR DAN SUDUT PUSAT

• ADA 3 JENIS DARI BUSUR

SEMICIRCLE

ABC

DIAMETERA C

B

BUSUR KECIL

B

C

BUSUR BESAR

B

C

D

UKURAN SETENGAH LINGKARAN ADALAH 180.UKURAN DARI BUSUR BESAR DITEMUKAN SEPERTI YANG

DITUNJUKKAN.

• SETENGAH LINGKARAN BUSUR ABC=ADC=180

• BUSUR BESAR:BUSUR BDC=360-BUSUR BC=360-110=250

A

B

C

D

B

C

110°

D

7.4 ARCS AND CHORDS (BUSUR DAN TALI BUSUR)

ARC:

• Consists of two points on a circle and all points needed to connect the points by a single path.

(Terdiri dari dua titik pada lingkaran dan semua poin yang diperlukan untuk menghubungkan titik-titik dengan jalur tunggal.)

• The center of an arc is the center of the circle of which the arc is a part.

(Pusat busur adalah pusat lingkaran yang mana busur merupakan bagian dari lingkaran tersebut.)

P

A

BC

Central Angle : An Angle whose vertex is at the center of the

circleMinor ArcMajor Arc

Less than 180°

More than 180°

ABACB

To name: use 2 letters

To name: use 3 letters

<APB is a Central Angle

MINOR ARC:

• An arc whose points are on or between the side of a central angle.

• Central angle apb determines minor arc ab.

• Minor arcs are named with two letters.

MAJOR ARC:

• An arc whose points are on or outside of a central angle.

• Central angle cqd determines major arc cfd.

• Major arcs are named with three letters

(cfd).

P

E

F

D

Semicircle: An Arc that equals 180°

EDF

To name: use 3 letters

EF is a diameter, so every diameter divides the circle in half, which divides it into arcs of

180°

THEOREMS ABOUT CHORD OF CIRCLE

THEOREMS 7.3

IN A CIRCLE OR IN CONGRUENT CIRCLES, TWO MINOR ARCS ARE CONGRUENT IF AND ONLY IF THEIR CORRESPONDING CHORDS ARE CONGRUENT.

PROOF Write a proof.

Prove:

Given:

is a semicircle.

Proof:Statements Reasons

1. 1. Given

is a semicircle.

5. Def. of arc measure5.

2. Def. of semicircle2.

3. In a circle, 2 chords are , corr.

minor arcs are .

3.

4. Def. of arcs4.

Answer:Statements Reasons

6. 6. Arc Addition Postulate

7. 7. Substitution

8. 8. Subtraction Property and simplify

9. 9. Division Property

10. 10. Def. of arc measure

11. 11. Substitution

THEOREMS 7.4

IN A CIRCLE, IF A DIAMETER IS PERPENDICULAR TO A CHORD, THEN IT BISECTS THE CHORD AND ITS ARC.

Circle W has a radius of 10 centimeters. Radius is perpendicular to chord is perpendicular to chord which is 16 centimeters long.

If find

Since radius is perpendicular to chord

Arc addition postulate

Substitution

Substitution

Subtract 53 from each side.

Answer: 127

7.5 INSCRIBED ANGLES

Inscribed angle: an angle whose vertex lies on a circle and whose sides are chords of the circle (or one side tangent to the circle).

.ABC is an inscribed angleO

B

A

C

DExamples:

14

2 3

No! No!Yes! Yes!

THEOREMS 7.6

(INSCRIBED ANGLE THEOREM):The measure of an inscribed angle equals ½ the measure of its intercepted arc (or the measure of the intercepted arc is twice the measure of the inscribed angle).

Z

55

A

C

B

D

2

mABm ABC

An angle formed by a chord and a tangent can be considered

an inscribed angle.

In and Find the measures of the numbered angles.

EXAMPLE 1:

Arc Addition Theorem

Simplify.

Subtract 168 from each side.

Divide each side by 2.

First determine

EXAMPLE 1:

So, m

EXAMPLE 1:

Answer:

EXAMPLE 1:

Corollary 1:

If two inscribed angles intercept the same arc, then they are congruent.

mDAC mCBD

Given:

Prove:

EXAMPLE 2:

Proof: Statements Reasons

1. Given1.

2. 2. If 2 chords are , corr. minor arcs are .

3. 3. Definition of intercepted arc

4. 4. Inscribed angles of arcs are .

5. 5. Right angles are congruent

6. 6. AAS

EXAMPLE 2:

COROLLARY 2 :

If a quadrilateral is inscribed in a , then its opposite s are supplementary.

I.E. Quadrilateral ABCD is inscribed in O,

thus A and C are

supplementary and B and

D are supplementary.

D

A

C

BO

ALGEBRA Triangles TVU and TSU are inscribed in with Find the measure of each numbered angle if

and

EXAMPLE 4:

are right triangles. since theyintercept congruent arcs. Then the third angles of the triangles are also congruent, so .

Angle Sum Theorem

Simplify.

Subtract 105 from each side.

Divide each side by 3.

EXAMPLE 4:

Use the value of x to find the measures of

Given Given

Answer:

EXAMPLE 4:

COROLLARY 3 :

If an inscribed intercepts a semicircle, then the is a right .

i.E. If AC is a diameter of

then the mabc = 90°.

o

THEOREMS 7.7

Tangent angle

A tangent is a line that just touches a circle at

One point.It always forms a right angle with the

Circle's radius.

“An angle formed by a chord and

A tangent is equal to half

The intercepted arc”

7.6 OTHER ANGLES

THEOREM 7.8 An angel formed by two chords intercecting inside a circicle is equal to half the sum of the intercept arcs

THEOREM 7.9An anngel formed by two secant, two tangents, or by a secant and a tangent drawn from a point outside a circle is equal to half the diffrence of the intercepted arcs.

SUDUT PADA LINGKARANHUBUNGAN ANTARA SUDUT PUSAT DAN BUSURNYA

Sebuah sudut yang titik sudutnya titik pusat sebuah lingkaran disebut sudut pusat.

Jika 2 buah sudut pusat sebuah lingkaran sama besar, maka busur tempat sudut-sudut itu berdiri sama pula besarnya.

Derajat sudut dan derajat busur sebuah sudut pusat sama

besarnya dengan besar tempat duduk pusat itu berdiri.

SUDUT YANG DIBENTUK 2 BUAH TALI BUSUR Ada 3 jenis sudut yang dibentuk oleh 2 buah tali busur, yaitu :

1. Sudut tepi (sudut keliling), yaitu sudut yang dibentuk oleh 2 buah tali busur yang berpotongan pada lingkaran.2. Sudut tepi dalam (sudut dalam keliling), yaitu sudut yang dibentuk oleh 2 buah tali busur yang berpotongan didalam lingkaran.3. Sudut tepi luar (sudut luar keliling), yaitu sudut yang dibentuk oleh 2 buah tali busur yang berpotongan diluar lingkaran.

POINT O LIES

INSIDE < ABC

THEOREM 7.10When two chords intersect inside a circle, the product of the segment of one chord equals the product of the segment of the other

THEOREM 7.11When to secants are drawm to a circle from outside point, the product of one secant and is exsternal segment equals the product of the other secant adn its exsternal segment

THEOREM 7.12

When a tangent and a secant are drawn to a circle from outside point, the squeare of the tangent is equal to the product of the secant and its exsternal segment

HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, LUAS JURING,

DAN LUAS TEMBERENG

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat

lingkaran. Pada gambar di bawah, sudut AOB = α adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah arsiran OAB disebut juring OAB. Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari hubungan antara sudut

pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuah lingkaran.

HUBUNGAN ANTARA SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING

ADALAH SEBAGAI BERIKUT.  

Jadi, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding

lurus dengan besar sudut pusatnya. 

Sekarang perhatikan gambar di atas tersebut. Dari gambar

tersebut diperoleh 

Sekarang, misalkan ∠ COD = satu putaran penuh = 360° maka keliling lingkaran = 2πr, dan luas lingkaran =

πr2 dengan r jari-jari, akan tampak seperti gambar di atas, sehingga

diperoleh

Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng AB pada gambar di atas adalah :

panjang busur AB = (α/360°) x 2πrluas juring OAB = (α/360°) x πr2

luas tembereng AB = luas juring OAB – luas Δ AOB.

THAT’S ALL FROM US

GROUP 5

THANK YOU VERY MUCH FOR ATTENTION