Rasporedi slucajnih velicina

1.2. RASPOREDI SLUČAJNIH VELIČINA

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

2

2

1

2

1)(

x

exf

x x

dxexF

2

2

1

2

1)(

Raspored verovatnoća neprekidne slučajne veličine X čija je funkcija gustine verovatnoća

za x(-, ), naziva se Normalna raspodela ili Laplas-Gausova raspodela

Funkcija raspodele

)(xF je oblika

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Funkcije gustine verovatnoća različitih normalnih rasporeda ( 1 2 3 i 1 2 3 ).

Normalna raspodela se simbolično prikazuje u obliku

),(~ 2NX

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Funkcije gustine verovatnoća različitih standardnih devijacija ( 1 = 2 = 3 =0 i 1 2 3 ).

Parametar verovatnoća a ne utiče na njen položaj.

karakteriše oblik krive funkcije gustina

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Za slučajne greške merenja Xmogu se odrediti njihove standardizovane slučajne veličine

X

t

odnosno važi

t

0 1Slučajna veličina t sledi Normalni raspored sa

parametrima

.

koji se naziva standardizovani Normalni raspored verovatnoća

)1 ,0(~ Nt

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Funkciju gustine verovatnoća je oblika

2

2

2

1)(

t

etf

a funkcija raspodele

dtetFt

t p

2

1)( 2

0

2

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Funkcija gustine verovatnoća standardizovane Normalne raspodele.

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Za određivanje verovatnoće pojave slučajne veličine t u nekom intervalu može se koristi Laplasova funkcija

2 2

2 2

2

2 2

2 20

1 22 1

2 2

t tt t

t

P t t t e dt e dt F t

0

f(t)oblast poverenjakriticna oblast kriticna oblast

t t

[ [-oo, -t t

-t

, + oo ]]

Laplasova funkcija.

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPOREDInterval poverenja za

t je

2/2/ ttt Ili za matematičko očekivanje

2/2/ txtx

Iz Laplasovih tablica može se za usvojenu vrednost verovatnoće (po argumentu p) odrediti argument odnosno interval u kome se nalazi slučajna veličina

2/2/ , ttt

2/t

ili obratno, iz istih tablica, po argumentu 2/t

odredi varovatnoća p.

može da se

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Verovatnoća pojave slučajne greške

sledi u obliku

)(2)()()( 2/2/2/2/ FtPtPttP ili 12/ ptP

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Podaci iz prethodne tabele mogu se napisati u sledećem obliku

683.011 pP 955.022 pP 997.033 pP

Odavde sledi da se retko javljaju slučajne greške čije su vrednosti veće od 3 i ovaj interval se često uzima kao gornja granica pojave slučajnih grešaka max=3 (pravilo tri sigme).

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Kriva slučajnih grešaka.

1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Raspored verovatnoća neprekidne dvodimenzionalne slučajne veličine (X, Y) čija je funkcija gustine

verovatnoća

2

2

2

2

2

)(2

)(

)1(2

1

212

1),( y

y

y

y

x

xxy

x

x

xy

yyxx

xyyx

eyxf

za x(-, ) i y(-, ), naziva se dvodimenzionalna Normalna raspodela

Funkcija raspodele ),( yxF je oblika

12

1),(

)(2

)(

)1(2

1

2

2

2

2

2

2

x y

yyxx

xyyx

dxdyeyxF y

y

y

y

x

xxy

x

x

xy

1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Dvodimenzionalni Normalni raspored.

1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

2

2

2

2 )()(

2

1

2

1),( y

y

x

xyx

yx

eyxf

ili u obliku

)()(),( yfxfyxf gde su funkcije:

2

2)(

2

1

2

1)( x

xx

x

exf

2

2)(

2

1

2

1)( y

yy

y

eyf

Ako su slučajne veličine X i Y međusobno nezavisne onda je

1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Kod dvodimenzionalnih slučajnih veličina, slučajne grešake merenja mogu se izraziti u obliku vektora slučajnih grešaka

y

x

y

x

y

x

ε

sa vektorom očekivanja

0μ

y

x

y

x

E

E

)(

)(

i odgovarajućom kovarijacionom matricom

2

2

yxyyx

yxxyx

xK

1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Funkcija gustine verovatnoća postaje

εKε

x

1x

T

K

2

1

det2

1),( ef yx

gde su:

222 1det xyxx xK

2

2

2 1

1

1

1

yyx

xy

yx

xy

x

xy

1xK

) ,() ,(~ xx K0Kμε NN Ili simbolično

1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Raspored verovatnoća neprekidne n dimenzionalne slučajne veličine (X1 , X2 , ..., Xn ) čija je funkcija

gustine verovatnoća

x1

xT

x μxKμx

xK

2

1

21det2

1),...,,( exxxf nn

naziva se višedimenzionalna Normalna raspodela.

Parametri raspodele su

),(~ xx Kμx N

1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Slučajne grešake merenja mogu se izraziti u obliku vektora slučajnih grešaka

nnn x

x

x

22

11

2

1

xμxε

sa vektorom očekivanja

0μxμ x

nnE

E

E

E

2

1

)(

)(

)(

2

1

i odgovarajućom kovarijacionom matricom.

1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Funkcija gustine verovatnoća sada postaje

εKε

x

1x

T

K

2

1

21det2

1),...,,( ef nn

ili za nezavisne slučajne veličine, gde je

n

i i

i

12

2

εKε 1x

T

pa je funkcija oblika

2

2

12

2

2

1

2

1

21

212

1

2...

1),...,,( i

in

i i

i

eefn

i in

n

n

) ,() ,(~ xx K0Kμε NN gde je

1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED

Kada niz nezavisnih normiranih slučajnih veličina

X1, X2, ..., Xr

slede normalni raspored sa parametrima )1 ,0(~ NX

njihov zbir kvadrata slediće 2 raspored (hi -kvadrat) sa

r stepeni slobode

r

iirr xxxxX

1

2222

21

2 ... (0 2r < ).

Očekivanje i varijansa su:

rE r 2

rV r 222

1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED

22,r

kritičnaoblast

1

2, ,r

2f

oblastpoverenja

Funkcija gustine verovatnoća 2

rasporeda.

rasporeda.

rrX r 2 ,~ 2

1.2.5. STUDENTOV RASPORED1.2.5. STUDENTOV RASPORED

Slučajna veličina X

tY r

imaće Studentov t raspored sa r stepeni slobode ako:

1. slučajna veličina

2. slučajna veličina Y ima

)1 ,0(~ NX2

3. su slučajne veličine međusobno nezavisne.

Očekivanje i varijansa su:

0tE 2

2

r

rtV

1.2.5. STUDENTOV RASPORED1.2.5. STUDENTOV RASPORED

Funkcija gustine verovatnoća t rasporeda.

2 0~ σ,tt r

1.2.6. FIŠEROV RASPORED1.2.6. FIŠEROV RASPORED

Yr

Xr

r

Yr

X

F

1

2

2

1

Kada dve nezavisne slučajne veličine X i Y imaju hi-kvadrat

raspored sa r1 i r2 stepeni slobode, tada će novoformirana

slučajna veličina

imati Fišerov raspored sa r1 i r2 stepeni slobode.

1.2.6. FIŠEROV RASPORED1.2.6. FIŠEROV RASPORED

Funkcija gustine verovatnoća F rasporeda.