Problema do caixeiro viajante

Problema do caixeiro-viajante(Traveling Salesman Problem)

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O Problema do caixeiro-viajante

•O problema do caixeiro-viajante

• Dado um grafo G(N) e N o número de nós deste grafo, o problema

consiste em percorrer o menor ciclo do grafo (Ghoseiri e Sarhadi, 2007)

• Sendo Cij o valor a percorrer entre dois nós, o custo é o somatório dos

valores entre os nós percorridos (Ghoseiri e Sarhadi, 2007)

Resumindo

• Visitar todos os nós, passando por cada um uma única vez e retornando ao nóde origem

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O Problema do caixeiro-viajante

• A quantidade de possibilidades consiste na permutação daquantidade de nós presentes no problema• Para n nós há (n-1)! caminhos possíveis

• Um problema NP-Completo• Problema de fácil compreensão e de difícil solução

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O Problema do caixeiro-viajante

• Abordagem ótima• Cálculo de custos de todos os trajetos possíveis e comparações entre eles

• Abordagens heurísticas e meta-heurísticas• Abordagens que tentam encontrar uma boa solução para o problema

• Algoritmos genéticos

• Algoritmos meméticos

• Entre outras estratégias

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Roteiro

• TSPLIB, formatos e leitura dos arquivos

• Gerar novos indivíduos

• Criar população inicial

• Escolha de indivíduo

• Operadores de cruzamento• Cruzamento em um ponto• Uniforme• Distance Preserving Crossover• Cycle Crossover

• Cálculo de custo total

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Biblioteca TSPLIB

• Biblioteca criada em 1990 por Reinelt

• Contém mais de 100 exemplos, variando de 14 a 85.900 cidades(Álvaro, 2006)

• Informações dos arquivos• Nome: identificação do arquivo

• Tipo: PCV

• Comentário: nome do criador ou contribuinte do problema

• Dimensão: número de nós do problema

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Biblioteca TSPLIB

• Tipo do peso da aresta: explicita o cálculo que deve ser feito para se ter a distância entre dois nós• explícito: não será necessário cálculo

• distância euclidiana, máxima ou manhatan (quarteirão)

• distância geográfica

• Formato das arestas: informa como estão dispostos os nós no arquivo, como eles devem ser lidos para criação da matriz de custos• Matriz completa

• Matriz triangular superior ou inferior• Com diagonal ou sem diagonal

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Biblioteca TSPLIB• Exemplo de arquivos da biblioteca TSPLIB

Exemplo 2 – Coordenadas geográficasExemplo 1 – Coordenadas explicita

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Biblioteca TSPLIB

• Com a leitura seguindo os critérios definidos pelo arquivo é montadaa matriz de custos

• Quando um cálculo é necessário para determinar o valor dos custos, o valor éaproximado segundo notação científica

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Biblioteca TSPLIB – Matriz de custos

• Com a devida leitura do arquivo, uma matriz de custos é gerada• Exemplo da matriz de custos

Alguns arquivos – que trazem os pesos diagonais da matriz – utilizam do valor 0 ou 9999 para simular a impossibilidade de ir de uma localidade a outra

0 1 2 3

0 0 2 5 4

1 2 0 36 15

2 5 36 0 13

3 4 15 13 0

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Gerar Novos Indivíduos

• Os novos indivíduos são representados por vetores, sendo que nestessão inseridos os valores que vão de 0 à dimensão do problema menosum

• Um valor não pode ser inserido no índice que lhe corresponde• Ex.: O valor 0 não pode ser inserido na primeira posição do vetor

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Gerar Novos Indivíduos

• Para um problema de dimensão 4

0 1 2 3 4 5 6 7

0 7 5 4 6 1 3 2

Índice

Isso implica ir do nó 0 para o nó 0, o que não condiz com o PCV

Também não são criadas conexões entre nós que pela matriz de custos não estãoconectados

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Gerar Novos Indivíduos

• Um novo indivíduo é gerado aleatoriamente, seguindo os seguintes

passos:

• Valores são escolhidos aleatoriamente

• Os rótulos dos nós são inseridos nas posições correspondentes aos valores

gerados anteriormente, seguindo as restrições anteriores

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Gerar Novos Indivíduos• Escolhendo aleatoriamente as posições 4, 0 e 7, inserimos os valores

0, 1 e 2 nestas posições, respectivamente

0 1 2 3 4 5 6 7

1 0 2

• Escolhemos a posição 3 para a inserção do valor 3...

0 1 2 3 4 5 6 7

1 3 0 2

... o que não pode ocorre. Então devemos escolher outra posição paraalocar o valor 3 e continuar o processo

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Gerar novos indivíduos

• Alguns arquivos da TSPLIB trazem arestas (conexões) entre nós pré-estabelecidas

• Assim, sempre que um arquivo trouxer a seçãoFIXED_EDGES_SECTION (seção de arestas fixas), alguns nós serãoinseridos no indivíduo de forma premeditada

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Escolha de Indivíduos

• Um indivíduo é escolhido aleatoriamente na população

• O mesmo indivíduo não pode ser escolhido para o mesmo processo

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Cálculo de Custo

• O cálculo é feito pela comparação do indivíduo com os valores contidos na matriz de custos

• Matriz de custos

0 1 2 3 4

0 0 2 5 4 12

1 2 0 36 15 21

2 5 36 0 13 7

3 4 15 13 0 17

4 12 21 7 17 0

0 1 2 3 4

1 3 0 4 2

Indivíduo

Tomando como ponto de partida os índices e o valor de destino

0 1 3 4 2 0

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Cálculo de Custo

Tomando como ponto de partida os índices e o valor de destino

0 1 3 4 2 0

0 1 2 3 4

1 3 0 4 2

0 1 2 3 4

0 0 2 5 4 12

1 2 0 36 15 21

2 5 36 0 13 7

3 4 15 13 0 17

4 12 21 7 17 0

2 + 15 + 17 + 7 + 5

Custo total = 46

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• Neste operador cada pai é dividido em um ponto escolhidoaleatoriamente, e separado em duas partes, e então suas partes sãocomutadas, gerando assim dois novos indivíduos

• Exemplo de cruzamento em um ponto para indivíduos binários

Pai 1 -

Pai 2 -

Cruzamento em um ponto

1 0 0 1 1 0 0 0

0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 1 0 0

Filho 1 -

Filho 2 -

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Cruzamento em um ponto

• Exemplo de cruzamento de um indivíduo decimal:

1 5 4 6 8 3 9 2 7

3 5 1 4 6 7 8 2 9 3 5 1 4 8 3 9 2 7

1 5 4 6 6 7 8 2 9

Filho 1 -

Filho 2 -

Pai 1 -

Pai 2 -

3 5 1 4 8 3 9 2 7

1 5 4 6 6 7 8 2 9

Os indivíduos não são válidos

Filho 1 -

Filho 2 -

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Cruzamento em um ponto

• Verificar se os possíveis filhos serão validos após o cruzamento

• Escolhemos a parte que contém o menor lado a partir do ponto de divisão e é feita a comparação entre as partes de ambos os pais

1 5 4 6 8 3 9 2 7

3 5 1 4 6 7 8 2 9Pai 1 -

Pai 2 - 1 5 4 6

3 5 1 4

Neste exemplo, os filhos não manterão a consistência

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Cruzamento em um ponto

1 5 4 3 8 6 9 2 7

3 5 1 4 6 7 8 2 9

3 5 1 4 8 6 9 2 7

1 5 4 3 6 7 8 2 9

Filho 1 -

Filho 2 -

Pai 1 -

Pai 2 - 1 5 4 3

3 5 1 4

Filhos válidos

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Cruzamento Uniforme

• Aleatoriamente um pai é escolhido para que um alelo seja herdado

• Se tal alelo já tiver sido herdado, parte-se para o outro pai

• Exemplo de cruzamento uniforme

1 5 4 6 8 3 9 2 7

3 5 1 4 6 7 8 2 9Pai 1 -

Pai 2 -

Escolhemos primeiro o Pai 2

1Filho -

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Cruzamento uniforme

1 5 4 6 8 3 9 2 7

3 5 1 4 6 7 8 2 9Pai 1 -

Pai 2 -

Em seguida os pais 2 e 1, respectivamente

1 5 1Filho -

Houve uma perda na factibilidade do filho, e assim é escolhido o alelo que estácontido no outro pai, Pai 2

1 5 4Filho -

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Cruzamento uniforme

Repete-se o procedimento até se completar o filho

1 5 4 6 8 3 9 2 7Filho -

1 5 4 6 8 3 9 2 7

3 5 1 4 6 7 8 2 9Pai 1 -

Pai 2 -

Se não for possível a escolha de um alelo de um dos pais, o cruzamento é abortado

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Cruzamento DPX (distance preserving crossover)

• Baseia-se na distância entre os pais, ou seja, no número de alelos diferentes entre os pais (D’Martin, 2002)

• Supondo dois pais tomados aleatoriamente, todos os alelos comuns aos dois pais são copiados para o filho

5 7 6 3 2 4 8 9 1

3 1 6 8 2 4 9 5 7Pai 1 -

Pai 2 -

6 2 4Filho -

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Cruzamento DPX (distance preserving crossover)

• Então os alelos restantes são armazenados

3 1 8 9 5 7Alelos restantes

• Posições aleatórias são escolhidas no filho para que os alelos restantes sejaminseridos, não podendo haver em algum dos pais um alelo igual ao que seráinserido no filho, na mesma posição

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Cruzamento DPX (distance preserving crossover)

3 1 8 9 5 7Alelos restantes

3 6 2 4Filho -

3 6 2 4 1Filho -

8 3 6 2 4 1Filho -

8 3 6 9 2 4 7 1 5Filho -

Filho resultante

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Cruzamento CX (Cycle Crossover)

• Primeiramente todos os alelos comuns a ambos os pais são copiadospara o filho

6 7 5 3 2 4 8 9 1

3 1 5 8 2 4 9 6 7Pai 1 -

Pai 2 -

5 2 4Filho -

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Cruzamento CX (Cycle Crossover)

• Um ponto – o qual no filho encontra-se vazio – e um pai sãoescolhidos aleatoriamente no início

6 7 5 3 2 4 8 9 1Pai 2 -

O alelo selecionado é inserido no filho na posição que corresponde ao paisorteado

5 3 2 4Filho -

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Cruzamento CX (Cycle Crossover)

• Então, o valor não selecionado (no outro pai) é inserido no filho, na posição que se encontra no pai sorteado anteriormente

6 7 5 3 2 4 8 9 1

3 1 5 8 2 4 9 6 7Pai 1 -

Pai 2 -

5 3 2 4 8 9Filho -

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Cruzamento CX (Cycle Crossover)

• O procedimento é repetido até que alguma posição já esteja ocupada

5 3 2 4 8Filho -

5 3 2 4 8 9Filho -

6 5 3 2 4 8 9Filho -

6 7 5 3 2 4 8 9 1

3 1 5 8 2 4 9 6 7Pai 1 -

Pai 2 -

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Cruzamento CX (Cycle Crossover)

• Então se busca pela posição vazia mais à esquerda, e é feita a trocados pais, atribuindo a esta posição o valor encontrado no pai atual

6 5 3 2 4 8 9 7Filho -

6 7 5 3 2 4 8 9 1

3 1 5 8 2 4 9 6 7Pai 1 -

Pai 2 -

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• Filho resultante

Cruzamento CX (Cycle Crossover)

6 1 5 3 2 4 8 9 7Filho -

6 7 5 3 2 4 8 9 1

3 1 5 8 2 4 9 6 7Pai 1 -

Pai 2 -

• O processo continua até que todo o filho tenha sido preenchido, inclusive com outras trocas entre os pais, se necessário

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Referências

• Thiago D’Martin Maia – 2002 – Uma Avaliação de Meta-heurísticaspara o Problema de Designação Quadrática

• Álvaro Nunes Prestes – 2006 – Uma Análise Experimental deAbordagens Heurísticas ao Problema do caixeiro-viajante.

• Keivan Ghoseiri, Hassan Sarhadi – 2007 – A memetic algorithm forsymmetric traveling salesman problem

• http://www.me.utexas.edu/~jensen/ORMM/models/unit/combinatorics/tsp.html

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