PPTCES029MT22-A15V1 Clase Proporcionalidad en la circunferencia MT-22.

PPTC

ES02

9MT2

2-A1

5V1

Clase

Proporcionalidad en la circunferencia

MT-22

Resumen de la clase anterior

Teorema de Euclides

hc2 = p · q

a2 = q · cb2 = p · c

hc = a ∙ b c

Aprendizajes esperados

• Aplicar la noción de semejanza a la relación entre las cuerdas en una circunferencia.

• Aplicar el teorema de cuerdas y propiedades asociadas a este.

• Aplicar la noción de semejanza a la relación entre secantes en una circunferencia.

• Aplicar el teorema de las secantes, de la secante y la tangente, y de las tangentes.

Pregunta oficial PSU

48. En la figura 14, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro?

A) 8B) 16 C) 9D) 16,6E) 24,6

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

OA B

C

fig. 14

1. Conceptos importantes2. Teoremas de proporcionalidad

Cuerda y secante

Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.

AB: Cuerda

B

A

AB: Secante

El diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y tiene la mayor longitud.

Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos, formando una cuerda.

1. Conceptos importantes

A: punto de tangencia

Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”.

O: centro de la circunferencia

OA ┴ L

OA: radio

LA

r

O

L: tangente


Tangente

Si el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide el radio en dos segmentos llamados sagita y apotema.

O: centro de la circunferencia

OA: radio

D

CA

O

P

•

•

•

sagita

PA: sagita

OP: apotema

En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P.

CP = PD

apotema


Sagita y apotema

DA

P

B

C

Sean AB y CD dos cuerdas que se intersectan en P, entonces:

AP ∙ PB = CP ∙ PD

2. Teoremas de proporcionalidad

Teorema de las cuerdas

DA

P

B

C

¿Cómo se relaciona el Teorema de las cuerdas con la semejanza de triángulos?

1° Tracemos las cuerdas AD y CB

2° El ángulo inscrito ADC es congruente con el ángulo inscrito ABC.

a

a3° El ángulo inscrito DAB es congruente

con el ángulo inscrito DCB.

b

b4° El ángulo APD es congruente con el

ángulo BPC.

g

g

Subtienden el mismo arco AC

Subtienden el mismo arco BD

Son opuestos por el vértice

Por lo tanto, ∆ APD CPB.

AP ∙ PB = CP ∙ PDLuego se cumple que es decir, PB

PD

CP

AP

Teorema de las cuerdas


PA ∙ PD = PB ∙ PC

A

B

P

C

D


Sean PA y PB dos secantes que se intersectan en P, entonces:

Teorema de las secantes

A

B

P

C

D


1° Tracemos las cuerdas AB y DC

¿Cómo se relaciona el Teorema de las secantes con la semejanza de triángulos?

2° En el cuadrilátero inscrito ABCD, se cumple que:

a

180° - ab g

180° - b

3° Lo anterior implica que

b

a

Por lo tanto, ∆ APB CPD.


ADC y CBA son suplementarios BAD y DCB son suplementarios

CDP = y PCD =

Luego se cumple que es decir, PD

PB

PC

PA

Teorema de las secantes


A

B

P

C

D

12

20

6

x

12 ∙ PD = 20 ∙ 6

12 ∙ PD = 120

PD = 10

En la figura, PA y PB son secantes. ¿Cuál es el valor de PD?

Ejemplo

Sean PA una tangente en A y PC una secante, que se intersectan en P. Entonces:

( PA )2 = PC ∙ PD

A

C

P

D


Teorema de la tangente y la secante

( PA )2 = PC ∙ PD

A

C

P

D


¿Cómo se relaciona el Teorema de la tangente y la secante con la semejanza de triángulos?

Al trazar las cuerdas AC y AD, se forman dos triángulos semejantes, APD y CPA.

PDA y APD , DAP Si

ab

g

γα CAP y PCA entoncesa

g

Luego se cumple que es decir, PA

PD

PC

PA

Teorema de la tangente y la secante

Sean PA y PC tangentes en A y en C, respectivamente, que se intersectan en P, entonces:

PA = PC

A

C

P


Teorema de las tangentes

PA = PC


¿Cómo se relaciona el Teorema de las tangentes y la congruencia de triángulos?

Al trazar los radios OA y OC, junto con OP, se forman dos triángulos congruentes por LLA.

A

C

P

O

r

rOP, es lado común (hipotenusa) de los triángulos OAP y OCP

90 PCO OAP

Por lo tanto, ∆OAP y

Teorema de las tangentes

8

5

7

c

AB

C

D

Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:

a + c = b + d

d

a

b

c

AB

C

D

5 + c = 7 + 8

c = 10

Ejemplo:


Cuadrilátero circunscrito

Pregunta oficial PSU

48. En la figura 14, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro?

A) 8B) 16 C) 9D) 16,6E) 24,6

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

OA B

C

fig. 14ALTERNATIVA

CORRECTA

B

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

1 A Geometría de proporción Aplicación

2 B Geometría de proporción Aplicación

3 D Geometría de proporción ASE

4 E Geometría de proporción Aplicación


6 C Geometría de proporción ASE



9 D Geometría de proporción Aplicación


11 D Geometría de proporción Aplicación


Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

13 B Geometría de proporción ASE



16 C Geometría de proporción Aplicación






22 B Geometría de proporción ASE


24 E Geometría de proporción ASE


Síntesis de la clase

Circunferencia

Teoremas de proporcionalidad

cuerdas secantes tangentessecante ytangente

cuadrilátero circunscritoigualdad

Prepara tu próxima clase

En la próxima sesión, realizaremosTaller de geometría de proporción

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