STATISTIKA DASAR DISTRIBUSI PELUANG Dosen Pembimbing: Ika Krisdiana. S. Si Disusun Oleh: Heri Cahyono (08411.145) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2009 BAB I STATISTIKA DASAR Page 0
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
STATISTIKA DASAR
DISTRIBUSI PELUANG
Dosen Pembimbing:
Ika Krisdiana. S. Si
Disusun Oleh:
Heri Cahyono (08411.145)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA
DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMIKIP PGRI MADIUN
2009
BAB I
PENDAHULUAN
Distribusi peluang dibedakan atas variabel acaknya. Diketahui variabel
acak (random variables) terdiri dari variabel acak diskrit dan variabel acak
STATISTIKA DASAR Page 0
kontinyu. Untuk data variabel acak diskrit dikenal distribusi peluang yang terdiri
dari : 1. Distribusi binomial 2. Distribusi Multinomial 3. Distribusi
Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson. Keempat distribusi peluang tersebut biasa
digunakan untuk mengetahui peluang dari data atau variabel acak diskrit. Sesuai
dengan tujuan perkuliahan, distribusi peluang diskrit ini tidak akan banyak
dijelaskan kecuali yang berhubungan dengan penggunaannya dalam kasus dengan
data variansi acak diskrit.
Variabel kontinyu adalah variabel random yang mempunyai nilai dalam
suatu interval tertentu. Contoh, kecepatan kendaraan per jam, tinggi badan
mahasiswa, besarnya pendapatan pekerja dll.
Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan untuk
setiap unsur dalam ruang sampel disebut variabel acak. Jika variabel x dan t
menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai x1, x2,....., xn dengan peluang
masing-masing p1, p2,....., pn, dimanap1 + p2 +.....+pn =1 dikatakan suatu
distribusi peluang diskrit untuk variabel acak x telah terdefinisi. Fungsi p(x) yang
mempunyai nilai masing-masing p1, p2,....., pn untuk x = x1, x2,....., xn disebut
fungsi peluang untuk variabel acak x, harga X = x. X yang memiliki peluang
bersifat variabel dan hanya memiliki harga 0,1,2 ... disebut variabel acak diskrit.
Contoh
Misalkan
sepasang dadu dilantunkan dan misalkan X menyatakan jumlah titik yang
diperoleh. Maka distribusi peluang diberikan sebagai berikut :
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(x
)
136
236
336
436
536
636
536
436
336
236
136
Misalnya, peluang memperoleh jumlah 5 adalah 4
36=1
9. Jadi dalam 900
pelantunan dadu kita mengharapkan 100 pelantun memberikan jumlah 5.
Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue.
STATISTIKA DASAR Page 1
Jika x sebuah variabel acak konstan, maka fungsi densitas (kepadatan), f(x) dapat
menghasilkan peluang untuk harga-harga x dan berlaku :
∫−∞
∞
f ( x ) dx=1
Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah :
P (a < x < b) =∫a
b
f ( x )dx
Contoh 1
Sebuah variabel acak kontinu x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4,
mempunyai fungsi densitas f(x) = x+1
8
a. Tunjukkan P (2 < X < 4) = 1
b. Hitung P (2 < X < 3) !
Penyelesaian :
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1 2 3 4
Grafik untuk fungsi, f(x) = x+1
8
Pada Gambar berupa trapesium maka luasnya sama dengan jumlah kedua sisi
yang sejajar dikalikan alasnya kemudian dibagi dua.
Luas = (Jumlah sisisejajar ) x alas
2
= (f (2 )+ f (4 ) ) (2 )2
Karena f(2) = 32
f(4)=58
STATISTIKA DASAR Page 2
Maka p (2 < x < 4) = ( 3
8+5
8)2
2 =1 Terbukti
b. Bahwa jika P (2 < X < 3) = (f (2 )+ f (3 ) ) (1 )
2 = ( 3
8+ 4
8 ) 12
= 7
16
atau dengan cara ∫2
3x+1
8
18
∫2
3
x+1
18 (1
2x2+x )
2
3
18
(( 92+3)−( 4
2+2))
18 (7
2 )7
16
1. DISTRIBUSI BINOMIAL
Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau
gagal dan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan Binomial atau
experiment Bernoulli, sehingga ciri-ciri percobaan Binomial adalah :
1. Percobaan terdiri atas n peristiwa
2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau
gagal
3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p
4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain
Karakteristik dari binomial distribution :
1. Grafiknya discontinuous (terputus-putus)
2. Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan n
3. Bentuknya simetris bila p = q atau p ≠ q asal n besar
STATISTIKA DASAR Page 3
Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatu
percobaan binom dan distribusinya peluangnya disebut Distribusi Binomial dan
nilai-nilainya dilambangkan dengan b (x; n, p).
Jika peluang keberhasilan “p” dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka
distribusi peluang untuk variabel acak binomial x yaitu banyaknya
keberhasilan dalam n peristiwa yang bebas adalah :
b (x; n, p) = (nx ) px (1−p )n−x
b (x; n, p) = (nx ) =
n!x ! (n−x )!
Keterangan :
b = distribusi binomial
x = banyaknya sukses
n = banyaknya ulangan bebas
p = peluang memperoleh sukses pada percobaan (ulangan) tunggal
Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit
b(x; n,p) = p (x) = P(X = x)
Parameter distribusi binomial adalah dan , dimana
= np dan
= √npq=√np(1−p).
Contoh 1
Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya
ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa
peluang bahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi
oleh keperluan uang untuk membeli ganja ?
Penyelesaian :
Diketahui p = 75 % = 0,75 q = 1 – p = 0,25
P (X = 2) = b (2; 4; 0,75) = (42)=¿ (0,75)² (0,25)² = 0,211
Jadi peluang yang ditanya adalah 0,211
STATISTIKA DASAR Page 4
Contoh 2
Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 5 kali. Berapa peluangnya bahwa dalam
5 kali pelambungan tersebut muncul mata dadu 2 sebanyak 3 buah ?
Penyelesaian :
p = peluang muncul mata dadu 2 pada satu pelambungan = 16
n = 5 (banyaknya pelambungan, banyaknya ulangan)
x = 3 (banyaknya muncul mata dadu 2 yang diharapkan)
P (X = 3) = b (3; 5, 16
)
= (53)(16)
3
(1−16 )
5−3
= (10) ( 1216 ) ( 25
36 ) =
2507776
= 0,032
Contoh 3
10% dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. sebuah sampel
berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan
berisikan benda kategori A:
a. semuanya
b. sebuah
c. dua buah
d. paling sedikit sebuah
e. paling banyak dua buah
f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A
Penyelesaian :
a. Kita artikan X = banyak benda kategori A. Maka π = peluang benda
termasuk kategori A = 0,10
P (X = 30) = (3030) (0,10 )30 (0,90 )0 = 10−30
Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.
STATISTIKA DASAR Page 5
b. Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1
P (X = 1) = (301 ) (0,10 )1 (0,90 )29 = 0,1409
Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0,1409
c. Di sini X = 2, sehingga :
P (X = 2) = (302 ) (0,10 )2 (0,90 )28 = 0,2270
d. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1, 2, 3,… , 30.
Jadi, perlu P (X = 1) + P (X = 2) + …. + P (X = 30). Tetapi P (X = 0) + P (X
=1) + … + P (X = 30) = 1, sehingga yang dicari adalah 1 – P 9X = 0)
Sekarang P (X = 0) = (300 ) (0,10 )0 (0,90 )30 = 0,0423
Peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A
adalah 1 – 0,0423 = 0,9577
e. Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti X = 0, 1, 2. Perlu dicari
P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2). Di atas, semuanya ini telah dihitung.
Hasilnya = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270 = 0,4102
f. Didapat p = 30 (0,1) = 3
Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam
setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.
2.1.2 DISTRIBUSI MULTINOMIAL
Jika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali, peristiwa E1, x2 peristiwa
E2, ... xk peristiwa Ek diantara n, ditentukan oleh distribusi multinomial.
Jika pada satu percobaan tunggal dapat menghasilkan k kejadian
E1, E2, E3, …, E k dengan peluang berturut-turut P1, P2, P3, …, Pk, maka
peluang untuk mendapatkan x1 kejadian E1, x2 kejadian E2, x3 kejadian E3,