Probabilitas dan Statistika BAB 5 Distribusi Peluang Kontinu
Post on 05-Feb-2016
614 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
PROBABILITAS DAN
STATISTIKABAB 5
DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
PEMBAHASAN Distribusi Normal Luas di Bawah Kurva Normal Hampiran Normal terhadap Binomial Distribusi Gamma dan Eksponensial Distribusi Khi-Kuadrat Distribusi Weibull
DISTRIBUSI NORMALDistribusi suatu data dari sebuah
sample yang memiliki kurva normal (normal curve) yang berbentuk lonceng.
Ditemukan oleh Abraham DeMoivere (1733).
Sering disebut distribussi Gauss (Gaussian distribution)
DISTRIBUSI NORMAL Distribusi Normal, Fungsi Penuh peubah
acak normal X, dengan rataan µ dan variansi σ2 adalah
Dengan : 3,14159… dan e=2,71828…
KURVA NORMAL
KARAKTERISTIK KURVA NORMAL1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo)2. Kurva berbentuk simetris3. Kurva mencapai puncak pada saat
X= 4. Luas daerah di bawah kurva adalah
1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi kurva normal dengan sama dan
berbeda
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mMesokurtic Platykurtic
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi kurva normal dengan berbeda dan
sama
150 300 450
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi dengan dan yang berbeda
85 850
LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL Luas dibawah kurva normal dengan
batas x1=a dan x2 = b
a b x
LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL P(x1 < X < x2) =
=
Integral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang berisikan luas dibawah area kurva normal baku
dxxnx
x
),;(2
1
dxe xx
x
22
1
/)()2/1(
2
1
x
Z
CONTOH 1 Diketahui nilai mata kuliah
Probabilitas dan Statistika kelas C, berdistribusi normal dengan mean = 55 dan deviasi standar = 15. Tentukan nilai peluang a) 55 ≤ X ≤ 75b) 60 ≤ X ≤ 80X ≤ 40
Answer a) 55 < X < 75
P(55<X<75) =
=
= P(0 ≤Z ≤1,33)= 0,4082 ……(see table ….)
Atau
= 0,4082
b) P(60≤x≤80) =
= P(0,33≤Z≤1,67)= P(0≤Z≤1,67) –
P(0≤Z≤0,33)= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232atau :
Z1 = = 0,33 B = 0,1293
Z2 = = 1,67 A = 0,4525
C = A – B = 0,3232
c). P(x ≤ 40) = 0,5 – A = 0,5 – 0,3412 = 0,1588
CONTOH 2Tinggi badan mahasiswa UGM berdistribusi normal dengan rata-rata 165 cm dan deviasi standar 10 cm. Tentukan berapa problabilitas mahasiswa UGM dengan tinggi lebih dari 180 cm?
Answer:
P(180<X<)Z=X-/ 180-165/102,5Dengan tabel didapat bahwa peluangnya adalah : 0,9938 Maka besarnya peluangnya adalah 1 - 0,9938 = 0,0062
CONTOH 3Diketahui rata-rata hasil adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?
answer
HAMPIRAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Persamaan distribusi binomial
b(x;n,p)Review : = simpangan
= rataan
Distribusi Normal : = np dan
dengan q= (1-p)
x
Z
npq2
Hampiran normal paling berguna dalam perhitungan dengan nilai n yang besar
Ex: peluang yang tepat diberikan oleh
3564,0
)(60989,09662,0
)4,0;15;()4,0;15;(
)4,0;15;()97(
6
0
9
0
9
7
tablesee
xbxb
xbXP
xx
x
Untuk hampiran normal :x1= 6,5 dan x2 = 9,5
Selanjutnya =P(Z<1,85)-P(Z<0,26)=0,9678 – 0,6026=0,3652
Hasil ini mendekati dengan hasil yang sebenarnya
SOAL LATIHAN1. Peluang seorang mahasiswa sembuh
dari hepatitis A adalah 0,4. Bila ada 100 mahasiswa yang terkena penyakit ini, berapa peluang bahwa kurang dari 30 mhs yang sembuh.
2. Saat UM UGM terdapat 200 soal pilihan ganda dengan 4 pilihan dan hanya 1 pilihan yang benar. Seorang siswa mengerjakan soal tanpa membaca soal sedikitpun, berapa peluang siswa tadi menjawab 25 sampai 30 soal dengan benar untuk 80 dari 200 soal???
Penyelesaian :
Misal : peubah binomial X menyatakan banyaknya penderita yang sembuh,
Karena n = 100 maka
µ = np = 100 x 0,4
= 40
Dan
Untuk mendapatkan peluang yang dicari digunakan x= 29,5
Peluang ≤ 30 pasien yang sembuh dari 100 pasien :
P(X<30) ≈ P(Z < ─2.14) = 0,0162
DISTRIBUSI GAMMA DAN EKSPONENSIAL
Fungsi gamma didefinisikan sebagai:
Untuk
Jadi
Sifat penting fungsi gamma :
00
1 1 1x x( ) e dx e
(1) 1
0;)(0
1
untukdxex x
12
( )
Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan
Diperoleh
Maka
Jadi diperoleh
1 xx dan dv e dx 1 21
x x
u x du ( )x dx
v e dv e dx
1
0 0 0
1 2
00
2
0
1
1
1 1
x
x x
x
( )
( ) x e dx u dv uv v du
x e e ( )x dx
( ) e x dx ; untuk
1 1( ) ( ) ( )
Dengan formula (rumus) berulang diperoleh
:
: dan seterusnya
Jika dengan bilangan n bulat positif, maka
( )
( 2) ( 2)
( 3) ( 3)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1)( 2) ( 2) ( 1)( 2) ( 2)
( 1)( 2)( 3) ( 3)
n
1 2 3 1 1 1 1
1 2 3 1 1
1
(n) (n )(n )(n )......... . ( ) ;karena ( )
(n) (n )(n )(n )......... (n )!
atau
(n) (n )!
DISTRIBUSI GAMMA Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan
parameter dan , jika fungsi padatnya
berbentuk :
Distribusi gamma yang khusus dengan
disebut distribusi Eksponensial
110
0
x
x e ; xf(x) ( )
; x yanglain
1
DISTRIBUSI GAMMA
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x
f(x)
Distribusi Gamma
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk :
Rata-rata dan variansi distribusi gamma :
Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial :
10
0
0
x
e ; xf(x)
; x yanglain
dengan
2 2dan
2 2dan
CONTOH 4 Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya
tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi
eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal
Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem
yang berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih
akan berfungsi pada akir tahun ke delapan. Jawab:
Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi
setelah 8 tahun adalah: 81 5 55
8
8
0 2
tP(T ) e dt e
,
5
CONTOH 5Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi
proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit.
Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2
sambungan telepon masuk ke gardu tadiJawab:
Proses poisson berlaku dengan waktu sampai kejadian poisson
memenuhi distribusi gamma dengan parameter
Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang
berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah: 8
1 5 55
8
8
0 2
tP(T ) e dt e
,
15
2dan
KHI KUADRAT Distribusi ini adalah kasus spesial dari
distribusi gamma :
Lalu disubstitusi dengan :
Menjadi :
110
0
x
x e ; xf(x) ( )
; x yanglain
22v dan ;v bilangan bulat positif
12 2
21
02 2
0
v x
v /x e ; x
f(x) (v / )
; x yanglain
dengan vbilangan bulat positif
KHI KUADRAT Parameter V merupakan derajat
kebebasan
Rataan distribusi chi kuadrat :
Variansi distribusi chi kuadrat :
v
v22
DISTRIBUSI WEIBULLPerubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan
parameter
, jika fungsi padatnya berbentuk:
Jika maka distribusi weibull menjadi distribusi
eksponensial.
Jika maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai
kurva normal tetapi agak mencong.
1 0
0
0 0
xx e ; xf(x); x yanglain
dengan dan
1
1
dan
DISTRIBUSI WEIBULL
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
Distribusi Weibull
RATA-RATA DAN VARIANSI DISTRIBUSI WEIBULL
Rata-rata :
Variansi :
Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur misal misal panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.
1 1
22 2 2 1
1
1 1
/
/
( )
( ) ( )
top related