Renato Betti – Politecnico di Milano
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Renato Betti – Politecnico di Milano
Galois e il concetto di gruppo
Évariste Galois (1811-1832)
Pristem, Padova 12 aprile 2013
Renato Betti – Politecnico di Milano
Pregherai pubblicamente Jacobi o Gauss di dare il loro parere, non sulla verità ma sull’importanza dei teoremi.Dopo questo ci sarà, spero, qualcuno che troverà il suo profitto a decifrare tutto questo guazzabuglio.
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Risolubilità per radicali delle equazioni algebriche:
Renato Betti – Politecnico di Milano
… le frecce intere rappresentano generalizzazioni di varie costruzioni o risultati, mentre quelle tratteggiate rappresentano “ispirazioni”…
Renato Betti – Politecnico di Milano
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XVI secolo: Tartaglia, Cardano, Ferrari
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Renato Betti – Politecnico di Milano
XVI - XVII secolo: Viète, Girard, …
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Renato Betti – Politecnico di Milano
Newton: Arithmetica Universalis (1707)
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Renato Betti – Politecnico di Milano
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Ogni polinomio simmetrico si può esprimere univocamente come un polinomio nei polinomi simmetrici elementari.
Teorema fondamentale delle funzioni simmetriche
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t = r1 + α r2 + α2 r3
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Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)Joseph Louis Lagrange
01 2
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t 3=¿u3=¿
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Renato Betti – Politecnico di Milano
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)Joseph Louis Lagrange
t=𝒓 𝟏−𝒓 𝟐+𝒓 𝟑−𝒓 𝟒 t𝟐=¿¿u𝟐=¿¿¿v𝟐=¿¿
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t=𝒓 𝟏+𝜶𝒓𝟐+𝜶𝟐𝒓 𝟑+𝜶𝟑𝒓 𝟒+𝜶𝟒𝒓𝟓
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Teorema. Se è una funzione razionale in n indeterminate, a coefficienti noti, l’ordine del gruppo di isotropia I( ) di è un divisore di n! Inoltre è radice di un’equazione di grado n!/ |I( )| a coefficienti noti. Teorema (di Lagrange). In un gruppo finito, l'ordine di un sottogruppo è un divisore dell'ordine del gruppo.
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)Joseph Louis Lagrange
Esempio: 4321 rrrr (𝟏𝟐𝟑𝟒 )(𝟑𝟒𝟏𝟐)(𝟐𝟏𝟑𝟒 )(𝟒𝟑𝟏𝟐)(𝟏𝟐𝟒𝟑 )(𝟑𝟒𝟐𝟏)(𝟐𝟏𝟒𝟑 )(𝟒𝟑𝟐𝟏)
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Teorema. Se e ψ sono espressioni razionali in m indeterminate, e ψ assume n valori distinti sotto l'azione delle permutazioni di , allora ψ è radice di un'equazione di grado n, i cui coefficienti si esprimono razionalmente mediante .
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𝝍=(𝒓 𝟏+𝒓 𝟐 )−(𝒓 𝟑+𝒓 𝟒)
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)Joseph Louis Lagrange
4321 rrrr (𝟏𝟐𝟑𝟒 )(𝟑𝟒𝟏𝟐)(𝟐𝟏𝟑𝟒 )(𝟒𝟑𝟏𝟐)(𝟏𝟐𝟒𝟑 )(𝟑𝟒𝟐𝟏)(𝟐𝟏𝟒𝟑 )(𝟒𝟑𝟐𝟏)
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Esempio: 0433 xx
L’idea di Galois
𝒙𝟑−𝟑 𝒙−𝟒=(𝒙−𝒓 )(𝒙𝟐+𝒓𝒙+𝒓𝟐)
33 3232 r
Teorema (Ruffini, 1799, Abel, 1826)L’equazione generale di grado superiore al quarto non è risolubile per radicali.
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Il gruppo di Galois
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43211 rrrr
43212 rrrr
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Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux (1832-46)
Évariste Galois
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Renato Betti – Politecnico di Milano
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La connessione di GaloisMémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux
(1832-46)
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Teorema. è risolubile per radicali se e solo se, ampliando progressivamente il campo dei coefficienti con termini ausiliari v tali v p (con p primo) appartenga al precedente campo dei coefficienti, il gruppo si riduce all’identità.
0)( XP
)(PGalK
DefinizioneUn gruppo finito G si dice risolubile se esiste una catena di sottogruppi tale che:
Évariste GaloisMémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux (1832-46)
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Évariste Galois
… {id}
𝒙 2+𝑎𝒙+𝑏=0
+ q = 0)
Teorema (Ruffini, Abel)Il gruppo simmetrico S5 non è risolubile. Quindi l’equazione generale di quinto grado non è risolubile per radicali.
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… Jordan, Kronecker, Dedekind …
Esistenza dei “campi di spezzamento” delle equazioni: ),,,( 21 nrrrK
GalK(P) = AutK),,,( 21 nrrrK
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Teoria di Galois di Artin
estensione finita di Galois:KQ
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Se è un’estensione finita di campi, la connessione di Galois
stabilisce una corrispondenza biunivoca, che inverte l’ordine, fra il preordine dei campi intermedi e il preordine dei sottogruppi di .
KQ
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)(
QGalHKMQ KK
GalK
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Teorema fondamentale della teoria di Galois
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YU p ricoprimento di X
UU ~ ricoprimento universale di X
KQ UU ~
____________________________________________________________
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Il gruppo fondamentale
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