Rasporedi slucajnih velicina

1.2. RASPOREDI SLUČAJNIH VELIČINA

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

2

2

1

2

1)(

x

exf

x x

dxexF

2

2

1

2

1)(

Raspored verovatnoća neprekidne slučajne veličine X čija je funkcija gustine verovatnoća

za x(-, ), naziva se Normalna raspodela ili Laplas-Gausova raspodela

Funkcija raspodele

)(xF je oblika


Funkcije gustine verovatnoća različitih normalnih rasporeda ( 1 2 3 i 1 2 3 ).

Normalna raspodela se simbolično prikazuje u obliku

),(~ 2NX


Funkcije gustine verovatnoća različitih standardnih devijacija ( 1 = 2 = 3 =0 i 1 2 3 ).

Parametar verovatnoća a ne utiče na njen položaj.

karakteriše oblik krive funkcije gustina


Za slučajne greške merenja Xmogu se odrediti njihove standardizovane slučajne veličine

X

t

odnosno važi

t

0 1Slučajna veličina t sledi Normalni raspored sa

parametrima

.

koji se naziva standardizovani Normalni raspored verovatnoća

)1 ,0(~ Nt


Funkciju gustine verovatnoća je oblika

2

2

2

1)(

t

etf

a funkcija raspodele

dtetFt

t p

2

1)( 2

0

2


Funkcija gustine verovatnoća standardizovane Normalne raspodele.


Za određivanje verovatnoće pojave slučajne veličine t u nekom intervalu može se koristi Laplasova funkcija

2 2

2 2

2

2 2

2 20

1 22 1

2 2

t tt t

t

P t t t e dt e dt F t

0

f(t)oblast poverenjakriticna oblast kriticna oblast

t t

[ [-oo, -t t

-t

, + oo ]]

Laplasova funkcija.

1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPOREDInterval poverenja za

t je

2/2/ ttt Ili za matematičko očekivanje

2/2/ txtx

Iz Laplasovih tablica može se za usvojenu vrednost verovatnoće (po argumentu p) odrediti argument odnosno interval u kome se nalazi slučajna veličina

2/2/ , ttt

2/t

ili obratno, iz istih tablica, po argumentu 2/t

odredi varovatnoća p.

može da se


Verovatnoća pojave slučajne greške

sledi u obliku

)(2)()()( 2/2/2/2/ FtPtPttP ili 12/ ptP


Podaci iz prethodne tabele mogu se napisati u sledećem obliku

683.011 pP 955.022 pP 997.033 pP

Odavde sledi da se retko javljaju slučajne greške čije su vrednosti veće od 3 i ovaj interval se često uzima kao gornja granica pojave slučajnih grešaka max=3 (pravilo tri sigme).


Kriva slučajnih grešaka.

1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Raspored verovatnoća neprekidne dvodimenzionalne slučajne veličine (X, Y) čija je funkcija gustine

verovatnoća

2

2

2

2

2

)(2

)(

)1(2

1

212

1),( y

y

y

y

x

xxy

x

x

xy

yyxx

xyyx

eyxf

za x(-, ) i y(-, ), naziva se dvodimenzionalna Normalna raspodela

Funkcija raspodele ),( yxF je oblika

12

1),(

)(2

)(

)1(2

1

2

2

2

2

2

2

x y

yyxx

xyyx

dxdyeyxF y

y

y

y

x

xxy

x

x

xy


Dvodimenzionalni Normalni raspored.


2

2

2

2 )()(

2

1

2

1),( y

y

x

xyx

yx

eyxf

ili u obliku

)()(),( yfxfyxf gde su funkcije:

2

2)(

2

1

2

1)( x

xx

x

exf

2

2)(

2

1

2

1)( y

yy

y

eyf

Ako su slučajne veličine X i Y međusobno nezavisne onda je


Kod dvodimenzionalnih slučajnih veličina, slučajne grešake merenja mogu se izraziti u obliku vektora slučajnih grešaka

y

x

y

x

y

x

ε

sa vektorom očekivanja

0μ

y

x

y

x

E

E

)(

)(

i odgovarajućom kovarijacionom matricom

2

2

yxyyx

yxxyx

xK


Funkcija gustine verovatnoća postaje

εKε

x

1x

T

K

2

1

det2

1),( ef yx

gde su:

222 1det xyxx xK

2

2

2 1

1

1

1

yyx

xy

yx

xy

x

xy

1xK

) ,() ,(~ xx K0Kμε NN Ili simbolično

1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED

Raspored verovatnoća neprekidne n dimenzionalne slučajne veličine (X1 , X2 , ..., Xn ) čija je funkcija

gustine verovatnoća

x1

xT

x μxKμx

xK

2

1

21det2

1),...,,( exxxf nn

naziva se višedimenzionalna Normalna raspodela.

Parametri raspodele su

),(~ xx Kμx N


Slučajne grešake merenja mogu se izraziti u obliku vektora slučajnih grešaka

nnn x

x

x

22

11

2

1

xμxε

sa vektorom očekivanja

0μxμ x

nnE

E

E

E

2

1

)(

)(

)(

2

1

i odgovarajućom kovarijacionom matricom.


Funkcija gustine verovatnoća sada postaje

εKε

x

1x

T

K

2

1

21det2

1),...,,( ef nn

ili za nezavisne slučajne veličine, gde je

n

i i

i

12

2

εKε 1x

T

pa je funkcija oblika

2

2

12

2

2

1

2

1

21

212

1

2...

1),...,,( i

in

i i

i

eefn

i in

n

n

) ,() ,(~ xx K0Kμε NN gde je

1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED

Kada niz nezavisnih normiranih slučajnih veličina

X1, X2, ..., Xr

slede normalni raspored sa parametrima )1 ,0(~ NX

njihov zbir kvadrata slediće 2 raspored (hi -kvadrat) sa

r stepeni slobode

r

iirr xxxxX

1

2222

21

2 ... (0 2r < ).

Očekivanje i varijansa su:

rE r 2

rV r 222

1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED

22,r

kritičnaoblast

1

2, ,r

2f

oblastpoverenja

Funkcija gustine verovatnoća 2

rasporeda.

rasporeda.

rrX r 2 ,~ 2

1.2.5. STUDENTOV RASPORED1.2.5. STUDENTOV RASPORED

Slučajna veličina X

tY r

imaće Studentov t raspored sa r stepeni slobode ako:

1. slučajna veličina

2. slučajna veličina Y ima

)1 ,0(~ NX2

3. su slučajne veličine međusobno nezavisne.

Očekivanje i varijansa su:

0tE 2

2

r

rtV

1.2.5. STUDENTOV RASPORED1.2.5. STUDENTOV RASPORED

Funkcija gustine verovatnoća t rasporeda.

2 0~ σ,tt r

1.2.6. FIŠEROV RASPORED1.2.6. FIŠEROV RASPORED

Yr

Xr

r

Yr

X

F

1

2

2

1

Kada dve nezavisne slučajne veličine X i Y imaju hi-kvadrat

raspored sa r1 i r2 stepeni slobode, tada će novoformirana

slučajna veličina

imati Fišerov raspored sa r1 i r2 stepeni slobode.

1.2.6. FIŠEROV RASPORED1.2.6. FIŠEROV RASPORED

Funkcija gustine verovatnoća F rasporeda.

Rasporedi slucajnih velicina

Documents