PPTCES029MT22-A15V1 Clase Proporcionalidad en la circunferencia MT-22.

PPTC

ES02

9MT2

2-A1

5V1

Clase

Proporcionalidad en la circunferencia

MT-22

Resumen de la clase anterior

Teorema de Euclides

hc2 = p · q

a2 = q · cb2 = p · c

hc = a ∙ b c

Aprendizajes esperados

• Aplicar la noción de semejanza a la relación entre las cuerdas en una circunferencia.

• Aplicar el teorema de cuerdas y propiedades asociadas a este.

• Aplicar la noción de semejanza a la relación entre secantes en una circunferencia.

• Aplicar el teorema de las secantes, de la secante y la tangente, y de las tangentes.

Pregunta oficial PSU

48. En la figura 14, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro?

A) 8B) 16 C) 9D) 16,6E) 24,6

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

OA B

C

fig. 14

1. Conceptos importantes2. Teoremas de proporcionalidad

Cuerda y secante

Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.

AB: Cuerda

B

A

AB: Secante

El diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y tiene la mayor longitud.

Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos, formando una cuerda.

1. Conceptos importantes

A: punto de tangencia

Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”.

O: centro de la circunferencia

OA ┴ L

OA: radio

LA

r

O

L: tangente

1. Conceptos importantes

Tangente

Si el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide el radio en dos segmentos llamados sagita y apotema.

O: centro de la circunferencia

OA: radio

D

CA

O

P

•

•

•

sagita

PA: sagita

OP: apotema

En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P.

CP = PD

apotema

1. Conceptos importantes

Sagita y apotema

DA

P

B

C

Sean AB y CD dos cuerdas que se intersectan en P, entonces:

AP ∙ PB = CP ∙ PD

2. Teoremas de proporcionalidad

Teorema de las cuerdas

DA

P

B

C

¿Cómo se relaciona el Teorema de las cuerdas con la semejanza de triángulos?

1° Tracemos las cuerdas AD y CB

2° El ángulo inscrito ADC es congruente con el ángulo inscrito ABC.

a

a3° El ángulo inscrito DAB es congruente

con el ángulo inscrito DCB.

b

b4° El ángulo APD es congruente con el

ángulo BPC.

g

g

Subtienden el mismo arco AC

Subtienden el mismo arco BD

Son opuestos por el vértice

Por lo tanto, ∆ APD CPB.

AP ∙ PB = CP ∙ PDLuego se cumple que es decir, PB

PD

CP

AP

Teorema de las cuerdas

2. Teoremas de proporcionalidad

PA ∙ PD = PB ∙ PC

A

B

P

C

D

2. Teoremas de proporcionalidad

Sean PA y PB dos secantes que se intersectan en P, entonces:

Teorema de las secantes

A

B

P

C

D

2. Teoremas de proporcionalidad

1° Tracemos las cuerdas AB y DC

¿Cómo se relaciona el Teorema de las secantes con la semejanza de triángulos?

2° En el cuadrilátero inscrito ABCD, se cumple que:

a

180° - ab g

180° - b

3° Lo anterior implica que

b

a

Por lo tanto, ∆ APB CPD.

PA ∙ PD = PB ∙ PC

ADC y CBA son suplementarios BAD y DCB son suplementarios

CDP = y PCD =

Luego se cumple que es decir, PD

PB

PC

PA

Teorema de las secantes

PA ∙ PD = PB ∙ PC

A

B

P

C

D

12

20

6

x

12 ∙ PD = 20 ∙ 6

12 ∙ PD = 120

PD = 10

En la figura, PA y PB son secantes. ¿Cuál es el valor de PD?

Ejemplo

Sean PA una tangente en A y PC una secante, que se intersectan en P. Entonces:

( PA )2 = PC ∙ PD

A

C

P

D

2. Teoremas de proporcionalidad

Teorema de la tangente y la secante

( PA )2 = PC ∙ PD

A

C

P

D

2. Teoremas de proporcionalidad

¿Cómo se relaciona el Teorema de la tangente y la secante con la semejanza de triángulos?

Al trazar las cuerdas AC y AD, se forman dos triángulos semejantes, APD y CPA.

PDA y APD , DAP Si

ab

g

γα CAP y PCA entoncesa

g

Luego se cumple que es decir, PA

PD

PC

PA

Teorema de la tangente y la secante

Sean PA y PC tangentes en A y en C, respectivamente, que se intersectan en P, entonces:

PA = PC

A

C

P

2. Teoremas de proporcionalidad

Teorema de las tangentes

PA = PC

2. Teoremas de proporcionalidad

¿Cómo se relaciona el Teorema de las tangentes y la congruencia de triángulos?

Al trazar los radios OA y OC, junto con OP, se forman dos triángulos congruentes por LLA.

A

C

P

O

r

rOP, es lado común (hipotenusa) de los triángulos OAP y OCP

90 PCO OAP

Por lo tanto, ∆OAP y

Teorema de las tangentes

8

5

7

c

AB

C

D

Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:

a + c = b + d

d

a

b

c

AB

C

D

5 + c = 7 + 8

c = 10

Ejemplo:

2. Teoremas de proporcionalidad

Cuadrilátero circunscrito

Pregunta oficial PSU

48. En la figura 14, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro?

A) 8B) 16 C) 9D) 16,6E) 24,6

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

OA B

C

fig. 14ALTERNATIVA

CORRECTA

B

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

1 A Geometría de proporción Aplicación

2 B Geometría de proporción Aplicación

3 D Geometría de proporción ASE

4 E Geometría de proporción Aplicación

5 B Geometría de proporción Aplicación

6 C Geometría de proporción ASE

7 C Geometría de proporción ASE

8 B Geometría de proporción Aplicación

9 D Geometría de proporción Aplicación

10 A Geometría de proporción Aplicación

11 D Geometría de proporción Aplicación

12 E Geometría de proporción Aplicación

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

13 B Geometría de proporción ASE

14 B Geometría de proporción Aplicación

15 C Geometría de proporción ASE

16 C Geometría de proporción Aplicación

17 E Geometría de proporción Aplicación

18 E Geometría de proporción Aplicación

19 D Geometría de proporción ASE

20 D Geometría de proporción ASE

21 A Geometría de proporción Aplicación

22 B Geometría de proporción ASE

23 C Geometría de proporción ASE

24 E Geometría de proporción ASE

25 C Geometría de proporción ASE

Síntesis de la clase

Circunferencia

Teoremas de proporcionalidad

cuerdas secantes tangentessecante ytangente

cuadrilátero circunscritoigualdad

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En la próxima sesión, realizaremosTaller de geometría de proporción

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