Statistika: Peluang

PELUANG

Ruang ContohIstilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang membangkitkan dataContoh: melempar mata uang (hasil sisi gambar atau angka)

Ruang contoh: Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan. Lambang SSetiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang contoh disebut unsur atau anggota ruang contoh atau disingkat titik contoh

S bagi percobaan pelemparan uang logam adalah: S ={G, A}

S bagi percobaan pelemparan dadu bersisi enam adalah: S1 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} tetapi jika hanya tertarik pada munculnya angka ganjil dan genap maka S2 ={Ganjil, Genap}

S ={x I x adalah kota berpenduduk lebih dari 1 juta jiwa}

Kejadian

Kejadian : Suatu himpunan bagian dari ruang contoh

Contoh: Bila diketahui ruang contoh S = {t|t ≥ 0}, sedangkan t adalah umur (tahun) komponen elektronik tertentu, maka kejadia A yaitu komponen tersebut rusak sebelum akhir tahun ke lima dapat dinyatakan sebagai himpunan A = {t|0 ≤ t < 5}. Himpuna A merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S.

Kejadian sederhana dan kejadian majemuk:kejadian sederhana, bila suatu kejadian hanya terdiri dari satu titik contoh, Kejadian majemuk merupakan gabungan dari beberapa kejadian sederhana.

Contoh:Kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52 helai) kartu bridge dapat dinyatakan sebagai A = {hati} yang merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S = {hati, sekop, klaver dan wajik}. A adalah kejadian sederhana. Kejadian B yaitu terambilnya kartu berwarna merah merupakan kejadian majemuk, karena B = {hati U wajik} = {hati, wajik}

Mencacah Titik Contoh

Dalil 1. Kaidah penjumlahan: Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan bila setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1n2 cara

Contoh: Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyaknya titik contoh dalam ruang contohnya.Jawab: 6 x 6 cara = 36 cara

Dalil 2. Kaidah penggandaan umum: Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan bila setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama operasi ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara, dan demikian sterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1n2…nk cara

Contoh:Berapa macam menu makan siang yang terdiri dari Sup, sandwich, desert dan minuman yang dapat terpilih dari 4 macam sup, 3 jenis sandwich, 5 desert dan 4 minuman?Jawab:(4)(3)(5)(4) = 240.

Permutasi: Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari suatu kumpulan benda

Contoh: 3 huruf = a, b dan c. Kemungkinan permutasinya adalah: abc, acb, bac, cab, cba, dan bca = 6 susunan: 3 pilihan untuk posisi pertama, 2 pilihan untuk posisi kedua dan 1 pilihan untuk posisi ketiga maka: (3)(2)(1) = 6 permutasi.

Dalil 3. Banyaknya permutasi n benda yang berbeda ada n!.

Banyaknya permutasi dari empat huruf a, b, c dan d adalah 4! = 24. Ambil 2 huruf dari 4 huruf tersebut: ada 2 posisi yaitu: 4 pilihan untuk posisi pertama dan 3 pilihan untuk posisi kedua sehingga total terdapat (4)(3) = 12

)!(

!Pr

rn

nn

Dalil 4. Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah:

Contoh: Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua. Hitung banyaknya titik contoh dalam ruang contohnya:

380)19)(20()!220(

!20220

P

!!....!

!

21 knnn

n

1260!2!4!3

!9

Dalil 5. Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda, yang n1 diantaranya berjenis pertama dan n2 berjenis kedua, ....., nk berjenis ke- k adalah

Contoh: Berapa banyaknya susunan yang berbeda bila ingin membuat rangkaian lampu hias dari 3 lampu merah, 4 kuning dan 2 biru:Jawab:

)!(!

!

rnr

n

r

n

Dalil 7. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah

Contoh:Dari 4 orang anggota Partai X dan 3 orang Partai Y. Hitunglah banyaknya komisi yang terdiri dari 3 orang dengan 2 orang dari partai X dan 1 orang dari partai Y:

Banyaknya cara memilih 1 orang dari 3 orang partai Y

3)!13(!1

!3

1

3

Berdasarkan dalil 1. maka ditemukan komisi yang bisa dibentuk adalah (6)(3) = 18

Jawab: Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang di Partai X

6)!24(!2

!4

2

4

Peluang suatu kejadian

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik contoh dalam A. Dengan demikian:

0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ø) = 0 dan P(S) = 1

Contoh:Sekeping uang logam dilemparkan dua kali, berapa peluang sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali?

Bila mata uang setimbang maka setiap kejadian mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Dengan demikian diberikan peluang w yang sama untuk setiap titik contoh. Maka 4w = 1 atau w = ¼. Bila B adalah kejadian sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali maka P(B) = ¾

Jawab: Ruang contoh, S = {GG,GA,AG, AA}

Contoh:Sebuah dadu dibuat tidak setimbang sehingga peluang muncul bilangan genap 2 kali lebih besar peluangnya dari bilangan ganjil. Bila E adalah kejadian munculnya bilangan lebih kecil dari 4 pada satu kali lemparan dadu tersebut, hitunglah P(E).

Jawab: S = {1,2,3,4,5,6}. Untuk bilangan ganjil, peluangnya w dan genap 2w. Karena jumlah peluang sama dengan satu, maka 9w = 1 atau w = 1/9 jadi peluang sebesar 1/9 untuk bilangan ganjil dan 2/9 untuk bilangan genap, jadi

P(E) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9

Dalil 8. Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan masing2 mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, dan bila tepat n diantara hasil percobaan in menyusun A, maka peluang terjadinya A adalah:

N

nAP )(

Contoh:Hitunglah peluang memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge

Jawab: Banyaknya kemungkinan hasil percobaan adalah 52, dan 13 diantaranya adalah hati, maka peluang memperoleh kartu hati adalah

P(A) = 13/52 = ¼

6)!24(!2

!4

2

4

4)!34(!3

!4

3

4

Contoh:Dalam permainan poker dengan 5 kartu, hitunglah peluang salah seorang tertentu memperoleh 2 ace dan 3 jack.

Jawab:Banyaknya cara membagi 2 ace diantara 4 ace adalah:

dan banyaknya cara membagi 3 jack dari 4 jack adalah

960.598.2)!552(!5

!52

5

52

N

5109.0960.598.2

24)( xCP

Berdasarkan dalil 1. maka semuanya ada n = (6)(4) = 24 kemungkinan kartu dengan 2 ace dan 3 jack. Banyaknya kemungkinan keseluruhan adalah:

dan masing-masing berkemungkinan sama untuk terjadi. Maka, peluang untuk kejadian C mendapatkan 2 ace dan 3 jack adalah: